南京市2012届高三数学二轮复习讲座资料讲座7——附加题归类分析及应对策略
2012高考数学二轮专题复习-解答题答题策略
2012高考数学二轮专题复习-解答题答题策略D函数与导数及不等式.2.解答策略：(1)审题要慢，解答要快.审题时,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识；(2)确保运算准确,立足一次成功；(3)讲究书写规范,力争既对又全,这就要求考生在面对试题时, 要会而对,对而全,全而规范.(4)面对难题,讲究策略,争取多得分.解题过程在其中某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）（3）问.总之,对高三学子来说:准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！【考点在线】考点一三角函数与平面向量三角函数的解答题是每年的必考题目，主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形，可能与平面向量结合在一起命题。
试题呈现以下特点:(1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等)求值；（2）通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数，然后研究三角函数的性质，如：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；（3）利用正、余弦定理及恒等变换解三角形； （4）与平面向量结合，利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换。
例 1. (2011年高考安徽卷文科16)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3212cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC中，由正弦定理sin sin a bA B=得sin 22sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()22222=+=.【名师点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
江苏省南京市2012届高三数学教师寒假培训6--高三数学二轮复习要求与建议(孙旭东)
均分 3.60 2.89
8．已知四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，l 为空间一直线， 则“l 垂直于两腰 AD，BC”是“l 垂直于两底 AB，DC”” 的 ▲ 条件(填写“充分不必要”“必要不充分” ， ， “充要”“既不充分也不必要”中的一个)． ，
11．记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N*)， 已知 am－1am＋1－2am＝0，且 T2m－1＝128， 则 m＝ ▲ ．
不思则无，深思则远，远思则宽
几种有效的练习与测试：
①针对填空题的专项训练（14个填空题，45分钟）；
②针对前3个解答题的专项训练（4道解答题，45分
钟）；
③小综合训练（10道填空题＋3道解答题，1小时）；
④补偿矫正测试（将一段时间内学生错误较多的题改
编并形成试卷）； ⑤课本改造题测试（回归基础）
关键在选题
y
1 O 1
x
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 二 次 函 数
f ( x) x 2 x b （x∈R）的图象与两个坐标轴有三
2
个交点，经过这三个交点的圆记为 C． （1）求实数 b 的取值范围 （2）求圆 C 的方程 （3） 问圆 C 是否经过某定点 （其坐标与 b 无关） ？ 请证明你的结论．
平时的做题要“审题（慢），弄清有什么； 明确任务，弄清要什么；选择方法，缩小有 什么和要什么之间的距离，进而尝试怎样缩 小”． 作为教师，要根据学生的实际状况选择恰 当的题，选择恰当的讲题的方法，最大限度培 养学生解题的能力．
建议将分析题的过程尽可能的还给学生。避 免只给学生讲技巧性较强的方法。
5
7 9 11
三角函数的的图象与性质
平面向量及其简单应用 等差数列和等比数列 基本不等式及其应用
2012届南京市高三暑期讲座一——高三数学教学工作如何更有效 (张云飞)
a1 , a 3 , a 5 , a 7
成公比为 q 的等
a 2 , a 4 , a 6 成公差为 比数列，
1 的等差数列， q 的最小值 则 是________
(2011 江苏高考 14 题) 设集合
A {( x , y ) | m 2 ( x 2) y m , x , y R }
例（2011年高考第19题） f ( x ) x 3 ax , g ( x ) x 2 bx , 已知a，b是实数，函数 f ( x ) 和 g ( x ) 是的导函数，若 f ( x ) g ( x ) 0 在区间Ⅰ上 恒成立，则称f(x)和g(x)在区间Ⅰ上单调性一 致． （1）设a＞0，若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞）上 单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设a＜0且a≠b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为 端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．
2 2 2
,
, 若 A B , 则实数 m 的取值范围是 ______________
B {( x , y ) | 2 m x y 2 m 1, x , y R }
(2010 江苏 13 题) 在锐角三角形 ABC 中，A,B,C 的
b
对边分别为 a,b,c， a 则 tan A
教学生， 教学生学， 教学生学会， 教学生学会学。
为了让高三数学教学更有效， 我们需要思考
我们想做什么？ 我们要做什么？ 我们能做什么？ 我们怎样去做？ 我们做得怎样？ 起点上的终点思考: ---计划谋划，以利现在做得更好。 终点上的起点思考: ---回顾反思，以利今后做得更好。
有关高三数学教学更有效的几个问题
南京市2012届高三第二次模拟考试参考答案与评分标准
（没有说明“在 x＝1 附近，f(x)＝ex－bx”的扣 1 分) （2）解法一 f(x)＝0 同解于 g(x)＝0，因此，只需 g(x)＝0 有且只有一个解． 即方程 ex－bx＝0 有且只有一个解． ex 因为 x＝0 不满足方程，所以方程同解于 b＝ ． x (x－1)ex ex 令 h(x)＝ ，由 h(x)＝ ＝0 得 x＝1． x x2 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)∈(e，＋∞)； „„„„„„„„„„ 6 分
南京市 2012 届高三第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．(－∞，0] 5．[－4，2] 9．3 13．2 3 2．4 6． 5 2 5 3． 6 7．x2＋y2－x－y－2＝0 11．48 4．20 27 8． 35 12．①②
x0 x0 x0 x0
因此，在 x∈(0，2)上也无极大值．
„„„„„„„„„„„ 12 分
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②当 b＞e 时，g(lnb)＜0． 因为 g(0)＝1＞0，g(2lnb)＝b2－2blnb＝b(b－2lnb)＞0， 2 （令 k(x)＝x－2lnx．由 k(x)＝1－ ＝0 得 x＝2，从而当 x∈(2，＋∞)时，k(x)单调递增， x 又 k(e)＝e－2＞0，所以当 b＞e 时，b－2lnb＞0． ） 所以存在 x1∈(0，lnb)，x2∈(lnb，2lnb)，使得 g(x1)＝g(x2)＝0．
2012江苏南京高三数学教师寒假培训2--应用题归类分析及应对策略解析
问题4：可以用选好 的变量来算出规则图 形的面积吗？
29
基本题型二
变化着的几何背景！
问题1：是什么在影响着 阴影部分（几何体形状）的 变化？主动点（幕后的黑手 ）是谁？
问题2：如何把这种“影 响”用一个变量来体现？
问题3：怎样才能使得阴影 部分面积最小？ 阴影部分的面积可求吗？ 问题4：可以用选好的变 量来算出规则图形的面积吗 ？
9
三、复习教学策略
例说
有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、 焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽 略不计）．有人应用数学知识作了如下设计： 如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小 正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体 的高为小正方形边长，如图（b）. （1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体 的最大容积V1.
问题变为在约束条件πr2+2πrh=S＝16时， 求V＝πr2h的最大值
14
三、复习教学策略
例说
变换背景（变式教学） 请学生谈谈对上述变化及解法的感受.
