2019-2020学年江苏省盐城市建湖县七年级(下)期中数学试卷(含详解答案)

2019-2020学年江苏省盐城市建湖县七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题0分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（）
A．∠3与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角
C．∠1与∠4是内错角D．∠2与∠4是同位角
2．（3分）下列运算，正确的是（）
A．a3+a3＝2a6B．（a2）5＝a10
C．a2a5＝a10D．（3ab）2＝3a2b2
3．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．6x+9y+3＝3（2x+3y）B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1）
4．（3分）以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（）
A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm
C．1cm，4cm，6cm D．2cm，3cm，7cm
5．（3分）某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径是（）厘米．
A．120×10﹣9B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣5
6．（3分）若x+m与x+3的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6
7．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）
A．180°B．90°C．210°D．270°
8．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算﹣3ab•2a2b的结果为．
10．（2分）如图，直线a∥b，若∠1＝40°，则∠2的度数是．
11．（2分）如图，∠1＝∠2，∠DAB＝∠BCD．给出下列结论：①AB∥CD；②AD∥BC：
③∠B＝∠D；④∠DCA＝∠DAC，其中，正确的结论有．（写出正确答案的序号）
12．（2分）已知32×9m÷27＝321，则m＝．
13．（2分）如图是一个长方体的示意图，计算这个长方体的体积为（用含x的代数式表示）．
14．（2分）如图，蚂蚁点P出发，沿直线行走40米后左转30°，再沿直线行走40米，又左转30°，…；照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是米．
15．（2分）若a＝（﹣2020）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，则a、b、c的大小关系为．（用“＜”号连接）
16．（2分）已知（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣8y2，则m2n+mn2的值为．
17．（2分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为35，且DG＝2，则CF的长为．
18．（2分）我们规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，＝4x+6．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．
三、解答题（本大题共有9小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）（﹣3）2019×（）2020；
（2）x2•x3+（﹣x）5+（2x2）3；
（3）（2x+y）（y﹣2x）﹣（x﹣3y）2；
（4）（3a+2b）（3a﹣2b）（4a2+9b2）．
20．（15分）分解因式；
（1）8x2y2﹣18；
（2）（x2﹣1）2+8（1﹣x2）；
（3）x4﹣18x2y2+81y4．
21．（6分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2，其中x2+x﹣2020＝0．
22．（6分）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图．（只能借助于网格）（1）画出△ABC中BC边上的高AD、AB边上的中线CE；
（2）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△A1B1C1；
（3）画一个△ACP（要求各顶点在格点上，P不与B点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共个．
23．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC、EF⊥BC，垂足分别为D、F，且∠ADG＝40°，∠C＝50°．
（1）DG与AC平行吗？为什么？
（2）∠FEC与∠ADG相等吗？为什么？
24．（5分）如图，EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A、B分别在直线EF、GH上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝31°，求∠BAC的度数．
25．（6分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年4月份的日历．如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝，20×22﹣14×28＝．不难发现，结果都是．
（1）请将上面三个空补充完整；
（2）请利用所学的数学知识解释你发现的结论．
26．（7分）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：；
（2）知识迁移：
①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同
的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：；
②已知a+b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
27．（9分）如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．
（1）∠BPD＝°；
（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；
（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝°．
2019-2020学年江苏省盐城市建湖县七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题0分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（）
A．∠3与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角
C．∠1与∠4是内错角D．∠2与∠4是同位角
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【解答】解：A、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确；
B、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确；
C、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误；
D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
2．（3分）下列运算，正确的是（）
A．a3+a3＝2a6B．（a2）5＝a10
C．a2a5＝a10D．（3ab）2＝3a2b2
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析．
【解答】解：
A．错误，a3+a3＝2a3
B．正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘．
C．错误，a2a5＝a7
D．错误，（3ab）2＝9a2b2
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则，侧重练习学生们的运算能力，属于基础题型，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则是解题的关键．
3．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．6x+9y+3＝3（2x+3y）B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1）
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，即可作出判断．【解答】解：A、6x+9y+3＝3（2x+3y+1），因式分解错误，故本选项不符合题意；
B、x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），因式分解错误，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是正确的因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，是中考中的常见题型．
4．（3分）以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（）
A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm
C．1cm，4cm，6cm D．2cm，3cm，7cm
【分析】可根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案．【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形；
