三重积分的柱面坐标计算法_陈传峰
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系求三重积分公式
柱面坐标系求三重积分公式在数学和物理学中，三重积分是一种用于计算立体空间内某个数量的数学方法。
在柱面坐标系中求三重积分是一种常见且有效的方法，它可以帮助我们解决与立体空间相关的问题。
在本文中，我们将探讨柱面坐标系下如何计算三重积分，并推导出相应的公式。
首先，我们回顾一下柱面坐标系的定义。
在柱面坐标系中，一个点的位置由三个坐标确定：径向距离r、极角$\\theta$以及高度z。
与直角坐标系不同，柱面坐标系提供了一种更方便描述圆柱面内点的方式。
要计算柱面坐标系下的三重积分，我们需要了解如何表示微元体积和如何变换积分元素。
微元体积在柱面坐标系下的表示可以通过微元体积元素dV来描述。
在柱面坐标系中，微元体积dV可以表示为：$dV = r dz dr d\\theta$。
这个表示方式是基于极坐标系的性质推导出来的，通过将微小的径向、高度和角度方向上的长度相乘得到微元体积。
接下来，我们来推导柱面坐标系下的三重积分公式。
假设我们要计算函数$f(r, \\theta, z)$在柱面坐标系下的三重积分，积分区域为D。
那么，三重积分的表达式可以写成：$$\\iiint\\limits_D f(r, \\theta, z) dV = \\int\\limits_{\\alpha}^{\\beta}\\int\\limits_{h_1(r, \\theta)}^{h_2(r, \\theta)} \\int\\limits_{g_1(r)}^{g_2(r)} f(r, \\theta, z) r dz dr d\\theta$$在上式中，$\\alpha$和$\\beta$表示极角$\\theta$的取值范围，$h_1(r,\\theta)$和$h_2(r, \\theta)$表示高度z的取值范围，g1(r)和g2(r)表示径向距离r的取值范围。
通过这个公式，我们可以将柱面坐标系下的三重积分问题转化为累次积分的计算问题，便于我们进行计算。
三重积分柱面坐标变换公式
三重积分柱面坐标变换公式在进行三重积分运算时，柱面坐标变换是一种常用的方法，可以简化积分的计算过程。
柱面坐标通常用于描述空间中的圆柱体或圆锥体问题，因此对于涉及到这些几何形状的三重积分问题，柱面坐标的应用是非常有用的。
柱面坐标的定义柱面坐标是一种三维坐标系，其中一个点的位置由径向距离、极角和高度三个参数决定。
在柱面坐标系中，通常用（ρ，φ，z）表示一个点的位置，其中ρ 表示点到 z 轴的距离，φ 表示点在 xy 平面上的极角，z 表示点在 z 轴上的高度。
三重积分的柱面坐标变换公式假设在三维空间中有一个函数f(ρ, φ, z)，我们要计算其在柱面坐标系下的三重积分。
此时，需要进行坐标变换以便在柱面坐标系下进行积分计算。
三重积分的柱面坐标变换公式如下：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\iiint f(ρ, φ, z) ρ dz dρ dφ $$其中，dV 表示体积元素，ρ 从 0 到ρ，φ 从 0 到2π， z 的范围由具体问题决定。
柱面坐标变换公式的应用举例举一个简单的例子来说明柱面坐标变换的应用。
假设有一个函数f(ρ, φ, z) =ρ^2，我们要计算其在半径为 1，高度为 2 的圆柱体内的体积。
根据柱面坐标变换公式，可以得到：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\int_{0}^{2π} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{2} (ρ^2) ρ dz dρ dφ $$经过计算可得最终结果为8π/3。
结语柱面坐标变换公式在处理涉及柱面形状的三重积分问题时具有重要作用，能够简化积分计算过程，提高计算效率。
熟练掌握柱面坐标变换公式对于解决相关数学问题是非常有帮助的。
希望本文所介绍的柱面坐标变换公式能够对你的数学学习有所帮助。
柱面坐标求三重积分
柱面坐标求三重积分引言积分在数学和科学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们求解曲线、曲面和体积等问题。
在三维空间中，我们经常遇到需要求解三重积分的情况。
本文将介绍柱面坐标系下求解三重积分的方法和步骤。
什么是柱面坐标系柱面坐标系是一种常用的三维坐标系，它使用极径r、极角θ和z轴坐标z来描述空间中的点。
在柱面坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,z)，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
柱面坐标系下的坐标变换在求解柱面坐标系下的三重积分之前，我们需要了解柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系。
根据几何关系可以得到以下变换公式：•x=rcos(θ)•y=rsin(θ)•z=z这些公式可以帮助我们将直角坐标系下的积分问题转换为柱面坐标系下的积分问题。
