7.2.1排列与排列数公式

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7.2.3 排列数公式及组合

解法二：（间接法）
1 用1－6这6个数字可排成五位奇数的个数是A54 A3个 1 1 3 ，其中百位上偶数的奇数有A3 A3 A4 个，故满足题意的 1 1 1 3 五位奇数的个数是A54 A3 − A3 A3 A4 个。
2、有5名男生，4名女生排队。（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）全部排成一排，有多少种排法？（3）排成两排，前排4人，后排5人，有多少种排法？
2 即： 4 A
Cn
?
=
2 C4
●
2 A2
2 C4 =
课本P 提示：课本 184：第三个提示：以：第三个?(提示
补：
特殊元素“ 选做个位数与不选做特殊元素“0”选做个位数与不选做个位数作为分类标准进行分类) 个位数作为分类标准进行分类
2.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成用，，，，，这六个数字可以组成多少个无重复数字的：多少个无重复数字的： (1)六位奇数？六位奇数？六位奇数 (2)个位数字不是的六位数？(提示:可用排除法个位数字不是5的六位数个位数字不是的六位数？提示可用排除法) (3)不大于不大于4310的四位数？的四位数？不大于的四位数 (提示:可以千位上的数字分类提示可以千位上的数字分类)
万位
千位
百位
十位
个位
A
1 3
A
解法一： (直接法) A1种从、选；中）第一步：个位上的数字排列数有 2 （ 2 4
3 3
A
1 2
第二步：万位上的数字排列数有 A1种 5不选，（能） 3
第三步：十位、百位、千位上的排列数有
1 1
A3 3
3

2025高考数学一轮复习-7.2.2-排列数公式【课件】

二、阶乘的概念及性质
知识梳理
1.阶乘的概念
Ann ＝ n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 . Ann 称为n的阶乘，通常用n！表示，
即 Ann ＝n！.
2.阶乘的相关应用
(1)规定：0！＝ 1 .
n！
(2)排列公式的阶乘式：Amn ＝ n－m！ (n≥m).
例 2 解方程：3Ax8＝4Ax9－1.
证明方法一因为 Amn＋1－Anm
＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！＝n－n！m！·n＋n＋1－1 m－1 ＝n－n！m！·n＋m1－m ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1，所以 Amn＋1－Amn ＝mAmn －1.
方法二 Amn＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列数，其中不含元素 a1 的有 Anm个. 含有a1的可这样进行排列：先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个元素排在剩下的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法.
故 Amn＋1＝mAmn －1＋Amn ，
所以 mAmn －1＝Amn＋1－Anm.
反思感悟对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式.
解析对于 A，(n＋1)Amn ＝(n＋1)·n－n！m！＝nn－＋m1！！＝[n＋1n－＋1m！＋1]！＝ Amn＋＋11，正确；对于 B，nnn！－1＝nn－1n－n2n×－…1×3×2×1＝(n－2)！，正确；对于 C，Amm≠nA！mn ，错误；对于 D，n－1 mAmn ＋1＝n－1 m·n－mn！－1！＝n－n！m！＝Amn ，正确.
知识梳理
1.排列数公式一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示，Amn＝_n_(n_－__ 1)(n－2)…(n－m＋1) ，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1.

初中数学排列组合教案设计参考

初中数学排列组合教案设计参考第一章：排列组合基本概念1.1 排列教学目标：让学生理解排列的定义和排列数公式。

培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：排列的定义：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列。

排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受排列的意义。

引导学生通过列举法得出排列数公式。

练习运用排列数公式解决实际问题。

1.2 组合教学目标：让学生理解组合的定义和组合数公式。

培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

教学内容：组合的定义：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。

组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受组合的意义。

引导学生通过列举法得出组合数公式。

练习运用组合数公式解决实际问题。

第二章：排列组合的应用2.1 排列组合的综合应用教学目标：让学生掌握排列组合的综合应用方法。

培养学生运用排列组合知识解决复杂问题的能力。

教学内容：排列组合的综合应用方法：根据问题的实际情况，选择合适的排列组合公式进行计算。

教学活动：练习运用排列组合的综合应用方法解决实际问题。

2.2 排列组合在实际问题中的应用教学目标：让学生学会运用排列组合知识解决实际问题。

培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：实际问题中的排列组合应用：如人员安排、活动组织等。

教学活动：引入实际问题，让学生感受排列组合在实际中的应用。

第三章：排列组合的扩展3.1 多重排列教学目标：让学生理解多重排列的定义和多重排列数公式。

培养学生运用多重排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：多重排列的定义：多重排列是指在排列中允许元素重复的情况。

多重排列数公式：对于k个相同的元素，其排列数为k^m，其中m为元素个数。

教学活动：引入实例，让学生感受多重排列的意义。

引导学生通过列举法得出多重排列数公式。

人教新课标B版高中数学选修2-3第一章计数原理1.2.1排列课件

叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1
2
3
4
23 4 1 3 4
1 24
12 3
3 4 2 4 2 3 3 41 41 3 2 41 4 1 2 2 3 1 3 1 2
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
1、排列：
基本概念
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：
1、元素不能重复。（互异性）
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一
个问题是否是排列问题的关键（。有序性）
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
3. 信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3 面，最多能打出不同的信号有（）
A. 1种 B.3种 C.6种 D.27种
26×25×24×10×9×8＝11232000 11232000+11232000＝22464000
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

行测数量关系的常用公式

行测常用数学公式工作效率＝工作量÷工作时间；工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N 2最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比圈多8人。

