Banach空间中二阶积分微分方程的周期边值问题(英文)

右端是Carathéodory函数的二阶积分微分方程的周期边值问题

［稿日期］２１收００—１００— ７
周期边值问题（ＢＰ，ＰＶ）
ｒ “ ＝，Ｔ） ” “ ｕ，，
【（）＝Ｍ２，０＝ “ （１） Ⅱ０（竹）ｕ（）２Ｔ，
，
（）１
ｅｒ的积分微分方程的周期边值问题（）其中ｒａ型１，／ＩＲ×Ｒ＋，＝［２是ｃｒｈｏｏ函数，：× ＿Ｒ，０，订］ａａ６ｄｒｔｙ不
ＺＨＡＮＧｉｘｎ，ＺＨＡＮＧｉＬ－ｉＬ，ＷＡＮＧｈａ — ｎｇＺｏｗａ
（ｅａｍｎｏｏｎａｏｏｒｓｆｅｉｇＵｉｎＵｉｒｔ，Ｂｉｎ１００；ＣｉａＤｐｒｅｔｆｕｄｔｎＣｕｓｉｎｎｏｎｖｓｙｅｉｇ０１１ｈｎ）ｔＦｉｅｏＢｊｅｉｊ
ＰｅｉｄｃＢｏｎａｙＶａｕｏｌｍｓｆｒＳｃｎｄｒＩｅｒ－ｒｏｉｕｄｒｌｅＰｒｂｅｏｅｏｄＯｒｅｎｔｇｏｄｆｅｅｉｌＥｑａｉｎｔｒｔｏｏｙＦｕｃｉｎｉｒｎｔａｕｔｏｓｗｉｈＣａａｈｅｄｒｎｔｏｓ
在性。
［键词］周期边值问题；关广义上、下解；单调迭代方法［图分类号］０２１８中４．３［献标志码］Ａ文［章编号］１０．３０２１）２０６－５文０５０１（０１０－０３０
２１０１年６月
北京联合大学学报（自然科学版）

Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

＼ＪＪ，
Ｂｎｃ间．令ｃ，］｛：ａａｈ空ＵＥ一ＵＪ— ＥＩ续｝Ｕ连，则ｃｊ，］［Ｅ在范数ＩＩ一ｍａＩ（）ｌｘｌ￡ｌｕ下也是Ｂｎｃａａｈ空间．令ｃ［，一｛：。－Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第４６卷２１００年第５期
Ｖ０１４２０Ｎｏ．５．６０１
西
北师范大学
学
报自然科学版）（
１３
ＪｕｎｌｏｒｈｓｏｒａｆＮｏｔｗｅｔＮｏｒａｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｍｌＵｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ
ｄｉｆｒｎｔａｑａｉｎｗｉｈｄｉｃｎｔｎｏｅｍｓｉｎｃｐａｅｒｂｔｉｄｆｅｅｉｌｅｕｔｏｔｓｏｉｕｓｔｒｎＢａａｈｓｃｓａｅｏａｎｅ．
ｒｓｌｉ；ｎｏｏｔｒｔｖｅｈｎｑＫｅｒｓ：ｉｃｅｓｎｅａｏｙｗｏｄｎｒａｉｇｏｐｒｔｒ；ｆｘｄｐｎｔｕ —ｏｗｅｏｕｔｏｎｓｍｏｔｎｅｉｅａｉｅｔｃｉｕｅｉｅｏｉ；ｐｌ
近年来，非线性常微分方程周期边值问题解的
一
存在性、唯一性和多解性一直是微分方程领域非常引人关注的问题Ｌ］１，但现有文献大都要求非线性
项ｆｔ连续．本文在Ｂｎｃ（，）ａａｈ空间中，就非线性项ｆ（，在较弱的连续性条件下，利用上下解方ｔ）法与增算子不动点定理，讨论二阶非线性常微分方程周期边值问题ｆ一（）一ｆｔ，ｔＪ一［，丁， … ￡（，） ∈ Ｏ２ｃ］

二阶积—微分方程边值问题解的存在性

二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。

一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。

三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。

四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。

Banach空间中非线性积分微分方程周期边值问题的一种拟上下解法

ｉｅｕａｉｙａｓｎｈｅｈｏｆＬ・ｕａｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｔｏｎｎｄｔｘｅｎｑｌｔｎｄｕｉｇｔｅｍｔｄｏ。ｑｓ・ｐｅｎｏｒｓｌｉｓａｈｅｍｉｄｍｏｎｔｅｉｅａｉｅ。ｏｏｎｔｒｔｖｔｃｉｕｅＭｏｅｖｒｔｅｅｒｓｉｔｔｒｔｖｅｓｑｎｅｏｒｘｉｔｏｎｓｌｔｏｓｇｉｅ．ｅｈｎｑ．ｒｏｅ，ｈｒｏｒｅｔｍａｅｏｆｉｅａｉｅｕｅｃｆｐｏｍａｉｏｕｉｎｓｉｖｎＫｅｒｓ：ｉｔｇｒｄｉｆｒｎｔａｑｔｏｙｗｏｄｎｅｏ— ｆｅｅｉｌｅｕａｉｎ；Ｌ— ｕａｉｕｅｎｏｗｅｏｕｔｏｑｓ — ｐｐｒａｄｌｒｓｌｉｎ；ｍｉｅｏｔｎｅｉｅａｉｅｘｄｍｎｏｏｔｒｔｖ
非线性积分微分方程周期边值问题（Ｂ）ＰＶＰ
・
ｌｅｒ — ｉｔｒｎｉｌｅａｌｎｉｎｃｐｃｓｎｔｇｏｄｔｅｔａｑｕｔｏｎＢａａｈｓａｅｅ
ＬＩＸｉｎｇｆｎａ —ｅｇ
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｓＬｎｄｎｉｅｓｔＱｉｇａｇ７５０ＤｅａｔｎｆＭｔｅｔ，ｏｇｏｇＵｎｖｒｉｃｙ，ｎｙｎ４００，Ｇａｓ，Ｃｈｎ）ｎｕｉａ
‘ ‘ ＾
‘
●
０
１一、
’
ＡｂｔａｔＴｈｘｓｅｃｎｎｑｅｅｓｏｏｕｉｎｏｅｉｄｃｂｕｄｒａｕｒｂｅｆｎｎｉｅｒｓｒｃ：ｅｅｉｔｎｅａｄｕｉｕｎｓｆｓｌｔｏｓｆｒｐｒｏｉｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｓｏｏｌａｎｉｔｇｏｄｆｅｅｔｌｅｕｔｎｎＢｎｃｐｃｓａｅｉｖｓｉａｅ，ｂｓａｌｈｎｉｅｅｔｌｉｔｇａｎｅｒ — ｉｆｒｎｉｑａｉｓｉａａｈｓａｅｒｎｅｔｇｔｄａｏｙｅｔｂｉｉｇａｄｆｒｎｉ —ｎｅｒｌｓｆａ

Banach空间中四阶两点边值问题的正解

Banach空间中四阶两点边值问题的正解李强【摘要】Consider the existence of positive solutions to the fourth-order two-point boundary value problem {u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)),t∈[0,l],u(0) =u(1) =u″(0) =u″(1)=θ where α: [0,1]→R,f: [0,1] ×E→E are continuous. Under the certain conclusions on the first eigenvalue of the relevant linear differential equation, the existence and multiplicity results of positive solutions are obtained by constructing a special cone and using the Krasnoselskii fixed point theorem of condensing mapping. By introducing a new estimation technique on non-compact measure, assumption that uniform continuity of the nonlinear term f is deleted. The obtained results are still new even if in special scalar space.%研究Banach空间中的四阶非线性常微分方程两点边值问题u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)),t∈[0,1],u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=θ,正解的存在性,其中a:[0,1]→R,f:[0,1] ×E→E连续.通过构造一个特殊的锥,在相应线性微分方程第一特征值的相关条件下,运用凝聚映射的锥拉伸与锥压缩不动点定理,获得该问题正解的存在性与多重性结果.利用新的非紧性测度估计技巧,删去了非线性项f一致连续的要求,即使在特殊的纯量空间中讨论,所得到的结果也是新的.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(029)006【总页数】7页(P753-758,763)【关键词】Banach空间;边值问题;锥;正解【作者】李强【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8设E为实Banach空间，正元锥P是正规锥，正规常数为N，空间E中的半序关系由锥P引入。

