苏教版高二数学必修5全套学案

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苏教版数学高二苏教版必修5学案第3章不等式

题型一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．例1设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．解M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]；当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．(3)当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，且f (4)>0，1≤a ≤4，且Δ>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋3>0，18－7a >0，1≤a ≤4，a <－1或a >2.解得2<a <187， ∴M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，187. 跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案 2解析因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，1＋m ＝6a ，1·m ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2. 题型二恒成立问题的解法对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．(2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min .若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．例2 设不等式2x －1>p (x 2－1)对满足|p |≤2的一切实数p 的取值都成立，求x 的取值范围．解令f (p )＝2x －1－p (x 2－1)＝(1－x 2)p ＋2x －1，p ∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f (p )>0对|p |≤2的一切实数恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，f (－2)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－32<x <1＋32，x <－1－72或x >－1＋72.所以7－12<x <3＋12. 跟踪训练2 f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是________．答案 (－4,0]解析 (1)当a ＝0时，f (x )<0恒成立，故a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，由题意得：⎩⎨⎧ a <0Δ＝a 2＋4a <0⇔⎩⎨⎧a <0－4<a <0⇔－4<a <0，综上所述：－4<a ≤0.题型三简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：x －a y －b(斜率)，(x －a )2＋(y －b )2(距离)等．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最大值或最小值时，只需把直线ax ＋by ＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z 随之增大(或减少)(b >0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解步骤为①作出可行域；②作出直线l 0：ax ＋by ＝0；③确定l 0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．例3 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动时，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动时，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．作一组与l 0平等的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 移动到l 2，即过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．解设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥5，x＋2y≥4，x≥0，y≥0，x，y∈N.所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．在一族平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线，过直线2x ＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，∴最优解为x＝2，y＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．例4设f(x)＝50xx2＋1.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；解(1)当x>0时，有x＋1x≥2，∴f(x)＝50xx2＋1＝50x＋1x≤25.当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f(x)＝50x＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.所以f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.跟踪训练4设x，y都是正数，且1x＋2y＝3，求2x＋y的最小值．解∵1x＋2y＝3，∴13⎝⎛⎭⎫1x＋2y＝1.∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×13⎝⎛⎭⎫1x＋2y＝13⎝⎛⎭⎫4＋yx＋4xy≥13⎝⎛⎭⎫4＋2 y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，取“＝”．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43. ∴2x ＋y 的最小值为83. [呈重点、现规律]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(其中a ≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点；方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(a >0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，实数Ax ＋By ＋C 的符号相同，取一个特殊点(x 0，y 0)，根据实数Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C ≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点．5．运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．。

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§1.1 正弦定理学习⽬标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明⽅法；3. 会运⽤正弦定理解斜三⾓形的两类基本问题．学习过程⼀、课前准备试验：固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动．思考： C的⼤⼩与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对⾓ C的⼤⼩的增⼤⽽．能否⽤⼀个等式把这种关系精确地表⽰出来？⼆、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直⾓三⾓形，下⾯就⾸先来探讨直⾓三⾓形中，⾓与边的等式关系. 如图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐⾓三⾓函数中正弦函数的定义，有，，⼜，从⽽在直⾓三⾓形ABC中，．探究2：那么对于任意的三⾓形，以上关系式是否仍然成⽴？可分为锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形两种情况：当 ABC是锐⾓三⾓形时，设边AB上的⾼是CD，根据任意⾓三⾓函数的定义，有CD= ，则，同理可得，从⽽．类似可推出，当 ABC是钝⾓三⾓形时，以上关系式仍然成⽴．请你试试导.新知：正弦定理在⼀个三⾓形中，各边和它所对⾓的的⽐相等，即．试试：（1）在中，⼀定成⽴的等式是（）．A． B.C. D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．[理解定理]（1）正弦定理说明同⼀三⾓形中，边与其对⾓的正弦成正⽐，且⽐例系数为同⼀正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作⽤为：①已知三⾓形的任意两⾓及其⼀边可以求其他边，如；．②已知三⾓形的任意两边与其中⼀边的对⾓可以求其他⾓的正弦值，如；．（4）⼀般地，已知三⾓形的某些边和⾓，求其它的边和⾓的过程叫作解三⾓形．※典型例题例1. 在中，已知，， cm，解三⾓形．变式：在中，已知，， cm，解三⾓形．例2. 在．变式：在．三、总结提升※学习⼩结1. 正弦定理：2. 正弦定理的证明⽅法：①三⾓函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应⽤正弦定理解三⾓形：①已知两⾓和⼀边；②已知两边和其中⼀边的对⾓．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※⾃我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. ⼀般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在中，若，则是（）.A．等腰三⾓形 B．等腰三⾓形或直⾓三⾓形C．直⾓三⾓形 D．等边三⾓形2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.　A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶3. 在△ABC中，若，则与的⼤⼩关系为（）.A. B.C. ≥D. 、的⼤⼩关系不能确定4. 已知 ABC中，，则 = ．5. 已知 ABC中， A ，，则= ．课后作业1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三⾓形．2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2 余弦定理学习⽬标1. 掌握余弦定理的两种表⽰形式；2. 证明余弦定理的向量⽅法；3. 运⽤余弦定理解决两类基本的解三⾓形问题．学习过程⼀、课前准备复习1：在⼀个三⾓形中，各和它所对⾓的的相等，即 = = ．复习2：在△ABC中，已知，A=45 ，C=30 ，解此三⾓形．。