3.N 边行每边有a 人，则一共有N(a-1)人。

4.实心长方阵：总人数=M ×N 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N 2N 排N 列外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N 人，A 排在第M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M ）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬（N-1）楼，从第N 层爬到第M 层要爬N M -层。

/间隔+1 环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔；总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。

（5）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2N×M ＋1）段⑴ 路程＝速度×时间；平均速度＝总路程÷总时间平均速度型：平均速度＝21212v v v v +（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间（3）流水行船型：顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速。

排列组合问题(教案

排列组合问题(教案)第一章：排列与组合的基本概念1.1 排列的概念：排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。

1.2 组合的概念：组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

1.3 排列数与组合数的表示：排列数用符号A(n,m)表示，组合数用符号C(n,m)表示。

第二章：排列数的计算方法2.1 排列数的直接计算方法：A(n,m) = n ×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)，当n≥m时成立。

2.2 排列数的递推计算方法：A(n,m) = A(n-1,m-1) ×(n-m+1)，当n≥m时成立。

2.3 排列数的周期性：对于任意的正整数n和m，A(n,m)与A(n,n-m)相等。

第三章：组合数的计算方法3.1 组合数的直接计算方法：C(n,m) = A(n,m) / m!，当n≥m时成立。

3.2 组合数的递推计算方法：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，当n≥m时成立。

3.3 组合数的性质：C(n,m) = C(n,n-m)，且C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)。

第四章：排列组合的应用实例4.1 人员选拔问题：从n个人中选拔m个人，有多少种不同的选拔方式？4.2 活动安排问题：有n个活动，每个活动可以独立进行或进行，有多少种不同的安排方式？4.3 物品分配问题：有n个相同的物品，需要分成m组，每组至少有一个物品，有多少种不同的分配方式？第五章：排列组合问题拓展5.1 错位排列问题：将一个长度为n的序列中的每个元素错位排列，求错位排列的总数。

