微积分第五章第六章习题答案
微积分习题答案第五章 多元函数微积分(1)
练习5.1
1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422
2
椭圆抛物面z y x =+ (2)
圆锥面）(4222z y x =+
(3) 椭球面）(19
164222=++z y x (4) 圆柱面）(12
2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= (2) y x e z y
x -+=+3
解：
⎩
⎨
⎧≥-≥00
y x y 解：0≥-y x 即⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥y x x y 200 {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为
∴ 函数的定义域为{}
y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),(
(3). ()y x f ,对于函数=
y
x y
x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →
分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径)0,0(0
p p →时，
所得
极限值不同即可。
证明：①0
(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=当沿轴(此时趋于时，
1),(lim ,1)0,(),(0
0===→→y x f x f y x f y x
②当）时，，趋于（沿直线00)0(),(≠=x kx y y x p
)0(111),(≠≠+-=+-=
k k
k
kx x kx x y x f
综合①②可知函数极限不存在，证毕。
练习5.2
1． 求下列函数的偏导数 ①;,,33y
z x z xy y x z ∂∂∂∂-=求
解：
23323,3xy x y
z y y x x z -=∂∂-=∂∂ ②;,,)ln(y
z
x z xy z ∂∂∂∂=求
解：[])ln(21.1.)ln(2121xy x y xy xy x z ==∂∂-
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限
一、填空题
1、已知x x
f cos 1)2
(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim 22
x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01
sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0
,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→x
x x 6)
13ln(lim
0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(
lim =-+∞
→x
x a
x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim
22=--++∞
→x x n 。
14、设8)2(
lim =-+∞
→x
x a
x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
微积分第六章习题答案
第六章 习题6-1
1. 略
2.把B （10，-1,6），可证==7AB AC
3.()1,0,0A
4.表示平面21x y z y ++==与的交线
5.（1）绕x 轴旋转：222
1344
x y z ++= 绕y 轴旋转： 222
1343
x y z ++=（2）绕x 轴旋转：2221x y z --=
绕z 轴旋转：2221x y z +-=
习题6-2
１．求下列函数的定义域，并画出其示意图：
(1)z =； (2)1ln()z x y =-；
解：（1）要使函数有意义，必须222210x y a b --≥即22
221x y a b
+≤，
则函数的定义域为2222(,)|1x y x y a b ⎧⎫
+≤⎨⎬⎩⎭
，如图8-1阴影所示.
（2）要使函数有意义，必须ln()00x y x y -≠⎧⎨->⎩
即1
x y x y -≠⎧⎨>⎩，
则函数的定义域为{(,)|x y x y >且1}x y -≠,如图8-2所示为直线y x =的下方且除去1y x =-的点的阴影部分（不包含直线y x =上的点）. 2．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：
(1) z =2
24
xy x y +； (2) z =x y x y +-．
解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有
2
4244200lim (,)lim 1y y x ky
ky k
f x y k y y k →→===++ 这个值随k 的不同而不同，所以函数224
z=xy x y
+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有
微积分第五章第六章习题答案
习题5.1
1.（1）sin x x
（书本题目有问题。考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行
2. 2
3x ；6x
3.（1）3223x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4
2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3
23
x x x e C +-+ （7）
sin 22
x x C -+（8
）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2
1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12
- 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2
x C --+ （5
）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212
x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10
）ln C -+（11）3sec sec 3
x x C -++ （12
）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2
x C + （15
12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22
微积分(经管类)第五章答案
微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质
一、1、∑=→∆n
i i
i
x
f 1
)(lim
ξλ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和；
4、⎰
b
a dx ；
5、
⎰⎰
+b
c c
a
dx x f dx x f )()(；
6、b a a b M dx x f a b m b
a
<-≤≤-⎰
,)()()(；
7、
⎰
b
a
dx x f )( ⎰-=a b
dx x f )(；
8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、
⎰
-231
cos xdx .