B、3+4＞5，能够组成三角形；
C、1+4＜6，不能组成三角形；
D、2+3＜7，不能组成三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5．（3分）某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径是（）厘米．
A．120×10﹣9B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米＝1.2×10﹣5厘米，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（3分）若x+m与x+3的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含x的一次项确定出m的值即可．【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）
A．180°B．90°C．210°D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
8．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，
∴m+1＝±5，
解得：m＝4或m＝﹣6，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算﹣3ab•2a2b的结果为﹣6a3b2．
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣3ab•2a2b＝﹣6a3b2．
故答案为：﹣6a3b2．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2分）如图，直线a∥b，若∠1＝40°，则∠2的度数是140°．
【分析】两直线平行，同位角相等，据此可得∠3，再根据∠3和∠2的是邻补角，直接解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．11．（2分）如图，∠1＝∠2，∠DAB＝∠BCD．给出下列结论：①AB∥CD；②AD∥BC：
③∠B＝∠D；④∠DCA＝∠DAC，其中，正确的结论有①②③．（写出正确答案
的序号）
【分析】根据平行线的判定与性质以及三角形内角和定理分别进行判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
所以①正确；
∵∠DAB＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
所以②正确；
∵∠B＝180°﹣∠2﹣∠ACB，
∠D＝180°﹣∠1﹣∠DAC，
∴∠B＝∠D，
所以③正确；
因为∠DCA与∠DAC不相等，
所以④错误．
所以①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，
12．（2分）已知32×9m÷27＝321，则m＝11．
【分析】根据32×9m÷27＝321，可得：32+2m﹣3＝321，据此求出m的值是多少即可．【解答】解：∵32×9m÷27＝321，
∴32+2m﹣3＝321，
∴2+2m﹣3＝21，
解得m＝11．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．
13．（2分）如图是一个长方体的示意图，计算这个长方体的体积为6x3﹣8x2（用含x的代数式表示）．
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高进行计算即可．
【解答】解：体积为：2x×x（3x﹣4）＝6x3﹣8x2，
故答案为：6x3﹣8x2．
【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是了解长方体的体积的计算方法，难度不大．
14．（2分）如图，蚂蚁点P出发，沿直线行走40米后左转30°，再沿直线行走40米，又左转30°，…；照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是480米．
【分析】根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以40米即可．
【解答】解：∵蚂蚁每次都是沿直线前进40米后向左转30°，
∴它走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴它第一次回到出发点P时，一共走了12×40＝480（米）．
故答案为：480．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出蚂蚁走过的图形是正多边形是解题的关键．
15．（2分）若a＝（﹣2020）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，则a、b、c的大小关系为b＜c＜a．（用“＜”号连接）
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝（﹣2020）0＝1，b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，c＝（﹣）﹣2＝，∴b＜c＜a．
故答案为：b＜c＜a．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
16．（2分）已知（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣8y2，则m2n+mn2的值为﹣16．【分析】根据多项式乘多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再把m2n+mn2因式分解，即可得出答案．
【解答】解：∵（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣8y2，
∴x2+nxy+mxy+mny2
＝x2+（m+n）xy+mny2
＝x2+2xy﹣8y2，
∴m+n＝2，mn＝﹣8，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣8×2＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
17．（2分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为35，且DG＝2，则CF的长为5．
【分析】根据平移的性质可知：AB＝DE，设BE＝CF＝x；由此可求出EH和CF的长．由于CH∥DF，可得出△ECH∽△EFD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长．已知EH、EC，DE、EF的长，即可求出△ECH和△EFD的面积，进而可根据阴影部分的面积求得x的值即可．
【解答】解：根据题意得，DE＝AB＝8；
设BE＝CF＝x，
∵CH∥DF．
∴EG＝8﹣2＝6；
EG：GD＝EC：CF，
即6：2＝EC：x，
∴EC＝3x，
∴EF＝EC+CF＝4x，
∴S△EFD＝×4x×8＝16x；
S△ECG＝×6×3x＝9x．
∴S阴影部分＝16x﹣9x＝35．
解得：x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查平移的性质、相似三角形的判定与性质及有关图形的面积计算，有一定的综合性．
18．（2分）我们规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，＝4x+6．按照这种运算规定，当x＝8时，＝0．
【分析】认真读题，读懂这种新运算的规定，再列式计算．
【解答】解：由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，
x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，
解得x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多项式的乘法，关键是读懂新运算的规律，还要熟练掌握一元一次方程的解法．
三、解答题（本大题共有9小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）（﹣3）2019×（）2020；
（2）x2•x3+（﹣x）5+（2x2）3；
（3）（2x+y）（y﹣2x）﹣（x﹣3y）2；
（4）（3a+2b）（3a﹣2b）（4a2+9b2）．
【分析】（1）先把原式转化为，再按逆用积的乘法法则计算；
（2）先根据同底数幂的乘法，积的乘方法则计算，再根据合并同类项法则计算；
（3）先根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再根据合并同类项法则计算；
（4）连续两次运用平方差公式计算．
【解答】解：（1）（﹣3）2019×（）2020＝＝
；
（2）x2•x3+（﹣x）5+（2x2）3＝x5﹣x5+8x6＝8x6；
（3）（2x+y）（y﹣2x）﹣（x﹣3y）2＝y2﹣4x2﹣x2+6xy﹣9y2＝﹣5x2+6xy﹣8y2；
（4）（3a+2b）（3a﹣2b）（4a2+9b2）＝（9a2﹣4b2）（4a2+9b2）＝36a4+65a2b2﹣36b4．【点评】本题主要考查了逆用积的乘法法则，同底数幂的乘法，积的乘方法则，合并同类项法则，平方差公式，完全平方公式，关键是熟练运用这些法则与公式进行计算．20．（15分）分解因式；
（1）8x2y2﹣18；
（2）（x2﹣1）2+8（1﹣x2）；
（3）x4﹣18x2y2+81y4．
【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解；
（2）先提取公因式（x2﹣1），再利用平方差公式因式分解；
（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝2（4x2y2﹣9）
＝2（2xy+3）（2xy﹣3）；
（2）原式＝（x2﹣1）2﹣8（x2﹣1）
＝（x2﹣1）（x2﹣9）
＝（x+1）（x﹣1）（x+3）（x﹣3）；
（3）原式＝（x2﹣9y2）2