5.2 循环排列问题：将一个长度为n的序列进行循环排列，求循环排列的总数。

5.3 限制条件的排列组合问题：在排列组合问题中，添加一些限制条件，如元素不可重复使用等，求解符合条件的排列组合总数。

第7章组合概率方法资料

第七章组合概率方法在社会、生产、科研和生活实践中，我们需要研究的许多问题的不确定现象都是有随机因素的影响所造成的，即这现象可以视为一些随机事件，而随机事件一般是按照一定的概率出现的．与此有关的随机因素的变化往往都会服从于一定的概率分布．在实际中，就是利用这些分布规律对问题进行研究，从而可以对所研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策．因此，组合概率方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用．7.1 排列与组合7.1.1 排列选排列：从n 个不同的元素中，每次任取k 个)(n k ≤不同元素按次序排成一列，称为选排列，其排列种数记为kn P ，即)!(!)1()2)(1(k n n k n n n n P k n -=+---=全排列：从n 个不同的元素中，每次取n 个不同元素按次序排成一列，称为全排列，其排列种数记为nn P ，即!12)2)(1(n n n n P n n =⋅--=有重复的排列：从n 个不同的元素中，每次取k 个)(n k ≤元素，可以重复，按次序排成一列，这种排列称为有重复的排列，其排列种数为)(~n k n Pk k n≤=．不尽相异元素的全排列：如果在n 个元素中，分别有m n n n ,,,21 个元素相同，且n n n n m =+++ 21，则这n 个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列，其排列种数为!!!!21m n nn n n n P ~ =7.1.2 组合无重复组合：从n 个不同的元素中，每次任取k 个)(n k ≤不同元素，不考虑其次序组合成一组，称为组合，其组合数记为kn C ，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ，即)(!!)!(!n k k P k k n n C k n k n≤=-=并且规定10=n C ．多组组合：把n 个不同的元素分成m 组)(n m ≤，第i 组中有),,2,1(m i n i =个不同元素，且n n n n m =+++ 21，这样的组合数为!!!!21,,,21m n n n nn n n n Cm = 有重复的组合：从n 个不同的元素中，每次取出k 个)(n k ≤元素，可以重复，不考虑次序组合成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合数为)(1~n k C C kk n k n≤=-+7.1.3 常用的组合公式（1）k n k n k n k n kn C kn n C k n k C n k C k n C 111111111-+++---=-+=++==；（2）∑=---+=+=ki ik in k nk n k n C CC C11；（3）kn n k n C C -=；（4）∑=-+=ki ik n i m knm C C C0；（5）nni i nC 2=∑=；（6）102-==∑n ni i n n C i ；（7）0)1(01=-∑=+ni ini C i ；（8）()22)!()!2(n n C ni i n=∑=．7.2 事件与概率7.2.1 随机试验与事件实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学试验统称为试验．如果试验可以在相同条件下重复进行多次，而且每次的试验结果是事前不可预知的，但可以知道所有可能出现的结果．则称它为一个随机试验，简称为试验．将随机试验的结果称为随机事件，简称为事件．在每次试验中必然要发生的事件称为必然事件，记为Ω，而在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为φ．如果),,2,1(,,n i A B A i =都为事件，则事件有下列关系：（1）包含事件：如果B A ⊂，则称事件A 包含于事件B ，即它表示事件A 发生必导致事件B 发生．（2）相等事件：B A =当且仅当B A ⊂，且A B ⊂．（3）和事件：事件B A （或B A +），表示事件A 与事件B 至少有一个发生．一般的，事件n ni i A A A A 121==表示事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生．（4）差事件：事件B A -表示事件A 发生，而事件B 不发生．（5）积事件：事件B A （或AB ），表示事件A 与B 同时发生．一般的，事件n ni iA A A A211==，表示事件n A A A ,,,21 同时发生．（6）互不相容事件：事件φ=B A 表示在一次试验中事件A 与B 不可能同时发生．（7）对立事件：事件φ=B A ，且Ω=B A ，表示事件A 与B 不可能同时发生，但又必然有其中之一发生，记为A B =或B A =．7.2.2 概率与条件概率1. 概率实际中，我们在观察一个随机试验的各种事件时，一般说来，总会发现有些事件出现的可能大，有些事件出现的可能性小，而有些事件出现的可能性彼此大致相同．我们把刻画事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率．事件A 的概率记为)(A P ，并概率具有下列性质：（1）对任一个事件A 都有1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）0)(=φP ；（4）)(1)(A P A P -=；（5）若事件n A A A ,,,21 互不相容，则 n i ni i i A P A P 11)()(==∑=．2. 条件概率在某些实际问题中，除了需要知道事件A 的概率外，往往还需要知道在“事件B 发生”条件下事件A 发生的概率，称之为条件概率，记为)(B A P ．若0)(>B P ，则有)()()(B P AB P B A P =由此，可以得到下面的结论：(1) 若事件n A A A ,,,21 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>，则对任一事件ni i A B 1=⊂有∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(这就是所谓的全概率公式．（2）若事件n A A A ,,,21 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>，则对任意事件ni i A B 1=⊂有逆概率公式：),,2,1()()()()()(1n i A B P A P A B P A P B A P ni iii i i ==∑=7.2.3 统计概率与几何概率统计概率：假设在同一条件下进行n 次试验，事件A 发生了m ，则事件A 发生的概率定义为nm A A P 试验的总次数出现的次数=)( 我们称这个概率为统计概率．几何概率：假设区域S 以及其中任一个可能出现的子区域)(S A ⊂都是可以度量的，其大小分别为)(S μ和)(A μ，则事件A 发生的概率为)()()(S A A P μμ=这样计算的概率称为几何概率．事实上，统计概率与几何概率都满足通常概率的公理和性质．7.3 随机变量与分布函数7.3.1 一维随机变量与分布函数用数值表示的随机事件的函数称为随机变量．实际中任何用数值表示的随机事件都是随机变量，随机变量的函数也是随机变量．设ξ为一随机变量，对任意的实数x 有函数)()()(x P x P x F ≤=≤<-∞=ξξ称为随机变量ξ的分布函数．且对任意两个实数)(,2121x x x x <，则有)()()(1221x F x F x x P -=≤<ξ分布函数)(x F 具有下列性质：（1）)(x F 是不减函数；（2）1)(0≤≤x F ；（3）)(x F 是右连续函数，即)()(lim a F x F ax =+→．如果随机变量ξ所有取值为有限个或可列无穷个数值，则这种随机变量为离散型随机变量．非离散型的随机变量，则称为连续型的随机变量．如果ξ为离散型随机变量，所有的取值为 ,2,1,=k x k ，则称,2,1,)(===k p x P k k ξ为随机变量ξ的分布列，其相应的分布函数为∑≤=xx kk px F )(．如果ξ为连续型随机变量，则分布函数定义为⎰∞-=xdx x f x F )()(其中)(x f 为一个非负可积函数，称之为随机变量ξ的分布密度，或密度函数．并满足下列性质：（1）0)(≥x f ；（2）1)(=⎰+∞∞-dx x f ；（3）dx x f a F b F b a P ba⎰=-=≤<)()()()(ξ；（4）当)(x f 为连续函数时有)()(x f x F ='．7.3.2 多维随机变量与分布函数如果n ξξξ,,,21 为n 个一维随机变量，则称),,,(21n ξξξ 为n 维随机变量（或n 随机向量）．同样的可以分为离散型和连续型，相应的也可以定义分布函数．如果),,,(21n ξξξ 为连续型的n 维随机变量，则),,,(21n ξξξ 分布函数定义为n x n x x n dx dx dx x x x f x x x F n212121),,,(),,,(12⎰⎰⎰∞-∞-∞-=其中n 元函数),,,(21n x x x f 为非负可积函数，称为),,,(21n ξξξ 的分布密度，或n ξξξ,,,21 的联合分布密度．