湖北省黄冈中学高三数学上学期周末测试试卷理(8.7,含解析)

黄冈中学2017届高三（上）周末测试数学试题（1）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．请将正确答案的代号填在答题卡上)： 1．已知集合{}{}2013,,11xM y y x R N x x ==∈=-≤，则M N =I （ ） A ． (0,)+∞ B ．(]0,2 C ． [)0,+∞ D ．{}(2,4),(4,16) 【答案】B【解析】{}{}{}{}2013,0,1102xM y y x R y y N x x x x ==∈=>=-≤=≤≤，故M N =I (]0,2．2．下列对应法则f 中，构成了从集合A 到集合B 的映射是（ ） A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,xy x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 【答案】D【解析】根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 3． 25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C ．4．函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】由里面图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C ．5．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14a <<B ． 14a ≤≤C ． 16a <<D ． 46a ≤≤ 【答案】A6．设集合A=12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5},i x x x x x x i ∈-=那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为（ ）A ．130B ．120C ．90D ．60 【答案】A【解析】当12345||||||||||1x x x x x ++++=时，有115210C C =种情况； 当12345||||||||||2x x x x x ++++=时，有221552240C C C +=种情况； 当12345||||||||||3x x x x x ++++=时，有3313255353280C C C C C ++=种情况；综上知，满足条件的元素个数共有104080130++=种．7．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A ．p ＋q2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C ．pqD ．（p ＋1）（q ＋1）－1 【答案】D【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－8． 在R 上定义的函数()x f 是奇函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）A ．在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B ．在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C ．在区间[]2,3--上是减函数，区间[]1,0上是增函数D ．在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 8．【答案】C【解析】由()()x f x f -=2知()x f 的图象关于直线1=x 对称，由()x f 在区间[]2,1是减函数知()x f 在区间[]1,0是增函数，又由()()x f x f -=2及()x f 是奇函数，得到())()()]2(2[2x f x f x f x f -=-=+-=+，进而得())(4x f x f =+，所以()x f 是以4为周期的函数，故()x f 在[]2,3--上是减函数．9．已知方程21|log (1)|()08xx --=的根为1212,()x x x x <，且函数3211()32f x x ax bx c =-++的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，其中,,a b c R ∈，则有（ ）A ．3b ≤B ．b a <C ．b a =D ．b a >【答案】B【解析】结合图象知1212x x <<<，又21212'(),,f x x ax b x x a x x b =-+∴+==，2122212212|log (1)||log (1)|log (1)log (1)(1)(1)1x x x x x x ∴->-⇒-->-⇒--<，即1212()0x x x x -+<，所以b a <．10．用6个字母A ，B ，C ，a ，b ，c 编拟某种信号程序(大小写有区别)．把这6个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母(同一个字母的大小写)排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为( )A ．432B ．288C ．96D ．48【答案】B【解析】根据题意，分3步进行：①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母，有C 13＝3种情况，将其放进表格中，有C 13＝3种情况，考虑这一对字母的顺序，有A 22＝2种不同顺序；② 再分析第二对字母，其不能排到同一列的上下格位置，假设① 选定的一对大小写字母为A 和a ，则分析B 与b ：B 有4种情况，b 的可选位置有2个；③ 最后一对字母放入最后两个位置，有A 22＝2种放法．则共有3×3×2×4×2×2＝288个“微错号”．故选B ．11．设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y =的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617B ．325C ．61D ．487【答案】C 【解析】由题意知332114()5241604()165k C k k k k k =⇒-+=∴==或舍， 联立2x y =与4y x =可得交点为(0,0)和(4,16)，故所求概率为42342001(2)|(4)134164166x x x x dx P --===⨯⨯⎰．12．已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧- <⎪=⎨⎪ >≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5(0,)5 B ．5(,1)5 C ．3(,1)3 D ．3(0,)3【答案】A【解析】原函数在y 轴左侧是一段正弦函数的图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，得到函数sin()1,02y x x π=-->的图象，则此函数与对数函数的图象至少有3个公共点，由图象可知01a <<，且5log 5205a a >-⇒<<． 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．请将结果填在答题卡的横线上)：13．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5,其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________． 【答案】10【解析】令x ＋1＝y ，(y －1)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，故a 3＝C 25(－1)2＝10．14．集合222{|(1),0}A x x a x a =-<>，若A Z I 中有且仅有两个元素（Z 为整数集），则a 的取值范围是________．【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】[][]222(1),0(1)1(1)10x a x a a a x -<>⇒+--+> 由题意可知：1001a a -<⇒<<， 则11112{1,2}2311123x A Z a a a a <<⇒=⇒<≤⇒<≤+--I 15．若函数213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m = ．15．【答案】6【解析】由)]1ln()1[ln()11ln()(22x x x x x x x f --+=-+=知)(x f 在]21,0[上是增函数,又因为函数)11ln()(2x x x x f -+=是奇函数，所以函数213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 是增函数，故M+m=6)]211211ln()21(3[)]211211ln()21(3[22=+--++-++ 16． 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈r，记a r 的象为()f a r ．若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈r r及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+r r r r，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈r r ，则()()()f a b f a f b +=+r r r r；②若e r 是平面M 上的单位向量，对a V ∈r ，设()f a a e =+r r r ，则f 是平面M 上的线性变换； ③对a V ∈r ，设()f a a =-r r，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈r ，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =r r．