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲积-微分方程周期边值问题

（＝ｆＭ）Ｎ（））Ｎ（（ｆ（一一（一ｚｆ））７ｆ））
，：—Ｅｘ＝）（，（分别表示ｘｔ＝处的右Ｅ．Ｉ一）Ａｔ）（）（）ｔ在ｔ极限与左极限．ｘ＝ ’ ） ’） ’ 分别表示ｘｔｔｋＡ ’ （一（（））【 ‘ ，在＝处的（）ｔ
ｘＯ＝（）（ａ，） ’）（）（： ’ ．ｏｎ引理２设 ∈Ｐ（，）常数Ｍ＞，Ⅳ ｑＮ ≥ ，２（＝… ，）．，Ｅ，ｃ０ｌ２００１ｍ２一
存在，ｌ …ｍ，。ＥＩ＝ｋ，ｌＣＪ）ｍ＝２Ｐ（￣Ｉ，间）Ｉ１．
’
。
（一）“ ） “ ）（一（）（）（｝
＝
一
１（１（
（）１
ｋ＝１２ … ，，，，
其（＝中Ｇ）
是线性脉冲ＰＶ：ＢＰ
一
（＝（， ’）（，０口（＝ ’）））０口
其中， ∈ ．，｛ｎ０ｔ …＜ａ：ｘｘｘ￣，：，０ｘＥｔ＝ｏ】＜Ｉ＜．ＪＥＥＥ， —￡Ｍ，ＩＥ，，＜ｆ＾
ｋｃＤＲ）Ｄ｛，Ｅｘ，２）ｈＣＪＪＲ） ∈ （，，＝（ｓＪＪｆ，Ｅ（，ｆ）ｘ
本文设Ｅ恒为半序Ｂｎｃａａｈ空间，其半序由Ｅ中的锥Ｐ导出．令Ｐ，）｛ｌＪ＊，ｔＣＵＥ＝ｘ：－Ｅ在＃ｔ处连续，ｔｔ处左连续，．（） ’ ）ｘ－在＝ｔ），（（ ’
科技创新
２１￣５（０２月上）ｌ科技创新与应用

Banach空间分数阶微分方程边值问题的一种拟上下解方法

Ｂａｎａｃｈ空问分数阶微分方程边值问题的种拟上下解方法
一
ห้องสมุดไป่ตู้
李永祥，梁秋燕
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：考虑有序Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中分数阶微分方程边值问题
ＬＩＹｏｎｇ — ｘｉａｎｇ，ＬＩＡＮＧＱｉｕ — ｙａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）
第４９卷２０１３年第５期
Ｖｏ１．４９２Ｏ１３Ｎｏ．５
西
北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｗｅｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｕｎｄｅｒｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙａｎｄｎｏｎｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓｍｅａｓｕｒｅ，ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｏｎｏｔｏｎｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｗｉｔｈＬ— ｑｕａｓｉ — ｕｐｐｅｒａｎｄｌｏｗｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍａｎｄｍａｘｉｍｕｍＬ— ｑｕａｓｉ — ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆ

二阶Volterra—Hammerstein型非线性积分微分方程的周期边值问题及其应用

二阶非线性方程的各种边值问题，由于在力学中的广泛应用已受到人们的极大关注，本文考虑二阶非线性Ｖｌｒ．ｍｍｅｔｉ积分微分方程的周期边值问题：ｏｔｒＨａｅａｒｅｎ型ｓＵ＝ｆ， ” （，“ “ “ ２），丁 “ （）１ “０＝“ １））（）（）（＝“ １＇“ ０（（）２得到了解的存在性．同时，还将所得结果应用于三阶、四阶边值问题．这种技巧也为三阶、四阶边值
（）１≤Ｂ ≤ｆ１，则边值问题ｌ）（ “ ｆ（， “ ２） ” ｔ，“ “ ，，丁 “
“０＝Ａ ‘ ）（），ｌ１＝Ｂ（有解 “ Ｃ【，ｌ，使得（ ≤“ｃ（， ≤ｆ．参见文［］（０】ｆ（ ≤卢ｃ０ ≤１）））４．
维普资讯
大连铁Leabharlann 道学院学报ＶｏＩ２３Ｎｏ３
Ｓｐ２ｅ００２
第２３卷
第３期
２０２年９月０
ＪＵＲＮＡＬ００ＦＤＡＬＩＮＲＡＩＡＬＷＡＹｌＮＳＴｌＴＵＴＥ
文章编号：ｌ０１７（ｏ２０・０５０Ｏ０．６０２ｏ）３００ —３
＝厂Ｏ， “ ， “ ，’ ，“ “ ，
“０＝“１）（）得到了解的存在性，并将所得结果应用于三阶、四阶边值问题．（）（）（＝１，“ ０，

二阶积分微分方程的周期边值问题

（）２（）３
ｐｏ＝ｐ２ｒ，ｐ（）ｌ７（）（７）／ ≤ｐ（ｒ０２）
其中Ｍ＞０，Ｎ０为常数。若Ｍ，满足 Ⅳ
４。Ｍ＋２ｒｏ１７（ｒ７Ｎｋ）
（）４
则ｐｔ０ ∈，（，Ｖｔ。）
证明假设结论不成立，则有两种情形：
分析．
基金项目：国家自然科学基金（Ｏ７１７．１６ｌ６）
维普资讯
１６０６
工
程
数
学
学
报
第２卷４
情形（）由（）Ｉ２式知，一）≥ ０Ｖｔ∈，ｐ（，，而又由于ｐ（ｐ（ｒ）０７，所以有ｐ２））：ｐ（）Ｖｔ∈，，０，这时必有ｐ＝ｐ（）（）＋Ｃ（为某一常数）０Ｃ。因为ｐ０ｐ２ｒ，故ｐ）（）＝（７）：Ｐ（）＝０和ｐｔ＝Ｃ＞００（），由（）２式得
文章编￣：０—０５２０）６１６—５－０５３８（０７０—０５０１
二阶积分微分方程的周期边值问题木
邹玉梅崔玉军
（山东科技大学信息学院，青岛２６１）６５０
摘要：本文研究了二阶积分微分方程的周期边值问题，在反向上下解的条件下，利用Ｆｅｈｔ定理和ｒｄｏｍ比较原则得到其极解的存在性。关键词：期边值问题；Ｆｅｈｌ定理；上下解周ｒｄｏｍ
维普资讯
第２卷第６４期２０年１月０７２
工

Banach空间中n阶非线性脉冲积分-微分方程的边值问题

摘要：用非紧性测度和Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理得到了一类高阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题解的存在性．首先是将其转化成与之等价的积分方程，而转化为算子不动点问进题，然后通过更为精确的非紧性测度的分析，用Ｍ６ｃ利ｎｈ不动点定理证明了方程解的存在性．
｛ “ 一（（，（）… ， ’ ） △“ ｌ；）ｔ， “ （，）
Ｉ“ （）Ｕ０一０Ｕ１’ ｏ） “ｎ１０，（ｏ一（））－（
（一０１…，，，一１ｋ，，；一１２ …）
（一０，，２ｉ，１ … 一）
一
｛ ∈ ＰＥＥｅｌ（）ｌ０。），ＸＩＣＪ，］』』ｌ一（一。｝赋范数ｌｌ一ｓｐ（ｌ（）ｌ “ Ｉ “ｌｕｅｌ１为Ｂｎｃ甜）成ａａｈ空间．令
”（）ｔｔ连续，（（） “ ＿（Ｚ存在，＝１２ … ）当Ｕ∈ 在 ≠ ＸＩ，１ｔ）ｋ＝，，．＝（） “ ’ｔ） … ，（）（）存在． “ ），（７，，令 “（一
ＰＩＥ］｛Ｃ一［，一 “∈ ＰＪ，，ＣＥＥ］ｌ
Ｐ一［，时，Ｃ－明，由牛顿一）则 “ ＥＰ ‘，．文总将Ｕ）解为 “ （）令ＤＥＥ］｛ “（Ｚ，Ｃ［Ｅ］本， “（理ｔ．ＺＰＣＪ，一 “∈ Ｐ［，］ｌ “ Ｃ ‘ Ｅ “ ，
第３卷Ｏ
第２期