n 个随机变量n ξξξ,,,21 为相互独立的充要条件是相应的联合分布函数可以表示为)()()(),,,(221121n n n x F x F x F x x x F =特别地，对于常用的二维随机变量),(ηξ，其分布密度函数表示为),(y x f ，分布函数为⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(,),(二随机变量ηξ,相互独立的充要条件是相应的联合分布函数可以表示为)()(),(21y F x F y x F =7.3.3 随机变量的数学期望与方差对于实际中的许多问题，要具体求出分布函数往往是比较困难的，然而，很多时候并不必须要求出分布函数，只需对与随机变量有关的一些数字特征进行研究．这些数字特征虽然不能完全刻画随机变量，但在一定程度上能够反映出随机变量的一些重要特征．最常用的数字特征是数学期望和方差,其数学期望表示随机变量的所有取值的平均值，而方差表示随机变量偏离平均值的程度，它们是随机变量的两个重要的数字特征．1. 数学期望设ξ为离散型随机变量，其分布列为 ,2,1,)(===k p x P k k ξ，如果级数∑∞=1k k k p x 收敛，则称∑∞=1k k k p x 为随机变量ξ的数学期望，记为ξE ，即∑∞==1k k k p x E ξ．设ξ为连续型随机变量，其分布密度函数为)(x f ，如果积分dx x f x ⎰+∞∞-)(收敛，则称dx x xf ⎰+∞∞-)(为随机变量ξ的数学期望，记为ξE ，即dx x xf E ⎰+∞∞-=)(ξ．类似地，设ξ为一个随机变量，函数)(ξg 也是一个随机变量，则有：（1）若ξ为离散型随机变量，且 ,2,1,)(===k p x P k k ξ，如果级数∑∞=1)(k k kp xg 收敛，则)(ξg 的数学期望为∑∞==1)()(k k k p x g Eg ξ（2）若ξ为连续型随机变量，如果积分dx x f x g ⎰+∞∞-)()(收敛，则)(ξg 的数学期望为dx x f x g Eg ⎰+∞∞-=)()()(ξ．对于二维的情况有类似的结果：如果二维随机变量),(ηξ分布列为),2,1,(),( ====j i p y x P ij j i ηξ，且级数∑∑∞=∞=11),(i ij j jip yx g 收敛，则∑∑∞=∞==11),(),(i j ij j i p y x g Eg ηξ．若二维随机变量),(ηξ的分布密度为),(y x f ，且积分⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f y x g ),(),(收敛，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Eg ),(),(),(ηξ．2. 方差设ξ为一个随机变量，如果2)(ξξE E -存在，则称其值为随机变量ξ 的方差，记为ξD ．显然有222)()(ξξξξξE E E E D -=-=若ξ为一个离散型随机变量，且分布列为 ,2,1,)(===k p x P k k ξ，则有∑∞=-=12)(k k i p E x D ξξ若ξ为一个连续型随机变量，且分布密度为)(x f ，则有⎰+∞∞--=dx x f E x D )()(2ξξ7.4 常用的概率分布及数字特征（1）两点分布：设随机变量ξ只取0或1两个值，它的分布列为1,0,)1()(1=-==-k p p k P k k ξ则称ξ服从于两点分布，且)1(,p p D p E -==ξξ．（2）二项分布：设随机变量ξ可能的取值为n ,,2,1,0 ，且分布列为n k p p C k P k k kn ,,2,1,0,)1()(1 =-==-ξ则称ξ服从于二项分布，且)1(,p np D np E -==ξξ．（3）泊松（Poisson ）分布：设随机变量ξ可取所有非负整数值，且分布列为,2,1,0,!)(===-k e k k P kλλξ其中0>λ为常数，则称ξ服从于泊松分布，且λξλξ==D E ,．（4）均匀分布：设ξ为连续随机变量，其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=],[,0],[,1)(b a x b a x ab x f 则称ξ服从区间],[b a 上的均匀分布，且2)(121,2a b D b a E -=+=ξξ．（5）正态分布：若随机变量ξ分布密度函数为222)(,21)(σμσμσπ--=x ex f则称ξ服从于正态分布),(2σμN ，记为),(~2σμξN ，且分布函数为dy ex F xy ⎰∞---=222)(,21)(σμσμσπ其中2)(,)(σξμξ==D E ．特别地，当1,0==σμ时，称其为标准的正态分布，记为ξ)1,0(~N ．（6）2χ-分布)(2n χ：若n 个相互独立的随机变量n ξξξ,,,21⋅⋅⋅都服从于)1,0(N ，则称∑==nk k 12ξξ服从于自由度为n 的2χ-分布，记为)(~2n χξ,其分布密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-0,00,221)(222x x e x n x f xn n ξ,且n D n E 2)(,)(==ξξ．（7）t -分布)(n t ：设随机变量ξ)1,0(~N ，η)(~2n χ，则称nT ηξ=服从于自由度为n 的t -分布，记为)(~n t T ,其分布密度函数为2121221)(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=n T n x n n n x f π 且2)(,0)(-==n nT D T E ．（8）F -分布：设随机变量)(~2m χξ，)(~2n χη，且相互独立，则nm F ηξ=服从于自由度为m 及n 的F -分布，记为),(~n m F F ，其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+⎪⎭⎫⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=+-0,00,)(222)(21222x x n mx x n m n m n m x f n m mn m F 且)4()4()2()2(2)(),2(2)(22>---+=>-=n n n m m n n F D n n n F E ．（9）二维正态分布：设二维随机变量),(ηξ的联合分布密度函数为 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=2222212121212222)())((2)()1(21ex p 121),(σμσσμμσμσπσx x x r x r r y x f其中2121,,0,μμσσ>均为常数，1<r ，则称二维随面变量),(ηξ服从于二维正态分布);,;,(2211r N σμσμ，且211)(,)(σξμξ==D E ，222)(,)(σημη==D E ．7.5 足球门的危险区域问题7.5.1 问题的提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的．在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射．已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米．实际中，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可认为这种差别不大．另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右．请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究．7.5.2 问题的分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域．球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域．影响球员射门命中率的因素有很多，其中最重要的两点是球员基本素质（技术水平）和射门时的位置．对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究．也就是说，我们主要是针对同质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度．某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率．事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布．稍作分析容易断定，该分布应当是二维的正态分布，这是我们解决问题的关键所在．球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面．将球门视为所平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可以得到这次射门命中球门的概率．然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点选择有很强的依赖性．这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域．7.5.3 模型假设与符号说明1. 模型假设● 在理想状态下，认为球员是同质的，即基本素质相同，或差别不大； ● 不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，此设球速为10米/秒； ● 球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域； ● 只考虑标准的球场：)(69104m ⨯和球门：)(44.232.7m ⨯． 2. 