上海市八校2015届高三11月联考数学试题 Word版含答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)

2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则UA B = ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=-> 21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =，则2C 的渐近线方程为．【答案】32y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为．【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.2 5.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为．【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B16、已知点A的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cossin )(43)()3322OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质18、设(),n n nx yP是直线21nx yn-=+（n*∈N）与圆222x y+=在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx→∞-=-（）A．1- B．12- C．1 D．2【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2015上海市高考数学(理科)试卷(精校word版有答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题）题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-，所以11//EF AC ，因此直线1AC与EF 共面，即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =，则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =，设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)2015届江淮十校11月联考文科数学试题考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.12．设集合，，则等于（）A．B.C.D.3．命题“存在”的否定是（）A.任意B.任意C.存在D.任意4.在中，已知，则角A为（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角5.在中，有如下三个命题：①；②若D为边中点，则；③若，则为等腰三角形．其中正确的命题序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6.将函数的图像（），可得函数的图像.A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7.已知，则“向量的夹角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数满足：存在非零常数，则称为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）A.B.C.D.9．已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）A.B.C.D.10.设实数满足，则（）A.0B.3C.6D.9第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量满足：且的夹角是，则_________12.__________13.设，若，则___________14.在中，的对边分别为，若，则此三角形周长的最大值为________15.已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零。

则下列结论正确的是___________①②③④函数为偶函数⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16.（本题满分12分）已知条件：实数满足，其中；条件：实数满足.(1)若,且“”为真,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.17.（本题满分12分）设函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最值.18.（本题满分12分）如图，在平面四边形中，.（1）求;（2）若,求的面积.19.（本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.20.（本题满分13分）已知。

2015年上海高考数学试卷(文)与答案

2015 年普通高等学校招生全国统一考试上海•数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数()213sin f x x =-的最小正周期为 . 【答案】π2. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð . 【答案】{}1,43. 若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】1142i + 4. 若()1f x -为()21xf x x =+的反函数，则()12f -= . 【答案】23-5. 若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= . 【答案】166. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = . 【答案】47. 抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 【答案】28.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 . 【答案】29. 若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 .【答案】310. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示）【答案】12011. 在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）【答案】24012. 已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 放入一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】22144x y -=13.已知平面向量,,a b c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则ab c ++的最大值是 . 【答案】314.已知函数()s i n fx x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f xf x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 .【答案】8；二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.15.设12,z z C ∈，则“1z 、2z 均为实数”是“12z z -是实数”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A ；16. 下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是（）A.()()28232x x x +++<B. ()28223x x x +<++C. 212238x x x <+++ D. 223182x x x ++>+【答案】B17.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（）B.C.112D.132【答案】D18.设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（）A. 1-B.12-C.1D.2【答案】A三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点. 已知2PO =，1OA =. 求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.【答案】13P AOC V -=，异面直线PA 与OE所成的角为【解析】（1）∵C 为半圆弧AB 的中点， ∴90AOC ∠=， ∴12AOCS ∆=，∴111123323P AOC AOC V S PO -∆=⋅=⋅⋅=；（2）由题意可知45OAC BOE ∠=∠=，∴OE AC ，∴PAC ∠的大小即为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角的大小，易知PA =，PC ，AC =在PAC ∆中，由余弦定理可得：222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠===⋅，即异面直线PA 与OE所成的角为20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()21f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()1,3a ∈，判断函数()f x 在[]1,2上的单调性，并说明理由.【答案】（1）当0a =时，()f x 为奇函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数. （2）增函数.ABAB E【解析】（1）由题意可知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称. ①()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-()221110ax a x x x x⇔+=--⇔=对任意 ()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立，显然10x≠，∴()f x 不可能为偶函数； ②()f x 为奇函数()()f x f x ⇔-=-()222110a x ax ax x x ⎛⎫⇔--=-+⇔= ⎪⎝⎭对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立，显然有0a =时，20ax =对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立， ∴当0a =时，()f x 为奇函数；综上可知，当0a =时，()f x 为奇函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数. （2）()f x 在[]1,2上为增函数，理由如下：任取1212x x ≤<≤，则()()()()1212221212121212111ax x x x f x f x ax ax x x x x x x +-⎛⎫-=+-+=- ⎪⎝⎭，由()1,3a ∈和1212x x ≤<≤21211x x x ⇒>≥，12122x x x +>≥ ∴()3121211212121110ax x x x ax a +->-≥->⋅-=>，又120x x -<， ∴()()120f x f x -<，故()f x 在[]1,2上为增函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米），甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待，设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，PQO求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]12,t t 上的最大值是否超过3？说明理由. 【答案】（1）138t =，()1f t =；（2）()f t 3788t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；最大值没有超过3. 【解析】（1）13=8乙OP t V =，此时，设甲所在位置为A ，则1158OA t V =⋅=甲，如图所示 ∴ ()1f t AP === （2）()f t 在[]12,t t 上的最大值不超过3，理由如下：设甲、乙所在位置分别为A 、B . 易知138t =，27=8乙OP PQ t V +=. 如图所示：55QA t =-，348788QB t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当[]12,t t t ∈即37,88t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()()2222247855278552542185f t AB t t t t t t ==-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦，即()f t而函数2254218y t t =-+的对称轴37,125828t =⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且212125537828>--， ∴当38t =时有()max 338f t f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭， ∴所以()f t 在[]12,t t 上的最大值没有超过3.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记AOC 的面积为S .（1）设()()1122,,,A x y C x y ，用A C 、的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； PQO APQO AB（2）设1:l y kx =，C ⎝⎭，13S =，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）C 到直线1l（2）1k =-或15k =-；（3）12m =-时，此时面积为定值S =.【解析】（1）由题意可知()11,OA x y =，1l 的一个法向量()111,n y x =-，∴111:0l y x x y -=，∴点()22,C x y C 到直线1l 的距离d =故1212122y x x y S OA d -=⋅==. （2）由（1）可得：)1113x y =-，即11x y -=，又221121x y +=∴()()2221111423x y x y -=+，由此可得211115610y yx x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即25610k k ++=，解之1k =-或15k =-；（3）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l yk x =，由1l 与2l 的斜率之积为m 可得： 1212y y mx x =，又()2211112y x =-，()2222112y x =-，所以()()()2222222222212121212121111144y y m x x x x x x x x ==--=--+，即()222221212114x x m x x +=+-，而()22222212211221121211224S x y x y x y x y x x y y ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭()()222222211212111112422x x x x mx x ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦化简得()22222121212184m S x x x x +=+-，将()222221212114x x m x x +=+-代入得：()222222212122111421188488m m m S x x x x +⎛⎫-+=+-=-⎪⎝⎭ 欲使面积S 为定值，只需12m =-即可，此时面积S =.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设()*130,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得对任意*,N ,0n m n a ∈≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()*65N n a n n =-∈；（2）证明见解析；（3）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】（1）由35n b n =+可得：()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈，又11a =，所以数列{}n a 为以1为首项，6为公差的等差数列，即有()*65N n a n n =-∈. （2）【法一】由()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈可得：()21212a a b b -=- ()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥将上述式子累加可得：()()1122n n a a b b n -=-≥，当1n =时，左式也成立，所以()()*112N n n a a b b n -=-∈，由此可得111122n n b a b a =+-，由于1112b a -为常数，所以当{}n a 的第0n 项是最大项时，111122n a b a +-最大，即{}n b 的第0n 项是最大项；【法二】任取*m N ∈，不妨设0n m >，由0n n a a ≥可得()()()0000011210n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-≥即()()()000011212220n n n n m m b b b b b b ---+-+-++-≥⇒00n m b b -≥，∴0n m b b ≥，同理可证当0n m <时，0n m b b ≥.所以故对任意的*m N ∈，可得对任意的*n N ∈都有0n n b b ≥，故{}n b 的第0n 项是其最大项.（3）由()112n n n n a a b b ++-=-和累加法可得()()*112N n n a a b b n -=-∈，即1122n n a b a b =+-，结合13,n n a b λλ==可得2n n a λλ=⋅+，若对任意*,N ,0n m n a ∈≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则要求数列{}n a 各项符号相同，且{}n a 的最大项与最小项之比属于1,66⎛⎫⎪⎝⎭，分三种情况进行讨论：①当1λ=-时，则n 为偶数时1n a =，n 为奇数时3n a =-，此情况不满足条件“数列{}n a 各项符号相同”；②当1λ<-时，当n 足够大时，{}n a 中奇数项为负，偶数项为正，不满足条件“数列{}n a 各项符号相同”； ③当()1,0λ∈-时，此时n 为奇数时，n a 为负，据题意要求n 为偶数时的n a 也要恒为负，由于n a 中偶数项单调递减，所以只需最大项2220a λλ=+<即可，解之1,02λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；又()()2222221n n n n n a a λλλλλλ++-=+-+=-，当n 为奇数时，上式为正；当n 为偶数时，上式为负，即{}n a 中数项递增，偶数项递减，又21212n n a λλλ--=+<和222n n a λλλ=+>可得：212n n a a λ-<<，故数列{}n a 中小项为13a λ=，最大项为222a λλ=+， ∴{}n a 的最大项与最小项之比为22121,636a a λλλ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，解之1,04λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，综上可得符合条件的1,04λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.。

2015年上海市高考数学试卷(理科)及答案

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．14．在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4} ．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.213．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD 与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=vt1=5×=千米，甲∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf （x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x ∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f （x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。

上海市八校2015届高三3月联合调研考试数学(理)试题(解析版)