Banach空间含间断项的二阶非线性脉冲微分方程终值问题

ｗｉｔｈＤｉｓｃｏｎｉｎｔｕｏｕｓＴｅｒｍｓｉｎＢａｇｓｈｅｎｇＤａｉＢｉｎｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）
ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ［ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｅｍｓｒｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｒｅａｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
国家自然科学基金（Ｎｏｌ１２７１３７１）资助项目收稿日期：２０１３年８月２５日
２
数学理论与应用
” （ｔ）＝ｔ，，），ｔ∈．，，ｔ ≠ｔＺｉｘＩＺｉｘＩ＝Ｉｋ（（ｔ）），ｋ＝１，２， …
一
（１）
＝Ｉｋ（ｘ（ｔ），（ｔｋ）），ｋ：１，２， …
，（ ∞）＝：
（ｏ。）＝
其中，： ∈ Ｅ，Ｊ＝［０， ∞），０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔ＾＜… ＜＋。。，ｋ＝１，２，・・：．，×ＥＸＥ－＋Ｅ，：ＥＥ，：ＥＸＥ— Ｅ，（不假定，厶，，连续），Ｉ＝（￡）一（ｔ一）．

banach空间中二阶微分方程的适定性

二阶微分方程（Second Order Differential Equation）是一个表达一组特
殊函数序列的数学方程，它出现在许多自然科学及工程领域，如力学、热力学、电动力学、流体动力学和声学等。

banach空间是完全不可简
化的二阶微分方程的数学实体，它也是攻克这类方程定义问题的把握。

banach空间内的二阶微分方程的分析有助于理解它们的普遍性，以及
它们的数学、物理和工程重要性。

关于banach空间，主要有两种适定性：周期性适定性和非周期性适定性。

周期性适定性主要考虑二阶微分方程求解问题，指数函数序列存
在某种类型的周期循环机制下解决问题，有时也称为“重整”或“收敛”。

这一概念表明，定义二阶微分方程的本质性质就是周期性，即在一定
时间范围内进行某种特定操作，而且此过程会持续发生直到成功完成。

除此之外，还有一种较为特殊的非周期性适定性，研究人员发现当在banach空间中建立一些非常严格的条件时，它也有可能解决二阶微分
方程。

这意味着二阶微分方程可以在完全不同的环境下进行解析，即
不改变其特征即可解决问题。

这也就是说，在banach空间，非周期性
适定性更多地考虑的是在给定时间的情况下要穷尽全部可能的解决方案，而不是求出在某一个定义范围内可接受的有限数量的解决方案。

总的来说，关于banach空间中的二阶微分方程的适定性，它既可以通
过周期性的方法来解决，也可以通过非周期性的方法来解决，这两种
方式只不过在考虑解决方案的数量以及解决方法的时间精度上有不同
而已。