高二数学必修5全册导学案经典

第一章解三角形1.1.1 正弦定理1.在ABC △中，已知3b =，c =，30B ∠=o ，解此三角形。

2.在ABC △中，已知∠A=45o 30B ∠=o ，C=10,解此三角形。

3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B为锐角，sin A sin B （1）求A+B 的值：（2）若，求a,b,c 得值1. 在ABC △中，已知222sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形2．已知ABC △中，60A ∠=o ，45B ∠=o ，且三角形一边的长为m ，解此三角1．正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆的半径。

2．正弦定理的应用（1）如果已知三角形的任意两角与一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。

（2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。

1．在ABC △中，若2sin sin cos 2A C =，B 则ABC △是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3. 在ABC △中，已知30B =o ，b =，150c =，那么这个三角形是（）Ａ．等边三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 6.ABC △若120c b B ===o ，则a 等于（）A B ．2 C D7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28.若12057A AB BC ∠===o ，，，则ABC △的面积S = ．9. 在ABC △中，若此三角形有一解，则a b A ，，满足的条件为________1.1.2 余弦定理1.在三角形ABC 中，已知下列条件，解三角形。

苏教版高中必修5数学教案

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课题：一元二次方程的应用
教学目标：
1.了解一元二次方程的基本概念和性质；
2.掌握一元二次方程的解法和应用；
3.能够运用一元二次方程解决生活中的实际问题。