2015年上海市八校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海模拟）函数f（x）=2cos2x﹣1的最小正周期是π．【考点】：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．【解析】：解：∵f（x）=2cos2x﹣1=（1+cos2x）﹣1=cos2x．∴由周期公式可得：T==π．故答案为：π【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．2．（4分）（2015•上海模拟）已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为﹣2．【考点】：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】：选作题；矩阵和变换．【分析】：根据二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，可得=0且≠0，从而可求实数m的值．【解析】：解：∵二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，∴=0且≠0，∴m2﹣4=0且4m﹣m（m+2）≠0，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】：本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义．3．（4分）（2015•上海模拟）若直线l1：2x+3y﹣1=0的方向向量是直线l2：ax﹣y+2a=0的法向量，则实数a的值等于．【考点】：直线的方向向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：直线l1：2x+3y﹣1=0的方向向量是直线l2：ax﹣y+2a=0的法向量，可得（﹣2，3）•（a，1）=0，利用数量积运算解出即可．【解析】：解：直线l1：2x+3y﹣1=0的方向向量是直线l2：ax﹣y+2a=0的法向量，∴（﹣2，3）•（a，1）=0，化为﹣2a+3=0，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的方向向量、法向量、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2015•上海模拟）若函数f（x）=x2﹣x+的定义域与值域都是[1，b]（b＞1），那么实数b的值为3．【考点】：二次函数的性质．【专题】：方程思想；函数的性质及应用．【分析】：根据函数f（x）在x≥1时，f（x）是单调增函数，结合题意得f（b）=b，求出b 的值．【解析】：解：∵函数f（x）=x2﹣x+图象的对称轴是x=1，∴当x≥1时，f（x）是单调增函数；又f（x）的定义域与值域都是[1，b]（b＞1），∴f（b）=b，即b2﹣b+=b，整理得b2﹣4b+3=0，解得b=3，b=1（舍去）；∴实数b的值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了解一元二次方程的应用问题，是基础题目．5．（4分）（2015•上海模拟）已知点P在焦点为F1，F2的椭圆+=1上，若∠F1PF2=90°，则|PF1|•|PF2|的值等于40．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据椭圆的定义及椭圆标准方程便可得到，|F 1F2|=10，而根据∠F 1PF2=90°便可得到．所以对式子两边平方即可求得|PF1||PF2|．【解析】：解：根据已知条件：，|F 1F2|=10，且=100；∴100+2|PF1||PF2|=180；∴|PF1|•|PF2|=40．故答案为：40．【点评】：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点、焦距，以及椭圆的定义的运用．6．（4分）（2015•上海模拟）某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个．为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本．现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为12．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：设抽取的样本容量为n，由分层抽样的定义知，解得n=15，∵在一类村中抽出3个，∴二类村、三类村共抽取的村数为15﹣3=12，故答案为：12【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．7．（4分）（2015•上海模拟）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．【解析】：解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）【点评】：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．8．（4分）（2015•上海模拟）n2（﹣﹣﹣）=6．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：n2（﹣﹣﹣）=，再利用数列极限的运算法则即可得出．【解析】：解：原式====6，故答案为：6．【点评】：本题考查了数列极限的运算法则、整式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）（2015•上海模拟）某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为3千万元，第四年的年利润为6.25千万元，则该企业这四年的平均年利润为或4.5625千万元．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据前三年的利润增长率相同，后两年的年增长率相同，建立方程关系进行求解即可．【解析】：解：设前三年的年利润增长数为x，则前四年的利润分别为3，3+x，3+2x，6.25，∵后两年的年利润增长率相同，设增长率为p，∴，两式相除得，整理得16x2+23x﹣39=0，即（x﹣1）（16x+39）=0，解得x=1或x=﹣（舍），则前4年的利润分别为3，4，5，，则四年的平均利润为==4.5625（千万元），故答案为：或4.5625．【点评】：本题主要考查函数的应用问题，利用增长率之间的关系，建立方程求出增长数是解决本题的关键．10．（4分）（2015•上海模拟）已知直线l n的斜率为k，经过点P n（n，n2），l n与l n+1的距离为d n，若数列{d n}是无穷等差数列，则k的取值范围是k≤3．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：求出两条平行直线间的距离d n==，该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，则分子内的表示式2n+1﹣k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，即可得出结论．【解析】：解：直线l n：kx﹣y+n2﹣kn=0，直线l n+1：kx﹣y+（n+1）2﹣k（n+1）=0，这两条平行直线间的距离d n==，该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，则分子内的表示式2n+1﹣k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，因此，当n=1时，（2n+1﹣k）min=3﹣k≥0，解得k≤3．故答案为：k≤3．【点评】：本题考查两条平行直线间的距离，考查等差数列的判断，属于中档题．11．（4分）（2015•上海模拟）从7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为（结果用最简分数作答）．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：求出从7名运动员中选出4名运动员参加4×100米接力赛的不同方法有多少，再求选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的种数，求出对应的概率．【解析】：解：从7名运动员中选出4名运动员，不同的选法是，参加4×100米接力赛的不同方式有，∴共有•=840种；选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有=20种，第二步，安排首尾2个位置有=20种，共有20×20=400种，∴甲乙两人都不跑中间两棒的概率为P==．故答案为：．【点评】：本题考查了古典概型的概率的计算问题，解题的关键是求出对应的不同选法种数是多少．12．（4分）（2015•上海模拟）如图：边长为4的正方形ABCD的中心为E，以E为圆心，1为半径作圆．点P是圆E上任意一点，点Q是边AB，BC，CD上的任意一点（包括端点），则•的取值范围为[﹣12，12]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：先以E为坐标原点建立平面直角坐标系，求出，设P（cosα，sinα），分Q在边AB，BC，CD上三种情况，当Q在边AB上时可设Q（x0，﹣2），求出，，所以由﹣4≤4sinα≤4可得到4，同样的办法求出另外两种情况下的的取值范围，最后对这三种情况下所得求并集即可得到的取值范围．【解析】：解：以E为坐标原点，x轴∥AB，y轴∥AD，建立如图所示平面直角坐标系：设P（cosα，sinα），；（1）若Q点在边AB上，设Q（x0，﹣2），﹣2≤x0≤2，则：；∴；﹣4≤4sinα≤4；∴；（2）若Q点在边BC上，设Q（2，y0），﹣2＜y0≤2，则：；∴=﹣4y0+4sinα；﹣8＜﹣4y0≤8，﹣4≤4sinα≤4；∴；（3）若Q点在边CD上，设Q（x0，2），﹣2≤x0＜2，则：；∴；∴；∴综上可得．故答案为：[﹣12，12]．【点评】：考查建立平面直角坐标系解决问题的方法，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，设出P点坐标，讨论Q点所在的边是求解本题的关键．13．（4分）（2015•上海模拟）一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC 由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为D．【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：函数的性质及应用；推理和证明．【分析】：本题根据题意，得到质点运动的规律，得到周期性运动的结论，再利用周期性，得到本题结论．【解析】：解：根据题意，质点运动的轨迹为：A→B→C→A→D→B→A→C→D→A接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A…周期为9．∵质点经过2015次运动，2015=223×9+8，∴质点到达点D．故答案为：D．【点评】：本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．14．（4分）（2015•上海模拟）对于函数f（x）定义域D内的值x0，若对于任意的x∈D，恒有f（x）≥f（x0）（或f（x）≤f（x0）成立，则称x0是函数f（x）的极值点．若函数f（x）=2sin（m＞0）在区间（，1）内恰有一个极值点，则m的取值范围为[，]∪[，）∪（1，2）．【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据题意得出即=k，k∈z，＜1，转化为（2k ﹣1）m=0在（1，2）上有唯一解，列举法求解：（2k﹣1）m：m，3m，5m，6m，7m，9m，…得出相应的不等式组；；③…，分别求解即可．【解析】：解：∵根据题意得出x0使函数f（x）取得最大值，或最小值，∴2sin=±2，即=k，k∈z，∴x0=，k∈z，∴列举法求解：；（2k﹣1）m：m，3m，5m，6m，7m，9m，…判断得出：解得；1＜m＜2，解得；≤m＜，③解得：依此类推得出后面的都为空集故答案为：[，]∪[，）∪（1，2）【点评】：本题考查了函数的零点，三角函数性质，等价转化为不等式组求解，注意分类，列举法求解，思路较简单，关键是有耐心．二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海模拟）“x≠1且y≠2”是“x+y≠3”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性判断x+y=3与x=1且y=2之间的关系进行判断即可．【解析】：解：当x=0，y=3时满足x+y=3但x=1且y=2不成立，当x=1且y=2时，x+y=3成立，即x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件，根据逆否命题的等价关系可知“x≠1且y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，由于原命题的关系不容易判断，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海模拟）已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．4π B．8π C．D．π【考点】：球的体积和表面积．