以上就是banach空间中二阶微分方程的适定性讨论。

§ END OF DOC。

Banach空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性

1引言非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支,文献[1],[2]及[6]-[10]针对不同的方程类型,在不同的空间中分别利用上下解方法及不动点定理等理论讨论了脉冲微分方程解、正解以及多个正解的存在性.文献[1]在R n 空间中利用Shauder 不动点定理考察了方程-x"=f(t,x,x')t ≠t k△x|t=t k=I k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m△x"|t=t k=I軃k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m x(0)=0x(1)=αx(η軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃)(1)解的存在性，文[2]中我们利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理在Banach 空间中讨论了方程(1)的一种特殊情况即第三点η∈(t m ,1]时方程正解的存在性，本文则利用Bai 和Ge 的不动点定理[3]在Banach 空间中得到方程(1)三个正解的存在性.设E 是Banach 空间,J=[0,1],0<t 1<t 2<…<t m <1,J'=J\{t 1,t 2,…,t m },f ∈C[J ×E ×E,E],I k ∈C[E,E],I軃k ∈C[E ×E,E],且对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})上有界,I k 在T r 上有界,I 軃k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).PC(J,E)={x:J →E,x(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC =sup t ∈J||x(t)||下完备PC 1[J,E]={x:J →E,x'(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC 1=max{||x||PC ,||x'||PC }下完备设P 是E 中的一个锥,它引入了E 的一个偏序关系≤,x ≤y 当且仅当y-x ∈P,如果P 是正规锥，则存在正常数N 满足当θ≤x ≤y 时可以推出||x||≤N||y||（N 称做P 的正规常数）.同样Q={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θ,t ∈J}是PC 1[J,E]中的一个锥,且有f ∈[J ×P ×E,P].x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当它满足方程(1)且属于Q,x(t)≠θ.2几个引理引理1[3]设E 是Banach 空间，P 是E 中的一个锥，且存在r 4>r 3>r 2>r 1>0.假设α,β是满足(B 1)(B 2)的非负连续凸泛函，ψ是锥P 上的一个连续凹泛函且对所有x ∈P(α,r 4;β,L 2)有ψ(x)≤α(x).若T:P(α,r 4;β,L 2)→P(α,r 4;β,L 2)是全连续算子且满足：(C 1){x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬,且ψ(Tx)>r 2,坌x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)(C 2)α(Tx)<r 1,β(Tx)<r 1,坌x ∈P(α,r 1;β,L 1).(C 3)对于{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},若α(Tx)>r 3,必有ψ(Tx)>r 2.那么T 在P(α,r 4;β,L 2)中至少有三个不动点x 1,x 2,x 3且满足x 1∈P(α,r 1;β,L 1),x 2∈{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},x 3∈P(α,r 4;β,L 2)\(P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)∪P(α,r 1;β,L 1)).上述引理中关于非负连续凸泛函α,β应满足的条件(B 1)(B 2)是(B 1)存在M >0,对任意的x ∈P 有||x||≤M max{α(x),β(x)}.Banach 空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性杨静宇（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰024000；大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024）摘要：本文利用Bai 和Ge 的不动点定理在Bananch 空间中得到了一类非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三个正解的存在性.关键词：二阶脉冲微分方程；锥；不动点；凸泛函；凹泛函中图分类号：O175.8文献标识码：A文章编号：1673-260X （2012）01-0003-05基金项目:内蒙古高等学校科学研究项目（NJzr08150,NJzc08160）Vol.28No.1Jan.2012第28卷第1期（上）2012年1月赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）(B 2)对任意的r>0,L>0有P(α,r;β,L)≠覬.这里P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L}.P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)≤L},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L,ψ(x)>b},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)≤r,β(x)≤L,ψ(x)≥b}.考察算子方程Ax(t)=x(t)，其中Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+0<t k <tΣ[I k (x(t k ))+(t-t k )I k (x(t k ),x'(t k )]+αt 1-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(η-t k )I k(x(t k),x'(t k))]-αt 1-αηmk =1Σ[Ik(x(t k))+(1-tk)I k (x(t k ),x'(t k ))]G(t,s)=s[(1-t)-α(η-t)0≤s ≤t ≤η0≤s ≤η≤tt[(1-s)-α(η-s)0≤t ≤s ≤ηs(1-t)+αη(t-s)η≤s ≤t ≤1t(1-s)1-αη0≤s ≤η≤s ≤10≤η≤t ≤s ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤s （2）引理2[4]x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当x ∈PC 1[J,E]是方程(2)的正的不动点.方程(2)可改写为Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1Σ[W k(t,η,x(t k),x'(t k)),(2')其中W k (t,η,x(t k ),x'(t k ))=-t [I k (x(t k ))+(1-t k )I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]0≤t ≤η≤t k ,0≤η≤1≤t ≤t k ,1-t 1-αη軃軃I k (x(t k ))-αηt-(1-αη-t)t k 1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]η≤t k <s ≤1,(α-1)t 1-αηI k (x(t k ))+(αη-1)t-(α-1)tt k )1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t ≤t k ≤η≤11-αη+(α-1)t 1-αη[I k (x(t k ))-t k I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t k <t ≤η≤1t k ≤η≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.引理3A:PC 1[J,E]→PC 1[J,E]是全连续算子.证明首先证明A 是连续算子.任取x,x n ∈PC 1[J,E]且||x n -x||PC 1→0（往证||Ax n -Ax||PC 1→0）||Ax n (t)-Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x n(t k))-I k(x (t k))||+(1-t k)||Ik(x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x (t k ),x'(t k ))||]+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]+αmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]对任意s ∈[0,1]，由于f(s,x(s),x'(s))连续，所以取ε3q>0则存在δ1>0当||xn-x||PC 1<δ1时||f(s,x n (s),x n '(s))-f(s,x(s),x'(s))||<ε，从而1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds<ε3其中q=max0≤t ≤11乙G(t,s)ds.同样由于I k ∈C[E,E],I k ∈C[E ×E,E],所以取ε1=(1-αη)ε>0存在δ2>0当||xn-x||PC1<δ2时||I k (x n (t k ))-I k (x(t k ))||<ε1同上ε1>0存在δ3>0当||x n -x||PC 1<δ3时||I k (x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε1.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当||x n -x||PC 1<δ时||Ax n (t)-Ax(t)||<ε.对于||Ax n '(t)-Ax'(t)||应用上述同样的方法可得||Ax n '(t)-Ax'(t)||<ε.因此当||x n -x||PC 1<δ时，||Ax n -Ax||PC 1<ε，所以算子A 是连续的.其次证明A 是列紧的算子.设S 是PC 1[J,E]中的有界集，那么||Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||Ik(x(t k ),x'(t k ))||]+11-αηmk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x(t k),x'(t k))||+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k))||I k(x(t k),x'(t k))||]||Ax'(t)||≤1乙G t'(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ||I k(x(t k),x'(t k))||+αmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(1-t k )||I k (x(t k ),x'(t k ))||+1mk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k ))||I k (x(t k ),x'(t k ))||]由于对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})有界,I k在T r 上有界,I k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).所以A(S)中诸函数及其导函数在J 上一致有界.取t',t"∈J k (k=1,2,…,m)||Ax (t')-Ax (t")||≤1乙|G (t',s)-G (t",s)|||f (s,x (s),x'(s))||ds+(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(2-αη+α)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k),x n'(t k))||由于G (t,s)关于t,s 是连续的，因此取ε1=ε>0存在δ1>0当|t'-t"|<δ1时|G(t's)-G(t",s)|<ε1.从而10乙|G(t',s)-G(t",s)|||f(s,x(s),x'(s))||ds<ε存在δ2=(1-αη)εk k ，当|t'-t"|<δ2时(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k)||<ε3.存在δ3=(1-αη)ε3(2+α-αη)||I 軃k (x(t k ),x'(t k ))||当|t'-t"|<δ3时(2-αη+α)|t'-t"|mk =1Σ||I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当|t'-t"|<δ时对任意Ax ∈AS 有||Ax n (t')-Ax(t")||<ε.对于Ax'∈AS'(Ax)'(t')-(Ax)'(t")=1乙[G(t',s)-G(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds=S 埸[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))+S ∈[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))ds=S ∈[t',t"]乙[G t '(t',s)-G t '(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds当|t'-t"|→0时||(Ax)'(t')-(Ax)'(t")||≤||f(s,x(s),x'(s))|||t'-t"|→0因此AS,(AS)'在J k (k=1,2,…,m)上等度连续.所以A 是全连续算子.引理4[5]对于格林函数G(t,s)有不等式：G(t,s)≤q 1s(1-s)(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)≥q 2s(1-s)(t,s)∈[η,1]×[0,1]埸.其中q 1=max{1,α}>0,q 2=min{η,1-η}·min{1,α}>0.3主要结果为方便起见将文中所用条件归列如下：(1)对任意(t,η,u,v)∈[0,1]×[0,1]×E ×E 有W k (t,η,u,v)≥0且对任意t ∈[0,1],η∈[0,1].u ∈C[J,P]有W k (t,η,u,v)≤Ωk (u(t k )),这里Ωk ≥0,(k=1,2,…,m)(2)存在r 1>0,满足N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 1.