2 2 侧面 侧面 1 侧面 侧面
底面
3
1
1
V1≈4.74
V2＝6
猜猜看，想得到最大 容积的无盖容器，就 做成什么形状？
V3≈6.6
V4≈ 9.32
24
基本题型二
D C
A
O
B
变化着的几何背景！
25
基本题型二
变化着的几何背景！
问题1：是什么在影响着阴影部分（几何体 形状）的变化？主动点（幕后的黑手）是谁 ？
26
基本题型二
变化着的几何背景！
问题1：是什么在影响着 阴影部分（几ห้องสมุดไป่ตู้体形状）的 变化？主动点（幕后的黑手 ）是谁？
2012高三数学二轮复习专题讲座3高三基本题过关的策略与建议
（2）基本定理关 要求对教科书中任一公式、定理有准确的、实质性 要求对教科书中任一公式、 定理有准确的、 的理解，还要能独立推证。应用方面除了分清条件、 的理解，还要能独立推证。应用方面除了分清条件、 结论、应用范围、注意事项外，还要注意它的正用、 结论、应用范围、注意事项外，还要注意它的正用、 逆用、变用和巧用。 逆用、变用和巧用。
2．摸清考情
讲高考的必考内容，不讲与高考无关的内容。 讲高考的必考内容，不讲与高考无关的内容。 课标、教材， 教学要求” 考试说明” 课改区、 “ 课标、教材， 教学要求”“考试说明” 课改区、江 ， ， 苏省、 苏省、全国高考的高考题是我们确定讲什么的最重要 的依据。 的依据。 课标和“考试说明” 决定考什么， ， 课标和“考试说明” 决定考什么，而高考题给出了相 应知识板块怎么考的问题， 如命题的设问方式 、 趋势、 应知识板块怎么考的问题， 趋势、 难易度，所以常结合课标， 考试说明” 难易度，所以常结合课标， 考试说明” 研究各地高 “ ， 考题，体会各知识点考不考？怎么考？成为我们日常 考题，体会各知识点考不考？怎么考？ 备课的自觉行为和重要的组成部分。 备课的自觉行为和重要的组成部分。
离心率 e =
如图，PA ，PB 与圆 O 相切，由于切线 PA ，
PB 互 相 垂 直 ， 所 以 四 边 形 OAPB 为 正方 形 ，
OP = 2OA ，这样就得到一个关于基本量 a ， c 的
c 齐次方程， 的值。 齐次方程，从而求解出比值 a ( = e ) 的值。
（2010 南通二模） B A 的两个顶点， 例 2． 2010 南通二模） ， 是双曲线 C 的两个顶点， （ 直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P，Q，且与实轴 垂 直 ， 若 PB ⋅ AQ = 0 ， 则 双 曲 线 C 的 离 心 率
高三数学二轮复习讲座详稿
考查特点：三年考题基本上是两小一大，小题大都以考查基本公式、
基本性质为主.如：图像及图像变换、七条性质及简单的三角变换；
解答题主要以三角形为载体，综合考察三角函数的基本性质和有关
公式的恒等变换以及用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问 题.此类题目涉及知识点较多，综合性较强，考查能力比较全面， 是高考三题考察的热点题型.
排列组合概 率统计
总
一、对07年、08年、09年高考数学试卷的分析
六大主干知识总分值大约在130-140分之间，各部分 知识三年分值变化不大，还有一部分知识三年考察的题型
都没发生变化，例如三角函数解答题三年文理考查的都是
三角形中的三角函数问题，立体几何三年文理考查的都是 比较特殊的四棱锥. 启示：教学中必须加大这六大知识模块的专题讲解,并 且要针对高考考查的方向去训练.千万别盲目的训练，浪费
以下几点：
（1）熟练理解和掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想 解题的基础. （2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，这是中学数学的 重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.一定把握好三个“ 二次”之间的相互转化.
二、如何搞好2010年高考的二轮复习
二、如何搞好2010年高考的二轮复习
复习提示：三角函数的基本公式、图象与性质、特殊角的三角 函数等基本知识应烂熟于心. 要加强三角函数恒等变换的训练， 注重解三角形等三角综合应用.
高考预测：2010年高考估计仍然会有2至3到小题主要考查化简
求值或图像变换、解三角形、恒等变换，很有可能和其他知识 综合考查；解答题依然可能以正、余弦定理为知识框架，以三 角形为依托进行考查；但考查三角函数的图像与性质可能性更 大，另外也有可能结合实际问题考查正、余弦定理.
2012年高考数学二轮复习策略
2012年高考数学二轮复习策略一. 高考复习备考是一个系统工程第一轮复习(对高中数学知识--高考知识认知的第一次飞跃) 关键词基础知识过关目标：构建知识网络，掌握通性通法，夯实基础，构建体系，关注综合，提高运算能力，完成对50%的选择填空题(一般指选择题的前8道、填空题的前2道)的正确快速解答，50%的基础解答题(一般指前两道解答题)的正确解答(通过一轮复习，一般要平均达到高考卷面成绩的50%，即75分).第二轮复习(对高中数学知识--高考知识认知的第二次飞跃) 关键词综合能力突破目标：完善模块知识联系，关注题型，提高解题技巧；关注解题模式，提高解题效益；关注数学思想方法，增强数学能力；关注试题特征分析，实现从知识到分数的转变.完成对剩余选择填空题的基本正确解答、中档解答题的正确解答(通过二轮复习，一般要平均达到高考卷面成绩的80%，即120分).做法：分专题分题型进行复习，对基础题型(如理科的三角、立几、概率，文科的三角、立几、概率、数列等)注重从题设出发的特性法，要求做到准、快、全，对综合题型注重通性解法与模式，要求在完成通性解法的基础上，分析特性解法.训练解题能力(理解能力、分析能力、运算能力、作图能力等).有机整合专题考试、模拟考试、重点题型考试等.利用《错解本》提高得分能力.临场指导关键词心态调整抓分策略目标：帮助学生树立信心，调整心态，最后题型(高考信息题)、增分技巧点拨(注意：点拨时不能说是最后题型或信息题，否则，一旦不是十分正确，将造成学生心态失常，导致高考失利).做法：讲座式、谈话式或学生自我训练(要看学生情况而定).二. 二轮复习的方法与手段理念：解考纲高屋建瓴明高考方向，抓题型实事求是练应试能力.第二轮复习是高考复习备考中不可或缺的重要一环，它最基本的目的是把学生头脑中的知识转化成试卷上的分数，这是现阶段高考模式下的关键所在.整个二轮复习阶段要扣准考纲要求，抓住高考必考的主干知识与主要题型，有计划地进行专项训练，实现知识向分数的转化，要做一定数量的综合训练题以熟练掌握解题方法及技巧，提高分析问题、解决问题的能力.1.研究高考大纲与试题，明确高考方向，有的放矢要特别关注例题示范，深挖考纲内涵.对照《考试大纲》理清考点：《考试大纲》中有哪些考点；每个考点的要求属于哪个层次；如何运用这些考点解题.对照《考试大纲》理清联系：为了理清联系，可以画出知识网络图表. 对照《考试大纲》理清方法：熟练掌握常用的重要的数学思想方法，有意识地对基本思想和方法进行归纳和总结，掌握科学的方法.2.完善模块知识网络，重视主干知识，构建题型结构，关注解题模式技巧中学数学的主干知识：“两数”(函数、数列)、“两式”(三角式、不等式)、“两直线”(直线与平面的关系、直线与圆锥曲线的关系)；“两率”(概率、变化率即导数)、“两量”(平面向量、空间向量)、“两空间”(空间角、空间距离)工具性知识：函数、导数、向量、不等式、线性规划等3.关注数学思想方法，增强数学能力数学思想与数学能力不是一朝一夕能够培养起来的，它需要一个长期的过程，有一个潜移默化的渐进过程.因此，对数学思想与数学能力的培养要贯穿于整个高考复习备考之中常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、裂项相消法、错位相减法、特值法、待定系数法等；二是逻辑推理方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、解析法、归纳法等；三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等4.精选试题、放大功能、提高效益注重能力培养、突出数学思想、训练运算能力(1)精选试题，提高效率，明确方向.复习选题要更新，要多研究近几年的高考试题和考纲的题型示例，特别是这些题所体现出来的对思维能力的要求，功夫花在如何提高分析问题，解决问题的能力上，问题出来后，不是想着套用什么模型，方法，而是怎么思考，要变解题教学为思维训练，变最后的模拟练习为找感觉、练灵活、训悟性、求准确，忌好高骛远，宜扎扎实实.(2)放大考试题的复习功能：小题大做，一题多解，多题一法，一题多问等.(3)加强规范要求，提高解题效益(4)让学生学会知识迁移5.优化记忆系统，提高运算能力，获得真正突破在影响水平发挥的诸多因素中，不能忽视提取记忆和运算这两个基本环节．无法正确地求解数学问题，常常不是所需的知识不具备，而是记忆系统中的相关知识没有被准确地提取，解答高考题更是如此.尽管高考命题控制了运算难度，但运算能力上的不足导致失分仍然是影响发挥的主要原因．运算基本要求：运算能力是运算技能与思维能力的结合．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力，也包括实施运算中遇到障碍而调整运算的能力．运算能力的考查包括数．的运算和图形．．的运算以及估算．．．数的运算包括数值．．的运算与式子．．的运算，高考以后者为主．从形式上看，代数变形包括恒等变形和不等变形(放缩)．从能力要求上看，代数恒等变形包括两个层次：化简整理；分解组合．运算能力差主要表现为：1．基本代数运算容易出错，2．对较复杂的代数式，只会用逐步抄写来变形，因此需要有意识地安排运算能力的训练，总结运算规律，提高熟练程度；养成对代数式进行观察、对比、分析、推理、联想等的习惯，提高运算能力；要求学生规范答题，规范书写等．09级高三数学备课组2012年2月运算失分是高考失分的一个重要部分09级高三下学期教学进度表综合训练（每周一练）月考命题安排09级高三数学备课组2012年2月。
2012年江苏高考数学考点分析与备考建议
江苏高考数学考点分析与后期全真模拟应对措施距离高考还有30多天的时间，可以说到了冲刺复习阶段。
面对越来越近的高考，如何充分利用剩余的每一天提高复习效率?下面就高考中常见题型进行简单分析，希望能对冲刺2012年高考的考生有所启示。