【专题】：常规题型；计算题．【分析】：由长方体的对角线公式，算出正六棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的表面积公式，可算出此球的表面积．【解析】：解：∵正六棱柱的底面边长为1，高为2，∴正六棱柱体对角线的长为=2又∵正六棱柱的顶点在同一球面上，∴正六棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=根据球的表面积公式，得此球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．【点评】：本题给出球内接正六棱柱的底面边长和高，求该球的表面积，考查了正六棱柱的性质、长方体对角线公式和球的表面积公式等知识，属于基础题．17．（5分）（2015•上海模拟）已知ω=﹣+i（i是虚数单位），（ωx+）2015的展开式中系数为实数的项有（）A．671项B．672项C．673项D．674项【考点】：二项式系数的性质；复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数；二项式定理．【分析】：直接利用1的立方虚根的性质，通过二项式定理写出通项公式，然后判断展开式中系数为实数的项的个数．【解析】：解：ω=﹣+i，可知ω3=1，3=1，ω=1．ω2=，（ωx+）2015的展开式的通项公式T r+1=（ωx）2015﹣r=ω2015﹣r x2015﹣r =ω2015﹣2r x2015﹣r．r=0，1，2，3…2015．（ωx+）2015的展开式中系数为实数的项，则2015﹣2r是3的整数倍数，r=1，4，7， (2012)共有671个．故选：A．【点评】：本题考查二项式定理系数的性质，复数的基本性质的应用，考查计算能力．18．（5分）（2015•上海模拟）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x，且当x∈[0，2）时，f（x）=x．则f（101）=（）A．2015 B．2105 C．2150 D．2501【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：有f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）﹣f（x）=x，利用累加法进行求解即可得到结论．【解析】：解：由f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）﹣f（x）=x，则f（3）﹣f（1）=1，f（5）﹣f（3）=3，f（7）﹣f（5）=5，…f（101）﹣f（99）=99，两边同时相加得f（101）﹣f（1）=1+3+5+…+99==2500，∴f（101）=f（1）+2500，∵当x∈[0，2）时，f（x）=x．∴f（1）=1，则f（101）=f（1）+2500=1+2500=2501，故选：D【点评】：本题主要考查函数值的计算，根据条件，利用累加法进行求解是解决本题的关键．三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2015•上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2π，宽AA1为2的矩形．（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）．【考点】：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：（1）利用将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2π，宽AA1为2的矩形，求出圆柱的底面半径、高，再求出此圆柱的体积；（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1．【解析】：解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr=2π，h=2，∴r=1，h=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴V=πr2h=2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）AB1=BC1=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴绳长的最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】：本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．20．（12分）（2015•上海模拟）已知z1=sinx+isinx，z2=cosx+isinx（i是虚数单位）．（1）当x∈[0，π]且|z1|=|z2|时，求x的值；（2）设f（x）=z1•+•z2，求f（x）的最大值与最小值及相应的x值．【考点】：复数代数形式的乘除运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的图像与性质；数系的扩充和复数．【分析】：（1）利用复数模的计算公式可得=，化为4sin2x=1，再利用x∈[0，π]，即可解出；（2）利用复数共轭复数的定义、复数的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f （x）=z1•+•z2=，再利用正弦函数的图象与性质即可得出最值．【解析】：解：（1）∵|z1|=|z2|，∴=，化为4sin2x=1，∵x∈[0，π]，∴sinx≥0，∴，解得x=．（2）f（x）=z1•+•z2=（cosx﹣isinx）+（cosx+isinx）===，当时，即（k∈Z）时，f（x）max=3．当=时，即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）min=﹣1．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2015•上海模拟）在数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+（n≥2，n∈N*）．（1）若数列{b n}满足b n=a n+（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n=，记S n=c1•c2+c2•c3+…+c n•c n+1，求使S n＞的最小正整数n的值．【考点】：数列的求和；等比关系的确定．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由b n=a n+（n∈N*），变形，代入a n=2a n﹣1+（n≥2，n∈N*）．可得b n=2b n﹣1．即可证明；（2）由（1）得，可得，c n=，可得c n•c n+1=，利用“裂项求和”可得S n，进而解出即可．【解析】：（1）证明：∵b n=a n+（n∈N*），∴，代入a n=2a n﹣1+=2a n﹣1+﹣（n≥2，n∈N*）．∴a n+=2（2a n﹣1+），化为b n=2b n﹣1．=，∴{b n}是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得，∴，∴c n==，∴c n•c n+1==，∴S n=c1•c2+c2•c3+…+c n•c n+1=+…+=，由S n＞，化为，，解得n＞14，∴满足条件的最小正整数n等于15．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（18分）（2015•上海模拟）已知射线l1：x﹣y=0（x＞0），l2：x+y=0（x＜0），直线l过点P（m，2）（﹣2＜m＜2）交l1于点A，交l2于点B．（1）当m=0时，求AB中点M的轨迹Γ的方程；（2）当m=1且△AOB（O是坐标原点）面积最小时，求直线l的方程；（3）设||+||的最小值为f（m），求f（m）的值域．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）当m=0时，P（0，2），设A（a，a），B（﹣b，b）（a，b＞0），M（x，y），利用中点坐标公式可得，再利用A，B，P三点共线，即可得出．（2）当m=1时，P（1，2），A（a，a），B（﹣b，b）（a，b＞0），可得S△AOB==ab，由A，B，P三点共线，得2ab=a+3b，再利用基本不等式的性质即可得出．（3）由A，B，P三点共线得：2ab=（m+2）b+（2﹣m）a，即=1，=，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解析】：（1）当m=0时，P（0，2），设A（a，a），B（﹣b，b）（a，b＞0），M（x，y），∵M是AB的中点，∴，∵A，B，P三点共线，∴，由=（﹣a，a﹣2），则﹣a（b﹣2）=b（a﹣2），即a+b=ab．代入得M点轨迹方程为（y﹣1）2﹣x2=1（y＞0）．（2）当m=1时，P（1，2），A（a，a），B（﹣b，b）（a，b＞0），∵|OA|=a，|OB|=b，S△AOB==ab，由A，B，P三点共线，得2ab=a+3b，∴，化为ab≥3，当且仅当a=3b时等号成立，此时a=3，b=1，直线l方程为x﹣2y+3=0．（3）由A，B，P三点共线得：2ab=（m+2）b+（2﹣m）a，即=1，===，∵﹣2＜m＜2，且a＞0，b＞0，∴，∴f（m）=2+，m2∈[0，4），∴f（m）的值域为．【点评】：本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理、斜率计算公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质、中点坐标公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．（18分）（2015•上海模拟）设函数f n（x）=x n++c（x∈（0，+∞），n∈N*，b，c∈R）．（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N*，函数f n（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；（3）当b=﹣1，c=1时，函数f n（x）在区间（，1）内的零点为x n，判断数列x1，x2，…，x n，…的增减性，并说明理由．【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】：计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：（1）当b=﹣1时，化简f n（x）=x n﹣+c在区间（，1）内有唯一零点及函数的单调性可知f（）＜0且f（1）＞0；从而可得﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立且c＞0，从而求得c的取值范围；（2）由f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，利用单调性的定义可设1≤x1＜x2≤2，从而化为f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2）＞0或＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，化为恒成立问题解得．（3）当b=﹣1，c=1时，f n（x）=x n﹣+1，f n+1（x）=x n+1﹣+1，从而可得f n（x）=x n n ﹣+1=0；再由＜x n＜1得x n n+1＜x n n，从而可得f n+1（x n）=x n n+1﹣+1＜x n n﹣+1=0，可证明f n+1（x n）＜f n+1（x n+1）；再由函数f n+1（x）=x n+1﹣+1在区间（，1）上是增函数知x n＜x n+1；从而证明．【解析】：解：（1）当b=﹣1时，f n（x）=x n﹣+c在区间（，1）内有唯一零点，因为函数f n（x）=x n﹣+c在区间（，1）上是增函数，所以f（）＜0且f（1）＞0；即﹣2+c＜0且c＞0，由﹣2+c＜0对于n∈N*恒成立得c＜；所以c的取值范围为（0，）．（2）f2（x）=x2++c在区间[1，2]上是单调函数，设1≤x1＜x2≤2，f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2），由题知x1x2（x1+x2）﹣b＞0或x1x2（x1+x2）﹣b＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，因为2＜x1x2（x1+x2）＜16，所以b≥16或b≤2．（3）数列x1，x2，…，x n，…是递增数列，证明如下：当b=﹣1，c=1时，f n（x）=x n﹣+1，f n+1（x）=x n+1﹣+1，f n（x）在区间（，1）上的零点是x n，所以f n（x）=x n n﹣+1=0；由＜x n＜1知，x n n+1＜x n，所以f n+1（x n）=x n n+1﹣+1＜x n n﹣+1=0，设f n+1（x）在区间（，1）上的零点为x n+1，所以f n+1（x n+1）=0，即f n+1（x n）＜f n+1（x n+1）；又函数f n+1（x）=x n+1﹣+1在区间（，1）上是增函数，所以x n＜x n+1；即数列x1，x2，…，x n，…是递增数列．【点评】：本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了数列的应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．。