教学重点和难点：
1.掌握一元二次方程的解法；
2.能够灵活运用一元二次方程解决实际问题。

教学过程：
一、导入：通过实际生活中的问题引入一元二次方程的概念和应用。

二、讲解：介绍一元二次方程的定义、标准形式以及解法。

三、练习：让学生通过一些简单的例题进行练习，巩固知识点。

四、拓展：给学生提供一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决问题。

五、总结：总结本节课的内容，强调一元二次方程的重要性和实际应用。

教学评价：通过课堂练习和作业，检测学生对一元二次方程的掌握程度。

课后作业：完成指定的练习题和实际应用题，加深对一元二次方程的理解。

教学反思：根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。

高中数学苏教版必修5学案：1.1.2 正弦定理(2) Word版含解析

第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理正弦定理的应用阅读教材P9～P12，完成下列问题．1．正弦定理的深化与变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝________＝________.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)ab＝________，ac＝________，bc＝________.(4)a∶b∶c＝________：________：________.【答案】(1)2Ra＋b＋csin A＋sin B＋sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C(3)sin Asin Bsin Asin Csin Bsin C(4)sin A sin B sinC2．三角形面积公式S△ABC＝________＝________＝________.【答案】12ab sin C12bc sin A12ac sin B判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a ＝sin A ，b ＝sin B ，c ＝sin C ．( ) (2)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C.( )(3)在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，C ＝30°，则S △ABC ＝1.( )【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知(1)，(2)正确；又S △ABC ＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解．【自主解答】由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bc sin A＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bc sin A＝3，∴△ABC的面积S为23或3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：91730004】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．【精彩点拨】根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A . 由正弦定理得sin 2 A sin B cos B ＝sin 2 B sin Acos A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，亦即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】如图，在B 侧选一条基线BC ，测得BC ＝a ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知 AB sin β＝BCsin (α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile. 答：A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【答案】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是________三角形．【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.由acos A＝bcos B＝ccos C可知tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边3．如图1-1-3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________ m.【导学号：91730005】图1-1-3【解析】由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．【答案】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________. 【解析】由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C ，故2a sin A －b sin B －csin C ＝0. 【答案】 05．如图1-1-4，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ．在A 点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD ＝105°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足．求山高CD .图1-1-4【解】在△ABD 中，由正弦定理，得 AD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ADB ＝800sin 45°sin (180°－105°－45°)＝8002，在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan 30°＝8002×33＝80063(m)．答：山高CD 为80063 m.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A，b＝2，c＝2，∴12×2×2sin A＝3，∴sin A＝3 2.又A∈(0，π)，∴A＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile.【解析】如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.【导学号：91730006】【解析】由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1. 【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 Asin 2A的值为________．【解析】由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．【答案】等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.【解析】根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.【答案】 π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin (120°－α)sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC . 【证明】如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，① 在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4，故①②得AB AC ＝BD DC. [能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【答案】等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab 的取值范围为________．【解析】在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°，即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab 的取值范围是(2，3)．【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B . 由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ，∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539，所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

苏教版数学高二苏教版必修5学案第2章数列

题型一方程的思想解数列问题在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (或d )，S n ，其中首项a 1和公比q (或公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (或d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1] ＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪训练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝233n na a +＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．题型四数列与其他知识的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n .∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . ① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②由①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1.即对任意正数n ，m <12n －1恒成立，且12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．跟踪训练4 设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 答案 4n ＋16解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. [呈重点、现规律]1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

苏教版高二数学必修五全册教案

苏教版高二数学必修五全册教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第八课时等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.教学重点：.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?若a，A，b成等差数列a＝a＋b2，A为等差中项.那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……则即Ga＝bG，即G2＝ab反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列∴a，G，b成等比数列G2＝ab总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±ab，另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap ＋aq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp －1，aq＝a1•qq－1不难发现：am•an＝a12qm+n－2，ap•aq＝a12qp+q－2若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{an}中，若a3•a5＝100，求a4.分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am•an ＝ap•aq可得：解：∵在等比数列中，∴a3•a5＝a42又∵a3•a5＝100，∴a4＝±10.［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn 数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.数列{an•bn}的第n项与第n＋1项分别为a1•pn－1•b1•qn－1与a1•pn•b1•qn，即为a1b1n－1与a1b1n∵an+1an•bn+1bn＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1＝pq它是一个与n无关的常数，∴{an•bn}是一个以pq为公比的等比数列.特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c•an}是等比数列.［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.解：设m，G，n为此三数由已知得：m＋n＋G＝14，m•n•G＝64，又∵G2＝m•n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴m＝2n＝8或m＝8n＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.Ⅲ.课堂练习课本P50练习1，2，3，4，5.Ⅳ.课时小结本节主要内容为：若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项.若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aqⅤ.课后作业课本P52习题5，6，7，9等比数列．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10c.15D.202．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10c.11D.123．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12c.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列答案．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10c.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q•a1q3＋2a1q2•a1q4＋a1q3•a1q5＝25即a12q42＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25即2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（）A.9B.10c.11D.12解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.答案：c3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（）A.10B.12c.14D.16解：由已知得2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2）2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x2y＝3xy2＝（x＋1）2xy＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d则（x－d）2＝ax①a＋（x－d）＋x＝19②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12③解得x＝4，代入①、②得（4－d）2＝4aa－d＝11解得a＝25d＝14或a＝9d＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：2bn＝an＋an＋1①an＋12＝bnbn＋1②∴an+1＝bnbn＋1，an＝bnbn－1代入①得2bn＝bnbn＋1＋bnbn－1即2bn＝bn＋1＋bn－1∴{bn}成等差数列，设公差为d又b1＝2，b2＝a22b1＝92，∴d＝b2－b1＝322－2＝22∴bn＝2＋22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12（n＋1）2，当n≥2时，an＝bnbn－1＝n（n＋1）2③且a1＝1时适合于③式，故anbn＝nn＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论yx和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而yx＜1＜x －y当yx＜x－y时，由yx，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.则有yx•xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy解方程组得x＝7＋52，y＝5＋722∴所求等比数列为22，2＋322，12＋1722，70＋9922.当yx＞x－y时，由x－y，yx，x＋y，xy顺次构成等比数列则有yx•xy＝（x＋y）2yx（x＋y）＝（x－y）xy 解方程组得y＝112，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为（x－d）2x，x－d，x，x＋d，根据题意有（x－d）2x＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18，解得x ＝12d＝6或x＝274d＝92274∴所求四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为xq，x，xq，则第四个数为2xq －x.依题设有xq＋2xq－x＝21x＋xq＝18，解得x＝6q＝2或x＝454q＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：y2＝x（18－y）2（18－y）＝y＋（21－x），解得x＝3y ＝6或x＝754y＝454∴所求四数为3，6，12，18或754，454，274，94.。

