2018-2019学年高二数学北师大版必修5实用课件：第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式

(2)已知等差数列{an}满足 a1＋a2②设等比数列{bn}满足 b2＝a3，b3＝a7，则 b6 是数列{an}的第几项？
B [(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4) ＝3(1＋q2＋q4)＝21， 解得 q2＝2， 所以 a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)· q2＝21×2＝42.]
(2)①设等差数列{an}的公差为 d， 则 d＝a4－a3＝2， a1＋a2＝2a1＋d＝10， 得 a1＝4. 所以 an＝4＋2(n－1)＝2n＋2.
b3 ②设等比数列{bn}的公比为 q，由①知，b2＝8，b3＝16，q＝ ＝2. b2 所以 b1＝4， 因为 bn＝4· 2n－1＝2n＋1. b6＝27＝128，令 2n＋2＝128，得 n＝63. 即 b6 是数列{an}的第 63 项．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列数列是等比数列的是(
)
1 1 1 1 ①1，－2，－4，－8，„；②1， ， ， ，„；③2，－2,2，－2，„；④ ， 3 9 27 a 1 1 1 ， ， ，„(a≠0)． a2 a3 a4 A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
1 A [根据等比数列的定义可知，②③④是等比数列，其公比依次为 ，－1， 3 1 .] a
an 符号语言 若 a － ＝q(n≥2，q≠0) ，则数列{an}为等比数列 n 1
思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个 常数，这个数列一定是等比数列吗？ [提示] 不一定， 只有比值是同一个常数才是等比数列， 如数列： 2,2,3,3,4,4， 就不是等比数列．
an 2n [提示] 因为 ＝ ＝2，所以数列{an}是等比数列． an－1 2n－1
[基础自测] 1．判断正误 (1)数列 a，a2，a3，„，an，„是等比数列．( (2)常数列既是等差数列，又是等比数列．( ) ) )
(3)若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列．(
[解析] (1)不正确， 当 a＝0 时不是等比数列； (2)不正确， 常数列 0,0,0,0， „ 是等差数列，但不是等比数列；(3)正确．
[解]
(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，„，an，
由题意，得 a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，„. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项 a1＝10，公比 q＝1－10% ＝0.9， 所以 an＝a1· qn－1＝10×0.9n－1. 所以第 n 年车的价值为 an＝10×0.9n－1 万元．
3． 等比数列{an}的首项为 2， 公比为 5， 则数列{an}的通项公式为________． [解析] 数列{an}的通项公式为 an＝2×5n－1(n∈N＋)． [答案] an＝2×5n－1(n∈N＋)
[合 作 探 究· 攻 重 难]
等比数列的通项公式及应用
(1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7＝ ( ) A．21 C．63 B．42 D．84
[规律方法]
等比数列通项公式的应用技巧
(1)a1 和 q 是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素 便可求出. (2)等比数列的通项公式涉及四个量 a1，an，n，q，知任意三个就可以求出 另一个. (3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想.
[跟踪训练] 1．在等比数列{an}中． (1)已知 a3＝2，a5＝8，求 a7； (2)已知 a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式 an.
等比数列的实际应用
某人买了一辆价值 10 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的 速度贬值. (1)用一个式子表示第 n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满 3 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[思路探究] 由题意可知每年该车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数 列模型来解决问题．
第一章 数列
§3 等比数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列的概念及其通项公式
学习目标：1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其 应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
1．等比数列的定义 阅读教材 P21～P22“例 1”以上部分，完成下列问题． 如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的 比 都等 文字语言 于 同一常数 ，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等 比数列的 公比 ， 公比 常用字母 q 表示(q≠0)
(2)0 可以作为等比数列中的一项吗？
[提示] 不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为 0， 因此公比 q 也不能为 0.
2．等比数列的通项公式 阅读教材 P22“例 1”以下至 P23“例 2”以上部分，完成下列问题． (1)等比数列通项公式 首项为 a1，公比是 q 的等比数列的通项公式是 an＝
a5 8 [解] (1)因为 a3＝2，a5＝8，所以 q ＝a ＝2＝4，所以 a7＝a5· q2＝8×4＝32. 3
2
(2)由
2 a1q ＋a1＝5， a3＋a1＝5，a5－a1＝15，得 4 a1q －a1＝15，
① ②
②÷ ①得 q2－1＝3，q2＝4，a1＝1， 所以 q＝2 或－2， 当 q＝2 时，an＝2n－1， 当 q＝－2 时，an＝(－2)n－1.
a1qn
－1
(a1≠0，q≠0)．
(2)用函数的观点看等比数列的通项 a1 x q 的图像上的一群 孤立的点 等比数列{an}的图像是函数 y＝ q ·
．
思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？
[提示] 不一定．只有当 a1＝1，q＞0 且 q≠1 时，其通项公式才是指数函 数．
(2)若数列{an}的通项公式为 an＝2n，那么{an}是等比数列吗？