2015届高三数学上册11月联考试题

知识改变命运2015届“江淮十校”十一月联考试卷数学(理)试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟. 【试卷综述】作为高三检测试题，本试卷整体结构及难度分布合理，贴近全国卷试题,着重考查基础知识、基本技能、基本方法包括基本运算和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。

试题力求创新,试题中有不少新题,这些题目，虽然素材大都源于教材，但并不是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.【题文】1.命题“对任意x R ∈,总有210x +>”的否定是（） A.“对任意,x R ∉总有210x +>” B. “对任意,x R ∈总有210x +≤”C. “存在,x R ∈总有210x +>” D. “存在,x R ∈总有210x +≤”【知识点】全称量词与存在量词A3 【答案】【解析】D 解析：对于全称量词与存在量词，求命题的否定时，存在变任意，任意变存在，“>”变“≤”，故选D.【思路点拨】熟悉含有全称量词与存在量词的命题的否定形式即可. 【题文】2.已知全集U R =,集合{|A x y ==，集合{|,}x B y y e x R ==∈，则(C )R A B =（）A.{|2}x x > B.{|01}x x <≤ C.{|12}x x <≤D.{|0}x x <【知识点】集合与集合补集，交集A1 【答案】【解析】 A解析：[0,2]A = ，(0,)B =+∞(C )(,0)(2,)R A =-∞+∞(C )R A B ∴= (0,)+∞【思路点拨】分别求出集合,A B 具体的范围，然后求A 的补集，最后与B 求交集即可，所以选A.【题文】3.函数1()1,11x f x x x ≤=⎨>⎪-⎩的大致图像是（）知识改变命运【知识点】函数图像，奇偶性B8 B4【答案】【解析】B 解析：由函数解析式可得(x)f为偶函数，(x)0f y ==≥ 即221x y += ，0y ≥∴ 图像取x 轴上方部分；当1x > 时，1()1f x x =- ，其图像在第一象限单调递减，所以选B.【思路点拨】对于分段函数的图像，分别根据不同的定义域画出各段的图像，再根据函数的奇偶性即可得到图像.【题文】4.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是 ( ) A.23 B.2 C.4D.6【知识点】函数的奇偶性 B4【答案】【解析】B 解析：(1)f x +的图像由()f x 向左平移1个单位得到，所以(1)f x +的定义域为(22,)a a -，又(1)f x +为偶函数，故220a a -+= ，即2a = ，故选B.【思路点拨】图像平移左加右减，函数()f x 的图像左移1个单位得到(1)f x +，由(1)f x +为偶函数可以得定义域关于原点对称，所以两端点之和为0.【题文】5.若(,),2παπ∈且cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（）A.12-B.12 C.1 D.1-【知识点】同角三角函数基本关系，二倍角公式 C2 C6【答案】【解析】A 解析：2sin 2cos(2)cos[2()]12sin ()244πππαααα=-=-=--2212cos 22sin 21αα=-=-1sin 22α∴=-或sin 21α=.又(,),2παπ∈知识改变命运得1sin 22α=-所以选A.【思路点拨】找到sin 2α与cos 2sin()4παα=-的结合点，也可利用22sin 221cos αα+= 代入cos 2sin()4παα=-求解.【题文】6.已知函数()cos()(A 0,0,R)f x A x ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】奇函数，充分必要条件 B4 A2 【答案】【解析】B 解析： ()f x 是奇函数,2k k Zπϕπ∴=+∈ 当0k = 时，2πϕ=，必要性不满足；当2πϕ=时，显然()cos()sin 2f x A x A xπωω=+=-是奇函数，所以充分性成立，故选B.【思路点拨】判断充分条件必要条件，就是去看必要性充分性是否成立，同时分清条件与结论即可。

上海市八校2015届高三11月联考数学试题 Word版含答案

上海市八校2014学年第一学期高三数学试卷 2014.11（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，只要求直接填写结果．1. 设集合{}{}210,,2,A x x x R B x x x R =-≥∈=<∈，则 ()R A B ð=_________.2. 函数11y x =+的反函数1()f x -=_____________. 3. 数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是n a =__________________. 4. 若1tan()44πα-=，则tan α＝________________. 5. 方程)3(log )1(log )13(log 444x x x ++-=-的解是_____________________． 6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a a +317＝10，则S 19＝_______________. 7. 设函数()f x x a =-（a 为常数），若)(x f 在区间 ),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 __________ .8. 设等比数列{}n a ，11a =，公比2q =，若{}n a 的前n 项和127n S =，则n 的值为 ____ ．9. 若定义在R 上的奇函数()f x 对一切x 均有(4)()f x f x +=，则(2016)f =_________.10. 设ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4,,43a A B ππ===，则ABC∆的面积S =_______________.11. 若集合{}2(1)320,A x a x x x R =-+-=∈有且仅有两个不同的子集，则实数a 的值为________________. 12. 已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 的最小正周期是π，且当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()()2x g x f =，则关于x 的方程()2g x =________________________.13. 设函数1cos ,0,2()2sin cos ,,222x x f x x x x πππ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，则函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积是____________.14. 设()2x y f x =+为奇函数，且()()2g x f x =+，若(2)g t -=，则(2)f =__________. （用含t 的代数式表示）二、选择题(本大题满分20分）．15. 函数()f xsin(),24x x R π-∈的最小正周期为【】A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 16. 设数列{}n a ，1a =1，前n 项和为n S ，若13n n S S +=()*n N ∈，则数列{}n a 的第5项是【】A . 81B .181C. 54D. 162 17. 设常数0a >且1a ≠，则函数()log xa f x a x =-的零点个数不可能．．．是【】 A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 18. 设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“o90C ∠>”的一个充分非必要条件是【】A ．222sin sin sin ABC +<B.1sin ,cos 4A B ==C.22(1)c a b >+-D.sin cos A B <三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤. 19. (本题满分12分，7分+5分)已知函数22()2sin ()4f x x x π=---（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间[0,]6π上的最大值.20. (本题满分14分，6分+8分) 已知函数4()lg 21x f x x +⎛⎫=-⎪+⎝⎭的定义域为集合A ，函数()g x =B 。

2015上海理科数学试题及标准答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2015年上海，理1】设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =ð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】11i 42+【解析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据题意，有i z x y =-，可把31i z z +=+化简成33i i 1i x y x y ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，11i 42z ∴=+．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ．【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．（4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ．【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．（5）【2015年上海，理5】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 1,22pQP p ==⇒=．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ='122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，''2,h h h h r ⇒=，'sin 3r h πθθ=∴=．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．【答案】2【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=，1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．（8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为．（结果用数值表示）【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=．解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．（9）【2015年上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为．【答案】y = 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩，又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得22034x y λ-=，令0λ=，20y ⇒±=即为曲线2C 的渐近线方程，即y x =．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为．【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1m a x m a x m a x 224y f f -=+=．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111C x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =．【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．（12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= ．（元）【答案】0.2【解析】由题可知，()()()()222222255544332211.4,2.8, 4.2, 5.610101010P P P P C C C ξξξξ===========，所以，ξ和的分布列分别为：()121123453, 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.85E E ξξ=++++==⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．（13）【2015年上海，理13】已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为．【答案】8【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为8．【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键．（14）【2015年上海，理14】在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．【答案】1615-【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-，122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A ==，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A = 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC⋅=⋅∠=-=-，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2015年上海，理15】设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如11i z =+，22i z =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数，故选B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．（16）【2015年上海，理16】已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（）（A（B（C ）112 （D ）132【答案】D【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且s i n 1ρθ=，cos ρθ=，B的纵坐标为：1113sin sin cos 3222πρθρθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，故选D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．（17）【2015年上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）（A ）方程①有实根，且②有实根（B ）方程①有实根，且②无实根（C ）方程①无实根，且②有实根（D ）方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <，当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，故选B ．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．（18）【2015年上海，理18】设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（）（A ）1- （B ）12- （C ）1 （D ）2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r ==1k =-，即1lim11n n ny x →∞-=--，故选A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小．解：由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面．连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等．设1A B与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFB A EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF ==1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决．（20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地．（Ⅰ）求1t 与()1f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()18f t =． ……6分（Ⅱ）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为3,58⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<，所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3． ……14分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．（21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,C x y ．用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．解：（Ⅰ）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d =所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1l，平行四边形ACBD 的面积为12212x y x y -． ……6分（Ⅱ）解法一：易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得：12122x x y y =-，又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=，()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=． ……14分解法二：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k -，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去y 解得x =1x =1y =，同理可得2x=，2y =，所以12212S x y x y =-=． ……14分【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．（22）【2015年上海，理22】（本小题满分16分）已知数列与满足．（Ⅰ）若，且，求的通项公式；（Ⅱ）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；（Ⅲ）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且．解：（Ⅰ）由可得：，又，所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，即有． ……4分（Ⅱ）由可得：将上述式子累加可得，当时，也成立，所以，由此可得，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项． ……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，即，结合可得，分三种情况进行讨论：①当时，则为偶数时，为奇数时，即有，，此时，由此，此情况不符合条件；{}n a {}n b ()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈35n b n =+11a ={}n a {}n a 0n ()0*N n n a a n ≥∈{}n b 0n ()*10,N n n a b n λλ=<=∈λ{}n a M m ()2,2Mm∈-35n b n =+()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈11a ={}n a ()*65N n a n n =-∈()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈()21212a a b b -=-()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥()()1122n n a a b b n -=-≥1n =()()*112N n n a a b b n -=-∈111122n n b a b a =+-1112b a -{}n a 0n 111122n a b a +-{}n b 0n ()()*112N n n a a b b n -=-∈1122n n a b a b =+-1,n n a b λλ==2n n a λλ=⋅-1λ=-n 3n a =n 1n a =-3M =1m =-()32,2Mm=-∉-②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<；③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n 增大值增大，此时0n λ>，()2minn λλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……16分【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（Ⅲ）的求解运用了极限思想方法，是中档题．（23）【2015年上海，理23】（本小题满分18分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，()00f =，()4f T π=．（Ⅰ）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设，证明对任意，存在，使得；（Ⅲ）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．解：（Ⅰ）()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数． ……4分（Ⅱ）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕． ……10分（Ⅲ）先证必要性：0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性：0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．()1,0λ∈-n ()nn λλ=-()1,0λ∈-()0,1λ-∈n λn 0n λ>()2maxn λλ=n 0n λ<()nn λλ=--()1,0λ∈-()0,1λ-∈()nλ-n ()nn λλ=--n n λR ()g x T ()cos g x T ()g x T ()f x T R ()f x ()sin3xh x x =+6πa b <()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦[]0,x a b ∈()0f x c =0u cos ()1f x =[]0,T 0u T +cos ()1f x =[],2T T []0,x T ∈()()()f x T f x f T +=+由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有cos ()cos ()0f x f x T -+=，所以()()()()2sin sin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈，所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈．①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =．所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =，所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+．由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． ……18分【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由()cos 1f x =能得出()2,f x kx k Z =∈，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。

上海市2015届高三十校联考数学试题 Word版含解析[thancy3]