一、填空题填空题的14道题中，通常1-8题是基础题，9-12题是中等题，13、14题是难题，由于填空题的得分情况对高考成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，一般为45分钟。
填空题解题的基本原则是“小题不能大做”。
解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)。
在解题过程中要灵活运用各种方法进行求解，以求提高解题效率。
二、解答题第一：三角与向量，容易题主要考查：1、三角形问题：正余、弦定理，面积；2、三角函数的图象和性质；3、两角和与差的三角函数。
此类题目通常以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积），解题时须注意角的范围，选用公式是否恰当(如慎用同角间的三角函数关系式解方程组)，不要混淆向量垂直与共线的充要条件，在求解三角函数中问题时不要忽略角的范围等。
第二：立体几何，容易题主要考查：1、平行问题；线线，线面，面面平行，重点仍是线面平行——两种方法（线线法，面面法）；2、垂直问题：条件与结论中都有垂直，重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。
复习时要重视证明、运算、推理的规范训练，要关注翻折问题，要偏重平行、垂直关系的探究与证明。
第三：应用题，中等题近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，比如，08年铺设排污管道最优化问题，09年买卖商品满意度问题，10年测量电视塔高度问题，11年纸盒的切割。
经常涉及的数学模型有：函数模型、不等式模型、三角模型等。
应用题主要分为文字阅读题和图形题，解题时要认真审题，抓住关键词，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来，从而建立数学模型，运用所学的知识解决最优化问题。
江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座3——数列二轮复习建议
数列二轮复习建议一、高考地位与考查要求（一）数列地位数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此，在历届高考中，在2011理（解答题），考查数列递推的有四川、江西、安徽、江苏（解答题）、安徽（解答题）、广东（解答题），考查数列综合问题有四川、福建、湖北、江苏、北京（解答题）、湖北（解答题）、全国（解答题）、上海（解答题）、四川（解答题）、天津（解答题）、浙江（解答题）、湖南（解答题）、陕西（解答题）.江苏08-11数列高考题考查方向：08填空题：第10题，关于等差数列的数阵求下标号（实际求n）；解答题：倒数第2题(考试说明上的始终不变的题).09填空题：第10题，关于等比数列求q；解答题：第17题(关于等差数列求基本量和求n).10填空题：第8题，与切线结合的等比数列求和；解答题：倒数第2题(等差数列求基本量及与不等式的综合问题).11填空题：第13题，等差、等比与不等式的综合；解答题：最后一题(等差数列求基本量及递推问题).分析近两年数列高考题出现的频率和位次，发现数列在江苏高考中始终不变的是一小一大，小题为中难度题，解答题几乎都为难题，考查内容都是关于等比及等差数列的问题，小题几乎都涉及到等比数列，大题几乎都为等差数列，而且09、10和11都围绕同一个数列a n =2n -1来展开设计，值得深思.这些分析说明，江苏高考数列题目与考试说明上的C 级要求是一致的，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题，因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容.高考题型一般有三种：1、关于等差、等比数列的基本量问题，一般是求项、求和，较高的要求是求项数n (如2009第17题)；2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，常用的方法有累加、累乘法；3、等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合(一般不与函数综合).如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、解决问题的能力和数学探索创新的能力.二、基本题型与基本策略基本题型一：例1.（1）（2011辽宁理17）a 2=0，a 6+a 8=-10，可以1a d 和的值；a 6+a 8=2a 7=-10，得到a 7=-5，从而）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，123a a a =5，789456说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果仔细观察已知条件与所求结论的关系，不难发现2417a a a =，2528a a a =，2639a a a =，运用等比数列的性质可以很快得到456a a a =选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算，为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通.（2）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．说明：这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过410a =和3610a a a ，，成等比数列可以直接列出两个关于基本量1a d 和的方程组：12111310(5)(2)(9)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，此方程组是由一个二元一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法求解，第二个方程可化简为217a d d =，学生特别容易将d 直接消去，导致漏解的错误.最终结果20S =200或330.此种题型方法常规，思路明确，计算量适中，属容易题.例 2.（2011全国新课标理17） 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．①求数列{}n a 的通项公式；②设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．23269aa =得32349a a =所以219q =．由条件可知q >0，113a =．故数列{a n }的通项式为a n =13n ．②略. 分）)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 的等差数列。
江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座1——函数与导数二轮复习建议
函数与导数二轮复习建议函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用．下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2008年~2011年四年江苏高考＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为____________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＜0，故－12＜x ＜0，答案为（－12，0）．x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．变式：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______．答案：±1．例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (12)＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________．【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t ∈(0，a ) ∪(1，aa)．说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．2例4（2010年江苏卷）已知函数)的x的范围是 ．【解析】画出函数f (x )1)． 说明：1具体变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在为________________________．答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)．例5（2009年江苏）设a 为实数，函数（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2≥1，得a ≤－1．（2）记f (x )的最小值为g (a )，f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x － a 3)2＋2a 23，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2， x ≤a ， ②（ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时，g (a )＝－2a 2． （ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2．此时，g (a )＝23a 2．所以，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，23a 2， a <0．