符号说明Ω表示半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面；0D 表示球门内有点在平面π上所表示的区域，即Ω⊂0D ；),(y x A 表示球场上的点，),(y x 为其坐标；),(z x B 表示球门内的点，),(z x 为其坐标；),(z x p 表示从球场上A 点对准球门内B 点射门时，命中球门的概率；),(y x D 表示球场上),(y x 点对球门的威胁度；k 表示球员的基本素质，是一个相对指标；d 表示球场上A 点到球门内B 点的直线距离；θ表示直线AB 在地面上的投影线与球门平面π的夹角（锐角）．zx图7-1:球门示意图7.5.4 模型的建与求解首先建立如图7-1所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点位置为原点O ，地面为xoy 面，球门所在的平面π为xoz 面．问题（1）：根据前面对问题的分析，在此假设基本素质为k 的球员从),(00y x A 点向距离为d 的球门内目标点B()11,z x 射门时，球在目标平面π上的落点呈现二维正态分布，且随机变量z x ,是相互独立的．其密度函数为：()()()Ω∈=-+--),(,21,2212122z x ez x f z z x x σπσ（7.1）其中方差σ与球员素质k 成反比，与射门点),(y x A 和目标点B ()11,z x 之间的距离d 成正比，且偏角θ越大方差σ越小．当偏角2πθ=时（即正对球门中心），方差仅与k 、d 有关．由此，我们可以确定σ的表达为()1+=θσctg kd其中01y x x ctg -=θ , 2120201)(z y x x d ++-=,k 为球员的素质指标．注意到，在（7.1）式的密度函数中，关于变量z x ,是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有0≥z ．为了平衡这个密度函数，我们令()()()⎰⎰⎰⎰-+--==Dz z x x DD dxdz edxdz z x f z x y x p 2212122110021),(,;,σπσ()()()⎰⎰⎰⎰Ω-+--ΩΩ==dxdz edxdz z x f z x y x p z z x x 2212122110021),(,;,σπσ则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率：()()()110011001100,;,,;,,;,z x y x p z x y x p z x y x p D Ω=(7.2)对命中球门的概率(7.2)在球门区域D 内做积分，定义为球场上某点),(00y x A 对球门的威胁度，即()()⎰⎰=Ddz dx z x y x p y x D 11110000,;,,综合以上分析,对球场上任意一点A()y x ,对球门的威胁度为()()⎰⎰=Ddz dx z x y x p y x D 1111,;,,其中()()()111111,;,,;,,;,z x y x p z x y x p z x y x p D π=，()1+=θσctg kd，()21221z y x x d ++-=，yx x ctg -=1θ．要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解．首先确定反应球员基本素质的参数k ，具体的方法如下：根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（0=θ）距离球门10米处（d ＝10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取1=σ，由()1+=θσctg kd可以得到10=k ．于是，当球员的基本素质10=k 时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果见附表．根据各点的威胁度的值可以做出球场上等威胁度的曲线，如图7-2所示．图7-2：问题（1）的等威胁度曲线图由图7-2也明显地给出了球门的危险区域．问题（2）：假设守门员站在射门点与两球柱所夹角的角一平分线上，即守门员站在球门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置．球员在球场上某点对球门内任意一点()D z x ∈,起脚射门，经过时间t 到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获概率()z x t p ,,0 ，下面先分析一下这个函数()z x t p ,,0的形式．图7-3（a ）图7-3（b ）首先注意到，当t 一定时，()z x t p ,,0应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，如图7-3（a ）所示．图7-3（b ）给出的是相应的等值线图．当t 变小时，曲面的峰度应增高，而面积减小，如图7-4（a ）和图7-4（b ）所示．图7-4（a ）图7-4（b ）由图可以看出该曲面形式与二维正态密度函数很相似，因此我们采用该函数形式描述这种变化趋势．参数t 表示从起脚射出到球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到：()()tc z a x ez x t p 2225.1)(0,,-+--=其中c 为守门员的反应系数，据专家预测一般正常人的反应速度约为0.12～0.15秒之间．根据著名的“纸条实验”可得到一般人反应时间约为102（即设想将一长纸条放在人的二手指之间，当纸条在重力的作用下自由下落时，由221gt s =，可以计算出人的反应时间）．因此，我们在此不妨取71=c （实验值）．于是可得守门员防守时偏离球门中心的距离为66.3)66.3()66.3()66.3(32.720202020220-+-+++++=yx y x y x a在问题（1）的基础上，对球员在球场上一点A()00,y x 射入球门的概率应修正如下：()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-+--Dz z x x DD dxdzz x t p edxdzz x t p z x f z x y x p )],,(1[21)],,(1)[,(,;,0220110022121σπσ即()z x t p ,,0表示守门员捕获球的概率，1-()z x t p ,,0就表示捕不住球的概率．于是类似地得到球场上任意一点A()y x ,对球门的威胁度为()()⎰⎰=Ddz dx z x y x p y x D 1111,;,,其中()()()111111,;,,;,,;,z x y x p z x y x p z x y x p D Ω=，()11,;,z x y x p Ω同问题（1），且()1+=θσctg kd，yx x ctg -=1θ，()21221z y x x d ++-=，0v dt =，0v 为常数．这里同样取进攻球员基本素质10=k ，守门员的反应系数71=c ，球速0v ＝10米/秒，类似于问题（1）的求解可以得球场上任意点对球门的威胁度，这里给出了一些特殊点的值，见表7-5．根据各点的威胁度的值也可以做出球场上等威胁度的曲线，如图7-5所示．图7-5：问题（2）的威胁度等值线7.5.5 结果的分析与说明比较两个问题的结果可以看出，问题（2）有防守的情况比问题（1）无防守的情况有很大的差别，问题（2）主要是守门员的作用，使得危险区明显的缩小．威胁度最大的区域还是在球门的附近，特别是正前方．由此也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性．本模型采用的k值是估算出来的，严格讲，应该通过大量的实验按统计规律确定可能更好．我们通过计算证明了，当k增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁明显增加，危险区域变大．相反的，当k减小时，对球门的威胁也减小，即危险区域变小．关于防守员素质，在模型中没有考虑，是为了问题的简化．关于有多名队员的进攻和防守的情况和派兵布阵的相关问题，就更复杂了说明：这还是一个简化了的方法，实际中，从不同角度的位置射门，所看到的球门区域（即在垂直射门线的平面上的投影区域）D可能不是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，它的形状随着射门点的变化而变化，为了简化计算还是在矩形区域D上做积分，这样与实际可能有些偏差．另外该问题还以有多种不同解法，比如可以借助于初等几何和代数的方法，在不同的射门点进行随机模拟，通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数，也能给出相应的结果．表7-5：球场上离散点的威胁度情况7.6 参考案例与参考文献1. 参考案例(1) 彩票方案的中奖率问题---文献[1] :133-140(2) 机票预售问题---文献[2] :144-148(3) 锁具的互开问题---文献[3] :58-65(4) 蠓的分类问题---文献[4]:37-40(5) 截断切割中的最优排列问题---文献[5]:120-1212. 参考文献[1] 韩中庚．“彩票中的数学”问题的优化模型与评述[J]．工程数学学报,2003, 20(5):107-116[2] 袁震东．数学建模方法[M]．上海：华东师范大学出版社，2003[3] 全国组委会．全国大学生数学建模竞赛优秀论文集[M]．北京：中国物价出版社，2002[4] 刘承平.数学建模方法[M].北京：高等教育出版社，2002[5] 赵静，但琦等．数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2000[6] 中山大学．概率论及数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1984[7] 陈魁．应用概率统计[M]．北京：清华大学出版社，2000。