柱面坐标系下的积分元素在柱面坐标系下，积分元素可以表示为dV=r dr dθ dz，其中r表示点到z轴的距离，dr表示r的微小变化量，θ表示点在平面上的极角，dθ表示θ的微小变化量，dz表示z轴坐标的微小变化量。
柱面坐标系下的三重积分使用柱面坐标系求解三重积分的步骤如下：1.确定积分区域：首先需要确定积分区域，可以通过图形来确定。
在柱面坐标系下，积分区域可以使用极坐标和直角坐标的关系来表示。
2.写出被积函数：根据问题的具体要求，将被积函数用柱面坐标系下的变量表示。
3.确定积分限：根据积分区域的几何性质，确定积分区域的上下限。
4.变量代换：根据柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系，将被积函数和积分元素用柱面坐标表示。
5.进行积分计算：根据确定的积分限和变量代换，进行积分计算。
柱面坐标系下的应用举例例子1：求解柱面体的体积柱面体是由一个半径为R的圆在z轴上从z=a到z=b旋转一周形成的立体。
我们希望求解柱面体的体积。
1.积分区域：由于柱面体是由圆旋转形成的，因此积分区域可以用圆的极坐标来表示：0≤r≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b。
柱面坐标系下的三重积分计算
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
三重积分的柱面坐标计算法
三重积分的柱面坐标计算法0 引言三重积分的计算是高等数学学习中的难点，计算三重积分即要将它化为三次积分，其基本方法有直角坐标法、柱面坐标法与球面坐标法，三种坐标法在处理特定区域中有各自的优势，确定积分限是其中的关键，选择正确的基本方法可以使积分计算可行和运算简捷，与球面坐标法不同，柱面坐标法解题的思维方式与直角坐标法的思维方式相似。
本文拟探讨文献[1,2] 中柱面坐标法下的三重积分计算，分析适宜用柱面坐标法解决的问题及处理方法。
1 柱面坐标系下积分限的确定掌握三重积分柱面坐标法的计算要用到许多其它的知识，如空间解析几何里的曲面辨识和草图描绘及空间区域在坐标面上的投影、积分里的凑微分法与分部积分法、二重积分里的极坐标法，还有就是三重积分直角坐标法，这些内容的掌握熟练程度极大地影响柱面坐标法的学习，学生在学习中感到困难，或许与这些内容的掌握程度有关。
在文献[1,2] 中，当某个三重积分适宜用柱面坐标法计算时，其积分区域？％R主往是圆锥面、旋转抛物面、球面或者垂直于轴的平面所围成的立体，这些曲面的共同特征是含有+，而被积函数形如（+ ），积分区域?%F在面上的投影是圆域或是圆域的一部分，求解此类问题时，我们仍要按照直角坐标法计算三重积分的思想来考虑，即确定积分区域?%R 的上边界曲面= （, ）与下边界曲面= （, ），用极坐标变换公式= ，= 将其转化为= （, ）= （, ），= （, ）= （, ），一般情况下，转换后仅含有，即= （），= （），这样柱面坐标下的变动范围就能确定，即（）WW（），而与的取值范围可以通过分析积分区域？％F在面上的投影区域，按照极坐标计算二重积分的方法确定，这样柱面坐标下三次积分的各个积分限就能确定，进而计算三重积分。
2 实例分析例1计算=，其中？％R是由曲面=及=+所围成。
分析：积分区域的上边界曲面是= ，写成极坐标形式是= ，下边界曲面是= + ，写成极坐标形式是= ，所以的取值范围是ww,积分区域在面上的投影是+ < 1,写成极坐标为O ww 2,O ww 1。
柱面坐标系求三重积分
柱面坐标系求三重积分在数学中，柱面坐标系是一种常用的坐标系，特别适用于处理具有柱面对称性的问题。
在解决三重积分问题时，柱面坐标系可以简化计算，并提高求解效率。
本文将介绍如何在柱面坐标系下进行三重积分的计算。
柱面坐标系简介柱面坐标系是一种三维坐标系，通常用于描述具有柱面对称性的问题。
在柱面坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\theta$和垂直于柱面的高度z来确定。
柱面坐标系下，坐标$(r, \\theta, z)$与直角坐标系(x,y,z)之间的转换关系为：$$ \\begin{align*} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{align*} $$求三重积分的步骤假设要求解的三重积分为 $\\iiint_V f(x, y, z) \\, dV$，其中V表示某个空间区域。
利用柱面坐标系求三重积分的一般步骤如下：1.根据需要的区域V，确定积分的边界，并写出积分限。
2.将积分区域V转换为柱面坐标系下的表示。
这涉及到将dV用柱面坐标系下的微元 $dr \\, d\\theta \\, dz$ 来表示。
3.将被积函数f(x,y,z)转换为柱面坐标系下的函数表示 $f(r, \\theta,z)$。
4.使用柱面坐标系的积分公式进行计算，将积分化为三个单独的积分，则三重积分可表示为：$$ \\iiint_V f(x, y, z) \\, dV = \\int_{z_1}^{z_2} \\int_{\\theta_1}^{\\theta_2}\\int_{r_1}^{r_2} f(r, \\theta, z) \\, r \\, dr \\, d\\theta \\, dz $$5.根据具体问题计算各个积分，最终得到结果。