苏教版数学高二-必修5导学案 3.4 基本不等式(1)

3.4 基本不等式【学习目标】1．探索并了解基本不等式的证明过程。

2．体会证明不等式的基本思想方法。

3．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

【重点难点】重点：理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤；难点：基本不等式的简单应用，注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．把一个物体放在天平的一个盘子上，而在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的重量为a，由于天平制造得不平衡，天平的二臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非实际质量。

不过，我们可作第二次测量，把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b，那么物体的实际质量是多少呢？.（1）请你猜测物体的实际质量为多少？（2）上述猜想正确吗？a,是正数，则它们的算术平均数为,几何平均数为.2．（1）设b（2）问题：两个非负数a，b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？二、知识建构1．基本不等式：．即两个正数的不大于它们的，当时两者相等．2．如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？（1）比较法（2）分析法（3）综合法3．当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b =2b a ab +=⇒；另一方面是仅当a b =时取等号，即⇒+=2b a ab a b =． 4．基本不等式的几何意义是什么？5．重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．三、例题例1 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥；（2）12a a+≥ba例2 已知函数()+∞-∈++=,2,216x x x y ，求此函数的最小值。

变式：将()+∞-∈,2x 改为[)+∞∈,4x ，求此函数的最小值。

例3.（1）已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222（2）已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．四、巩固练习1．计算：（1）2与8的算术平均数为，几何平均数为；（2）p 与9p （其中p>0) 的算术平均数为，几何平均数为；2．证明：（1）x x 212≥+ （2）设x 是实数，求证222≥+-x x（3）)1(311>≥-+a a a （4）)0(21<-≤+x x x3．已知x+2y=6，求y x 42+的最小值。

苏教版高中必修五数学教案

苏教版高中必修五数学教案
一、教学目标：
1. 掌握函数及其应用的基本概念；
2. 能够用函数的方法解决实际问题；
3. 理解函数的性质和图像。

二、教学内容：
1. 函数的定义及性质；
2. 函数的图像及性质；
3. 函数的应用。

三、教学重点：
1. 函数的定义及性质；
2. 函数的图像及性质。

四、教学难点：
1. 函数的性质的理解和运用；
2. 函数的图像的绘制和分析。

五、教学准备：
1. 教学PPT；
2. 教学实例；
3. 教学练习题。

六、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念；
2. 讲解函数的定义及性质；
3. 展示函数的图像及性质；
4. 实例练习：根据实际问题解决函数的应用；
5. 总结：回顾本节课的内容，强调函数的重要性。

七、课后作业：
1. 完成课后作业练习题；
2. 总结本节课的重点知识点。

八、教学反思：
本节课通过实际问题引入函数的概念，让学生能够更好地理解和应用函数的知识。

但在教学过程中，需要更多的实例来帮助学生加深对函数的理解和掌握。

下节课将更加注重实例练习，提高学生对函数的应用能力。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数列(二) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)．思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项．解由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定．答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________．答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________．答案 108 解析由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：3.4.2 基本不等式的应用 Word版含答案

