1.2.2基本初等函数的导数公式及四则运算(二7)(2)2013.3.4

( x 2 1) 2 x( x 1) 2 x x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.

解： f ( x) cos x, f ( x) sin x, 3 f ( ) sin . 3 3 2 1
5.已知直线y x 1, 点P为y x 上任意一点,
2
求P在什么位置时到直线的距离最短 ?
1 练习:已知曲线 y 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平 x
行且距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 解：y 3 , y ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; x x
切线问题
3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
2.
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0 =(x3+x-10) | x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x ) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x ) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x ) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x ) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ln x, 则f '( x ) ; x
例3.求下列函数的导数
(1) y sin( x) 2 (3) y cos(2 x)

(2) y sin

3
例4.求下列函数的导数
(1) y 4
x
(2) y log x
3
(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的 （1） [ f ( x) g ( x)]' f ' ( x) g ' ( x); （2） ( f ( x) g ( x))
根据除法公式，有
2 2 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) y 2 x 1 ( x 2 1) 2

( x 2 1)[( x ) (1)] [( x 2 ) (1)]( x 1) ( x 2 1) 2
所Leabharlann Baidua•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0)，其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x00). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 3 ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 2 , - 8 ). 4
切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.
注意:牢记公式呦
'
注意：1、前提条件导数存在； ２、和差导数可推广到任意有限个； ３、商的导数右侧分子中间“－”， 先 子导再母导。
例1求 f ( x) x 2 x sin x 在 x 0 时的导数 .
3 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
例3
解
x 1 设 y 2 , 求 y . x 1
曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, k 从而切线方程为 1 3( x 1), 即3 x y 4 0. y
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ( 4 ) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
'
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
' '
f ( x) ' f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ) （3） ( 2 g ( x) g ( x)
' '
特殊地
(cf ( x)) cf ( x)（c为常数）
' '
g x 1 ' ( ) 2 g ( x) g ( x)
1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的 导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x ) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x ) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x ) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x ) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ln x, 则f '( x ) ; x