（3）（ⅰ）当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a , ＋∞)； （ⅱ）当a ∈[－22, 22)时，解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)； （ⅲ）当a ∈(－62，－22)时，解集是(a , a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)． 说明：1．江苏高考中经常考查含有绝对值的函数问题，解决绝对值问题的基本方法是去绝对值，按零点分类去绝对值、平方去绝对值是两种常用方法．2．二次函数在区间上最值的讨论是对二次函数考查的一个热点问题，应熟练解决．将二次函数与分段函数结合起来，要求较高．（2）中之所以用0来区分，是因为①式中应比较a3与a 的大小，②式中要比较－a 与a 的大小．基本策略：1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用（例2），证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中（如例4）．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．题1 定义在R 上函数f (x )，对定义域内任意的x 都有f'(x )＜0成立，则f (－1)与f (－1)的大小关系是___________________．题2 已知f (x )＝ax ＋b ，对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)均满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则实数a的取值范围为___________________．有时还可能用类似于“f (x )＋x f'(x )＜0”的条件，给出了函数y ＝x f (x )的单调性．4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．基本题型二：导数的运算及简单应用例6（2009年江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【解析】y ′＝3x 2－10＝2，得x ＝2，－2，又因为点P 在第二象限内，2x ∴=-．点P 的坐标为（－2，15）．说明：本题考查导数的几何意义，求曲线的切线包括求曲线在某点处的切线和经过某点处的切线，求曲线在某点处的切线问题又包括已知切点，求切线斜率和已知切线斜率，求切点．例7（2009年江苏）函数f (x )＝x 3―15x 2―33x ＋6单调减区间为 ． 【解析】 f ′(x )＝3(x －11)(x +1)，由f ′(x )＜0可知：函数f (x )的单调减区间为（－1，11）． 说明：确定具体函数的单调区间和已知函数单调性求参数取值范围问题是利用导数研究函数单调性的两种典型题型．这类问题的研究中要特别注意以下两个结论：导数在区间上恒大于零是函数在区间上单调递增的充分非必要条件；导数在区间上恒大于等于零是函数在区间上单调递增的必要非充分条件．易错题：若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是____． 错解：（13，＋∞），正解：[13，＋∞）．例8（2011年广东理）函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝ 处取得极小值．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0，2)，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．说明：求函数极值是导数应用的重要方面，闭区间上可导函数的最值只在区间端点或极值点处取得．用导数求极值，我们应该注意的结论是：f ′(a )＝0是x ＝a 为f (x )极值点的必要非充分条件．易错题：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＝______． 错解：4或－3，正解：4．求函数极值的重要环节是检验导函数零点两侧导数符号的变化．例9（2011年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x （x ＞0）的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．【解析】设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，∴M (0，(1－x 0)e x 0)，过点P 的l 的垂线的方程为y －e x 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，∴t (x 0)＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0)，t ′(x 0)＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以，t (x 0)在(0，1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，∴x 0＝1，t (x 0)max ＝12(e ＋1e )．说明：本题考查了导数的运算与几何意义、利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的最值，综合性较高，运算过程较复杂，属难题．例10（2010年江苏卷）将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是 ．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝4(3－x )23( 1－x 2)（0＜x ＜1），方法一：S ′(x )＝43×－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′(x )＝0，得x ＝13，当′(x )＜0，所以函数S (x )递减；当x ∈(13，1)时，S ′(x )＞0，所以函数S (x )S 的最小值是3233．方法二：令3－x ＝t ，由x ∈S ＝43·t 2－t 2＋6t －8＝43·故当1t ＝38，x ＝13时，S 说明：1．导数法是求函数求最值（或值域）的一种最重要方法，一定要熟练掌握．2．“f (x )g (x )”型(其中函数f (x )，g (x )一个为1次、一个为2次）的函数求最值问题在高考中的考查频率非常高，其一般方法除了导数法外，还可以利用复合函数求值域的方法（关键是：换元），将之化归为二次函数或耐克函数求解．基本策略：1．导数运算是导数应用的基础，应该熟练掌握，2011年江苏高考12题（例9）之所以让很多同学望而却步，一点重要原因就是导数运算较为复杂，特别涉及了函数y ＝e －x的求导．2．导数应用的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数的最值和值域．在二轮复习中应加强对各种题型的总结、梳理．例如：用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点（已知切点，则直接用）；②由切点求切线的斜率，进而用点斜式写出切线方程；③由相关条件求出参数的值．用导数求单调区间的步骤是：①求定义域；②解不等式f ′(x )＞0（或f ′(x )＜0）．③写出单调区间．用导数求闭区间上函数的最值的一般步骤：①求导数的极值点；②列表，确定函数的单调性；③比较区间端点和极值点处函数的值的大小，从而确定函数最值．要让学生理解例7、例8说明中提到的几个充分必要条件．3．求函数最值（或值域）的基本方法是导数法和复合函数法（化归为基本初等函数），但两种方法的本质都是在用单调性求最值，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用．利用导数研究函数单调性还有一个优势是能描绘出函数图象的大致的变化趋势，在很多问题中，作出函数的草图，往往效果事半功倍．基本题型三：函数知识综合应用例11已知函数f (x )＝a ln x －bx 2图象上一点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln2＋2． （1）求a ，b 的值；（2）若方程f (x )＋m ＝0在[1e ，e]e 为自然对数的底数，e=2.71828…）．【解析】（1）f ′(x )＝a x －2bx ，f ∴a2－4b ＝－3，且a ln21．（2）f (x )＝2ln x －x 2，f ′(x )＝2x －2或x ＝－1（舍去）．∵2－e 2＜－2－1e 2，∴－2－1e 2≤－m ＜－1，∴m 的取值范围是(1，2＋1e 2]． 说明：解（2）的思路是：①将方程f (x )＋m ＝0变形为－m ＝f (x )，把方程有解问题转化为研究函数图象有交点问题；②再将图象有交点问题化归为函数y ＝f (x )的取值范围问题．用函数方法解决方程问题，是函数应用的一个热点，2011年北京理科卷中就出现了这样一类问题：（2011年北京理13）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．答案： (0，1)． 例12已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a ＞0． （1）若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）若在区间[－12，12]上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3；f' (x )＝3x 2－3x ， f' (2)＝6． 所以曲线y ＝f (x ) 在点（2，f (2)）处的切线方程y －3＝6(x －2)，即6x －y －9＝0．5＜a当x ∈[－12，12]上，f (x )＞0等价于⎩⎨⎧f (－12)＞0，f (1a )＞0，即⎩⎨⎧5－a 8＞0，1－12a 2＞0．解不等式组得22＜a ＜5，或a ＜－22．因此2＜a ＜5．综合①和②，可知a 的取值范围为(0，5)．