示例现在我们来看一个简单的示例，求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在柱面坐标系下的三重积分 $\\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \\, dV$，其中积分区域V为 $0 \\leq r \\leq 1, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, 0 \\leq z \\leq 2$。
三重积分在柱坐标与球坐标系下的计算
Ω3
Ω 3 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ Ω , x ≥ 0}
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素 ）
dxdydz = rdrdθdz
2
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz= r sinϕdrdθdϕ ） （3） 对称性简化运算 ）
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一、在柱坐标系下的计算法
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ，则这样的三 的柱面坐标． 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标．
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时， 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 虑使用柱坐标来计算。
例2
∫∫∫ Ω
ez 2 2 dxdydz,Ω : z = x + y , z = 1, z = 2 2 2 x +y
解
x = r cosθ y = r sinθ , z=z
“你对称，我奇偶” 你对称， 奇偶”
对 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω
① 若Ω 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y ,− z ) = − f ( x , y , z , ) 时 I = 0
( 2) 当 f ( x , y , − z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
三重积分的柱面坐标法
三重积分的柱面坐标法柱面坐标法是三重积分中的一种方法，它适用于具有圆柱形状的立体图形，通常由一个平面区域 R、一条从 R 上方出发的直线 L 和边缘曲线 C 等三个部分组成。
在柱面坐标法中，通常用参数方程表示曲面，从而将三维空间中的积分问题转化为两个变量的平面问题。
具体来说，假设曲面的参数方程为：x = f(u, v)其中，u 和 v 分别代表曲面上的两个参数，它们的值可以从 R 区域内取得。
此时，三重积分可以通过以下方式计算：∭ f(x,y,z) dxdydz = ∬∫ f(f(u,v), g(u,v), h(u,v)) * JdudvdL其中，J 是雅可比行列式，其计算公式为：J = ∂(x,y,z)/∂(u,v) = [∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u; ∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v]以上公式的计算方法类似于二维极坐标法，通过确定积分区域和相应的参数范围，再利用定积分技巧计算积分即可。
以下是柱面坐标法的具体步骤：步骤一：确定曲面参数方程在柱面坐标法中，首先需要确定曲面的参数方程，该方程应能够描述出整个曲面的形状以及参数范围。
通常情况下，我们需要用到圆柱坐标系（或极坐标系），并根据曲面的特点确定相应的坐标轴。
例如，对于一个圆柱体，其参数方程可以表示为：x = r cosθz = h其中，r 和θ 分别代表圆柱体上的径向距离和极角，h 则代表圆柱体的高度。
当然，对于不同形状的立体图形，其参数方程也会有所不同，需要根据实际情况逐步确定。
步骤二：确定积分区域在确定曲面的参数方程之后，我们需要确定积分区域，该区域应为曲面所包含的平面区域 R（定义域）和从 R 上面延伸的直线 L 所围成的立体体积。
该体积通常由直线 L 和边缘曲线 C 两部分组成。
R：r ∈ [0, R]，θ ∈ [0, 2π]L：z ∈ [0, h]C：x²+y² = R²，z = 0其中，R 代表圆柱体的半径，而θ 的范围为[0, 2π] 则表示了圆柱体的旋转对称性。
三重积分柱面坐标公式
三重积分柱面坐标公式在数学中，三重积分是在三维空间内计算函数体积时使用的一种方法。
当我们需要计算具有某种变量分布的三维空间中的体积时，三重积分是一个非常有用的工具。
柱面坐标系是一种常用的曲线坐标系，它特别适用于具有柱面对称性的问题。
在本文中，我们将讨论三重积分在柱面坐标系下的具体公式。
柱面坐标系柱面坐标系是一种由极坐标平面延伸而来的三维坐标系。