2015年上海市十校联考高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．（4分）（2015•上海模拟）设集合，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}．【考点】：并集及其运算．【分析】：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．【解析】：解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】：本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．（4分）（2015•上海模拟）已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．【解析】：解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．（4分）（2015•上海模拟）在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【考点】：三阶矩阵．【专题】：计算题．【分析】：首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解析】：在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．（4分）（2015•上海模拟）如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【考点】：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解析】：解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．（4分）（2015•上海模拟）设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【考点】：反函数．【专题】：计算题．【分析】：由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可【解析】：解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】：本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．（4分）（2015•上海模拟）方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，}．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质．【分析】：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．【解析】：解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】：本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．7．（4分）（2015•上海模拟）若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．【解析】：解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．【点评】：本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．8．（2015•上海模拟）一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为72+18．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据正三棱柱的特点，侧面是长为侧棱长，宽为底边三角形边长的三个矩形，两个底面都是边长为6的等边三角形，然后根据矩形的面积与等边三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【解析】：解：∵一个正三棱柱有三个侧面，∴侧面积=3×（4×6）=72，底面面积=2××6×（6×）=18，所以，则这个棱柱的表面积为72+18．故答案为：72+18．【点评】：本题考查了等边三角形的性质，几何体的表面积，要注意等边三角形的高等于边长的．9．（4分）（2015•上海模拟）函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵f（x）==，由得，∴，∴，函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．10．（4分）（2015•上海模拟）已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为3．【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．【解析】：解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3【点评】：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．11．（4分）（2015•上海模拟）在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【考点】：余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．【解析】：解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】：此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．12．（4分）（2015•上海模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是（0，1]．【考点】：数列的极限．【专题】：计算题．【分析】：根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．【解析】：解：当q=1的情况，S n+1=（n+1）a1，所以成立，当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．13．（2015•上海模拟）已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为139．﹣1【考点】：数列的求和．【专题】：计算题．【分析】：由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解【解析】：解：∵a n=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）=a6+a7=11+27=139故答案为：139【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题14．（4分）（2015•上海模拟）已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．【解析】：解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．15．（4分）（2015•上海模拟）记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18]．【考点】：数列递推式；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．【解析】：解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】：解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．16．（4分）（2015•上海模拟）（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有3个．【考点】：平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由=0可得，分类作图可得结论．【解析】：解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．17．（2015•上海模拟）数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则=．【考点】：数列的极限．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：先利用裂项相消法求出S n，再求极限即可．【解析】：解：S n=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】：本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）18．（5分）（2015•上海模拟）设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．【解析】：解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选B．【点评】：本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．19．（5分）（2015•上海模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1．S2=2，且S n+1﹣3S n+2S n =0，（n∈N*，n≥2），则此数列为（）﹣1A．等差数B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【考点】：等比关系的确定．【专题】：计算题．【分析】：求的是数列的通项公式条件是数列{a n}的前n项和为S n，由所以由两者间的关系求解．要注意分类讨论．【解析】：解：由S1=1得a1=1，又由S2=2可知a2=1．∵S n+1﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），∴a n+1=2a n（n∈N*且n≥2），故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选D．【点评】：【点评】：本题主要考查数列的前n项和通项公式及两者间的关系的应用．20．（2015•上海模拟）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．D．【考点】：选择结构．【专题】：压轴题；图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解析】：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，D：f（x）=不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而C：既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故C：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．21．（5分）（2015•上海模拟）关于函数和实数m、n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【考点】：指数函数单调性的应用．【专题】：综合题；探究型．【分析】：观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项【解析】：解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选C【点评】：本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题22．（5分）（2015•上海模拟）函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；【解析】：解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，（5）x=0时，显然函数无零点；综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：D．【点评】：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f （x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．23．（2015•上海模拟）已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：作图题．【分析】：先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．【解析】：解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B【点评】：本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．三、简答题（本大题满分74分）24．（12分）（2015•上海模拟）（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．【考点】：直线与平面所成的角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体的体积．【解析】：（理）解：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又底面ABCD为正方形，∴CB⊥AB，又SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan，∴直线SC与平面SAB所成角为arctan．（2）作AE⊥SB于E，Rt△SBC中，AB=3，SA=4，SB=5，又S△SAB==，∴AE===，∴几何体的体积V===．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．25．（2015•上海模拟）（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．【考点】：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，由此能求出直线SC与AD所成角．（2）利用等体积可求点B到平面SCD的距离．【解析】：解：（1）∵BC∥AD，∴∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，∵SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan∠SCB=，∴直线SC与AD所成角为arctan．（2）连接BD，设点B到平面SCD的距离为h．∵V S﹣BCD=V B﹣SCD，∴=，∴，∴h=，∴点B到平面SCD的距离为．【点评】：本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．（14分）（2015•上海模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】：计算题．【分析】：（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．【解析】：解：（1）（2分）=（5分）∴，则A=60°（7分）（2）证明：B+C=120°，所以，（8分），则（9分），所以B+30°=60°或B+30°=120°（12分）B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形（14分）【点评】：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．27．（14分）（2015•上海模拟）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．【考点】：指、对数不等式的解法；函数单调性的判断与证明．【专题】：计算题；综合题．【分析】：（1）由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判断符号即可．【解析】：解：（1）由题意，≥3x，化简得3•（3x）2+2×3x﹣1≤0…（2分）解得﹣1≤3x≤…（4分）所以x≤﹣1…（（6分），如果是其它答案得5分）（2）已知定义域为R，所以f（0）==0⇒a=1，…（7分）又f（1）+f（﹣1）=0⇒b=3，…（8分）所以f（x）=；…（9分）f（x）==（）=（﹣1+）对任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…（12分）因为x1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．…（14分）【点评】：本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．28．（2015•上海模拟）（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？【考点】：函数最值的应用．【专题】：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）设第n年开始，盈利为y万元，从而可得y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108；从而令y＞0解得即可．（2）分别计算两种方案的总获利，比较即可．【解析】：解：（1）设第n年开始，盈利为y万元，则y=63n﹣[12n+]﹣108=﹣3n2+54n﹣108，（n∈N*）；令y＞0得，3n2﹣﹣54n+108＜0，故9﹣3＜n＜9+3，∵n∈N，∴第3年开始盈利．（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：∵y=﹣3n2+54n﹣108=﹣3（n﹣9）2+135，∴当n=9时，y max=135；故共可获利135+3=138万元；方案二：年平均盈利为=54﹣3（n+）≤18，（当且仅当n=，即n=6时，等号成立），共可获利18×6+30=138万元；但方案一的时间长，故方案二合算．【点评】：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．29．（16分）（2015•上海模拟）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【考点】：函数恒成立问题；反函数．【专题】：计算题．【分析】：（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．【解析】：解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M （2分）因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…（5分）函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…（6分）又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…（9分）所以f﹣1（x）∈M…（10分）（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）由f（x）＜1，得＜1即…（13分）若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…（14分）若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】：本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．30．（2015•上海模拟）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【考点】：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】：（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．【解析】：解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【点评】：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．31．（18分）（2015•上海模拟）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．【考点】：数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．【解析】：解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．【点评】：本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．32．（2015•上海模拟）（文）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1=a1，b n=a n+a n﹣1（n≥2，n∈N*），则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．（1）若数列{a n}的通项为数列a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{d n}的通项为数列d n=2n+n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由a n=n，可得b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=2n﹣1，即可得出．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1=3×2n﹣1+2n﹣1．可得p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，即可判断出．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，判断l2﹣l1与l3﹣l2是否相等即可得出．【解析】：解：（1）∵a n=n，∴b1=a1=1，当n≥2时，b n=a n+a n﹣1=n+n﹣1=2n﹣1，当n=1时也成立，∴b n=2n﹣1．（2）由数列d n=2n+n，数列{d n}的“生成数列”，p1=d1=21+1=3，当n≥2时，p n=d n+d n﹣1=2n+n+（2n﹣1+n﹣1）=3×2n﹣1+2n﹣1．∴p n=，当n=1时，T1=p1=3，当n≥2时，T n=3++=3+3×2n﹣6+（n﹣1）（n+1）=3×2n+n2﹣4．（3）l n=．当B=0时，l n=2An﹣A，l n+1﹣l n=2A，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，由于l1=c1=A+B，l2=3A+2B，l3=5A+2B，此时l2﹣l1=2A+B，l3﹣l2=2A，∵2A≠2A+B，∴数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．综上可得：当B=0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列．当B≠0时，数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．【点评】：本题考查了新定义“生成数列”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2015届高三数学11月联考试题文(含解析)新人教A版