3．4.2 基本不等式的应用明目标、知重点 1.娴熟把握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必需是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．[情境导学]前一节课我们已经学习了基本不等式，本节我们就最值问题及生活中的实际例子争辩它的重要作用．探究点一利用基本不等式求最值思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最大值．由基本不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？答 x ＋y 有最小值．由基本不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要留意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥2 12x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2xx －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10≥2 (x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.探究点二基本不等式在实际问题中的应用例2 某工厂要建筑一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，假如池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？解设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003xm ．又设水池总造价为y 元，依据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x)＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.答水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 用长为4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大．解设矩形的长为x (0<x <2a )，则宽为2a －x ，矩形面积为S ＝x (2a －x )，且x >0,2a －x >0. 由基本不等式，得 x (2a －x )≤x ＋(2a －x )2＝a .上式当且仅当x ＝2a －x ，即x ＝a 时，取“＝”号．由此可知，当x ＝a 时，S ＝x (2a －x )有最大值a 2. 答将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为a 2.例3 过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解设点A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.由题意，点(1,2)在此直线上，所以1a ＋2b＝1.由基本不等式，得1＝1a ＋2b ≥2 2ab⇒ab ≥8.于是，S △AOB ＝12ab ≥4，当且仅当1a ＝2b，从而a ＝2，b ＝4时，取“＝”号．因此，△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所把握的数学学问解决问题(求解)，最终要回应题意下结论(作答)．跟踪训练3 如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为A ，它的两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为b 的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？解设纸张的长和宽分别是x ，y ，则(x －2a )(y －2b )＝A ，从而y ＝Ax －2a ＋2b .于是纸张的面积为S ＝xy ＝Axx －2a ＋2bx ＝Ax －2Aa ＋2Aa x －2a ＋2bx＝A ＋2Aa x －2a ＋2bx ＝2Aax －2a ＋2b (x －2a )＋A ＋4ab≥24Aab ＋A ＋4ab ＝(A ＋2ab )2，当且仅当2Aax －2a＝2b (x －2a )，即x ＝Aab ＋2a 时，S 有最小值(A ＋2ab )2，此时y ＝A x －2a ＋2b ＝Aba ＋2b .答纸张的长和宽分别为Aab＋2a 和 Aba＋2b 时，纸张的用量最小．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．答案－4解析由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值为________．答案 1解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、外形为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且铺张最少)的是________． ①6.5 m ②6.8 m ③7 m ④7.2 m 答案 ③解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．由于要求够用且铺张最少．4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．答案 2－25解析当0<x <1时，log 2x <0，所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5. 当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5时，等号成立．[呈重点、现规律] 1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号确定能取到．这三个条件缺一不行．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对比已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、基础过关1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是________．答案 4解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为________．答案 42解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.3．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是________．答案 42解析 ∵2a >0,2b >0，∴2a ＋2b ≥22a ＋b (当且仅当a ＝b ＝32时取等号)，即当a ＝32，b ＝32时，2a ＋2b 有最小值4 2.4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b的最小值是______．答案 92解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 5．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14. 6．建筑一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760解析设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2 x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 7．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值．解 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0， ∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.二、力气提升8．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是________．答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋yx ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________．答案 1解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 10．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2 t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.11．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的修理费各年为第一年2千元，其次年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算？(即使用多少年的年平均费用最少)解设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估量得知，假如将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最小，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x ，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最小，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48.当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。

苏教版必修五全册导学案--数列复习1导学案(教师版).doc

执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、知识点总结（~）数列的概念1.数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a…=f（n）当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是,而不是；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a,｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3.数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和o2）按数列中相邻两项的大小可分为、、—和—.4.数列的通项a”与前n项和S”之间的关系对任一数列有a…=< （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛混为等差数列，则有a-^d｛其中nN2, nEN*）.2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a,~a^ + （n~\）d,其中切为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a,｝为递增数列;当次0时，数列｛&,｝为递减数列;当d=O 时，数列｛&｝为宣数列.4.等差数列的前〃项和公式:5.等差数列的性质：（1）等差数列｛&｝中，&-&= d・,（2）等差数列｛&,｝中，若m+n=p+q（其中m, n, p, qE中）,则&,也=<3/%；若m+n/p,则am+an Wa”也称a。