在柱面坐标系下，点的位置由径向（表示点到原点的距离）、方位角和高度三个参数确定。
柱面坐标系下的坐标变换公式如下：•$x = r \\cos(\\theta)$•$y = r \\sin(\\theta)$•z=z其中，r代表点到z轴的距离，$\\theta$为点到x轴的夹角，x、y、z分别代表三维空间中的坐标。
三重积分柱面坐标变换公式在使用柱面坐标系进行三重积分计算时，我们需要将被积函数和微元体用柱面坐标系表示，并对结果进行坐标变换。
对于柱面坐标系下的三重积分，其公式如下：$$ \\iiint_G f(x, y, z) \\, dxdydz = \\iiint_G f(r \\cos(\\theta), r \\sin(\\theta), z) \\cdot r \\, drd\\theta dz $$其中，f(x,y,z)为被积函数，G为函数定义的空间区域，r为涉及到的径向分量，$\\theta$为涉及到的方位角分量，z为涉及到的高度分量。
计算示例让我们来看一个具体的计算示例，计算函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在半径为1、高度为2的圆锥体内的体积。
首先，根据柱面坐标系下积分的公式，我们有：$$ \\iiint_G (r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta) + z^2) \\cdot r \\,drd\\theta dz $$然后，我们根据给定的圆锥体范围确定积分区域G，进行相应范围的积分计算，最终得到该圆锥体的体积。
五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分-精品文档
解法（二） 采用柱面坐标
x y z z r ,
2 2 2
2 2 2 D :x y a ,
:r z a ,0 r a , 0 2 ,
I (x y ) dxdydz
2 2
d rdr rdz
a a 2 0 0 r
2 2 2 2 2
x y z 4 与 x y 3 z 所围的立体 .
x r cos 解 由 y r sin , zz
知交线为
r 2 z 2 4 z 1 , r 3 , 2 r 3z
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图所 ，
dr
rsin d rd
r sin
dv rsin drd d ,
2
r
d
o
f( x ,y ,z ) dxdydz
y
d
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sin drd d .
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
z
rd
dr
r
dv rdrd dz ,
dz
o
f( x ,y ,z ) dxdydz
y
d
x
f ( r cos , r sin , z ) rdrd dz .
例1 计算 I zdxdydz ,其中 是球面
I I I 1 2
1 2
2 2 2 2 ( x y ) dxdydz ( x y ) dxdyd ,
5 4 I rdrd r fdz rdz , d dr r 1 D 3 2
柱坐标计算三重积分的步骤
柱坐标计算三重积分的步骤
在数学中，三重积分是一种计算三维空间内体积的方法。
柱坐标是一种常用的
坐标系，特别适用于具有柱状对称性的问题。
本文将介绍如何使用柱坐标系计算三重积分的步骤。
步骤一：确定积分区域
首先，我们需要确定三重积分的积分区域。
在柱坐标系中，通常使用径向变量r、极角变量$\\theta$和高度变量z来描述三维空间中的点。
因此，我们需要找到
积分区域在柱坐标系中的范围。
步骤二：写出被积函数
接下来，我们需要写出要积分的函数。
在柱坐标系中，被积函数通常表示为
$f(r, \\theta, z)$。
根据具体问题，确定被积函数的形式。
步骤三：确定积分顺序
在计算三重积分时，积分的顺序非常重要。
通常情况下，我们可以选择按照r、$\\theta$、z的顺序进行积分。
也可以根据具体问题的性质来确定积分的顺序。
步骤四：进行坐标变换
在柱坐标系中进行积分计算时，通常需要进行坐标变换将被积函数表示为r、$\\theta$、z的函数。
这样可以简化积分计算的过程。
步骤五：进行积分计算
根据确定的积分顺序和坐标变换，依次对r、$\\theta$、z进行积分计算。
在计
算过程中，需要注意积分的范围和积分的方法。
步骤六：检验结果
完成三重积分计算后，需要对结果进行检验。
可以通过改变积分顺序、检查计
算误差等方式来检验结果的正确性。
通过以上步骤，我们可以使用柱坐标系计算三重积分，这种方法在处理具有柱
状对称性的问题时非常有效。
希望以上介绍对您有所帮助。
三重积分在柱坐标系下的计算
计算方法的异同
柱坐标系下三重积分计算较为简便，但适用 范围有限；直角坐标系下三重积分计算相对 复杂，但适用范围更广。
三重积分在两种坐标系下的几何意义的比较
柱坐标系下三重积分的几何意义
表示以原点为球心、以r为半径的球体在角度θ和φ范围内的体积。
直角坐标系下三重积分的几何意义
通常用θ表示。
径向长度是点到z轴的距离，通 常用ρ表示。
柱坐标系与直角坐标系的关系