四、略。
五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。
5.2. 微积分基本定理
一、1、0；
2、)()(a f x f -；
3、
)1ln(23
+x x ；
4、
6
5
； 5、(1)ππ,；
(2)0,0；
6、(1)0； (2)0。
7、;6
145 8、
6
π
； 9、1. 二、1、
1
sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2
x x x π⋅-； 3、2-.
三、 1、852； 2、3
π； 3、14+π
； 4、4.
四、1、0； 2、10
1
.
五、略。 六、
3
35π
, 0. 七、⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤≤-<=π
πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(.
5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法
一、1、0； 2、34
-π； 3、2
π； 4、323π； 5、0.
6、e 21-
； 7、)1(4
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数
第2章 极限与连续
2.1 数列的极限
1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 1
2. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞
→lim ，证明||||lim a x n n =∞
→，并举反例说明反之不一定成立.
证明： a x n n =∞
→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n
又 ε<-≤-||||||a x a x n n
对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞
→
反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x n
n
显然 1||lim =∞
→n n x ，但n n x ∞
→lim 不存在.
2.2 函数的极限
1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．
证: 必要性. 若()A x f x x =→0
大学微积分第五章习题答案
第五章 不定积分 （A ）
1．已知函数()y f x =的导数等于2x +，且2x =时5y =，求这个函数.
解 2
1()(2)22
f x x x x x C =+=
++⎰
d 将 2x =，5y = 代入上式得：1C =-
2
1()212
f x x x ∴=
+- 2．已知曲线上任一点切线的斜率为x
x e +，并且曲线经过点(0,2)求此曲线方程。
解 设所求曲线为：()y f x =，则 ()x
f x x e '=+
2
1()()2
x x f x x e dx x e C ∴=+=
++⎰ 将 0x =，2y = 代入上式得：1C =
2
1()12
x f x x e ∴=
++ 3．已知质点在时刻t 的速度为32v t =-，且0t =时距离5s =，求此质点的运动方程．
解 设所求运动方程为：()s f t =，则 ()32s t v t '==-，
23
()(32)22
s f t t dt t t C ∴==-=-+⎰
将0t =时，5s =代入上式得： 5.C =
2
3252
s t t ∴=
-+ 4．已知某产品产量的变化率是时间t 的函数
()(,)f t at b a b =+是常数，设此产品t 时刻的产量函数为()P t ，且
(0)0P =，求()P t ．
解 因为 ()()P t f t at b '==+
所以 2
()()2
a P t at
b dt t bt C =+=
++⎰
将(0)0P =代入上式得：0C =，
2
()2
a P t t bt ∴=
+ 。 5.设生产x 单位某产品的总成本C 是x 的函数()C x , 固定成本（ 即(0)C ）为20元，边际成本函数为()210C x x '=+（元/单位）
微积分第五章第六章习题答案
习题5.1
1.（1）
（书本题目有问题。考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；
sin x
x
3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行
2. ；2
3x 6x
3.（1）（2）（3）3223x C --+3
23sin 3x
x e x C +-+3132221(1565(2))15
x
x x x C
-++-+（4 （5）（6）2
103)x x C -++4cos 3ln x x C -++323x x x e
C
+-+（7）
（8）sin 22x x
C -+5cos x x C --+4. 3
11
3
y x =+5. ；3
2
()0.0000020.0034100C x x x x =-++(500)1600;(400)(200)552
C C C =-=习题5.2
1.（1）
（2）
（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1a
1711012-112122-1
5
-12
-2. （1） （2）（3）（4）515t e C +4
1(32)8x C --+1ln 122
x C --
+2
31(23)2x C
--+（5）（6）（7）
（8）C -+ln ln ln x C +111tan 11x C +2
12
x e C --
+（9）（10）（11）ln cos ln sin x x C -++ln cos
-3sec sec 3
x
x C