为a®,a”的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即S K、S2K-S K. S3K-S2K成等差数列，其公差为矿。

6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为若四个数成等差数列，可设为——.7.等差数列的判定方法：1）定义法：% — a, = d 0｛a“｝是等差数列。

苏教版数学高二必修五导学案1.2 应用举例3(第6课时)

1.2 应用举例3 (第6课时)**学习目标**1．能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2．能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式**要点精讲**在△ABC 中，应熟练掌握下列知识（1）sin()sin ,cos()cos A B C A B C +=+=-，sincos ,cos sin 2222A B C A B C ++==等；（2）在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>；（3）在锐角三角形中，2A B π+>，sin cos A B >，cos sin A B <**范例分析**例1．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数例2．在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0 (2) .112cos 2cos 2222b a b B a A -=-例3．在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长例4．在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+.(1)判断△ABC 的形状；(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。

**规律总结**1．余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快。

请解决下面问题：求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值（答案：43） 2．在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .**基础训练**一、选择题1．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的是（）A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )2．在三角形ABC 中,A 、B 都是锐角，且sinA=cosB ，则此三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定形状3．在△ABC 中，cos （A －B ）＋sin （A ＋B ）=2，则△ABC 的形状是（）A.等边三角形B.等腰钝角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形4．若1)cos()cos()cos(=---A C C B B A ，则△ABC 是（）（A ）直角三角形（B ）等腰直角三角形（C ）等边三角形（D ）顶角为1200的等腰三角形5．在△ABC 中，若c b c B A B A -=+-tan tan tan tan ，这个三角形必含有（） A.30°的内角B.45°的内角C.60°的内角D.90°的内角二、填空题 6．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值为7．在△ABC 中，a +c =2b ，A －C=60°，则sinB= .8．若钝角三角形ABC 三内角的度数满足：A B C <<，2B A C =+，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是。

苏教版数学高二必修五导学案2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)9

第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法（第2课时）9 **学习目标**1．了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；2．了解数列的前n 项和与数列通项公式的关系，能根据前n 项和n S 求通项n a ； 3．能根据数列的递推公式求一些简单数列的通项公式。

**要点精讲**1．在数列{}n a 中，111,21(1)n n a a a n -==+>，由1a 可计算出23,a a ，…，像这样给出数列的方法叫做递推法，其中121(1)n n a a n -=+>称为递推公式。

递推公式也是数列的一种表示方法。

2．设数列{}n a 的前n 项之和为12n S a a =++…n a +，则11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

3．设数列{}n a 的前n 项之积为12n n T a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则11,1,2n n n T n a T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩。

**范例分析**例1．（1）在数列{}n a 中，111,21(1)n n a a a n -==+>，写出数列{}n a 的前5项。

（2）在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，写出数列{}n a 的前5项。

评注：像第（2）小题中的数列{}n a 的项的值是呈现周期性变化的，这样的数列称为周期数列。

例2．已知数列{}n a ，11a =，112nn na a a +=+(*n N ∈)，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以验证。

评注：数学猜想是数学研究的起点，而验证是对所猜结论正确与否的一种保护措施，学习数学需要掌握这种“归纳-猜想-验证”的思考方法。

例3．（1）数列{}n a 的前n 项之和12nn S =+，求n a 。

（2）数列{}n a 的前n 项之和22n S n n =-，求n a 。

苏教版必修五全册导学案--§2.doc

执笔人：祁正权审核人:2009年9§2.1 数列(2) 第 10课时① 2, —5, 10, —17,...； 6 8 35 ,632~ ~ ⑤2 四、课堂探究例1.⑴若数列｛a“｝中, 写出该数列的前5项. 2 3-, 4 2 5-, 7—,. 8 16④ 0.5.0.55,0.555,0.5555，.… % = 2 ,且各项满足= a n + 2 ,一、学习目标（1）了解数列的递推公式，会利用推公式求数列的若干项.（2）了解数列通项与前n 项和之间的关系.二、学法指导1. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。