x = ρcosθ z=z
直角坐标系中的点(x, y, z)可以通过以下公式转 换为柱坐标系中的点(ρ, θ, z)
y = ρsinθ
柱坐标系下的面积和体积元素
面积元素
在柱坐标系下，面积元素dA表示 为ρdρdθ。
设定积分变量
在圆柱体内，选择r和z作为积分变量，θ固定为某一值。
确定积分上下限
根据圆柱体的定义，确定r和z的上下限。
计算体积分
将三重积分转换为体积分，并分别对r和z进行积分。
得出结果
根据积分的计算方法，得出圆柱体内的三重积分值。
计算实例二：计算半球面下的三重积分
设定积分变量
在半球面下，选择r、θ和z作为积分变量。
确定积分上下限
根据半球面的定义，确定r、θ和z的上下限。
计算体积分
将三重积分转换为体积分，并分别对r、θ和 z进行积分。
得出结果
根据积分的计算方法，得出半球面下的三重 积分值。
04
三重积分在柱坐标系的应用
解决物理问题中的应用
1 2
流体动力学
在研究流体在柱形区域内的流动时，可以使用柱 坐标系下的三重积分来描述流体的速度、压力等 物理量。
第23讲：《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
第23讲：《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习一、柱面坐标及与直角坐标之间的关系三重积分的柱面坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述.以面上的坐标分量用极坐标描述为例，不变的柱面坐标与直角坐标之间的关系为其中的取值由点在面上的投影点所在的象限确定。
关系图如下所示。
各坐标变量等于时对应的坐标面图形分别为：•：面包含轴和正半轴的半平面；•：轴•：面，即极坐标面坐标变量取常值时对应的曲面分别为：•：由面上的对应的射线和轴确定的半平面；•：中心轴为轴，与轴的距离为的圆柱面；•：与面，即极坐标面平行的平面。
具体形状与点的位置关系如下图所示。
二、三重积分的柱面坐标计算方法与步骤1、适用的三重积分类型被积函数为单个变量的一元函数，或包含有两个变量的平方和或者两个变量相除，如等结构；或者积分区域由过坐标轴、母线平行于坐标轴的半平面，圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱面坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱面坐标计算方法。
2、适用的计算思想其实三重积分的柱面坐标计算方法可视为三重直角坐标系中“先二后一截面法”或“先一后二投影法”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。
如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱面坐标计算方法；否则称为直角坐标方法，可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。
一般能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱面坐标计算方法。
3、具体的计算步骤第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如变量）；第二步：借助柱面坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱面坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱面坐标变量表达式。
3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z dxdydz z r dr d dz
0 d 0 dr r 2 r z dz
0 d 0
2 2
2
2
4
z r 2 2 dr r
2 4
2 2 1 0 d 0 (16r r 5 )dr 2
2 2 1 1 0 8r r 6 d 2 6 0 2
0 2 , : 0 , 4 0 R.
],
z
R
即
o
x
y
( x 2 y 2 z 2 ) dv
2 2 sin dd d
x sin cos , y sin sin , z cos .
0 0 0
1
d
0
2
0
cos sin d dv 2 sin ddd 5 0
5 2
1
x sin cos , y sin sin , z cos .
2 1 0 d 0 cos2 sin d 5 2 1 0 d 0 cos2 d (cos ) 5
2 r r dr d dz.
2 2 ( x y ) dv
0 d 0 dr
2 H 3
2
H
H 3 r r
dz
0 d 0 r z
H
x r cos , y r sin , z z. dv r dr d dz ,
规定：
z
0 , 0 ,
0 2 .
三重积分的柱面坐标计算法
三重积分的柱面坐标计算法
陈传峰
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2013(000)025
【摘要】三重积分的计算是高等数学的难点,本文分析了三重积分的柱面坐标计算法,研究在柱面坐标系下如何确定积分限,从而计算三重积分.