2015届江淮十校11月联考文科数学试题【试卷综述】本套试题主要对集合、函数、平面向量、三角、导数等概念以及应用进行了考察，注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和学生的实际.同时也注重能力考查，较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，也考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.能考查学生的能力.考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．【题文】1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.1【知识点】扇形面积G1【答案】【解析】A解析：根据扇形面积公式21122S lR Rα==，可求得4α=，故选择A.【思路点拨】由扇形面积公式即可求得.【题文】2．设集合}032{2<--=xxxM，{}1)1(log2≤-=xxN，则NM 等于（）A．{}31<<-xxB.{}31≤<xxC.{}31<<xxD.{}31≤≤xx【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C解析:集合{}{}13,N13M x x x x=-<<=<≤，所以{}13M N x x⋂=<<，故选择C.【思路点拨】先求得集合,M N，然后利用交集定义求得结果.【题文】3．命题“存在2cossin,≤+∈xxRx使”的否定是（）A.任意2cossin,≤+∈xxRx都有B.任意2cossin,>+∈xxRx都有C.存在2cossin,>+∈xxRx使D.任意2cossin,≥+∈xxRx都有【知识点】命题的否定A3【答案】【解析】B解析：根据“存在量词”的否定为“全称量词”，可得原命题的否定为：任意2cossin,>+∈xxRx都有，故选择B.【思路点拨】根据特称命题的否定为全称命题，进行判断，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定，也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定. 【题文】4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角【知识点】同角三角函数的基本关系式C2【答案】【解析】C 解析：因为()21sin cos 12sin cos 25A A A A +=+=，所以242sin cos 025A A =-<，即cos 0A <，所以A 为钝角，故选择C.【思路点拨】根据三角形角的范围，以及同角的基本关系式即可求得.【题文】5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21AC AB AD +=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【知识点】平面向量的线性运算F1【答案】【解析】D 解析：①因为0AB BC CA AC CA ++=+=，所以正确；②因为D 为BC边中点，所以可得)(21AC AB AD +=，正确；③因为0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，可得220AB AC -=，即AB AC =，所以ABC ∆为等腰三角形正确，故正确的有①②③，故选择D.【思路点拨】根据向量的基本加减法运算即可. 【题文】6.将函数x y 2sin 2=的图像（），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位【知识点】三角函数的通项变换C3【答案】【解析】B 解析：因为2sin 22sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得只需将x y 2sin 2=，向左平移6个单位，故选择B.【思路点拨】根据函数()sin y A x ωϕ=+图像的变换，以及“左加右减”的平移法则即可得到.【题文】7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】平面向量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：若向量b a ,的夹角为锐角，则需满足1.2102122a b λλ⎧=⨯-⨯>⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩解得114λλ<≠-且，所以由“向量b a ,的夹角为锐角”能推出“1<λ”，反之不成立，所以“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】解题时注意在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为λ实数的取值范围．【题文】8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）A.2)(x x f =B. 3)1()(-=x x fC. 1)(-=x e x fD. 3)(x x f =【知识点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B 解析：根据题意函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，即若函数关于(),00a a ≠对称，即可称)(x f 为“准奇函数”，而只有B 中函数关于()1,0点对称，故选择B.【思路点拨】判断对于函数)(x f 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0a ≠，使()()2f x f a x =--，则称)(x f 为准奇函数定义可得，函数关于(),0a 对称，即可称)(x f 为“准奇函数”.【题文】9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的极小值小于128-，则参数θ的取值范围是（）[A. ]ππ,6( B. ⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ【知识点】导数的应用三角函数的图像与性质B12 C3【答案】【解析】D 解析：由题意可得()sin '32f x x x θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为πθ≤≤0，所以sin 012θ<<，可得函数θsin 43)(23x x x f -=在(),0-∞和sin ,2θ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在sin 0,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以在sin 2x θ=处取得极小值，即33sin sin 3sin 1.2844128f θθθ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，解得1sin 2θ>，又因为πθ≤≤0，所以566ππθ<<，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在sin 2x θ=处取得极小值，代入可得不等式1sin 2θ>，即可得到结果.【题文】10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （）A.0B.3C.6D.9 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】【解析】C解析：因为()()()()()33332sin 33323sin 3963x x x x x x -+--=-+---=-=，()()()()()33332sin 33323sin 3363y y y y y y -+--=-+---=-=-，设函数()332sin f x t t t=+-，则函数()332sin f x t t t=+-为奇函数，而()()33,33f x f y -=-=-，所以()33,x y -=--，即6x y +=，故选择C.【思路点拨】根据已知函数的特点构造函数()332sin f x t t t=+-，且为奇函数，利用()()33,33f x f y -=-=-，结合奇函数的性质求得6x y +=.第Ⅱ卷非选择题（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11. 设向量b a ,满足：,32==且b a ,的夹角是3π，则=-a 2_________【知识点】平面向量的数量积F3 【答案】222244.16423cos9133a b a a b b π-=-+=-⨯⨯+=，所以213a b -=【思路点拨】求向量的模一般采用先平方再开方，然后根据向量的数量积进行计算求得.【题文】12.[]=-+-21266)21(2log 12log__________【知识点】对数的运算B7【答案】【解析】解析：原式=()6666log26log 21log 21log 21⎤⨯-+=+-=⎦.【思路点拨】利用对数的运算法则进行化简即可.【题文】13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________【知识点】两角和与差的余弦展开式C5【答案】【解析】310解析：因为)2,0(πα∈，所以4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而431cos cos cos cos sin sin 666666552ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为.【思路点拨】根据已知角的范围，求得4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用凑角公式可得cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用两角和的余弦展开式求得.【题文】14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________【知识点】余弦定理基本不等式C8 E1【答案】【解析】由余弦定理可得22222cos 122b c a A bc b c bc +-=⇒=+-，整理可得()2123b c bc +-=，由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭解得b c +≤，故三角形周长的最大值为a b c ++=【思路点拨】根据已知由余弦定理可得2212bc b c =+-，再由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可得到b c +≤，进而求得三角形周长的最大值.【题文】15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。

上海市八校2015届高三上学期期中联考化学试题 Word版含答案

上海2014学年第一学期SOEC （八校）高三化学试卷 2014.11考生注意：1．本试卷满分l50分，考试时间120分钟2．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上；做在试卷上一律不得分。

3．答题前，考生务必在答题纸上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号。

4．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

相对原子质量： H —1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Si —28 S －32 Cl －35.5 K －39 Fe —56 Ba －137 一、选择题（本题共10分，每小题2分，每小题只有一个正确选项）1．“玉兔”号月球车用Pu 23894作为热源材料，下列关于Pu 23894的说法正确的是A ．Pu 23894与U 23892互为同位素 B ．Pu 23894与Pu 23994互为同素异形体 C ．Pu 23894与U 23892具有完全相同的化学性质 D ．Pu 23894与Pu 23994具有相同的最外层电子2．下列有关化学表达正确的是A ．CS 2B ．铍原子最外层的电子云图：C ．乙醇的球棍模型：D ．氮原子最外层轨道表示式：3．下列有机物的命名及名称书写均正确的是A ．CH 2Br －CH 2Br 二溴乙烷B ．CH 3CH(NH 2)CH 2COOH 3-氨基丁酸C ．硬脂酸甘油脂D ． 2,2-二甲基-3-丁醇4．下列仪器名称的书写规范且正确的是A ．长颈漏斗B ．表面皿C ．三脚架D ．瓷钳锅 5．关于晶体的叙述中，正确的是A ．分子晶体中，分子间的作用力越大，该分子越稳定CHC 17H 35COO 2CH 2C 17H 35COO C 17H 35COO C CH CH 3CH 3CH 3CH 3OHB ．分子晶体中，共价键的键能越大，熔、沸点越高C ．原子晶体中，共价键的键能越大，熔、沸点越高D ．某晶体溶于水后，可电离出自由移动的离子，该晶体一定是离子晶体二、选择题（本题共36分，每小题3分，每题只有一个正确选项）6．下列所述的操作中没有涉及到化学变化的是A ．豆科作物的根瘤菌对空气中氮的固定B ．将NO 2气体冷却后颜色会变浅C ．通过煤的液化来提取苯、二甲苯等化工原料D ．工业制液态氧 7．以下物理量只与温度有关的是 A ．醋酸的电离度B ．醋酸钠的水解程度C ．水的离子积D ．氨气的溶解度8．一般硫粉含有S （单斜）和S （正交）两种同素异形体。

[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学理试题上海卷和答案

2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B = ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+=>=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为．【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为2y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为．【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为．【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅=．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B16、已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）A ．2B ．2C ．112D ．132【答案】D【解析】113(cos sin ))()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅+= ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

上海市闵行区八校2015届高三上学期期末联考数学(文理)试题 Word版含答案

闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考高三年级数学学科试卷答案（文、理科）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程2log (34)1x -=的解x .22．不等式2(1)40x k x +-+>的解集为R ,则k 的范围为 .()3,5- 3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若0(0)1z iz z z=≠（i 是虚数单位），则z i -4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).1arcsin35. 已知n的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则n 8 6.已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平移4π个单位,可得到函数()y f x =的图象,则()f x = .sin 312x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．158.已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的一个法向量为(2,1)-，则tan()αβ+= 19. 若对任意实数x ,都有1()log (2)1x a f x e -=+≤-,则实数a 的取值范围是 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为__________．13211. 设0P 是抛物线22y x =上的一点,12,M M 是抛物线上的任意两点,123,,k k k 分别是01122,,P M M M M P 的斜率,若1234k k k -+=,则0P 的坐标为(1,2).12．（理）求函数()f x =（文）求函数2()23f x xx =-++的最小值 313.已知,αβ是平面上两个互相垂直的单位向量，且()(3)40αγβγ-⋅-=,则γ的最大值为 514（理）.已知函数()sin,2f x x π=任取,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为,t M 最小值为,(),t t t m h t M m =-则函数()h t 的值域为1⎡⎢⎣ 14.（文）已知公差为d 等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14,a a 的等比中项。

高三年级上海市八校联合调研考试(理科)数学试卷及答案

2015届高三年级上海市八校联合调研考试（理科）数学试卷考生注意：1、每位考生应同时收到试卷与答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3、本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1、函数2()2cos 1f x x =-的最小正周期是；2、已知线性方程组的增广矩阵为421m m m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m 的值为；3、若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于；4、若函数213()22f x x x =-+的定义域与值域都是[1,](1)b b >，那么实数b 的值为；5、已知点P 在焦点为12F F 、的椭圆2214520x y +=上，若1290F PF ∠=，则12||||PF PF ⋅的值等于；6、某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个。

为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本。

现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为；7、已知点(3,2)A ，F 是抛物线22y x =的焦点，若点P 在抛物线上运动，当||||PA PF +取最小值时，点P 的坐标为； 8、23111lim ()123n n n n n n →∞---=+++ ； 9、某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为3千万元，第四年的年利润为6.25千万元，则该企业这四年的平均年利润为千万元。