方法二：f (x )＞0即ax 3－32x 2＋1＞0，即ax 3＞32x 2－1．当0＜x ≤12时，即a ＞32x 2－1x 3＝32x －1x 3； 当－12≤x ＜0时，a ＜32x －1x 3．令g (t )＝32t －t 3，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 则g' (t )＝32－3t 2．在区间[－12，12]上，f (x )＞0x ∈[－12，0)时，a ＜32x －1x 3恒成立，由上表得x ∈(0，12]时， a ＞32x －1x 3恒成立，由上表得5，．当x ＝0时，即0＞－1 综上，根据已知条件a ＞0，则a 说明：研究不等式f (x )＞0在区间两种方法：第一种方法，直接转化为研究带参数的动态函数y ＝f (x )在区间A 上的最小值．由于函数y ＝f (x )带有参数，它在区间A 上的单调性会由于参数a 的不同而变化，因此需要分类讨论．由于函数y ＝f (x )的单调性和其导函数在区间A 上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数y ＝f' (x ) 在区间A 上的零点个数进行分类讨论．问题（2）中的方法一就是遵循这一思路．第二种方法，是将不等式f (x )＞0作变形，将参数a 和变量x 进行分离，将不等式转化为h (a )＞g (x )(或h (a )＜g (x ))，利用极值原理，将问题转化为研究函数y ＝g (x )在区间A 上的最大值（或最小值）的问题．问题（2）中的方法二就是这一思路．由于y ＝g (x )不含参数，其在区间A 上的单调性是确定的，就不需要分类讨论．但要注意的是，有时候由于函数y ＝g (x )形式比较复杂，研究起来也不一定方便．用函数方法研究本等式问题是函数应用的另一个重要方面．由不等式恒成立，求参数取值范围问题成为各地考试函数压轴题的一个主要命题点．江苏2008年第14题和本题非常类似．（2008年江苏）f (x )＝ax 3―3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ ． 答案：4．例13（2010年江苏）设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )=h (x )(x 2―ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．（1）设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数．(i)求证：函数f (x )具有性质P (b )； (ii)求函数f (x )的单调区间．（2）已知函数g (x )具有性质P (2)．给定x 1，x 2∈(1，＋∞)，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2，β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1，β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．【解析】（1）(i) f ′(x )＝1x －b ＋2（x ＋1）2＝x 2－bx ＋1x （x ＋1）2，∵x ＞1时，h (x )＝1x （x ＋1）2＞0恒成立，∴函数f (x )具有性质P (b )；(ii)当b ≤2时，由于x ＞1，令φ(x )＝x 2－bx ＋1≥x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以f ′(x )＞0，故此时f (x )在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x )＝b＞的两根分别为 x 1＝b －b 2－42，x 21， 所以当x ∈（1，b ＋b 2－42）时，φ，b ＋b 2－42)上递减；同理，得f （x 综上所述，当b ≤2时，上递减； f (x )在(b ＋b 2－42，＋∞)上递增． (x )(x 2－2x ＋1)，其中函数h (x )＞0对于任意的x ∈(1，h (x )(x －1)2＞0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上单调递m )x 2＞ mx 1＋(1－m )x 1＝x 1，α＝mx 1＋(1－m )x 2＜β∈(x 1，x 2)，所以由g (x )的单调性知g (α)，|g (x 1)－g (x 2)|，符合题设．m x 2＋(1－m )x 2＝x 2，β＝(1－m ) x 1＋mx 2≤(1－m )x 1＋mx 1＝x 1，于是由α＞1，β＞1及g (x )的单调性知g (β)≤g (x 1)＜g (x 2)≤g (α)，|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符,舍去．③当m ≥1时，同理可得α＜x 1，β＞x 2，得|g (α)－g (β)|≥|g (x 1)－g (x 2)|，与题设不符，舍去．综合①、②、③得， m 的取值范围是(0，1)．说明：（1）(ii) 求函数f (x )的单调区间不是不等式恒成立问题，而是在区间(1，＋∞)研究不等式x 2－bx ＋1＞0的解集，但问题最后依然是化归为讨论二次函数y ＝x 2－bx ＋1在区间的零点个数问题，其中b ＞2时就x 1，x 2范围的判别是难点（可用韦达定理辅助研究）．不在定义域范围内考虑单调区间是这类问题最常见的错误．（2）的综合性很强，问题的实质是利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为讨论自变量的大小．例14（2011年江苏）已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a ＞0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围；(2)设a ＜0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .（1）由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a ＞0，故3x 2＋a ＞0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．（2） 方法一：①当b ＜a ＜0时，所以，任意x ∈(b ，a )，f ′(x )g ′(x )≥0恒成立，即任意x因为任意x ∈(b ，a )，2x ＋b ＜2a x 2恒成立， 所以b ＜a ≤－3b 2．设z ＝a －b ，考虑点(b ，a )(x 0，y 0)．则－6x 0＝1，x 0＝－16，y 0＝－112，b |max ＝112． ②当a ＜b ＜0时，因为函数f (x )x ∈(a ，b )，f0，所以任意x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，－a ) max ＜13，所以|a －b |max ＜13． 在(a ，b )上单调性一致，所以，任意x ∈(a ，b )，f ′(x )g ′(x )x ＋b )≥0恒成立．x ∈(a ，0)，3x 2＋a ≤0，3a 2＋a ≤0，所以－13≤a ≤0，|a 综上可知，|a －b |max ＝13．方法二：令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a 3. 若b ＞0，由a ＜0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab ＜0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(－∞，－－a3)时，f ′(x )＞0，因此当x∈(－∞，－－a3)时，f ′(x )g ′(x )＜0.故由题设得a ≥－－a 3，且b ≥－－a 3，从而－13≤a ＜0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x (x 2－19)，从而当x ∈(－13，0)时f ′(x )g ′(x )＞0，故函数f (x )和g (x )在(－13，0)上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13. 说明：（2）的方法一，是常规的分类讨论，想法比较容易，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0恒成立的讨论比较困难，该过程没有直接利用例12的两种方法，因为含有两个参数，而且区间含有参数，直接讨论有困难，方法一中通过限制参数的范围，将含两参数的三次不等式恒成立问题转化为单参数的二次不等式恒成立问题，对不能转化的范围，利用特殊值的方法进行否定．（2）的方法二则是先依据特殊与一般的关系，缩小参量的取值范围，简化不必要的讨论，先得到|a －b |≤13，再说明可以取得13，从而说明|a －b |的最大值为13．两种方法难度都比较大，但其处理问题的方法，值得我们好好反思．基本策略：1．利用函数方法研究方程与不等式问题是函数综合应用的重要方面，应引起足够重视；2．方程恒有解问题，往往可以转化为两条曲线（其中一条曲线可能为垂直于坐标轴的直线）的交点问题．利用导数研究函数单调性，进而绘制函数图象，对问题的解决大大有益．3．不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值问题，研究的函数可能是含参数的动态函数，也可以是作参变量分离后的定函数．含参数的动态函数的最值需要对其单调性进行分类讨论．在很多问题中，这种讨论最终总是转化为二次函数在区间上零点个数的讨论． 在用函数方法处理不等式问题时，还应该注意两种问题的区别，问题一：对任意x ∈A ，a ≤f (x )恒成立；问题二：存在x ∈A ，a ≤f (x )成立．4．和不等式恒成立，不等式能成立，方程恒有解问题一样，近年来高考出现的一些新定义的问题，也出现过一些新的说法，它们都不直接表述为对函数的研究，但最终都是转化为对函数性质的研究，2010年和2011年高考都是如此．再如：题1 已知两个函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 3＋5x 2＋4x ，（1）对任意的x ∈[－3，3]都有f (x )≤g (x )，则实数k 的取值范围是_________．（2）对任意的x 1，x 2∈[－3，3]都有f (x 1)≤g (x 2)，则实数k 的取值范围是_________． 答案：（1）[45，＋∞)；（2）[141，＋∞)；题2（2011年湖南文改）已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为_________．答案：（2－2，2＋2）．5．对于含参数的函数问题，在解题过程中要能够准确地进行分类讨论．江苏高考函数解答题中经常出现多个变量的问题，这一点应该引起我们足够的重视．分类讨论时，如果能注意应用一些特殊值或必要条件，缩小参量的取值范围，往往能让问题得以简化．本单元二轮专题和课时建议：。