2. 数列是一个特殊的函数。

3. 数列的前〃项的和通常记为S", S n = a 1+a 2+--- + a n .低（〃=1）、S”与q,的关系：a n =\注意验证〃=1的情况. 三、课前预习（1）①数列｛a,,｝的通项公式％ =~ ,则V17+4是该 yjn + 1-yJ n数列中的第—项. ②已知数列0｝的通项公式a n =n 2 a 〔= , 65是它的第项（2）写出下列数列的通项公式：有2 4 3 15 ⑵已知数列｛%,｝中，％ =2,且各项满足a,w=2a“，写出该数列的前5项.例2.已知无穷数列— 3〃 + 1（〃 e N*）（1）画出数列｛%｝的图象；（2）求数列最小的项；（3）求最小的项数〃o 使得a" < a n+l （n > n 0）例3.⑴数列｛a 〃｝的前〃项和S, = 2疽+〃+ 1 （〃 c N*）,求该数列的通项公式.⑵数列(a,,｝的前〃项和S" = 2〃2 +〃 (nwN*),求该数列的通项公式.例 4.已知数列｛弓｝的前〃项和S" = 2"-3,(〃 e N*),求该数列｛%｝的通项公式，并讨论数列｛%｝的单调性.五、巩固训练()当堂练习1、数列V2,V5,272,711,…,则按此规律，2打是这个数列的第—项。

高二数学新教材苏教版必修5学案：第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第2课时等差数列的性质

第2课时等差数列的性质学习目标：1.理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列．(重点、难点)2.掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点)3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是关于n的常函数；当d≠0时，a n是关于n的一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n}中，已知a1，d，a m，a n(m≠n)，则d＝a n－a1n－1＝a n－a mn－m，从而有a n＝a m＋(n－m)d.2．等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b2.我们把A＝a＋b2叫做a和b的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(3)若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) n n n n为常数列．[基础自测]1．若{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 8＝5，则公差d ＝________，a n ＝________.[解析] ∵d ＝a 8－a 28－2＝5－36＝13，∴a n ＝a 2＋(n －2)×13＝3＋n －23＝n ＋73. [答案] 13 n ＋732．若点(1，a n )，(2，a n ＋1)在直线y ＝x ＋3上，则a n ＋1与a n 的关系为________．[解析] 由题意可知⎩⎨⎧a n ＝1＋3，a n ＋1＝2＋3，∴a n ＋1－a n ＝1, 即a n ＋1＝a n ＋1.[答案] a n ＋1＝a n ＋13．若{a n }是等差数列，且a 2＋a 6＋a 10＝1，则a 4＋a 8＝________.[解析] ∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，∴a 6＝13，∴a 4＋a 8＝23. [答案] 234．在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.[解析] 由a 7＋a 9＝a 4＋a 12，得a 12＝a 7＋a 9－a 4＝16－1＝15.[答案] 15等差中项及其应用n 1n 且x 1，x 4，x 5成等差数列．求p ，q 的值．[思路探究] 由x 1，x 4，x 5成等差数列得出一个关于p ，q 的等式，结合x 1＝3推出2p ＋q ＝3，从而得p ，q .[解] 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.[规律方法]在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1n≥2，n∈N*，即a n＝a n＋1＋a n－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.[跟踪训练]1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用n1815910(2)数列{a n}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式；(3)在等差数列{a n}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[思路探究](1)利用等差中项求解；(2)利用m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q求解；(3)利用d＝a m－a nm－n求解．[解](1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.[规律方法]解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w m，n，p，q，w都是正整数；,二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d的取值的限制.[跟踪训练]2．已知等差数列{a n}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求a2，a3，a4.[解]∵{a n}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差为d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，∴d2＝25，∴d＝±5，∴⎩⎨⎧ a 2＝1，a 4＝11或⎩⎨⎧ a 2＝11，a 4＝1.等差数列的设法与求解[探究问题]1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，这样计算较为方便．2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？[提示] 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，计算较为方便．已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数．[思路探究] 根据这三个数成等差数列，可设这三个数为x －d ，x ，x ＋d .[解] 设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ，由题意得⎩⎨⎧ (x －d )(x ＋d )＝5x ，x ＋x ＋d ＝8(x －d )，解得⎩⎨⎧ x ＝0，d ＝0或⎩⎨⎧ x ＝9，d ＝6，故此三数分别为0,0,0或3,9,15.母题探究：(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列．[解] 设所求数列为a －d ，a ，a ＋d (d >0)，根据题意得到方程组⎩⎨⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，②由①得a ＝6.将a ＝6代入②，得d ＝2，d ＝－2(舍)．所以所求数列为4,6,8.[规律方法] 设等差数列的三个技巧（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d .（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .（3）等差数列的通项可设为a n ＝pn ＋q .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．[解析] 由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5，又a 4＝7，∴公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.[答案] 22．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 018，则该数列的首项为________．[解析] 设数列首项为a 1，则2 018＋a 1＝1 010×2，解得a 1＝2.[答案] 23．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.[解析] 根据等差中项的性质，得a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5＝37，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝4a 5＝74.[答案] 744．在－1和8之间插入两个数a ，b (a <b )，使这四个数成等差数列，则a ＝________，b ＝________.[解析] 由题意，⎩⎨⎧ a ＋b ＝7，2b ＝a ＋8，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝5.[答案] 2 55．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎨⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎨⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32，所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.由Ruize收集整理。