10、已知直线n l 的斜率为k ，经过点2(,)n P n n ， n l 与1n l +的距离为n d ，若数列{}n d 是无穷等差数列，则k 的取值范围是；11、从7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4100⨯米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为（结果用最简分数作答）； 12、如图：边长为4的正方形ABCD 的中心为E ，以E 为圆心，1为半径作圆。

上海市闵行区八校联考2015届高三数学上学期期末试卷(文理合卷)(含解析)

上海市闵行区八校联考2015届高三上学期期末数学试卷（文理合卷）一、填空题（本大题满分64分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2（3x﹣4）=1的解x=．2．（4分）不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R，则k的范围为．3．（4分）已知z∈C，为z的共轭复数，若=0（z≠0）（i是虚数单位），则z=．4．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．5．（4分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=．6．（4分）已知将函数y=sinx的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，可得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=．7．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．8．（4分）已知过点（0，1）的直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的一个法向量为（2，﹣1），则tan（α+β）=．9．（4分）若对任意实数x，都有f（x）=log a（2+e x﹣1）≤﹣1，则实数a的取值范围是．10．（4分）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形…，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为．11．（4分）设P0是抛物线y=2x2上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k1﹣k2+k3=4，则P0的坐标为．12．（4分）求函数f（x）=+的最小值．13．（4分）求函数f（x）=2x2﹣x+3+的最小值．14．（4分）已知、是平面内两个相互垂直的单位向量，且（3﹣）•（4﹣）=0，则||的最大值为．15．（4分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，记函数f（x）在区间上的最大值为M t，最小值为m t，h（t）=M t﹣m t，则函数h（t）的值域为．（4分）已知公差为d等差数列{a n}满足d＞0，且a2是a1，a4的等比中项．记b n=a（n∈N+），16．则对任意的正整数n均有++…+＜2，则公差d的取值范围是．二、选择题（本大题满分25分）本大题共有4题，每题5分．17．（5分）已知数列{a n}、{b n}，“a n=A，b n=B”是“（a n+b n）=A+B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）一个学校2015届高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查2015届高三复习状况，用分层抽样的方法从全体2015届高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为（）A．20 B．15 C．12 D．1019．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2015（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数20．（5分）若曲线C在顶点为O的角α的内部，A、B分别是曲线C上相异的任意两点，且α≥∠AOB，我们把满足条件的最小角α叫做曲线C相对点O的“确界角”．已知O为坐标原点，曲线C的方程为y=，那么它相对点O的“确界角”等于（）A．B．C．D．21．（5分）已知M是椭圆+y2=1上任意一点，P是线段OM的中点，则•（）A．没有最大值，也没有最小值B．有最大值，没有最小值C．有最小值，没有最大值D．有最大值和最小值三、解答题22．（7分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与DD1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求四面体AED1D的体积．23．（5分）如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？24．（7分）已知f1（x）=3|x﹣1|，f2（x）=a•3|x﹣2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间的长度定义为n﹣m），求；（3）设g（x）=x2﹣2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．25．（7分）如图已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，设A（0，b），若△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G的标准方程；（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两B，C，且A1，A2分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A1C与A2B交于点P（x0，y0），求点P（x0，y0）的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d 的取值范围．26．（2分）如图已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，设A（0，b），若△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G的标准方程；（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两点B，C，且A1，A2分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A1C与A2B交于点P（x0，y0），求证：点P（x0，y0）在双曲线﹣=1上；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d 的取值范围．27．（7分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{c n}对任意n∈N*，都有成立，求c1+c2+…+c2012的值．（3）若（n∈N*），求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．28．（12分）将各项均为正数的数列{a n}排成如图所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行下标小的排在左边）．b n表示数阵中第n行第1列的数．已知数列{b n}为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列，a1=1，a12=17，a18=34．（1）求数阵中第m行第n列（m，n∈N+且m≥3，n≤m）的数A mn（用m，n表示）；（2）试问a2015处在数阵中第几行第几列？（3）试问这个数列中是否有2015这个数？有求出具体位置，没有说明理由．上海市闵行区八校联考2015届高三上学期期末数学试卷（文理合卷）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分64分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2（3x﹣4）=1的解x=2．考点：其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由log2（3x﹣4）=1=log22可得，3x﹣4=2，解方程可求解答：解：由log2（3x﹣4）=1=log22可得，3x﹣4=2∴x=2故答案为2点评：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数中1的代换，属于基础试题2．（4分）不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R，则k的范围为（﹣3，5）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接根据条件得到△=（k﹣1）2﹣16＜0，求出实数k的取值范围即可．解答：解：因为关于x的一元二次不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R，∴△=（k﹣1）2﹣16＜0⇒﹣3＜k＜5．故答案为：（﹣3，5）．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法．一元二次不等式的解集的端点值为对应方程的根3．（4分）已知z∈C，为z的共轭复数，若=0（z≠0）（i是虚数单位），则z=﹣i．考点：二阶矩阵．专题：数系的扩充和复数；矩阵和变换．分析：本题先利用行列式的计算规律，将条件转化为关于复数z的方程，再设出复数的代数形式a+bi（a、b∈R），由复数相等的意义，得到关于实数a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，得到本题结论．解答：解：∵=0（z≠0）（i是虚数单位），∴．设z=a+bi，（a、b∈R），∴，，∴a2+b2﹣（a+bi）i=0，∴a2+b2+b﹣ai=0，∴，∴或，∵z≠0，∴z=﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查了行列式和复数的计算，考查了转化化归的数学思想，本题难度不大，属于基础题．4．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．5．（4分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值解答：解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）已知将函数y=sinx的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，可得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=sin（+）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先对函数的图象进行伸缩变换，进一步对函数图象进行平移变换，最后求出结果．解答：解：将函数y=sinx的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到：y=sin把函数图象向左平移个单位，得到：f（x）=故答案为：点评：本题考查的知识要点：函数图象的变换问题平移变换和伸缩变换，属于基础题型．7．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，同一科目的书都相邻，利用捆绑法，利用古典概型概率公式计算即可解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，同一科目的书都相邻，把2本语文书捆绑在一起，再把2本数学书捆绑在一起，故有A22A22A33=24种，故同一科目的书都相邻的概率P==故答案为：点评：本题考查排列数的计算，捆绑法的应用，古典概型概率公式的应用，属于基础题．8．（4分）已知过点（0，1）的直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的一个法向量为（2，﹣1），则tan（α+β）=1．考点：平面的法向量．专题：直线与圆．分析：过点（0，1）的直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的一个法向量为（2，﹣1），可得﹣1﹣3tanβ=0，tanα=﹣1．再利用两角和差的正切公式即可得出．解答：解：∵过点（0，1）的直线l：xtanα﹣y﹣3tanβ=0的一个法向量为（2，﹣1），∴﹣1﹣3tanβ=0，tanα=﹣1．∴，tanα=2．∴tan（α+β）===1，故答案为：1．点评：本题考查了直线的法向量、两角和差的正切公式，属于基础题．9．（4分）若对任意实数x，都有f（x）=log a（2+e x﹣1）≤﹣1，则实数a的取值范围是1+2+…+2n﹣1=1023，∴n=10∴最小正方形的边长为故答案为点评：本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．11．（4分）设P0是抛物线y=2x2上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k1﹣k2+k3=4，则P0的坐标为（1，2）．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P0（x0，2x02），M1（x1，2x12），M2（x2，2x22），运用直线的斜率公式，化简计算即可得到所求点的坐标．解答：解：设P0（x0，2x02），M1（x1，2x12），M2（x2，2x22），则k1==2x1+2x0，k2==2x1+2x2，k3==2x0+2x2，若k1﹣k2+k3=4，则有4x0=4，解得x0=1，则P0（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查抛物线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式，注意点的坐标的设法是解题的关键．12．（4分）求函数f（x）=+的最小值．考点：函数的最值及其几何意义；两点间距离公式的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得x2﹣x≥0，从而可得2x2﹣x+3=x2﹣x+x2+3≥3；当且仅当x=0时，等号同时成立；从而求最小值．解答：解：由题意得，x2﹣x≥0，则2x2﹣x+3=x2﹣x+x2+3≥3；（当且仅当x=0时，等号同时成立）；∴f（x）=+≥+0=；∴函数f（x）=+的最小值为；故答案为：．点评：本题考查了函数的最小值的求法，注意等号同时成立，属于基础题．13．（4分）求函数f（x）=2x2﹣x+3+的最小值3．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；导数的综合应用．分析：先求函数f（x）=2x2﹣x+3+的定义域为（﹣∞，0]∪∪上是减函数，在时，f min（x）=3；当x∈上的最大值为M t，最小值为m t，h（t）=M t﹣m t，则函数h（t）的值域为．考点：正弦函数的单调性；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的周期公式可得其周期T=4，区间的长度为T，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数h（t）=M t﹣m t，的值域．