2012高考数学精英备考专题讲座 第七讲第四节填空题的解题策略(2) 文.doc
第四节 填空题的解题策略（2）二 开放型填空题解法示例【题型一】多选型给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选还是少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是要求从结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新的情景，探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是假命题，举反例是最有效的方法.例1一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱点拨：此题考查立体图形的三视图，多选题，应逐个验证，由于几何体摆放的位置不同，正视图不同，验证时应考虑全面.解：如下图所示，三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥四种几何体的正视图都可能是三角形，所以应填①②③⑤．易错点：忽略三棱柱可以倒置，底面正对视线，易漏选③例2甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关.点拨：此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意及概念逐个判断.解：易见123,,A A A 是两两互斥的事件，事件B 的发生受到事件1A 的影响，所以这两事件不是相互独立的.而()()()1235524349()|||10111011101122P B P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=. 所以答案②④. 易错点：容易忽略事件B 的发生受到事件123,,A A A 的影响，在求事件B 发生的概率时没有分情况考虑而导致求解错误.【题型二】探索型从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论.例3观察下列等式：①2cos 22cos 1αα=-;②42cos 48cos 8cos 1ααα=-+;③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-;④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=++++-可以推测，m n p -+= .点拨：此题给出多个等式，出现的系数存在规律，需对此规律进行探索，猜测，推理得出答案.解：因为122,=382,=5322,=71282,=所以92512m ==；观察可得400n =-，50p =，所以962m n p -+=.例4观察下列等式：3323332333321231+2+3=61+2+3+4=10+=⋅⋅⋅，，，，根据上述规律，第五个等式．．．．．为____________.点拨：此题给出多个等式，需寻找规律，探索答案.解：（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右边的底数依次分别为3,6,10…（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为233333321654321=+++++.（方法二）∵易知第五个等式的左边为333333654321+++++，且化简后等于441，而221441=，故易知第五个等式为233333321654321=+++++【题型三】新定义型定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的数学模型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单.例5对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.点拨：此题给出凸集这样一个新概念，需对此新定义理解，对照定义验证各个选项.解：在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界上，故选②③.易错点：忽略④是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此图形，易误选④.例6若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}*()n a 是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ．点拨：此题定义了一个新数列，应透过复杂的符号理解简单的定义，并严格依照定义进行正确推理，寻找规律，大胆猜想.解：因为5m a <，而2n a n =，所以m=1,2,所以5()a *=2.因为1()0,a *=234 ()1,()1,()1,a a a ***===5678910111213141516 ()2,()2,()2,()2,()2,()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,a a a a a a a a a a a a ************============所以1(())a **＝1, 2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a **＝16，猜想2(())n a n **=.易错点：容易对定义不理解导致思路受阻，或理解错误导致解错.【题型四】组合型给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序.例7,αβ是两个不同的平面，m,n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：（1）m n ⊥,（2）αβ⊥,（3）n β⊥（4）m α⊥，若以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________________________.点拨：此题是开放性填空题，只需填一个正确的答案，考查的是线面关系.解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：（1）m α⊥,n β⊥,αβ⊥m n ⇒⊥；（2）m α⊥,n β⊥,m n ⊥αβ⇒⊥.所以可以填m α⊥,n β⊥,αβ⊥m n ⇒⊥ (或m α⊥,n β⊥,m n ⊥αβ⇒⊥).三 减少填空题失分的检验方法【方法一】回顾检验：解答之后再回顾，即再审题，避免审题上带来某些明显的错误，这是最起码的一个环节.【方法二】赋值检验：若答案是无限的、一般性结论，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.【方法三】估算检验：当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.【方法四】作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验即数形结合，一避免一些脱离事实而主观臆断导致错误.【方法五】变法检验：一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.【方法六】极端检验：当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.点评：填空题是介于选择题和解答题之间的一种题型. 它既有选择题的小、活、广，又有解答题的推理运算严谨，考查全面的特点. 因此，在解题过程中可灵活选用选择题、解答题的有效方法灵活解题，以达到正确、合理、迅速的目的.因此在平时训练时要注意以下几点：① 注意对一些特殊题型结构与解法的总结，以找到规律性的东西；② 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用，以快速得到提示与启发；③ 注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答”，以保证解答的正确性.习题7-41. 已知命题“若数列{}n a 为等差数列，且(),,,m n a a a b m n m n N +==≠∈，则.m n bn am a n m +-=-”现已知数列{}n b ()0,n b n N +>∈为等比数列，且(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈，若类比上述结论，则可得到m n b += . 2.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）3.,,,a b c d R ∈, 有以下三个论断：①0ab >；②bc ad <；③c d a b<.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_______________________________________________________.4. 