3.2.1立体几何中的向量方法(一)
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前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a // b的 充要条件是存在实数，使a＝ b。
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
uv u v
.
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
H A D1 A1 B1 C B C1
D
AC ( AB BC )2 1 1 2 cos 60 3
1 cosA1 AC 3 | AA1 | | AC | AA1 AC
2
AC 3
6 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
sinA1 AC
6 6 。 A1 H AA1 sinA1 AC ∴ 所求的距离是 3 3 问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
a u
l
a
l
|au| cos( ) l , 的夹角为 ， 2 | a || u |
u
u v
| uv | , 的夹角为 ， cos | u || v |
u
v
| uv | cos , 的夹角为 ， | u || v |
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
一、点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
P
O
二、直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. l P , 对于直线 l 上的任一点 P 存在实数 t 使得 AP t AB
a
B
A
此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的 位置，还可以具体写出l上的任意一点。
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
三、平面的法向量
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n
b
P
a
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 解：
则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,a // u a2 b2 c2
若a (a1, b1, c1 ), u (a2 , b2 , c2 ),则 l a // u a ku a1 ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 .
巩固性训练1
O
OP xa yb
这样，点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
六、夹角：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
2
), cБайду номын сангаасs
ab a b
；
所成的角为 (0 ≤ ≤ 直线 l 与平面
2
),sin
au a u
；
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
则n AB， n AC （x，y，z） (2, 2,1) 0，（x，y，z） (4,5,3) 0, 1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1 3 1 n ( , 1,1), | n | 2 2
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
m, n , 且m, n相交，
同理a c 0.
内任一向量 p可以表示为如下形式： p xb yc, x, y R. a p a ( xb yc) xa b ya c 0,
l与内的任一直线垂直.即l .
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
u
v
u v uv 0
五、垂直关系： 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m, l n. 求证： l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m, l n,a b, a b 0.
线线平行
线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ； l ∥ a u a u 0 ；
面面平行
∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
设直线l的方向向量为a (a1 , b1 , c1 ), 平面的
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a
u
l a // u a u
求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：如图，分别以AB,AD,AA1
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为1， 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，B1(1,0,1)，
C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
l
l
a
b
m
a b
m
|ab | cos l , m的夹角为 ， | a || b |
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
巩固性训练2
1.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
相交
巩固性训练3
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
l
m
a b
l // m a // b a b
a
u
l
l // a u a u 0
u
// u // v u v
v
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a // b的 充要条件是存在实数，使a＝ b。
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
uv u v
.
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
H A D1 A1 B1 C B C1
D
AC ( AB BC )2 1 1 2 cos 60 3
1 cosA1 AC 3 | AA1 | | AC | AA1 AC
2
AC 3
6 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
sinA1 AC
6 6 。 A1 H AA1 sinA1 AC ∴ 所求的距离是 3 3 问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
a u
l
a
l
|au| cos( ) l , 的夹角为 ， 2 | a || u |
u
u v
| uv | , 的夹角为 ， cos | u || v |
u
v
| uv | cos , 的夹角为 ， | u || v |
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
一、点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
P
O
二、直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. l P , 对于直线 l 上的任一点 P 存在实数 t 使得 AP t AB
a
B
A
此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的 位置，还可以具体写出l上的任意一点。
OP OA ta ， OP xOA yOB (x y 1）
三、平面的法向量
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定.
n
b
P
a
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 解：
则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,a // u a2 b2 c2
若a (a1, b1, c1 ), u (a2 , b2 , c2 ),则 l a // u a ku a1 ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 .
巩固性训练1
O
OP xa yb
这样，点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面的位 置，还可以具体表示出 内的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
六、夹角：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
2
), cБайду номын сангаасs
ab a b
；
所成的角为 (0 ≤ ≤ 直线 l 与平面
2
),sin
au a u
；
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
则n AB， n AC （x，y，z） (2, 2,1) 0，（x，y，z） (4,5,3) 0, 1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1 3 1 n ( , 1,1), | n | 2 2
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
m, n , 且m, n相交，
同理a c 0.
内任一向量 p可以表示为如下形式： p xb yc, x, y R. a p a ( xb yc) xa b ya c 0,
l与内的任一直线垂直.即l .
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
u
v
u v uv 0
五、垂直关系： 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线， 且 l m, l n. 求证： l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a, b, c.
l m, l n,a b, a b 0.
线线平行
线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ； l ∥ a u a u 0 ；
面面平行
∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
设直线l的方向向量为a (a1 , b1 , c1 ), 平面的
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a
u
l a // u a u
求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：如图，分别以AB,AD,AA1
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系.设正方体的棱长为1， 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，B1(1,0,1)，
C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
l
l
a
b
m
a b
m
|ab | cos l , m的夹角为 ， | a || b |
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
巩固性训练2
1.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
相交
巩固性训练3
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
l
m
a b
l // m a // b a b
a
u
l
l // a u a u 0
u
// u // v u v
v
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则