初中数学排列组合习题课教案指导

初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。

通过举例让学生区分排列和组合的概念。

1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。

第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。

2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。

通过举例让学生理解组合数的性质。

第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。

引导学生运用排列组合知识解决实际问题。

3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。

通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。

4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。

排列组合20种解题策略

是：
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其余的三个位置
甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法．思考：可以先让甲乙丙就坐吗？
(插入法)先排甲乙丙三个人，共有
1
种排法，再把其余
4
四人依次插入共有
A
4 7
种方法
【跟踪训练 8.1】10 人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
【解析】 C150 ．
9．平均分组问题倍缩策略
平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以
A
n n
(
n
为均分的
组数)避免重复计数．
【例 9】6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？
【解析】分三步取书得 C62C42C22 种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为
【答案】63 【解析】因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况．【跟踪训练 5.2】要从 12 人中选 5 人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人只有一人入选； (2)甲、乙、丙三人至少一人入选； (3)甲、乙、丙三人至多二人入选．
【解析】完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法．把第二名实习
生分配到车间也有 7 种分依此类推，由分步计数原理共有 76 种不同的排法．
【跟踪训练 1.2】教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )

数字的排列组合

数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。

在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。

通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。

一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。

在排列中，元素之间的顺序是重要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。

排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

而k!表示k的阶乘。

二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。

在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。

组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。

那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。

根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。

2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。

例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。

这个例子中，我们考虑的是排列问题。

3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。

假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。

这个例子中，我们考虑的是组合问题。

根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。

总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。

markdown 排列组合数学公式语法

排列组合数学公式1. 介绍1.1 排列组合数学公式在数学中扮演了重要的角色，它们被广泛应用于概率论、组合数学、统计学等领域。

排列组合数学公式用于计算一系列对象的排列和组合方式，它们可以帮助我们解决许多实际问题，如随机事件的概率计算、组合物品的排列方式等。

1.2 本文旨在介绍排列组合数学公式的基本概念和常见公式，帮助读者更深入地理解和运用排列组合数学公式。

2. 排列的定义和公式2.1 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列的方式。

排列的总数可以用公式表示为：A(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×…×2×1。

3. 组合的定义和公式3.1 组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序。

组合的总数可以用公式表示为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)4. 递推公式4.1 排列和组合数学公式还可以通过递推公式来表示。

排列的递推公式为：A(n,m) = A(n-1,m) + A(n-1,m-1)组合的递推公式为：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)5. 应用举例5.1 掷色子问题假设有一枚六面色子，请计算三次投掷后出现不同点数的排列组合方式。