若规定{}1,210,...,E a a a =的子集{}12,...,n i i i a a a 为E 的第k 个子集，其中 12111222n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第_________个子集；（2）E 的第211个子集是____________.5. ①在ABC V 中，90B =o 的充分必要条件是cos c b A =；②函数224y x =+的最小值是52； ③数列{}n a 的前项和为n S ，若21n S n =+，则数列{}n a 是等差数列；④空间中，垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线750x y +-=分圆221x y +=所成的两部分弧长之差的绝对值为π.其中正确的结论的序号为：___________.6．平面几何中的射影定理为：直角ABC ∆中，,90︒=∠A BC AD ⊥则有BC BD AB ⋅=2，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中，AB 、AC 、AD 三边两两互相垂直，A 在面BCD 的射影为点O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCD S S S ∆∆∆ 有怎样的关系 .【答案】习题7-4 1. n m n m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭提示：（新定义型）（1）根据新定义113122=5k --=+.（2）要使得12111222=211n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，需12111222=1+2+16+64+128n i i i ---++⋅⋅⋅+，即要使得1234511111i i i i i -----，，，，分别为1，2，16，64，128，故12345i i i i i ，，，，分别为1，2，5，7，8.5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前n 项和为关于n 的二次式，且常数项为0.④由正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离22d =，半径1r =，劣弧所对圆心角为2π. 6．BCD BOC ABC S S S ∆∆⋅=2提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长DO 交BC 于H ，则DH ⊥BC ,AH ⊥BC .1 =, 2ABC S BC AH ∆⋅⋅1 , 2BOC S BC OH ∆=⋅⋅12BCD S BC DH ∆=⋅⋅而 直角AHD ∆中，90,DAH ∠=︒AO DH ⊥则有2AH OH DH =⋅故BCD BOC ABC S S S ∆∆⋅=2 B O H。
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提升理解促进掌握摭谈高三数学复习需重视的几个问题江苏省江浦高级中学陈久贵受市教研室委托，就高三复习中的几个问题谈一些个人的看法，供参考。
一、五年考题重在“熟悉”从20XX年开始江苏高考按新课标进行命题。
对试卷各题所考查的知识点进行分析，可以看出近五年江苏卷的变化有以下特点：1.《考试说明》规定的8个Ｃ级考点每年必考；36个Ｂ级考点常考，27个Ａ级考点大多数考．如集合、复数、算法、统计、概率、空间几何体中的平行与垂直关系、函数与导数、圆锥曲线与方程等几乎每年都考．2.实际应用问题每年必考，题型为解答题，考查的内容不断在变．20XX年和20XX年是导数，20XX年和20XX年是函数与不等式，20XX年是三角，近五年没有用概率统计、数列等内容替代．五年中四年为中档题（解答题第三题），一年为把关题（解答题第五题）．3.三角试题的考查在条件上不断变化，或置于三角形中，或以向量为条件．除20XX年作为实际应用问题在解答题第三题考查外，其余四年均在解答题第一题考查．4.立体几何证明题，五年均在解答题第二题考查．考查内容除20XX年考查空间几何体中的垂直关系与点面距离外，其余四年均为考查线面、面面平行、垂直关系的证明．5.解析几何解答题考了两年直线和圆的方程，接下来三年连续考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程．直线必过椭圆的特殊点（顶点、焦点或弦的中点）．除20XX年作为把关题在解答题第五题考查外，其余四年均在解答题第四题考查．其中20XX年、20XX年较难；另外，20XX年～20XX年都考查探究，20XX年和20XX年第三小题由探究改为证明．6.数列综合题始终围绕等差、等比数列做文章．除20XX年作为中档题（解答题第三题）考查外，其余四年作为把关题或压轴题在解答题第五或第六题考查，往往与不等式交叉综合，考查代数推理能力，难度大．7.函数知识的综合运用五年中三年为压轴题，两年为把关题．往往与方程、不等式、导数等知识交汇综合，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．8.探究能力必考查，分三个层次，低层次为填空题，中层次为解析几何解答题的第三小题，高层次在压轴题中；代数论证能力的侧重考查是江苏卷的特色，数列综合题和函数综合题中都是浓墨重彩．9.理科加试部分的易中难比例是5∶4∶1，四道题，其中选作和必作各两道．选作题（四选二）是容易题，必作题之一是空间向量与随机变量概率分布轮换考查（如20XX年考空间向量，20XX年考随机变量概率分布）；另一道则由课时少而内容杂的理科选修内容（排列、组合、二项式定理、数学归纳法、推理证明等）交汇而成的综合题型，五年五个样，变化多端，难度大．总之，纵观近五年江苏新高考数学试卷，试卷结构稳定，稳中有变，变中求新，充分体现了新课程理念，为中学数学教学起到了较好的导向作用．10.20XX年江苏高考数学卷的新变化20XX年的江苏高考数学卷，在大格局求稳定的同时，也出现了一些新的变化和亮点．（1）填空题较20XX年梯度分明，难度略有提升填空第9～14题决定了全卷的总体难度，20XX年较繁较难，20XX年明显下降．2012做了微调，层次分明．1～5题只涉及一个知识点，运用基本概念、公式可直接解答；第6题涉及两个知识点；7～9题涉及一个知识点，但有一点运算量；10、11题涉及两个以上知识点，12、13题综合性较强，不易得分；14题对考生能力要求高，要求考生具有一定的转化化归能力、数形结合能力和综合运用知识解决问题的能力，很难得分．（2）中档解答题较20XX年难度增加解答题第一题，三角求值放到三角形中且与平面向量的数量积综合，难度较2011三角求值明显增加．实际应用问题（17题）是二次函数问题，看似简单，但由于设置了参数，对考生来说并不简单．建模容易解模难，第（2）问就难住了部分考生．解答题18题是函数与导数的综合问题，前几年均在19题或20题的位置上，作为把关题或压轴题．今年前置，虽然难度没有去年大，但第（3）问涉及复合函数，且对分类讨论要求较高，作为中档题对考生来说，也是难了点．（3）把关题内容动了大手术20XX 年试卷的一个最大变化是将解析几何由前几年的18题位置后移到19题，由原来的中档题摇身一变为把关题．设置了两问．第（2）问中又设置了两小问，第1）问求值，第2）问证明，字母运算能力、代数推理能力要求层层深入，难度逐渐加大．（4）压轴题以新面孔呈现20XX 年仍然以数列综合问题作为压轴题，以等差、等比数列为素材做文章，虽然不像去年竞赛味那样浓，但由于题干中涉及两个数列的递推关系，给人以耳目一新的感觉．对于考生来说，由于递推关系较复杂，且面孔新，不知所措．中下基础的考生本题难以得分．但对数学优等生来说还是可以施展才能的，不像往年太难而形同虚设．（5）力求在稳定的基础上创新应用题第17题算得上是标新立异，不落俗套．其背景是物理学中的斜上抛运动，按常规是要先建立轨迹方程（函数关系），再通过求最值解决问题．但本题在已知条件中给出了炮弹轨迹方程（二次函数），设置两问，都不用物理知识，只需运用二次函数与方程知识便可解决．背景公平，很有创意．第（2）问对考生的阅读理解能力、转化能力有一定的要求．解答本问的关键是读懂题意，正确转化．二、能力培养重在“思维”思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。
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应对策略： 熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则， 注意不能将列向量写在二阶矩阵 左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．
考点二：二阶矩阵与平面变换
2 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中， 设椭圆 4x2＋y2＝1 在矩阵 A＝ 0
曲线 F，求 F 的方程． 答案：x2＋y2＝1．
，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下
得到点分别为 A1、B1、C1，△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求 k 的值． 答案：2 或－2．
1 变化 2： （2011 年江苏高考）已知矩阵 A＝ 2 －1 答案：＝ ． 2
1
1 ，向量＝ ，求向量，使得 A2＝． 2 1
（三）概率 基本题型：附加题概率考查两个方面问题： （1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率； （2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算． 基本策略: 1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步； 例 1（2010 年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品 率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%．生产 1 件甲产品，若是一等品则 获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元．设生产各种产品相互独立． （1） 记 X(单位：万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率． 答案： （1） X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 －3 0.02