存在L 1>0,满足1乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη)mM >L 1.其中F(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}(3)存在r 4>0,满足N a 11乙s(1-s)F'(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 4,存在L 2>0满足10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη1-αηmM >L 2.其中F'(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}.(4)存在c 0≥0,对任意t ∈[a k ,b k ],(k ∈{0,1,2,…,m}),u ∈C[J,P]有W j (t,η,u,v)≥c 0Ωj (u(tj)),j ∈{1,2,…,m}其中a k =3t k +t k+1,b k =t k +3t k+14,t 0=0,t 1=1.(5)存在r 2>0,满足q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.其中F(t)=max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||.定理1假设存在常数r 4>r 3>r 2>r 1>0,L 2≥L 1>0,且条件(1)-(5)满足，M 1r 3>r 2其中M 1=min q 2q 1,c 0埸乙则方程(1)至少有三个解x 1,x 2,x 3且满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.证明令P={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θt ∈[0,1]},则知P 是PC 1[J,E]中的锥.定义泛函:α(x)=sup t ∈J||x(t)||,β(x)=sup t ∈J||x'(t)||,ψ(x)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||x(t)||.由定义知α,β,ψ是映P 入[0,+∞)的三个连续非负泛函，并且对任意x ∈P 有||x||PC 1=sup{α(x),β(x)},泛函α,β满足条件(B 1)(B 2).这里α,β是凸函数，ψ是凹函数并且根据α(x),ψ(x)的构造知对任意x ∈P 有ψ(x)≤α(x).对任意x ∈P 有Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x(t k),x'(t k)),由条件(1)知，Ax(t)≥θ.所以A 映P 入P,并且由引理3知A 是全连续算子.下面验证引理1的条件是否都满足.首先，对任意的x ∈P(α,r 4;β,L 2)有α(x)≤r 4,β(x)≤L 2.由条件(2),(3)有α(Ax)=sup t ∈J||Ax(t)||≤supt ∈J1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣ[I k(x(t k))+(t-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+αt 1-αη0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+t mk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m Σ乙M <r 1<r 4,β(Ax)=sup t ∈J||(Ax)'(t)||≤supt ∈J1乙G t'(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣI 軃k(x(t k),x'(t k))]+α0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+11-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤10乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη1-αηmM <L 1<L 2,所以A 映P(α,r 4;β,L 2)入P(α,r 4;β,L 2).同理可以证得A 映P(α,r 1;β,L 1)入P(α,r 1;β,L 1).这时引理1的条件(C 2)满足.其次，对于x ∈P 且||x(t)=r 3我们知道x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}所以有{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬.事实上如果x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)}则有r 2≤||x(t)≤r 3,t ∈[η,1].利用引理4及条件(1)(5)可得ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]10乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds≥1N min t ∈[a k,b k]q 21乙s(1-s)F(s)ds=q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.所以对于x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)有ψ(Ax)>r 2,因此引理1中的条件(C 1)也满足.最后验证(C 3)是否满足.设x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)且α(Ax)>r 3,那么由ψ的定义和条件(4)以及引理4有α(Ax)≤N a 11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣΩj(x(t j))ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x,x'≥1N a 21乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥1a 2a 1a11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1N2a 110乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1α(Ax)≥M 1r 3>r 2.其中M 1=min q2q1,c 0≥≥由此引理1的条件(C 3)满足，所以方程有三个正解x 1,x 2,x 3满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.4应用f n (t,x,y)=t+12x n 2+|y n |4x n ≤34,t+1(35-x n )x n 2+|y n |34≤x n ≤35,t+1(x n -35)x n 2+|y n |35≤x n ≤36,t+3622+[y n ]4x n ≥36≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,t ≠12△x n t=12=1x n+112≤≤△x'nt=1=1-x n+112≤≤-y n+112≤≤≤≤x n (0)=0x n (1)=x n14≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤证明在本例中我们知道m=1,t=1,α=1,η=1,满足引理4的q 1=43,q 2=13.E=l 1={x=(x 1,…,x n ,…)|x n ∈R 1,sup n |x n |<+∞}定义范数||x||=sup n|x n |则E 成为Banach 空间.令P={x ∈E|x n ≥0}是E 中一个正规锥，正规常数为1.I 1=(I 11,…I 1n ),I 1=(I 11,…I 1n ),其中I 1i =124|x i+1|,I i1=112[-|x i+1|-|y i+1|].因此有W li t,14,x,≤≤y =-4t I 1i (x)+1I 軃1i(x,y ≤≤)0≤t ≤11-4≤≤t I 1i(x)-t-1≤≤I 軃1i(x,y)12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.根据I 1i ,I軃1i 的构造知对任意的(t,x,y)∈J ×E ×E 有W li t,1,x,≤≤y ≥θ并且当0≤t ≤12时W li t,1,x,≤≤y =-43t I 1i (x)+12I 軃1i(x,y ≤≤)=1t|y i+1|≤1|y i+1|当1≤t ≤1时W li t,14,x,≤≤y =1-43≤≤t I 1i (x)-t-12≤≤I 軃1i(x,y)=112t-124≤≤|y i+1|+1|x i+1|≤1|y i+1|,所以取Ω1i (y)=1|y i+1|这样有W li t,14,x,≤≤y ≤Ω1i (y)条件(1)满足.接下来在本例中a 0=3t 0+t 14=18,b 0=t 0+3t 14=38,a 1=3t 1+t 2=5,b 1=t 1+3t 2=7,W li t,14,x,≤≤y =1t|y i+1|0≤t ≤1112t-124≤≤|y i+1|+136t|x i+1|12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.那么min t ∈[a k,b k]W li t,14,x,≤≤y =min 1144|y i+1|,196|y i+1|+5288|x i+1≥軃|=1144|y i+1|≥16Ω1i (y),所以可以取c 0=16这样定理中的条件(4)满足.满足定理1的M 1=minq 21,c 0軃軃=16.本例题中的f n (t,x,y)是连续的并且是有界的，I 1i ,I 軃1i 也是连续有界的.首先取r 1=1,L 1=2那么F(t)=t+1,M =1则N q 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M =1431乙s(1-s)(s+1)ds+21-14乙乙1-1×1×14乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙=431乙s(1-s)(s+1)ds+12=56<1=r 1,max t ∈[0,1]10乙G't(t,s)F(s)ds+2α-1-αηmM=10乙F(s)ds+2-1-141-1×1＝1乙(s+1)ds+1＝7<2=L 1，所以条件(2)满足.取r 2=36,r 3=216（这里1r 3=r 2符合定理要求）,L 2=1022那么F(t)=t+362,所以q 2N10乙s(1-s)F(s)ds=1310乙s(1-s)s+362乙乙ds =136+36>36=r 2.因此定理中的条件(5)满足.最后取r 4=446,L 6=1022那么F'(t)=t+3622+10224,M =146812则N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m 乙乙M =4310乙s(1-s)s+362+1022乙乙ds+2×146812乙乙=44559<446=r 4.max t ∈[0,1]10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη)mM =10乙F'(s)ds+1468=10乙s+3622+10224乙乙ds+1468=10211<1022=L 2,条件(3)满足.因此根据定理1知本例中的方程至少有三个正解x 1,x 2,x 3∈Q 并且满足sup t ∈J||x 1(t)<1,sup t ∈J||x 1'(t)||<2;36≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<446,sup t ∈J||x 2'(t)||<1022;sup t ∈J||x 3(t)||<216,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤36,sup t ∈J||x 3'(t)||<1022.———————————————————参考文献：〔1〕曹晓敏.二阶脉冲方程三点边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2004,34(3)：148-153.〔2〕孙涛,杨静宇,段晓东.Banach 空间一类二阶非线性脉冲微分方程三点边值问题多个正解的存在性[J].东北大学学报（自然科学版）,2008,29(3)：433-436.〔3〕ZHANGBING BAI,WEIGAO GE .Existence of threepositive s for some second-order boundary value prob -lems[J].Camp Math Appl,2004,48:699-707.〔4〕Guo D J Existence of solutions of boundary valueproblems for nonlinear order impulsive differential equa -tions in Banach Spaces[J].J Math Anal Appl,1994,181(2):407-42.〔5〕Bingmei Liu,Lishan Liu,Yonghong Wu,.Positive solutionsfor singular second order three -point boundary valueproblems[J].Nonlinear Amalysis .〔6〕Yao Lin-hong,Zhao Ai-min.Existence of multiple posi -tive solutions for second order impulsive differential e -quations[J].山西大学学报（自然科学版）,2006,29(1)：6-9.〔7〕R.P.Agarwal,D.O ’Regan,A multiplicity result for secondorder impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem,put.[J]161(2005)433-439.〔8〕Guo d J,Lin X,Multiple positive solution of bound -ary-value problems for impulsive differential equation[J],Nonlinear Amal,TMA 1995,25(4):327-337.〔9〕Lin X N,Jiang D Q.Multiple positive solutions ofDirichlet boundary value problems for second order im -pulsive differential equations [J].J.Math.Anal Appl,321(2006)501-514.〔10〕Liu B,Yu J Sh.Existence of solution for m -pointboundary value problems of second -order differential systems with impulses [J],put,125(2002)155-175.。