解：共有6^3=216种不同的排列方式。

5.2 田径比赛男子田径比赛有8名选手参加，奖牌分别颁发给前三名，计算获得奖牌的组合方式。

解：共有C(8,3)=56种不同的组合方式。

6. 总结6.1 排列组合数学公式是数学中重要的基础知识之一，它们在各个领域都有广泛的应用。

掌握排列组合数学公式不仅有助于解决实际问题，还能够培养逻辑思维能力和数学推理能力。

希望本文介绍的排列组合数学公式能够帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

7. 进阶应用7.1 组合优化问题在实际生活中，组合数学的知识经常被用于解决优化问题。

在货物配送中，如何选择最佳的路线以最小化送货成本是一个典型的组合优化问题。

数学(选修2-3)课件7.2.17.2.2第1课时排列

【点评】在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照 “树形图”写出所有排列．
2．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．
2．关于排列数的两个公式 (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用于 m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋，m≤n” 的运用．
解：(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．北京广州南京天津广州南京天津北京南京天津北京广州天津北京广州南京故符合题意的机票种类是北京—广州，北京—南京，北京—天津，广州—南京，广州—天津，广州—北京，南京—天津，南京—北京，南京—广州，天津—北京，天津—广州，天津—南京，共12种．
元素相同的两个排列是否相同？两个排列相同的Fra bibliotek要条件是什么？
提示：元素相同的两个排列不一定相同．两个排列相同的充要条件是元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
二、阅读教材：P11～P17的有关内容，完成下列问题．
2．排列数
排列数定
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__排__列__的__个__数________，叫作从 n
【点评】判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：第一，取出的元素无重复性；第二，选出的元素必须与顺序有关．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．

7.2.1排列与排列数公式1

A
m n1
＝右式
∴等式成立.
随堂练习
5 A8 A84 11 n 2n x x 2 （）计算 1 的值； (2) 计算 A A 的值； (3) 解不等式： A 6 A 2n n4 9 6 6 5 A9 A9
（1）
（3）
例4、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗扦上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
是
(2)从5名同学中任取两名干某项工作可得到多少中不同的取法?
不是
(3)平面内有10个点,无任何三点共线,由这些点可连射线多少条?
是
（4）某班有50个人，同学之间亮亮彼此给对方写了一封信，那么全班共写了多少封信？是
排列的定义:一般地说,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。用符号 Am 表示排列的个数
9 9 8 648
A9
或
1
A9
1 9
1
A
9
1 8
0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。
A A
2
9 9 8 648
解法二:对排列方法分类思考.符合条件的三位数可分为三类:
1类:0在个位 0
2 9
百位十位个位
2类:0在十位
百位十位个位
3类:0不在个,十位
解：分为三类： 1 第一类挂一面旗：有 A3 种信号，
2 第二类挂二面旗：有 A3 种信号 3 第三类挂三面旗：有 A3 种信号 1 2 3 由分类计算原理： + A3 + A3 =3+3×2+3×2×1 =15 A3

7.2.3排列数公式及组合

例3.用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？从元素出发分析解法二：对排列方法分类思考。
符合条件的三位数可分为两类：不含0与含0
百位十位个位
百位十位个位
不含0：
A3 9
含0：
0
A2 9
百位十位个位
0根据加法原理来自A2 9A 2A 3 2 648
9
9
例3.用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复
补：
2.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？(提示:可用排除法) (3)不大于4310的四位数？
(提示:可以千位上的数字分类)
练习：
1、从1到6这6个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位和百位必须是奇数，这样的五位数共有多少个？
解法三：间接法从总数中去掉不合条件的.
例3.用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复
数字的三位数？
从位置出发
分三步：分二步：
解法一：对排列方法分步思考。
百位十位个位
A1 9
A1 9
A1 8
A A A 1 9
1
9
1 8
998 648
百位十位个位
A1 9
A2 9
A A 1 2 998 648 99
数字的三位数？
百位十位个位
解法三：间接法.
A3
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 10 ，
A2
其中以0为排头的排列数为 9
百位十位个位
0
∴ 所求的三位数的个数是
A2 9
A A 3

计数排列组合教案

计数排列组合教案第一章：排列组合基础1.1 排列组合概念介绍排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式的集合。

组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑取出元素的顺序的所有可能的组合方式的集合。

1.2 排列数与组合数的计算公式排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$组合数公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$第二章：排列组合的应用2.1 排列组合在日常生活中的应用例子：party邀请，座位安排，比赛分组等。

2.2 排列组合在数学问题中的应用例子：排列组合问题，图论问题，计数问题等。

第三章：排列组合的扩展3.1 错排问题定义：将n个不同元素排列成一个序列，使得没有任何一个元素出现在它的原始位置上。

错排公式：$D_n = (n-1) \times (D_{n-1} + D_{n-2})$3.2 圆排列问题定义：n个不同元素围成一个圆进行排列。

圆排列公式：$C_n^k = \frac{1}{k} \times C_{n-1}^{k-1}$第四章：排列组合与其他数学领域的联系4.1 排列组合与图论介绍图论中与排列组合相关的问题，如哈密顿路径问题，欧拉路径问题等。