cos －sin ．记忆三部分特征：第一列平方和是 1，且类似单位圆的参 sin cos
数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．
2． 二阶矩阵 M＝
a b的逆矩阵为 M－1 c d
d ad－ bc ＝ －c ad－bc
1d ＝ a |M|－c ad－bc
－b ad－bc
－b
d －b 其中 ． a －c a
是矩阵 M 主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到． 3．矩阵
a b特征多项式 f()＝－a －b． c d －c －d
（二）坐标系与参数方程 考点 1：极坐标化为与直角坐标 例 1（2010 年高考题）在极坐标系中，已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0 相切， 求实数 a 的值． 答案：a＝2，或 a＝－8．
－
2 2 ． 2 － 2
－1
说明： (M2M1) 1＝M1
－
M2 1．
－
考点 4：特征值与特征向量
1 2 7 例 4 已知矩阵 A＝ ，向量＝ ． 4 －1 4
（1）求 A 的特征值1、2 和特征向量1、2； （2）计算 A5的值．
2 1 （2）435． 答案： （1）1＝2，1＝ ；1＝3，2＝ ； 1 1 339
x
3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关 的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．
考点 2：参数方程转化普通方程
x＝ t－ t， 例 3（2009 年高考题）已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数，t＞0)．求曲线 C 1 y＝3(t＋ t )
的普通方程． 答案：3x2－y＋6＝0．
2 1
的逆矩阵．
说明：方法一，根据 A A 1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．
－
应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为 了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．
变化 1：已知 答案：B＝
1 0 B＝－4 3 ，求二阶矩阵 B． 1 2 4 －1
于 ρcosθ＝y 的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．
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变化 1： （南京市、 盐城市 2010-2011 学年度第三次调研） 极坐标系中， 已知圆 C： ＝2 2cos 和直线 l：＝ (R)相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长． 4 答案：2．
（一）矩阵与变换 考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法． 例 1（南京市 2008－2009 学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点
0 坐标为 A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC 在矩阵 1
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－1 0
作用下变换所得到的图形
（2）(1，2)． 说明： 可以依次计算两次变换下的对应点， 也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次 变换，应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵， 在本题中即 M2 M1，矩阵乘法是不满足交换律的．
考点三： 逆矩阵
3 例 3（2009 年江苏高考）求矩阵 A＝ 2 －1 2 － 答案：A 1＝ ． 2 －3
x＝2＋2t， x＝2cosθ， (t 为参数)， 椭圆 C 的参数方程为 (θ 为参数)， 试在椭圆 C 上求一点 P， y ＝ 1 － t y＝sinθ
使得点 P 到直线 l 的距离最小． 答案：( 2， 2 )． 2
应对策略：掌握用角参数表示椭圆上动点的方法，并掌握三角函数 y＝asinx＋bcosx 求最值 的方法．
1 b
a 1
的作用下变
变化 3：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于 x 轴的反射变换，再将 所得图形绕原点逆时针旋转 90°． （1）分别求两次变换所对应的矩阵 M1，M2； （2）求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标． 答案： （1）M1＝ 1 0 0 －1 0 －1，M2＝1 0 ；
－4 3 ． 南京市 2012 届高三数学教师寒假培训资料
变化 2：已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下，点 A(1，2)变成了点 A′(7，10)，点 B(2， 0)变成了点 B′(2，4)，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1．
－
答案：M
－1
－2 2 ＝ ． 1 1 － 2
0 1
对应的变换作用下得到
1 变化 1： （南京市 2009－2010 学年度第一学期期末调研测） 求直线 2x＋y－1＝0 在矩阵 0
作用下变换得到的直线的方程． 答案：4x – 3y – 2 ＝ 0． 说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．
2 2
应对策略： 除了某些情形下使用点的变换代替曲线的变换外， 应熟练掌握这类问题一般处理 步骤．例如已知曲线 C 的方程，求变换后的曲线 C1 的方程的过程分三步：1．利用矩阵与 列向量乘法将目标曲线 C1 上的任意一点（x，y）的坐标用源曲线上的对应点(x′，y′)的坐标 表示；2．用 x，y 反表示 x′，y′；3．将 x′，y′带回曲线 C 的方程，得到 x，y 的等式，该等
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的面积． 3 答案：S△A′B′C′＝ ． 2
变化 1： （2010 年江苏高考）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，
k 0 ，N＝0 1)．设 k 为非零实数，矩阵 M＝ 0 1 1
1 0
2．应了解点的极坐标的形式和意义． 2 1 变化 2：在极坐标系中，O 为极点，已知两点 M、N 的极坐标分别为(4， π)，( 2， π)．求 3 4 △OMN 的面积． 答案： 3＋ 2．
变化 3： （南通市 2011 届高三第三次调研测试）在极坐标系中，求经过三点 O(0，0)，A(2， π π )，B(2 2， )的圆的极坐标方程． 2 4 π 答案：＝2 2cos(－ )． 4 说明：方法一：先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程； 方法二：直接利用图形得极坐标方程． O P A B
二、各模块归类分析及应对策略
附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列 2 中的内容，主要有：曲 线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式 定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修 4 系列中的《4-1 几何证明选讲》 ， 《4-2 矩阵与变换》 ， 《4-4 坐标系与参数方程》 ， 《4-5 不等式选讲》 ．
1
应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利 用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．
考点 3：参数方程的应用
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x2 例 4（2008 年江苏高考）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是椭圆 ＋y2＝1 上的一个动 3 点，求 S＝x＋y 的最大值． 答案：2． 变化 1： （南京市 2010 届第二次模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
－ －
3
说明：可以先求矩阵 M，再求 M 1，也可以直接利用逆变换直接求 M 1．
变化 3： （2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面 xOy 上的一个 变换是先绕原点逆时针旋转 45° ，再作关于 x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
22 答案： 2 － 2
说明： （2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性． 应对策略： 一、记忆特征多项式， 和这类问题的求解步骤； 二、理解特征值与特征向量理论．
a b 理论： c d
＝0．
(λ－a)x－by＝0， λ－a x＝x， 即 即－cx＋(λ－b)y＝0．方程组有不全为 0 的解， y y －c