【总页数】2页(P197,205)
【作者】陈传峰
【作者单位】广东外语外贸大学南国商学院广东·广州 510545
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.运用对称性简化柱面坐标三重积分计算 [J], 王云丽
2.一类三重积分的新算法 [J], 段洪玲;刘日;张玉春
3.柱面坐标计算三重积分的教学建议 [J], 张化朋
4.在柱面坐标系下三重积分计算法的探讨 [J], 邓进
5.在柱面坐标系下三重积分计算的一种新方法 [J], 邓进
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二利用柱面坐标计算三重积分-
V2d 4d2ar2si n dr 0 00
2 4si n( 2a)3d
0
3
4( 21)a3. 3
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16
五 小结与思考判断题
三重积分计算
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxd rydd d rzd z
（2） 球面坐标的体积元素
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9
规定： 0r , 0, 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
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10
如图，
z
设点M在xoy面上的投P影 ，为 rM(x,y,z)
点P在x轴上的投A影 ，为
z
o 则 O x A ,A y P ,P M z . Ax y
第三节 三重积分(2)
一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结与思考判断题
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1
一 柱面坐标系
设M(x, y,z)为空间内一点，M并 在设点
xoy面上的投 P的 影极坐标 r,为 ，则这样的三
个数r,,z就叫点 M的柱面坐标．
解 由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
由 x 2 y 2 z2 2 a 2
r 2a,
z x2y2 , 4
:0 r 2 a , 0 , 0 2 , 4
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15
由 三 重 积 分 的 性 质 知 V d x , dy
2d 4dcaosr4si3 ndr
微积分：利用柱坐标计算三重积分
a Dxy
r
,
cos
x
o
y
z x2 y2
I
4
a
2 4 cos
d d r 2 sin2 r 2 sin dr
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
00 0
dv r2 sin drdd
I ( x2 y2 )dxdydz
2
a
d 4 d cos r 2 sin2 r 2 sin dr
2
2
dz d
ze z2 rdr
1
0 0r
2 2 ez2 zdz (e4 e). 1
z
z2
z x2 y2
z1
O
y
x
y Dz
x
x2 y2 z2
计算(x y z)2dv,
其中是抛物面 z
x2
y2和 球 面x2
y2
z
z2
2
所围成的空间闭区域.
解 ( x y z)2 x2 y2 z2 2( xy yz zx)
且 当( x, y) Dxy时, x2 y2 z 2 x2 y2 ,
Dxy : x2 y2 1,
y Dxy
x
x2 y2 z 2 x2 y2,
x2 y2 1
2 x2 y2
V 1 dv dxdy
1 dz
x2 y2
Dxy
(2 2 x 2 2 y 2 )dxdy
Dxy
2
2
d
1 (1 r 2 )rdr
0
0
0
0
t (0, )
0 r t
所以,F (t)在(0, )内 单调增加.
柱面坐标系利用柱面坐标计算三重积分球面坐标系利用球面坐共26页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
柱面坐标系利用柱面坐标计 算三重积分球面坐标利用
球面坐
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
10-6 三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
（四）化为累次积分的方法
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系
（二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式
（四）化为累次积分的方法
将柱坐标系下的三重积分化为累次积分 1．积分次序的选择：一般选择先z、后ρ、再θ的次序 2．积分限的确定：
f ( cos , sin , z )dd dz d d
利用球坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用球坐标计算 Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有 x 2 y 2 z 2