苏教版数学高二-必修5导学案基本不等式的应用(1)

3.4.2基本不等式的应用（1）【学习目标】12a b +≤，(a ，b 都是正数)求函数的最值问题； 2．能运用函数关系和不等式知识解决实际问题，经历由实际问题建立数字模型的过程，体会其基本方法。

【重点难点】重点是会用基本不等式求最值问题；难点是会把实际问题化为数学问题，建立基本不等式的数学模型。

.【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．设a,b 为正数,则ab,222a b +, 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭三者由小到大的顺序是 . 2．已知x,y 是正数(1)如果xy 是定值p ，那么当时，和y x +有最值；(2)如果和y x +是定值s ，那么当时，积xy 有最值 .二、知识建构和应用1．应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解。

其一般步骤如下：（1）设变量，建立目标函数；（2）利用基本不等式，求函数的最值；（3）得出实际问题的解。

2．应用基本不等式解决实际问题时应注意:(1)理解题意,注意变量的范围是否受实际问题的限制.(2)要在定义域范围内,求出函数的最大值或最小值.(3)求函数()0,0a y bx a b x=+＞＞的值域,当使用基本不等式时,若等号条件不成立,应考虑函数的单调性.3.解不等式实际应用问题的思想方法：三、例题例1 长为4a 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？例3.如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A ，它的两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为b 的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？4．解不等式实际应用问题的思想方法实际问题――→建模审题、抽象、转化数学问题――→解题(利用不等式)推理运算数学问题答案――→检验实际问题结论例4. 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？四、巩固练习1．已知直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值为。

苏教版数学高二-必修5导学案基本不等式的应用(2)

3.4.2基本不等式的应用（2）【学习目标】1．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2．进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3．审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．【重点难点】重点是能利用基本不等式求出函数最值，注意基本不等式的运用条件；难点是会根据实际问题，建立适当的数学模型，化实际问题为数学问题。

. 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：1. 下列函数中，最小值为4的有． ①4y x x =+ ②4sin sin y x x =+ (0)x π<<③e 4e x x y -=+ ④3log 4log 3x y x =+2.辨析：已知正数x,y 满足2x+y=1, 求y x 11+的最小值解：请问上述解法是否正确，若错，错在何处。

221221≥≤∴xy xy 即xy y x 2221≥+= 242221211=⋅≥≥+∴xy y x 即的最小值为 y x 11+24二、知识建构和应用1．利用基本不等式求最值要满足条件：一正，二定，三相等，三者缺一不可。

当使用基本不等式时,若等号条件不成立,应考虑用函数的单调性来求解.2．用基本不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用基本不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。

三、例题例1 已知正数a ,b 满足1=+b a .⑴求ab 的取值范围； ⑵求1ab ab +的最小值.例2 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)例3 如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，（1）用x 的代数式来表示ADP ∆的面积？（2）当x 值是多少时，ADP ∆的面积最大？例4 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元，（1）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度x （千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？四、巩固练习1．函数)2,0(sin 9sin ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=πx x x y 的最小值为。

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