巴拿赫空间中一类非线性二阶微分方程组的边值问题

巴拿赫空间中一类非线性二阶微分方程组的边值问题周碧波;张润玲【摘要】利用空间中锥理论和不动点定理作为研究工具,由算子的不动点定理推导出了一类非线性二阶微分方程组具有唯一一组解的不动点定理,降低了非线性算子具有不动点的条件,拓宽了研究二阶微分方程组的方法.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)001【总页数】4页(P5-8)【关键词】锥;边值问题;单调迭代序列【作者】周碧波;张润玲【作者单位】吕梁学院数学系,山西吕梁033000;吕梁学院数学系,山西吕梁033000【正文语种】中文【中图分类】O175随着非线性科学的发展,在过去的十年中,非线性泛函分析在科学研究领域扮演者越来越重要的角色.作为非线性泛函的一个分支,非线性算子理论在各个科学领域的到了广泛的研究和推广,尤其是非线性算子理论在非线性微分方程积分方程的研究领域得到了极大的研究和推广[1].众所周知在理论研究和应用方面,非线性算子不动点的存在性和唯一性是非常重要的,许多学者针对这个问题进行了研究,如在参考文献[2,3,5]中,作者研究了形如A(x)=x或者A(x, x)=x的不动点定理,在上述定理中对A算子要求是全连续的,条件比较强;而对于二阶非线性微分方程组的研究相关文献很少,在这篇文章里研究一类二阶非线性微分方程组,利用算子的紧性和上下解的方法得出了算子具有唯一一组不动点的定理,降低了算子具有不动点的条件,扩展了它的应用．为了方便研究,我们给出以下定义,设E是实的巴拿赫空间,P是E中的锥,E中的半序“≤”由锥P导出,即x≤y当且仅当y-x∈P,用θ 代表E中的零元素,若集合P满足以下两个条件:1)x∈P,λ≥0⟹λx∈P;2)x∈P,-x∈P⟹x=θ;则称P是E中的一个锥, 令Pc={u∈C[I,E]:u(t)≥θ,t∈I=[0,1]},则Pc是C[I,E]中的锥.对u0,v0∈C[I,E],u0≤v0,记序区[u0,v0]={u∈C[I,E]:u0(t)≤u(t)≤v0(t),t∈I},α(*)表示非紧性测度.这篇文章我们主要讨论以下巴拿赫空间E中二阶微分方程组的两点边值问题(BVP): 其中t∈I,f,g∈C[I×E×E,E],x0≤x1,y0≤y1,对B⊆C[I,E],t∈I,记B(t)={u(t):u∈B}.为了更好的讨论(1)中的二阶非线性两点边值问题,首先我们考察巴拿赫空间E中二阶线性微分方程组的两点边值问题(LBVP)其中M>0,N≥0,ξ,η∈C[I,E].引理2.1[2] 设w∈C2[I,E],满足w″(t)≤Mw(t),w(0)≥θ,w(1)≥θ,其中M>0,则w(t)≥θ,t∈I.引理2.2[2] 设M+N<4,其中M>0,N≥0,则LBVP(2)有唯一解.引理2.3[3] (u,v)∈C2[I,E]×C2[I,E]是BVP(1)的解的充要条件是(u,v)∈C[I,E]×C[I,E]是下列非线性积分方程组的解:其中引理2.4[5] 设B⊂C[I,E]是等度连续的有界集,则α(B){α(B(t))},其中α(·)表示非紧性测度.定理3.1 设u,v∈C2[I,E]满足其中M>0,N≥0,M>N,则u(t)≥θ,v(t)≥θ,t∈I.证明:令w(t)=u(t)+v(t),t∈I.由(5)知道:w″(t)≤(M-N)w(t),w(0)≥θ,w(1)≥θ,于是由引理2.1可以知道w(t)≥θ,t∈I.即u(t)+v(t)≥θ,t∈I.再由(5)和(6)式,u″(t)≤(M+N)u(t),u(0)≥θ,u(1)≥θ,v″(t)≤(M+N)v(t),v(0)≥θ,v(1)≥θ,因此,由引理2.1可以知道,u(t)≥θ,v(t)≥θ,t∈I.证毕.定理3.2 设P⊂E是正则锥并且假设以下条件被满足,(H1)存在u0,v0∈C2[I,E],u0(t)≤v0(t),t∈I,使得(H2)存在常数M≥0,N≥0,L≥0,对任意的ui,vi∈[u0,v0](i=1,2),u2≥u1,v1≥v2,t∈I,有(H3)M>N,M+N<4.则BVP (1.1)有唯一一组解(u*,v*)∈[u0,v0]×[u0,v0],并且存在单调迭代序列{un},{vn}⊂[u0,v0],使得{un(t)}和{vn(t)}关于t∈I分别一致收敛于u*(t)和v*(t),更进一步,{un(t)}和{vn(t)}满足un(t)=x0+t(x1-x0)vn(t)=y0+t(y1-y0)u0≤u1≤…≤un≤…≤u*≤v*≤…≤vn≤…≤v1≤v0.证明:对任意(ξ,η)∈[u0,v0]×[u0,v0],由条件(H3)和引理2.2可以知道,LBVP(2)有唯一解(u,v)∈C2[I,E]×C2[I,E].定义算子A(ξ,η)=(A1(ξ,η),A2(η,ξ))=(u,v).令un=A1(un-1,vn-1),vn=A2(vn-1,un-1),(n=1,2,…).显然,由引理2.3可知{un},{vn}满足(7)和(8)式,以下用归纳法证明un-1≤un≤vn≤vn-1,n=1,2,…由(H1)和(H2),有(u1-u0)″(t)≤M(u1-u0)-N(v0-v1)(u1-u0)(0)≥x0-x0=θ,(u1-u0)(1)≥x1-x1=θ,(v0-v1)″(t)≤M(v0-v1)-N(u1-u0),(v0-v1)(0)≥y0-y0=θ,(v0-v1)(1)≥y1-y1=θ,(v1-u1)″(t)≤M(v1-u1)-N(v1-u1),(v1-u1)(0)=y0-x0≥θ,(v1-u1)(1)=y1-x1≥θ.因此,由引理2.1和定理3.1可知,u0≤u1≤v1≤v0.假设un-1≤un≤vn≤vn-1.由(H2)得(un+1-un)″(t)≤M(un+1-un)-N(vv-vn+1),(un+1-un)(0)=x0-x0=θ,(un+1-un)(1)=x1-x1=θ,(vn-v n+1)″(t)≤M(vn-vn+1)-N(uv+1-un),(vn-vn+1)(0)=y0-y0=θ,(vn-vn+1)(1)=y1-y1=θ,(vn+1-un+1)″(t)≤(M-N)(vn+1-un+1),(vn+1-un+1)(0)=y0-x0≥θ,(vn+1-un+1)(1)=y1-x1≥θ,因此,再由引理2.1和定理3.1可知,un≤un+1≤vn+1≤vn.故对任何自然数n,不等式式成立.再利用(10)式得到u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.在上述条件下我们再定义 U={un},V={vn},U(t)={un(t)}⊂E,V(t)={vn(t)}⊂E,t∈I.所以U,V⊂[u0,v0],因为P⊂E是空间中的一个正则锥,所以由正则锥的性质Pc⊂[I,E]是空间中的一个正规锥.因此,U,V都是C[I,E]空间中的的有界集.由条件(H1)和(H2)并利用定理易证,U和V在区间I上都是等度连续的集合.故由引理2.4知,{α(U(t))},α(V){α(V(t))},由(3.47)式和锥P⊂E的正则性可知,α(U(t))=α(V(t))=0,t∈I;故α(U){α(U(t))}=0,同理α(V)=0;即U和V是C[I,E]中的相对紧集.因此存在子列{unk}⊂{un}和{vnk}⊂{vn}以及u*(t),v*(t)∈C[I,E],使得{unk}和{vnk}在区间I上分别一致收敛于u*和v*.由Pc⊂[I,E]的正规性,可以证明,{un},{vn}在I上分别一致收敛于u*,v*∈[u0,v0],在(7)和(8)中令n→+∞,我们有:即(u*,v*)是非线性微分方程组的(4)的解,由极限性质知是唯一一组解,再由上面已知引理2.3得到(u*,v*)∈[u0,v0]×[u0,v0]是巴拿赫空间中二阶非线性微分方程组两点边值问题(1)的一组解,且具有唯一性,且上述不等式(10)成立,证毕.【相关文献】[1] 孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京:科学出版社,2007[2] Suzuki T.Characterizations of Fixed points of nonexpansivem appings[J].Int JM athSci,2005:1723-1735[3] 蒋秉华,张敏.不动点定理的应用[J].德州学报，2004，21(5):76-79[4] 吴幼明,王向东，岳珠峰.一类二阶微分方程组的通解[J].汕头大学学报(自然科学版)，2007(3):15-20[5] 谭长明,龙丽.不动点定理在方程解方面的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2006(3):83-85。

一些周期性的二阶线性微分方程解的方法外文翻译

本科毕业设计（论文）外文翻译译文学生姓名：院（系）：专业班级：指导教师：完成日期：要求1、外文翻译是毕业设计（论文）的主要内容之一，必须学生独立完成。

2、外文翻译译文内容应与学生的专业或毕业设计（论文）内容相关，不得少于15000印刷符号。

3.外文翻译译文用A4纸打印。

文章标题用3号宋体，章节标题用4号宋体，正文用小4号宋体，20磅行距；页边距上、下、左、右均为2.5cm，左侧装订，装订线0.5cm。

按中文翻译在上，外文原文在下的顺序装订。

4、年月日等的填写，用阿拉伯数字书写，要符合《关于出版物上数字用法的试行规定》，如“2005年2月26日”。

5、所有签名必须手写，不得打印。

一些周期性的二阶线性微分方程解的方法Some Properties of Solutions of Periodic Second Order LinearDifferential Equations作者：肖立鹏1，陈宗轩2 起止页码：译文 2-7,8-12 原文 13-19,20-25出版日期（期刊号）：ISSN 1000—341X.2011.02.011出版单位：数学研究与评论外文翻译译文：一些周期性的二阶线性微分方程解的方法1．简介和主要成果在本文中，我们假设读者熟悉的函数的数值分布理论[12，14，16]的基本成果和数学符号。

此外，我们将使用的符号)(f σ，)(f μand )(f λ，表示的顺序分别增长，低增长的一个纯函数的零点收敛指数，f ，)(f e σ（[8]），E 型的f(z)，被定义为rf r T f r e ),(log lim )(+∞→=σ 同样，)(f e λ，E 型的亚纯函数f 的零点收敛指数，被定义为rf r N f r e )/1,(log lim )(++∞→=λ 我们说，如果一个亚纯函数)(z f 满足增长的正常秩序rf r T f r log ),(log lim )(+∞→=σ 我们考虑的二阶线性微分方程0=+''Af f在)()(z e B z A α=是一个整函数在απω/2i =。

Banach空间中的一类二阶积分-微分方程边值问题的解

Banach空间中的一类二阶积分-微分方程边值问题的解莫海平;郭林【期刊名称】《数学研究通讯》【年(卷),期】2002(018)002【摘要】This paper investigates the maximal and minimal solutions of initial value problems for second order nonlinear integro-differential equations of Volterra type on a finite interval in a Banach space by establishing a comparison result and using the monotone iterative technique.【总页数】6页(P183-188)【作者】莫海平;郭林【作者单位】Department of Mathematics, Suihua Teacher's College, Suihua, Heilongjiang, 152061;Department of Mathematics, China Coal Economic College, Yantai, Shandong, 264005【正文语种】中文【中图分类】O175.15【相关文献】1.Banach空间中一类二阶脉冲积分微分方程多点边值问题 [J], 饶显波;韦煜明2.Banach空间中的一类二阶积分-微分方程边值问题的解 [J], 郭林3.Banach空间中一类二阶非线性积分-微分方程组两点边值问题正解的存在性 [J],袁艳艳;刘衍胜4.Banach空间中二阶混合型积分-微分方程边值问题的解 [J], 董丽丽;刘衍胜5.Banach空间中一类二阶非线性脉冲积分-微分方程边值问题解的存在性 [J], 李耀红;张晓燕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性