-++（12）（13）（14）
C
+4
3ln 14
x C --+2sec 2x C +（15 （16）12arcsin 23
x C +229ln(9)22x x
C
-++（17 （18）
微积分第六章习题答案
（3）由中值定理 ，求证
证明：
6.3泰勒公式
习题6.3
1.按 的幂展开多项式
解：
所以
2.应用麦克劳林公式，按 的幂展开函数
解：
所以
3.求函数 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式。
解：
所以 其中 位于 和 之间。
4.求函数 按 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 阶泰勒公式。
解： 继而可归纳出 于是 所以
令 ，根据拉ห้องสมุดไป่ตู้朗日中值定理， ，即 ，所以 。
总之得
22.证明：若 为常数，则 是线性函数。
证明：设 ，则 ，所以 为常数，设为 ，则
23.证明下列不等式：
（1） 。
证明： 。
（2） 。
证明： 。
24.求证： 在 间至少有一个根。
证明：设 ，则 ，利用罗尔定理可得结论。
25.求证： 的根不超过三个。
（2）对函数 在区间 上运用拉格朗日中值定理即可。
6.2洛必达法则
习题6.2
1.用洛必达法则求下列极限：
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解： 。
（7）
解： 。
（8）
解：
（9）
解：
（10）
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。 13
、lim ____________x →+∞
=。
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。 2、x
微积分课后习题参考答案第六章
第六章 微分方程与差分方程
§1微分方程的基本概念
习 题 6 — 1
1.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3
-=Cx y ； 解：3
-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；
⑵ax x
y
y +=
'，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2
是ax x
y y +='的特解（因为b 不是任意常数）；
⑶()()022
='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；
解：()xy y ln =是()()022
='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；
⑷0127=+'-''y y y ，x x
e C e C y 4231+=；
解：x x
e C e
C y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；
⑸x y y y 2103=-'+''，50
355221--
+=-x e C e C y x x
. 解：50
3
55221--
+=-x e C e
C y x x
是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。 2.在曲线族()x
e
x C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.
解：由题意得：()x
e x C C C y 222122++='，
微积分习题答案经济数学微积分主编张建梅马庆华.ppt
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§5.3 部分习题答案
(9).
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（6）.
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7）
《微积分》第五章、第六章练习题
《微积分》第五章、第六章练习题
一、单项选择题.
1.若()f x 在[]1,1-上连续，且平均值为
2.则1
1()f x dx -=⎰（ D ）.
A.-1
B.1
C.-4
D.4
2.若函数()f x =sin x ，则()f x 的一个原函数为 D . A.x sin +1 B.x sin -1 C.x cos +1 D.x cos -1
3.设()f x 是连续函数，且31
()()x F x f t dt =⎰，则()F x '等于（ A ）.
A.233()x f x -
B.3()f x
C.233()x f x
D.3()f x - 4.设I=dx x ⎰
-21
,则I= C .
A.0
B.1
C.
25 D.2
3 5.20
cos lim
x
x tdt x
→=⎰
（ D ）.
A.-1
B.0
C.
1
2
D.1 6.已知c x x x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f A .
A.1ln +x
B.x ln
C.x
D.x x ln
7.设)(x f 是连续函数，且⎰=1
2
x dt t f x F )()(，则)(x F '等于 A .
A.)(22x xf -
B.)(2x f
C.)(22x xf
D.)(2x f - 8.设定积分I=dx xe x ⎰-1
0，则 D .
A.I=1
1
0x x
xe
e dx ---⎰ B.I=1
1
0x x xe
e dx ----⎰
C.I=1
10
x x xe e dx --+⎰ D.I=1
1
x x xe e dx ---+⎰
9.若()()f x x ϕ'=，则1
()2
x dx ϕ=⎰ A .
微积分课后答案第五章
习题五 （A ）
1．求函数，使，且)(x f )3)(2()(x x x f --='0)1(=f .