三 变 、 一 勿 忘
f ( x, y, z )dxdydz
化为球坐标系下 三重积分
球坐标表示 积分区域 Ω 被积函数 f ( x, y, z ) F (r , , ) 体积元素 dxdydz r 2 sin drd d 一个勿忘 r 2 sin
d
dr
d v r 2 sin d r d d
2．被积函数的变化ຫໍສະໝຸດ x o rd
y
d
3．积分区域的变化 将Ω的边界曲面用球坐标表示
球坐标系下三重积分计算公式
f ( x, y, z )dv f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drdd
（二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式
（四）化为累次积分的方法
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系
（二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式
（四）化为累次积分的方法
将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分
1．体积元素的变化
z
d v d d d z
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与 的取值范围可以通过分析积分区域 在 面上的投影区 里的“先一后二法”转换成二重积分后，再用极坐标法解出，例
域，按照极坐标计算二重积分的方法确定，这样柱面坐标下三 如上面的例 2 有下面的解法。
次积分的各个积分限就能确定，进而计算三重积分。
（下转第 205 页）
2013 年 9 月（上） 科 教 导 刊 197
科技创新
3.1 女装产品分析 本文以一款女套装上衣为例应用智尊宝纺自动打板模块 进行制作。如图 6 所示。 （1）款式分析：X 型廓形，四面构成，肩缝公主线，蟹钳领， 圆装弯袖、两片袖。 （2）规格设计（单位：cm）：衣长（50）；胸围 B（B*+8=92）； 腰围 W（W*+10=76）；臀围 H（H*+8=96）；肩宽 S（39）；底领高 （3）；翻领高（4）；袖长（56）；袖肥（32）；袖口宽（22）。 （3）结构设计要点：袖窿深同原型袖窿深；后片减 0.5cm, 前片减 1.5 cm；前袖窿省分别转移为适量的袖窿松量、公主分 割线、侧缝，后袖窿省分别转移为适量的袖窿松量、公主分割 线、侧缝。 3.2 女装产品制作 采用原型法进行参数化制图，其制作方法如下。 3.2.1 参数设定、数值输入 打开东华原型文件，进入“号型设置对话框”，在原东华原 型的 2 个参数变量中加入腰围、臀围、衣长、袖肥、袖口宽、袖 长 6 个参数；以 160/84A 为基本码，输入具体的尺寸，即身高 （160cm），胸围（84cm），腰围（66cm），臀围（88cm），衣长 （50cm），袖长（56cm），袖肥（32cm），袖口宽（22cm）。 3.2.2 绘制步骤 调用东华原型，对原型进行加放衣长、增减胸围，转移前 后袖窿省，设计分割线、衣领、衣袖。具体步骤如下（单位：cm）。 （1）调用东华原型； （2）后片减 0.5、前片减 1.5，取衣长为 50，腰线上提 2； （3）后片原型省道量：部分转移至后领口线（10%）； （4）腰省量分配：后腰省量 a=45%（B-W）/2，后侧缝省量 b=前侧缝省量 c=15%（B-W）/2，前腰省量 d=25%（B-W）/2； （5）臀围处省量变化：后臀省量 a′=45%（B-H）/2，后侧缝 省量 b′= 前侧缝省量 c′=-0.5+15% (B-H)/2, 前腹省量 d ′=1+25%(B-H)/2； （6）绘制前、后公主分割线及侧片；
科技创新
三重积分的柱面坐标计算法
陈传峰
（广东外语外贸大学南国商学院 广东·广州 510545）
摘 要 三重积分的计算是高等数学的难点，本文分析了三重积分的柱面坐标计算法，研究在柱面坐标系下如何确定
积分限，从而计算三重积分。
关键词 三重积分 柱面坐标 积分区域 投影
中图分类号：O172.2
文献标识码：A
{0≤ ≤2 ,0≤ ≤2, 4 ≤ ≤ 5 2}，
此类问题时，我们仍要按照直角坐标法计算三重积分的思想
2
2
52
2
来考虑，即确定积分区域 的上边界曲面 = （2 , ）与下边界
所以 =
0
0
=2 （ 5 2
2
0
曲面 = （1 , ），用极坐标变换公式 =
，=
将其 （5 5 4）。
4
2
） 4
=
2 3
转化为 = （1
上的投影是 2 + 2≤1，写成极坐标为 0≤ ≤2 ，0≤ ≤1。 解：积分区域 可以表示为
1 柱面坐标系下积分限的确定 掌握三重积分柱面坐标法的计算要用到许多其它的知识， 如空间解析几何里的曲面辨识和草图描绘及空间区域在坐标 面上的投影、积分里的凑微分法与分部积分法、二重积分里的 极坐标法，还有就是三重积分直角坐标法，这些内容的掌握熟 练程度极大地影响柱面坐标法的学习，学生在学习中感到困 难，或许与这些内容的掌握程度有关。在文献[1,2]中，当某个 三重积分适宜用柱面坐标法计算时，其积分区域 往往是圆锥
（7）后片袖窿省量分配：转移至分割线（90%），其余留作袖 窿松量（10%）；前片袖窿省量分配：转移至分割线（95%），其余 留作袖窿松量（5%）；