Banach空间中二阶脉冲微分方程多个正解的存在性陈旭;仲秋艳【摘要】By using the fixed point index theory of completely continuous operators,we investigate the existence of multiple positive solutions for the second order boundary value problem with integral boundary conditions of nonlinear impulsive differential equations on an infinite interval in a Banach space.%利用全连续算子的不动点指数理论,研究了Banach空间中无穷区间上带有积分边值条件的二阶非线性脉冲微分方程多个解的存在性.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(024)004【总页数】9页(P55-63)【关键词】脉冲微分方程;正解;全连续算子;非紧性测度【作者】陈旭;仲秋艳【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.81 IntroductionThe theory of impulsive differential equations describes processes whichexperience a sudden change of their state at certain moments.Processes with such a character arise naturally and often，especially in phenomena studied in physics，chemical technology，population dynamics，economics and biotechnology.The theory of impulsive differential equations has been emerging as an important of investigation in recent years［1－3］.Very recently，by using the fixed point index theory of completely continuous operators，Guo［6］obtained the existence of multiple positive solutions for a class of nth－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Motivated by Guo＇s work，in this paper，we shall use the cone theory and the fixed point index theory to investigate the multiple positive solutions for a class of second－order nonlinear impulsive differential equations in a Banach space.Let Ebe a real Banach space and Pbe a cone inwhich defined a partial ordering in Eby x≤yif and only if y－x∈p.Pis said to be normal if there exists a positive constant Nsuchthatθ≤x≤yimplies‖x‖≤N‖y‖.whereθdenotes the zero element of E，and the smallest Nis called the normal constant of P（it is clear，N≥1）.Pis called solid if its interior Pis nonempty.If x≤yand x≠y，we write x＜y.If Pis solid and y－x∈p。