解：
6x 5x )(f 2++-='x C x x x x f +++-=⇒625
31)(23
623
0625310)1(=
⇒=+++-⇒=C C f 6
23
62531)(23+
++-=x x x x f
2．一曲线过点（0，2），且其上任意点的斜率为)(x f y =x x e 32
1+，求. )(x f
解：x e x x f 32
1)(+=
C e x x f x ++=
⇒341)(2
1232)0(-=⇒=+⇒=C C f
134
1)(2
-+=
⇒x e x x f
3．已知的一个原函数为，求. )(x f 2
e x ⎰
'x x f d )(
解：
2
2
2)()(x x xe e x f ='=⎰
+=+='C xe C x f dx x f x 2
2)()(
4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dt
dx
sin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.
解：
t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(3 1212)0(=⇒=+⇒=C C S 1cos )(3++=⇒t t t S
5．设[]2
11)(ln x x f +='，求.
)(x f
解：[]12
arctan )(ln 11)(ln C x x f x
x f +=⇒+=
'
)0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x
6．求函数，使)(x f 5e 11
微积分第五章习题详解
第五章
习题5-1
1.求下列不定积分：
(1)
2
5)x -d x ;
(2) 2
⎰x ;
(3)
3e x x
⎰d x ； (4) 2cos 2
x
⎰
d x ； (5) 23523
x x
x
⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x
x x x ⎰.
解
5
15
17
3
2
22
22
2
2210(1)
(5)(5)73
d d d d x x x x x x x x x x C -=-
=-=-+⎰⎰⎰
11322
222113222
35
22(2)(2)242
35
d d d d x x x x x x
x x x x x x
x x C
--
==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰
213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3
1cos 1111
(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333
125225()223(ln 2ln 3)3ln()3
e e d e d e e d d d d d d d d x x x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x C C
x x x x x x x x x C
x x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222
222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x
x x x x x x C
-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰
2. 解答下列各题：
微积分课后习题答案 第五章
第五章
习题5-1
1.求下列不定积分：
(1)
2
5)x -d x ;
(2) 2
⎰x ; (3)
3e x x
⎰
d x ； (4) 2cos 2
x
⎰d x ； (5) 23523
x x
x
⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin x
x x x ⎰.
解
5
15173
2
2222
2
2
210(1)
5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰
11322
222113222
35
2
2(2)(2)24235
d d d d x x x x x x
x x x x x x x x C
--
==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰
213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3
1cos 1111
(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333
125225()223(ln 2ln 3)3ln()3
e e d e d e e d d d d d d d d x x x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x C C
x x x x x x x x x C
x x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222
222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x
x x x x x x C
-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰
2. 解答下列各题：
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（12） （13） （14）
（15） （16）
（17） （18）
（19） （20）
（21） （22） （23）
习题5.3
1.（1） （2）
（3） （4）
（5）
2.（1） （2） （3）
（4） （5） （6） （7） （8）
习题5.4
1.（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） （7）
（5）发散（6） （7）----（11）略
2.略
3.略
4.略
复习题六
一
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） （7）
（8）
（9）
二（1）D（2）D（3）D（4）C（5）B（6）C（7）D（8）D（9）D
三（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） （7）
（8） （9） （10）
四．略
五．
六．
（8）
（9） （10）
复习题五
1.（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
（8） （9） （10）
2.1.（1）A（2）A（3）A（4）A（5）C（6）D
3.（1） （2） （3）
习题6.1
1.
2.（1） （2）
3.（1） （2）
4.略
5.
6.
习题6.2
1.（1） （2）
（3） （4）
2.（1） （2） （3）
习题5.1
1.（1） ； （2）无穷多；常数（3）所有原函数（4）平行
2. ；
3.（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
4.
5. ；
习题5.2
1.（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
2.（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3.
4.
5.（1） （2）
6.
7.
8.
习题6.3
1.（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11）
2.（1） （2）
3.等式左右两端有相同的导函数，故相等。
习题6.4
1
2.（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
3.Biblioteka Baidu
习题6.5
略
习题6.6
1.（1） （2）发散（3） （4）发散