4.2 排列组合与概率论介绍排列组合在概率论中的应用，如古典概型，条件概率等。

第五章：排列组合的练习题及解答5.1 排列组合基础练习题涉及排列组合的计算，如计算排列数，组合数等。

5.2 排列组合应用练习题涉及排列组合在日常生活和数学问题中的应用。

5.3 排列组合扩展练习题涉及错排问题，圆排列问题等。

5.4 排列组合练习题解答提供练习题的详细解答，帮助学生巩固知识点。

第六章：排列组合的综合应用题6.1 排列组合在日常生活中的综合应用例子：活动策划，比赛安排，密码组合等。

6.2 排列组合在数学问题中的综合应用例子：图论问题，计数问题，代数问题等。

第七章：排列组合与数论7.1 排列组合与同余介绍排列组合在同余理论中的应用，如费马小定理等。

2025高考数学一轮复习-7.2.3-排列的应用【课件】

例1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
解从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列. 因此不同的安排方法有 A35＝5×4×3＝60(种).
求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，
则共有________种不同的排法.
√A.480
C.384
B.240 D.1 440
解析当圆形排在第一个，因为方形、五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有 A55A22＝ 240(种)不同的排法，同理当圆形排在最后一个时，有 A55A22＝240(种)不同的排法. 综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480 种不同的排法.
第7章 7.2 排列
第3课时排列的应用
学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实
际问题.
内容索引
一、无限制条件的排列问题二、 “相邻”与“不相邻”问题三、元素“在”与“不在”问题四、定序问题
随堂练习
对点练习
一、无限制条件的排列问题
所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A25A24＝240(种). 方法三 (间接法)不考虑对甲的约束，6 个人占 4 个位置，有 A46种安排方法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有 2A35种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A46－2A35＝240(种).
(2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
解先排男生有 A33种排法.让女生插空，有 A33A44＝144(种)不同的排法.

《7.2.1 排列与排列数公式》教案

《7.2.1 排列与排列数公式》教案【教学目标】①了解排列和排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题；②培养归纳概括能力；③从中体会“化归”的数学思想【教学重点】排列、排列数的概念【教学难点】排列数公式的推导一、课前预习1.我们把被取得对象叫做_________.2.从n 个______的元素中______________个元素，按照____________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 两个排列相同的含义为：________________________________.3.从n 个______的元素中______________个元素的所有排列的_______，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号______表示.且排列数公式为)*,,.(___________n m N m n A m n ≤∈=特殊的，n 个______的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，此时m=n ，则___________==n nA . 规定 0！=_________. 排列数公式的阶乘表示式为.________=m nA 4.[思考] 排列与排列数的区别：二、课上学习例1、（1）写出从甲、乙、丙三个元素种任取两个元素的所有排列：（2）写出由1，2，3这三个数字组成的没有重复数字的所有三位数.例2、（1）计算：5988584824A A A A -+ （2）解方程：3412140x x A A =+ （3）解不等式：2996->x x A A例3、用0，1，2，3，4，5六个数字.能组成多少个无重复数字的四位偶数？其中小于4000的有多少个？能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？例4、有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？（4）若四名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（5）若男生甲必须站在女生乙的右边（甲、乙可以不相邻），有多少种不同的站法？（6）男生和女生间隔排列的方法有多少种？例5、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，共有多少种安排方法？三、课后练习1.有小麦、大麦品种各一种，在5块不同土质的试验田里引种试验，要求小麦品种有3块试验田，大麦品种有2块试验田，问有多少种不同的试验方法？2.5名同学站成一排，（1）甲、乙两名同学不能站在一起的不同排法总数有多少种？（2）甲不能站在两端，乙不能站在中间的不同排法有多少种？（3）甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列种数有多少种？（4）甲、乙、丙3人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，有多少种不同的排法？3.4棵柳树和4棵杨树，栽成一行，且杨树和柳树逐一相间的栽法共有多少种？4.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，不同的成列方式有多少种？5.（1）8名学生站成两排，前排4人，后排4人，有多少种不同的站法？（2）8人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？6.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法种数是（）.A 18种 .B 24种 .C 36种 .D 48种7.一环形花坛分成A,B,C,D 四块.现有四种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（） .A 96 .B 84 .C 60.D 488.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事翻译工作，则选派方案有多少种？9.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法种数为（）44.A A 36.A B 46.A C 33.A D10.（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能情况？。

二年级排列组合教案

二年级排列组合教案第一章：排列组合的基本概念1.1 排列的概念：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。

1.2 组合的概念：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

第二章：排列的计算方法2.1 排列数的计算公式：排列数A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。

2.2 举例说明排列数的计算方法：例如，计算A(5,3)的值，先计算5的阶乘，再计算5-3的阶乘，用5的阶乘除以(5-3)的阶乘得到A(5,3)的值。

第三章：组合的计算方法3.1 组合数的计算公式：组合数C(n,m) = A(n,m) / m!，其中A(n,m)表示从n 个元素中取出m个元素的排列数，m!表示m的阶乘。

3.2 举例说明组合数的计算方法：例如，计算C(5,3)的值，先计算A(5,3)的值，再计算3的阶乘，用A(5,3)的值除以3的阶乘得到C(5,3)的值。

第四章：排列组合的应用实例4.1 题目：有红、蓝、绿3种颜色的珠子，每种颜色有3个，从中取出2个珠子，求取出的珠子颜色不同的排列数。

4.2 解题过程：计算总的排列数A(9,2)，即9个珠子中取出2个的排列数；计算颜色相同的排列数，即两个红色珠子、两个蓝色珠子、两个绿色珠子的排列数；用总的排列数减去颜色相同的排列数得到颜色不同的排列数。

4.3 答案：颜色不同的排列数为288种。

第五章：总结与拓展5.1 总结：本章学习了排列组合的基本概念、计算方法及其应用实例。

5.2 拓展：鼓励学生思考排列组合在实际生活中的应用，如彩票中奖号码的组合、水果店摆放水果的排列等。

第六章：组合的应用实例6.1 题目：一个篮子里有5个苹果，3个香蕉，2个橘子，从中选出2个水果，求选出的水果不同的组合数。

6.2 解题过程：计算总的组合数C(10,2)，即从10个水果中选出2个的组合数；计算选出两个苹果、两个香蕉、两个橘子的组合数；用总的组合数减去选出两个相同水果的组合数得到选出不同水果的组合数。