（8）增加侧缝的外翘，修正侧缝线和下摆线； （9）前后衣领部分的三维造型模拟图绘制：前后横开领开 大 0.3； （10）袖山框线绘制：使 AB=前 AH-0.4,AC=后 AH+0.5； （11）确定袖山弧线顶部凸起量及袖山弧线拐转位置； （12）依据各辅助点绘制袖山弧线，绘制大、小袖片，完成 衣袖的设计； （13）衣片结构图完成，如图 7 所示。 3.2.3 自动生成 先设置好各种规格的参数值。再进入打板界面，选用“显 示所有号型”功能就能自动生成各种规格的女装上衣样板，如 图 8 所示。 智尊宝纺服装 CAD 自动打板系统能实现原型和女装样 板自动生成，为服装企业对款式多变女装产品实施 MTM 生 产方式成为可能，提高服装生产效率和效益。但是，智尊宝纺 服装 CAD 自动打板还是需要根据不同款式采用人工绘制一 个号型的服装纸样，通过变更参数值来实现不同号型纸样的 自动生成。纸样自动生成还不能根据服装款式图直接生成结 构样板图，其智能化还有待进一步的提高。
分析：积分区域的上边界曲面是 = 2 2 2，写成极坐
积分计算可行和运算简捷，与球面坐标法不同，柱面坐标法解 标形式是 = 2 2，下边界曲面是 = 2 + 2，写成极坐标形式
题的思维方式与直角坐标法的思维方式相似。本文拟探讨文 是 = 2，所以 的取值范围是 2≤ ≤ 2 2，积分区域在 面
献 [1,2] 中柱面坐标法下的三重积分计算，分析适宜用柱面坐 标法解决的问题及处理方法。
Calculation of Triple Integral in the Cylindrical Coordinate System
CHEN Chuanfeng
(South China Business College, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou, Guangdong 510545)
注释
① 徐春阳.特殊体型数字化服装定制系统[D].东华大学,2012. ② 王利君,唐洁芳,马银军.基于 MTM 的男西装接单系统的设计与开发[J].浙
江理工大学学报,2007:24(4):395-398. ③ 张鸿志,赵锘平,谢朝.服装纸样计算机辅助设计[M].北京:中国纺织出版社,
2002:8-18. ④ 曹文丽. 基于图论的服装纸样参数化设计模型 [J]. 北京服装学院学报,
=
=
52
2
= （5
+2 2
2
2
2+
2
）
4
4
2
=
2
（5
2
2
）
4
= 23（5 5 4）。
0
0
从上面的实例可以看出，只要掌握柱面坐标法的基本方
法以及应用柱面坐标法时要应用到的与之有关的知识，柱面
坐标法是完全可以学好的，另一方面通过柱面坐标法的学习 可以反过来更清晰地理解二重积分的极坐标法和三重积分的 直角坐标法。
Abstract The calculation of triple integral is the difficulty in Higher Mathematics. In this paper, we analyses method of calculation of triple integral in the cylindrical coordinate system, study how to determine the limits of integration in the cylindrical coordinate system, and then calculate the triple integral. Key words triple integral; cylindrical coordinate; integration area; projection
{0≤ ≤2 ,0≤ ≤1, 2≤ ≤ 2 2}，
2
1
22
所以 =
0
0
2
例 2 求上半球面 =
1
=2
12（2
2
4）
=
7 12
。
0
5 2 2与旋转抛物面 2 + 2 = 4
所围立体的体积。
分析：所围立体的上边界曲面 = 5 2 2，写成极坐标
形式是 = 5 2，下边界曲面 2 + 2 = 4 ，写成极坐标形式是
2
2
= 4 ，所以 的取值范围是 4 ≤ ≤ 5 2，积分区域在 面
面、旋转抛物面、球面或者垂直于 轴的平面所围成的立体，这 上的投影是 2 + 2≤4，写成极坐标为 0≤ ≤2 ,0≤ ≤2。
些曲面的共同特征是含有 2 + 2，而被积函数形如 （ 2 + 2），
解：积分区域 可以表示为
2
积分区域 在 面上的投影是圆域或是圆域的一部分，求解
2008.28(1):13-17. ⑤ 张文斌.服装结构设计[M].北京:中国纺织出版社,2006:45. ⑥ 刘咏梅.服装结构平面解析基础篇[M].上海:东华大学出版社,2010:14-15. ⑦ 叶招彩.基于 MTM 的女子原型技术的探讨[J].科教导刊,2011(11 下):89.
（上接第 197 页）
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007. [2] 孔繁亮.高等数学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2011.
2013 年 9 月（上） 科 教 导 刊 205
0 引言
2 实例分析
三重积分的计算是高等数学学习中的难点，计算三重积 分即要将它化为三次积分，其基本方法有直角坐标法、柱面坐