Banach 空间中一类奇异积分边值问题解的存在性

Banach 空间中一类奇异积分边值问题解的存在性汪子莲;丁珂【摘要】运用Sadovskii不动点定理讨论了Banach空间中一类二阶奇异积分边值问题解的存在性,获得了此类问题解存在的充分性条件.%The existence of solutions for a class of singular second order integral boundary value problems in Banach spaces was discussed by using the Sadovskii fixed point theorem, the sufficient condition for the existence of solutions to such classes of problems was obtained.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(047)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】积分边值问题;Sadovskii不动点定理;非紧性测度;存在性【作者】汪子莲;丁珂【作者单位】兰州工业学院基础学科部甘肃兰州410075;伊利诺伊大学香槟分校数学学院美国诺伊州香槟450001【正文语种】中文【中图分类】O175.8带有积分边界条件的常微分方程边值问题产生于应用数学及物理学的不同领域.热传导、化学工程等领域中的许多模型都可归为带有积分边界条件的微分[1-2].带有积分边界条件的边值问题是一类十分有趣且重要的研究课题，其包含两点、三点、多点等多种类型的边值问题，且以这些边值问题为特例[3-7].实数空间中积分边值问题解的存在性被许多学者研究过.但是，迄今为止，对Banach空间中带有积分边界条件的边值问题的研究却极少.为此，本文将运用Sadovskii不动点定理研究Banach空间中一类带有积分边界条件的二阶非线性常微分方程边值问题解的存在性.文[8]研究了二阶三点边值问题解的存在性，其中η∈(0,1)，f为一个连续函数.受文[8]的启发，本文考察积分边值问题或者解的存在性，其中f∈C(I×E×E,E),I=[0,1],θ是Banach空间(E,‖·‖)中的零元素，g∈L1[0,1]且非负，h∈C((0,1),[0,+∞))，在t=0和t=1处有奇性.注1 本文将文[8]的结果推广到积分边值问题，并且考虑了h在t=0及t=1处奇异的情形.注2 当g≡0,h≡1且非线性项f不含一阶导项时，边值问题(2)、(3)就退化为文[9]研究的问题.定义1[10] 设E是实Banach空间，S是E中有界集，令,其中d(Si)表示集Si的直径，显然，0≤α(S)<+∞.则α(S)叫作S的非紧性测度.定义2[10] 设E1,E2是实Banach空间，D⊂E,设A:D→E2有界连续.(ⅰ)如果存在常数k≥0，使得对任意有界集S⊂D,都满足α(A(S))≤kα(S),则称A是D上的k-集压缩映象.特别地，当k<1时的k-集压缩映象称为严格集压缩映象. (ⅱ)如果对任意非相对紧的有界集S⊂D都满足α(A(S))<α(S),则称A是D上的凝聚映象.显然，若A是一个严格集压缩映象，则A是凝聚映象.引理1[10] 若H⊂C[I,E]有界且等度连续，则α(H(t))于I连续且其中αC(·),α(·)分别表示H⊂C[I,E]及H(t)⊂E的非紧性测度.引理2[11] 设E是实Banach空间，D⊂E为有界凸闭集，若算子A:D→D是凝聚映象，则A于D中有一个不动点.显然，(C[I,E],‖·‖)在范数‖‖u(t)‖下构成一个Banach空间.令则FC(I,E)在范数‖‖u(t)‖/(1+t)下为一个Banach空间.令‖u(t)‖/(1+t)‖u′(t)‖<+∞},则DC1(I,E)在范数‖u‖D=max{‖u‖F,‖′u(t)‖C}下为一个Banach空间，其中‖‖u′(t)‖.显然，C1(I,E)⊂C(I,E),DC1(I,E)⊂FC(I,E).本文的工作空间为DC1(I,E).记空间E,C(I,E),FC(I,E),DC1(I,E)中的有界集的非紧性测度分别为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为了建立边值问题(2)在DC1(I,E)中解的存在性，本节给出如下假设：.(H2) 存在非负连续函数，a,b,c∈C[0,1]，使得(H3) 对∀r>0,[a,b]⊂I,f(t,x,y)于[a,b]×BE(0,r)×BE(0,r)上一致连续，其中BE(0,r)={u∈E:‖u‖≤r}.(H4) 存在l1,l2∈L1[0,1]，使得对∀t∈[0,1]及任意有界集D1,D2∈E有引理3[12] 若(H1)成立，则边值问题(2)存在唯一解，其中,对于∀u∈DC1(I,E)，定义算子A,引理4 若(H1)～(H3)成立，且条件(H5) h:(0,1)→[0,+∞)连续；h于(0,1)不恒为零；且满足<+∞,其中m(s)=(a(s)(1+s)+b(s))‖u‖D+c(s)成立，则A:DC1(I,E)→DC1(I,E)有界连续.证明由式(7)，(H2),(H5)可知，对∀u∈DC1(I,E),‖‖≤‖‖+‖‖≤(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s)‖u‖+b(s)‖u′‖+c(s))ds=(s)‖u′‖+c(s))ds≤‖u‖D+c(s))ds=∞.由式(7)，(H2),(H5)可知经简单计算可知‖(Au)′(t)‖(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖u‖D+c(s))ds=∞.因此，算子A有定义.由式(8)，(9)可知，对∀u∈DC1(I,E)都有Au∈DC1(I,E)，所以A于DC1(I,E)有界. 下证算子A于DC1(I,E)连续.令{un}⊂DC1(I,E),u0∈DC1(I,E),且‖un-u0‖D→0(n→∞).于是存在R>0,使得‖un‖D≤R(n≥1)且‖u0‖D≤R.类似于文[12]，定义hn,则hn于[0，1]连续，并且，对∀t∈[0,1],hn(t)≤h(t).定义算子An，显然，对∀u∈DC1(I,E)，有Anu∈DC1(I,E),且An连续，事实上，‖‖‖‖ds.由条件(H3)知，对∀s∈[0,1],∃N1>0,对∀n≥N1,有所以同时，对∀ε>0,∀t∈[0,1]及n≥N1有由(12)，(13)可知An:DC1(I,E)→DC1(I,E)连续.由积分的绝对连续性及式(7),(10),(H2),(H5)可知‖(Au)(t)-(Anu)(t)‖(s))‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s))‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤(s)‖u‖+b(s)‖u‖+c(s),其中].因此，对∀ε>0,∀t∈I,∃N2>0,对∀n≥N2有‖‖≤‖‖+‖‖+‖‖<ε/3+ε/3+ε/3=ε.同理‖(Aun)′(t)-(Au)′(t)‖<ε.于是，A:DC1(I,E)→DC1(I,E)连续.证毕.引理5 假设(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集.则(AV)(t)/(1+t)及(AV)′(t)等度连续. 证明仅需证下列结论成立：(ⅰ) ∀ε>0,∃δ1>0,使得对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],当时，(ⅱ) ∀ε>0,∃δ2>0,使得对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],当时，首先证明集合(AV)(t)/(1+t)等度连续.因为引理4中定义的函数hn于[0,1]连续，所以在[0,1]中有界.假设,∀t∈[0,1],对∀u∈V,t1,t2∈[0,1],不妨设t1<t2,由(7)可知‖‖‖‖‖‖‖‖‖f(s,u(s),u′(s))‖+‖‖‖hn(s)f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖f(s,u(s),u′(s))‖‖f(s,u(s),u′(s))‖=(s)‖u′‖+c(s))ds=‖f(s,u(s),u′(s))‖.由(H2)可知:(ⅰ) ‖f(s,u(s),u′(s))‖≤((1+s)a(s)+b(s))‖u‖D+c(s);(ⅱ) a,b,c∈C[0,1]为非负函数，则于[0,1]有界.假设a(t)≤M1,b(t)≤M2,c(t)≤M3.对∀t∈[0,1]，令M*=max{M1,M2,M3},由于V有界于DC1(I,E)，所以存在M0>0,使得‖u‖D≤M0,所以，对∀u∈V有‖‖M.令δ=((2+2α/(1-α))(3M*M0+M*)M)-1·(ε/3).于是，对∀u∈V,t1,t2∈I,t1<t2,当时，有‖‖≤‖‖+‖‖+‖‖<ε/3+ε/3+ε/3=ε.若t1≥t2,同理可证(AV)(t)/(1+t)于[0,1]等度连续.类似的可证(AV)′(t)于[0,1]等度连续.证毕.与文献[6]中引理2.5的证明完全类似，可得下面的引理6.引理6 若(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界子集，则定理1 假设(H1)～(H5)成立，则边值问题(2)在DC1(I,E)中至少有一个解.证明仅需证算子A于DC1(I,E)中有不动点.令下证A(B)⊂B.事实上，对∀u∈B，由(7)可知‖‖(s)‖f(s,u(s),u′(s))‖ds≤‖u‖D+c(s))ds≤,∀t∈I.同理可知‖(Au)′(t)‖≤R，于是，由引理4可知A(B)⊂B.令,即Ω为AB在DC1(I,E)中的凸闭包，易见，Ω为B的非空有界闭凸子集.由引理5可知,(AB)(t)/(1+t),(AB)′(t)于[0,1]上等度连续，结合Ω的定义知(Ω)(t)/(1+t),(Ω)′(t)于[0,1]等度连续.由于Ω⊂B且AB⊂Ω可知A:Ω→Ω.下证A为严格集压缩算子.由引理4可知A:Ω→Ω为连续有界算子.下证αD(AV)≤lαD(V),V⊂Ω,其中事实上，由引理6可知，仅需证成立即可.由(H3)及Ω的定义可知{f(s,u(s),u′(s)):u∈V}于[0,1]等度连续.由(H4)及引理1可知s.由t的任意性知同理可证结合引理6及(18)，(19)可知A:Ω→Ω为严格集压缩算子.显然A是凝聚的.由引理2可知,A于Ω中至少有一个不动点，故边值问题(2)于DC1(I,E)中至少有一个解.证毕.现在，考虑边值问题(2)，(3)，由于方法完全类似于第2部分，所以省略本节主要定理的证明.为方便起见，给出如下假设：存在l1,l2∈L1[0,1]，使得对∀t∈[0,1]及任意有界集D1,D2⊂E.且.首先，类似于引理3的讨论可知,边值问题(2)，(3)等价于积分方程其中,G(t,s)如(6)定义.定义算子显然，边值问题(2)，(3)有解当且仅当此解是算子A*的不动点.通过与第2部分类似的讨论，有如下结果：引理7 若成立，则A*:DC1(I,E)→DC1(I,E)有界连续.引理8 假设(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集，则(A*V)(t)/(1+t)及(A*V)′(t)等度连续.引理9 若(H2)成立，V⊂DC1(I,E)为有界集，则定理2 假设成立，则边值问题(2)，(3)在DC1(I,E)中至少有一个解.下面给出一个例子来说明结果的正确性.定理3 无穷维积分边值问题(23)至少有一个解.证明令,则E按范数‖u‖构成Banach空间.令(t)=t.显然，无穷维积分边值问题(23)就化为Banach空间E中的积分边值问题(2).取a(t)=l1(t)=t3,b(t)=l2(t)=t3(1+t),c(t)≡0,则容易验证假设条件(H1)～(H5)成立，因此由定理1可知结论成立.证毕.【相关文献】[1] Gallardo J M. Second order differential operaters with integral boundary and generation of analytic semi-groups[J].Rocky Mountain J Math,2000,30(4):1265-1292.[2] KaraKostas G L, Tsamatos P C. Multiple positive solutions of some Fredholm integral equations arise from nonlocal boundary value problems[J].Electron J Differential Equations,2002(30):1-17.[3] Ma Ruyun. Positive solutions for a nonlinear three-point boundary valueproblem[J].Electron J Differential Equations,1999(34):1-8.[4] Liu Bing. Positive solutions of a nonlinear four-point boundary value problems in Banach spaces[J].J Math Anal Appl,2005,305(1):253-276.[5] Chen Shihua, Hu Jia, Chen Li, et al. Existence results for n-point boundary value problem of second order ordinary differential equation[J].J Comput ApplMath,2005,180(2):425-432.[6] 梁秋燕.Banach空间分数阶微分方程边值问题解的存在性[J].郑州大学学报：理学版，2013，45(3)：32-36.[7] 孟宪瑞，曹有好，佟玉霞.奇异Sturm-Liouville边值问题的谱理论[J].郑州大学学报：理学版，2013，45(1)：34-37.[8] Chen Haibo, Li Peiluan. Existence of solutions of three-point boundary value problems in Banach spaces[J].Mathematical and Computers Modelling,2009,49(3/4):780-788. [9] Guo Dajun,Lakshmikantham V. Multiple solutions of two-point boundary value problems of ordinary differential equation in Banach spaces[J].J Math AnalAppl,1988,129(1):211-222.[10]Guo Dajun, Lakshmikantham V, Liu Xinzhi.Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1996:21-56.[11]Sadovskii B N. A fixed point principle[J].Functional Anal Appl,1967,1(2):151-153.[12]Feng Meiqiang, Ji Dehong, Ge Weigao. Positive solutions for a class of boundary value problem with integral boundary conditions in Banach spaces[J].J Comput ApplMath,2008,222(2):351-363.。

Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题解的存在性

Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题解的存在性李曦
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2002(026)003
【摘要】利用"强极小锥"的性质,获得了Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在结果,并推广了[2]中对应结果.
【总页数】4页(P228-231)
【作者】李曦
【作者单位】南昌航空工业学院信息与计算科学系,江西,南昌,330034
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5
【相关文献】
1.Banach空间二阶常微分方程边值问题解的存在性 [J], 王晓燕
2.Banach空间高阶周期边值问题解的存在性 [J], 张环环
3.Banach空间中高阶常微分方程初边值问题解的存在性 [J], 洪世煌;欧宜贵
4.Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性 [J], 洪世煌
5.Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性 [J], 洪世煌; 欧宜贵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性

有序Banach空间中二阶时滞微分方程正周期解的存在性吕娜【摘要】Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach space E-u″(t)+a(t)u(t) =f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, where a∈C( R) was a positive ω-periodic function,f:R × Kn→K was a continuous function, and f( t,v) wasω-periodic in t, v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn, K was the positive cone,τi≥0,i=1,2,…n were constants. Un-der more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of posi-tive ω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.%研究了有序Banach空间E中二阶多时滞微分方程-u″( t)+a( t) u( t)=f( t,u( t-τ1),…,u( t-τn )),t∈R,正ω-周期解的存在性,其中：a∈C( R)是正的ω-周期函数；f：R × Kn→K 连续且 f( t,v)关于 t 为ω-周期函数；v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn；K 为正元锥；τi≥0,i=1,2,…n为常数。

在较一般的非紧性测度条件与有序条件下,应用凝聚映射的不动点指数理论,获得了该问题正ω-周期解的存在性结果。