其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④【解析】对①：令1==μλ，则()()()f a b f a f b +=+r r r r故①是真命题 同理，④：令0,==μλk ，则()()f ka kf a =r r故④是真命题 ②：由()f a a e =+r r r ，则有()f b b e =+r r r()()()(1)f a b a b e a e b e e λμλμλμλμ+=++=+++-+-r r r r r r r r r r∵e r 是单位向量，0e ≠r r，故②是假命题③：∵()f a a =-r r ，则有()f b b =-r r()()()()()()f a b a b a b f a f b λμλμλμλμ+=-+=-+-=+r r r r r r r r是线性变换，故③是真命题三、解答题(本大题共6小题,满分70分)： 17．（本小题满分10分）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1． (1)求f (－1)的值；(2)设f (x )的值域为A ，函数g (x )＝－x 2＋（a －1）x ＋a 的定义域为B ．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解： (1)∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－1)＝f (1)．又x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1，所以f (1)＝12－1＋1＝12， 故f (－1)＝12．(2)由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，可得函数f (x )的值域A 即为x ≥0时f (x )的取值范围．当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1为单调递减函数， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1≤f (0)＝2， 故函数f (x )的值域A ＝(－∞，2]．又函数g (x )的定义域为B ＝{x |－x 2＋(a －1)x ＋a ≥0}＝{x |(x －a )(x ＋1)≤0}， 讨论：①若a <－1，则B ＝[a ，－1]，显然满足B ⊆A ；②若a >－1，则B ＝[－1，a ]，要使B ⊆A ，则需a ≤2，此时－1<a ≤2； ③当a ＝－1，则B ＝{－1}，满足B ⊆A ． 综上，a 的范围为(－∞，2]． 18．（本小题满分12分）已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0，2]恒成立，求函数f (x )的解析式；(2)若c <0，且函数f (x )在[－1，1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围． 解：(1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0，2]，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1， 即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)法一 因为f (x )在[－1，1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划可得－2<2b ＋c <2． 法二 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 所以f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)， 不妨设x 1∈[－1，0)，x 2∈(0，1]．因为f (2)＝(2－x 1)(2－x 2)，且2－x 1∈(2，3]，2－x 2∈[1，2)， 所以f (2)∈(2，6)，所以－2<2b ＋c <2． 19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为23，34，12，他们海选合格与不合格是相互独立的．(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解： (1)记“甲海选合格”为事件A ，“乙海选合格”为事件B ，“丙海选合格”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E ，则P (E )＝1－P (A B C )＝1－13×14×12＝2324．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3．P (ξ＝0)＝P (A B C )＝124；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝624； P (ξ＝2)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝1124； P (ξ＝3)＝P (ABC )＝624．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1246241124624E (ξ)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312．20．（本小题满分12分）已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n 的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项． 解：由题意知，22n－2n ＝992，即(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n＝32(负值舍去)，解得n ＝5．(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252．∴T 6＝C 510(2x )51x5＝C 51025＝8064．(2)设第r ＋1项的系数最大，∵T r ＋1＝C r10(2x )10－r1xr＝C r 10210－rx 10－2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C r10210－r≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ， 解得83≤r ≤113，∵r ∈N ，∴r ＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15360x 4． 21．（本小题满分12分）（2016年上海高考） 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 解:（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U ． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．（本小题满分12分）已知常数0,a >函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ （Ⅰ）讨论()f x 在区间0+∞（，）上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aax --=122舍去），当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ， 故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增． 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增； 当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa上单调递增．（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点． 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是aax -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，ax 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a ． 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点． 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a ．令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x ． 并记22ln )(2-+=xx x g ，（i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f ．(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ，因此)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f ．综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(．。