＝（x﹣3y）2（x+3y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2，其中x2+x﹣2020＝0．
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式把原式化简，代入计算即可．【解答】解：∵x2+x﹣2020＝0，
∴x2+x＝2020，
∴（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x﹣x2+2x﹣1
＝﹣2x2﹣2x﹣10
＝﹣2（x2+x）﹣10
＝﹣4050．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．22．（6分）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图．（只能借助于网格）（1）画出△ABC中BC边上的高AD、AB边上的中线CE；
（2）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△A1B1C1；
（3）画一个△ACP（要求各顶点在格点上，P不与B点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共7个．
【分析】（1）根据三角形的中线和高线的概念求解可得；
（2）分别将三个顶点向右平移5格，再向上平移3格得到其对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）根据△ACP面积等于△ABC的面积得出点P在如图所示的直线m、n上，结合图形可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，AD、CE即为所求；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）如图所示，△ACP即为所求，满足这样条件的点P共有7个，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，据此得出变换后的对应点及三角形高线、中线的概念、共底等高的三角形面积问题．23．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC、EF⊥BC，垂足分别为D、F，且∠ADG＝40°，∠C＝50°．
（1）DG与AC平行吗？为什么？
（2）∠FEC与∠ADG相等吗？为什么？
【分析】（1）根据AD⊥BC可得∠ADB＝90°，进而可得∠BDG＝∠C，即可得DG与AC平行；
（2）根据EF⊥BC，可得∠EFC＝90°，由∠C＝50°．可得∠FEC＝40°，进而可得∠FEC与∠ADG相等．
【解答】解：（1）DG与AC平行，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADG＝40°，
∴∠BDG＝90°﹣40°＝50°，
∵∠C＝50°，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC；
（2）∠FEC与∠ADG相等，理由如下：
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠C＝50°．
∴∠FEC＝90°﹣50°＝40°，
∵∠ADG＝40°，
∴∠FEC＝∠ADG．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
24．（5分）如图，EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A、B分别在直线EF、GH上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝31°，求∠BAC的度数．
【分析】利用平行线的性质求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠ABC即可解决问题．
【解答】解：∵EF∥AH，
∴∠BAH＝∠ABE＝31°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝62°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣62°＝28°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（6分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年4月份的日历．如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，20×22﹣14×28＝48．不难发现，结果都是48．
（1）请将上面三个空补充完整；
（2）请利用所学的数学知识解释你发现的结论．
【分析】（1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，填写即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，验证即可．
【解答】解：（1）9×11﹣3×17＝99﹣51＝48，20×22﹣14×28＝440﹣392＝48．不难发现，结果都是48；
故答案为：48；48；48；
（2）设选择的两组四个数的中间数字为x，则四个数为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，
根据题意得：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣7）（x+7）
＝x2﹣1﹣（x2﹣49）
＝x2﹣1﹣x2+49
＝48．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（7分）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2；
（2）知识迁移：
①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同
的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
②已知a+b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．
【分析】（1）用两种不同的方法表示大长方形的面积，可以得到一个等式，
（2）①用两种不同的方法表示大正方体的体积，可以得到一个等式，
②利用等式变形，可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，整体上长方形的面积为（a+b）（2a+b），组成大长方形的六部分的面积和为a2+a2+ab+ab+ab+b2＝2a2+3ab+b2，
因此有（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，
故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2；
（2）①整体上大正方体的体积为（a+b）3，组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此有，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
②由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得，
a3++b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝73﹣3×48﹣3×36
＝91．
【点评】本题考查几何体的体积、图形的面积的计算方法，用两种不同的方法表示同一个图形的面积或同一个几何体的体积，是得到等式的关键．
27．（9分）如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．
（1）∠BPD＝90°°；
（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；
（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝54°．
【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE ﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．
（3）连接BD，先求出∠EBD+∠FDB的度数，再求出∠PBE+∠PDF的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，
∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠PBD+∠PDB＝90°，
∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．
（2）连接BD，
∵∠BED＝140°，
∴∠EBD+∠EDB＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，
∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．
（3）连接BD，
∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，
∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣（152°+136°）＝72°，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，
∴∠PBE ＝∠ABE，∠PDF ＝∠CDF，
∴∠PBE+∠PDF ＝×（180°﹣72°）＝54°，
∴∠BPD＝180°﹣（∠EBD+∠FDB）﹣（∠PBE+∠PDF）＝54°．
故答案为：90；54°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形、四边形内角和定理，解题的关键是这些知识的灵活应用，学会添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形，属于中考常考题型．
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