解答：解：∵f（x）=sin x，∴其周期T==4，区间的长度为T，又f（x）在区间上的最大值为M t，最小值为m t，由正弦函数的图象与性质可知，当x∈时，h（t）=M t﹣m t，取得最小值1﹣；当x∈时，h（t）=M t﹣m t取得最大值﹣（﹣）=；∴函数h（t）的值域为．故答案为：．点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．（4分）已知公差为d等差数列{a n}满足d＞0，且a2是a1，a4的等比中项．记b n=a（n∈N+），16．则对任意的正整数n均有++…+＜2，则公差d的取值范围是令x=0，y=0，则﹣（2﹣）=，解得n=﹣，则y=k2x的斜率k2=f′（﹣）=﹣，则切线y=k2x的倾斜角，由两直线的夹角θ=﹣=，故选：B点评：本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，利用导数的几何意义是解决本题的关键．21．（5分）已知M是椭圆+y2=1上任意一点，P是线段OM的中点，则•（）A．没有最大值，也没有最小值B．有最大值，没有最小值C．有最小值，没有最大值D．有最大值和最小值考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过极坐标表示成M（cosθ，sinθ），利用向量数量积运算性质及三角函数的有界性计算即得结论．解答：解：由题可知：F1（﹣，0），F2（，0），设M（cosθ，sinθ），则P（cosθ，sinθ），∴•=（﹣﹣cosθ，﹣sinθ）•（﹣cosθ，﹣sinθ）=cos2θ﹣2+sin2θ=（）cos2θ﹣2+sin2θ=cos2θ﹣，∵cosθ∈，∴•∈，故选：D．点评：本题以椭圆为载体，考查向量数量积的范围，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题22．（7分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与DD1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求四面体AED1D的体积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）取AA1的中点为F，连接EF，根据D1D∥AA1则∠FAE为异面直线AE与DD1所成角，在三角形∠FAE中求出此角的正切值，最后用反三角表示即可；（2）由题意可知点E到侧面ADD1A1的距离为2，然后根据等体积法可知V A﹣ED1D=V E﹣AD1D，最后利用锥体的体积公式进行求解即可．解答：解：（1）取AA1的中点为F，连接EF∵D1D∥AA1∴∠FAE为异面直线AE与DD1所成角AA1=2，则AF=1，EF=∴tan∠FAE=则∠FAE=arctan（2）S△AD1D==2，点E到侧面ADD1A1的距离为2V A﹣ED1D=V E﹣AD1D=×2×2=∴四面体AED1D的体积为点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及四面体的体积的度量，同时考查了空间想象能力，转化与化归运用是解决本题的关键，易错求体积时不要忘了乘．23．（5分）如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：计算题．分析：（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即 z=4sin+2=6可求得时间．解答：解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，∴⇒；∵op每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sinφ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin+2（2）令z=4sin+2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P第一次到达最高点大约需要4S．点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．24．（7分）已知f1（x）=3|x﹣1|，f2（x）=a•3|x﹣2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间的长度定义为n﹣m），求；（3）设g（x）=x2﹣2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据定义，问题等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，从而进一步转化为具体不等式恒成立问题，利用最值法可求a的取值范围；（2）利用定义，分两类f（x）=f1（x），与f（x）=f2（x），分别求出单调递增区间的长度和与相应的t的值，从而可解；（3）对任意m∈R，存在n∈，使得f（m）≥g（n），等价于f（x）min≥g（x）min，分别求出相应的最小值即可解得．解答：解：（1）“f（x）=f1（x）对所有实数都成立”等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，即3|x﹣1|≤a•3|x﹣2|，即|x﹣1|﹣|x﹣2|≤log3a恒成立，…（2分）（|x﹣1|﹣|x﹣2|）max=1，所以log3a≥1，a的取值范围是上单调递减；在上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，．…（6分）当f2（x）≤f1（x）恒成立时，即|x﹣1|﹣|x﹣2|≥log3a恒成立，（|x﹣1|﹣|x﹣2|）min=﹣1，所以log3a≤﹣1．当时，f（x）=f2（x）=a•3|x﹣2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在上单调递减；在上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，．…（8分）当时，解不等式3|x﹣1|≤a•3|x﹣2|，即解|x﹣1|﹣|x﹣2|≤log3a，其中﹣1＜log3a＜1，解得，所以且，f（0）=3，而f（t）=a•3t﹣2=3，t=3﹣log3a，函数f（x）在，上单调递增，单调递增区间的长度和为，．…（11分）（3）当a=2时，即要f（x）min≥g（x）min，…（14分）f（x）min=1．g（x）=（x﹣b）2+2，当x∈时，所以b的取值范围是．…（18分）点评：本题主要考查恒成立问题的处理策略，考查学生等价转化问题的能力，有一定的综合性．25．（7分）如图已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，设A（0，b），若△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G的标准方程；（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两B，C，且A1，A2分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A1C与A2B交于点P（x0，y0），求点P（x0，y0）的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d 的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题设得解得a，b，c．求得椭圆方程．（2）分别设出直线A1C的方程和直线A2B的方程，两条直线相乘代入椭圆，证得结论．（3）设直线l：，结合第（2）问的结论得出相应结论解答：解：（1）由题设得解得：，c=1故C的方程为．（4分）（2）证明：设B（x1，y1）则C（x1，﹣y1），A1（﹣2，0），A2（2，0）∴直线A1C的方程为y=①（5分）直线A2B的方程为y=②（6分）①×②，得③，∴，∴=，代入③得，即，（8分）因为点P（x0，y0）是直线A1C与A2B的交点，所以即点P（x0，y0）在双曲线上（9分）（3）设直线l：（10分）结合第（2）问的结论，整理得：3x0x﹣4y0y﹣12=0（12分）于是（14分）且y0≠0∴∴所以d的取值范围是（0，2）（16分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，有范围，有证明，综合性很强，难度很大，在2015届高考中常作为压轴题．26．（2分）如图已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，设A（0，b），若△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G的标准方程；（2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两点B，C，且A1，A2分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线A1C与A2B交于点P（x0，y0），求证：点P（x0，y0）在双曲线﹣=1上；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d 的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题设得解得a，b，c．求得椭圆方程．（2）分别设出直线A1C的方程和直线A2B的方程，两条直线相乘代入椭圆，证得结论．（3）设直线l：，结合第（2）问的结论得出相应结论解答：解：（1）由题设得解得：，c=1故C的方程为．（4分）（2）证明：设B（x1，y1）则C（x1，﹣y1），A1（﹣2，0），A2（2，0）∴直线A1C的方程为y=①（5分）直线A2B的方程为y=②（6分）①×②，得③，∴，∴=，代入③得，即，（8分）因为点P（x0，y0）是直线A1C与A2B的交点，所以即点P（x0，y0）在双曲线上（9分）（3）设直线l：（10分）结合第（2）问的结论，整理得：3x0x﹣4y0y﹣12=0（12分）于是（14分）且y0≠0∴∴所以d的取值范围是（0，2）（16分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，有范围，有证明，综合性很强，难度很大，在2015届高考中常作为压轴题．27．（7分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{c n}对任意n∈N*，都有成立，求c1+c2+…+c2012的值．（3）若（n∈N*），求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由{a n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），由a1、a2、a4成等比数列，能求出数列{a n}的通项公式a n．（2）由a n+1=n+1，对n∈N*都成立，能推导出，由此能求出c1+c2+…+c2012的值．（3）对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得b n=b k•b t，由，只需，由此能够证明数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．解答：解：（1）∵{a n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0）…（1分）∵a1、a2、a4成等比数列，∴…（2分）由（1+d）2=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）∴a n=n（n∈N*）．…（4分）（2）∵a n+1=n+1，对n∈N*都成立，当n=1时，，得c1=4，…（5分）当n≥2时，由，①及，②①﹣②得，得…（7分）∴．…（8分）∴…（10分）（3）对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，使得b n=b k•b t…（11分）∵，只需，…（12分）即，即即kt=nt+nk+n，取k=n+1，则t=n（n+2）…（14分）∴对数列{b n}中的任意一项，都存在和，使得．…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，综合性强，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．28．（12分）将各项均为正数的数列{a n}排成如图所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行下标小的排在左边）．b n表示数阵中第n行第1列的数．已知数列{b n}为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列，a1=1，a12=17，a18=34．（1）求数阵中第m行第n列（m，n∈N+且m≥3，n≤m）的数A mn（用m，n表示）；（2）试问a2015处在数阵中第几行第几列？（3）试问这个数列中是否有2015这个数？有求出具体位置，没有说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意和等差、等比数列的通项公式，列出关于公差d和公比q的方程组，求出q、d的值、b n，由题意和等差、等比数列的通项公式求出A mn的表达式；（2）由图表得到每一行中数的个数，由等差数列的求和公式求出前62、63行数的个数，从而确定a2015为数阵中第63行第62列的数；（3）假设2015为数阵中第m行第n列的数，由数的规律列出不等式，再取特值进行验证，从而确定不等式没有整数解，即可说明2015不在该数阵中．解答：解：（1）设公比为q，公差为d，由题意知：a1=1，a12=17，a18=34，所以b1=a1=1，则，…2分解得：q=2、d=1，则b n=2n﹣1，所以A mn=b m+（n﹣1）d=2n﹣1+n﹣1…4分（2）由表格知：每一行中有n个数，因为1+2+3+…+62==1953，1+2+3+…+63=1953+63=2016…6分所以2015﹣1953=62…8分则a2015为数阵中第63行第62列的数．…10分（3）假设2015为数阵中第m行第n列的数，由第m行最小的数为2m﹣1，最大的数为2m﹣1+m﹣1，所以2m﹣1≤2015≤2m﹣1+m﹣1，…14分当m≤11时，2m﹣1+m﹣1≤210+10=1034＜2013；…16分当m≥12时，2m﹣1≥211=2048＞2015，于是，不等式2m﹣1≤2015≤2m﹣1+m﹣1没有整数解，所以2015不在该数阵中．…18分．点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，归纳法的应用，考查综合分析问题和解决问题的能力，解答此题要有很好的耐心，考查了逻辑思维能力和运算能力，是难度非常大的少见题目．。

2015年高考文科数学上海卷及答案解析

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值；（Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝(4OB =cos OP OR O ∠31212OA d x y =1,=得21x =13kx1221mx x kx k -1212k m x x k -=222k m+42(4k S ++k 无关，(21212m k +【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系。

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