六年级公因数与公倍数

学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题公因数与公倍数
教学内容
1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别；2．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；
3．会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数．
（此环节设计时间在40－50分钟）
案例1：公因数、最大公因数
操作：请分别写出6的因数，8的因数；
6 的因数：1 、2 、3 、6 ；
8 的因数：1 、2 、4 、8 ；
问题：6与8相同的因数是什么？你能否给出几个数的公因数的定义？
定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数
例1：求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数。

解：8的因数有1，2，4，8；
9的因数有1，3，9；
8和9只有公因数1，因此8和9的最大公因数是1；
结论：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
练习
1．下列每组数中的两个数不是互素的是（）
A、5和6；
B、21和9；
C、7和11；
D、25和26．
2．下列每组数中的两个数是互素数的是（ ）
A 、35和36；
B 、27和36；
C 、7和21；
D 、78和26．
参考答案：1．B ； 2．A ；
例2：求18和30的最大公因数．
解法1：18的因数有1，2，3，6，9，18
30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30
18和30的公因数有1，2，3，6
最大的公因数是6
解法2：把18和30分别分解素因数
18＝2×3×3
30＝2×3×5
18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数；
结论：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公共素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数 解法3：为了简便，也可以用短除法计算
218
30(2)39153 35 用公有的素因数除（用公有的素因数除）（除到两个商互素为止）
18和30的最大公因数是2×3＝6
求下列各组数中的最大公因数；
（1）45和75 （2）36和90 （3）48和72
参考答案：（1）15； （2）18； （3）24
案例2：公倍数、最小公倍数
操作：请分别写出3的倍数，4的倍数；
3的倍数： 3，6，9，12，15，18，21，24，27…；
4 的倍数： 4，8，12，16，20，24，28，36，40…；
问题：3与4相同的倍数是什么？你能否给出几个数的公倍数的定义？
练习
例：求18和30的最小公倍数．
解法1：18的倍数有18，36，54，72，90，…；
30的倍数有 30，60，90，120，160，….
所以18和30的最小公倍数是90．
解法2：把18和30分解素因数
18＝2×3×3
30＝2×3×5
探究：18和30的公倍数里，应当既包含18 的所有素因数，又包括30的所有素因数，但相同的素因数可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘，所得得积2×3×3×5（90）就是30和18的最小公倍数
所以18和30的最小公倍数是90（2×3×3×5）
结论：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这两个数的最小公倍数
解法3：用短除法 218
30(2)39153 35 用公有的素因数除（用公有的素因数除）（除到两个商互素为止）
18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90
求下列各组数中的最小公倍数；
（1）36和84； （2）42和14； （3）16和24；
参考答案：（1）252；（2）42；（3）48
练习
3 5
3
2 18的素因数
30的素因数 18与30公有的素因数
定义：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．
（此环节设计时间在20－30分钟）
例题1：（1）因为10与11 是互素数，所以10与11的公因数是；
（2）17和18的最大公因数是___________；
（3）两个相邻正整数的最大公因数是；
参考答案：（1）1；（2）1；（3）1
试一试：（1）3和11的最大公因数是；
（2）8和15的最大公因数是
（2）18和36的最大公因数是；
（3）6和48的最大公因数是；
通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？
规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。

例题2：（1）已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，则A与B的最大公因数为；
（2）已知A＝2×3×5×m，B＝2×3×7×m，A与B的最大公因数是30，则A＝、B＝；
A与B的最小公倍数为；
参考答案：（1）70；（2）150，210，1050
试一试：
（1）如果36＝2×2×3×3，30＝2×3×5，那么它们的最大公因数为；
（2）如果A＝2×3×m，B＝2×7×m，如果A与B的最小公倍数为210，那么它们的最大公因数为。

参考答案：（1）6；（2）10。

例题3：（1）一块木板长24分米，宽18分米，锯成若干相同的正方形木板，要求正方形的面积最大并且木板没有剩余，锯成的正方形木板边长是多少分米？可锯几块？
（2）6年级1班大约有50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排，求6年级1班的学生人数.
参考答案：（1）正方形木板边长是6分米，可锯12块；（2）48人
试一试：有一筐苹果，每次拿5个或12个都可以正好拿完，已知这筐苹果的个数不超过400个，问：筐里至少有几个苹果，最多又有几个苹果？
参考答案：至少60个，最多360个
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

1．对于12、18这两个数，最小的公倍数是；
2．在2，3，5，6这四个数中，两个数是互素的有____对；
3．在横线或括号内填上适当的数。

（）（）40
2（）8
5 4
这两个数的最大公约数是__________，
这两个数的最小公倍数是__________。

4．10和11的最大公约数是，最小公倍数是；
5．求下列每组数最大公因数和最小公倍数．
（1）15和65 （2）45和270 （3）32和56
6．A＝2×3×m，B＝2×5×m，如果A和B的最大公因数是34，m＝；
如果A和B的最小公倍数是210，m＝；
7．新学期开学，某中学六（1）班有40多人，班主任从学校领来各种本子，其中练习本270本，英语本225
本分发给班里的同学，每个同学得到的练习本、英语本都相同，则这个班有学生人；
参考答案：1．36；2．4；3．5，50，10，10，200；4．1，110；5．（1）最大公因数5，最小公倍数195；（2）最大公因数45，最小公倍数270；（3）最大公因数8，最小公倍数224；
6．17，7；7．45；
（此环节设计时间在5－10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】
1．4和7的最大公因数是，最小公倍数是；
2．3和6的最大公因数是，最小公倍数是；
3．相邻的两个正整数一定；
4．M＝2×3×5，N＝7×11，A和B的最大公因数是（）
A、M；
B、N；
C、1；
D、没有
5．已知甲是乙的13倍，那么这两个数的最小公倍数是（）
A、13；
B、甲；
C、乙；
D、甲乙两数的积
6．求下列每组数最大公因数和最小公倍数.
（1）28和98 （2）52和78 （3）112和210
7．有两根管道，分别是36米、24米，由于工程需要，将它们截成同样长的小短管铺设下去，要求每小段尽量的长，则每段可以截成米，一共可以截出根；
参考答案：1．1，28；2．3，6；3．互素；4．C；5．B；6．（1）最大公因数14，最小公倍数196；（2）最大公因数26，最小公倍数156；（3）最大公因数14，最小公倍数1680；7．12，5；
【预习思考】
复习第6讲-第9讲知识点，下次课阶段性测试。