辽宁省沈阳市第二十一中学人教B版高中数学必修五学案第2章数列求和方法(无答案)

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人教版高中数学必修五教案：数列求和

课题数列求和课型复习课课时： 1 授课时间：教学目标知识与技能：数列求和方法．过程与方法：求和方法及其获取思路．情感态度与价值观：通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点数列求和方法及其获取思路．教学难点数列求和方法及其获取思路．教学手段多媒体辅助教学教学方法先学后教，讲练结合教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）)(211121nnnnnnn aanSaaaSaaaS+=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例1．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：（2）11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=nnnnnnn aaSqaaaaqSaaaaS例2．求和：)0()12(5332≠-++++xxnxxx n3．分组法求和二次备课例3求数列 1614,813,412,211的前n 项和；例4．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a aa a aa a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解]1)1([11)]([11 11111122aa a n a a a a n a a a a a a a S n nn n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和例6．求和：n++++++++++21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ,12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n a a a S n n 例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n三、课堂小结1．常用数列求和方法有：(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、作业（.1616814412).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.（3）．在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10板书设计数列求和倒序相加法：二、例题讲解三、总结四、作业布置教学反思。

辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学总复习课件两条直线的位置关系、点到直线的距离

第八页，编辑于星期日：二十点五十五分。
(2)点到直线的距离点 P(x1，y1)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax1＋By1＋C|
A2＋B2 . (3)两条平行线间的距离两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离
|C1－C2| d＝ A2＋B2 .
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[规律总结] 1.在对称问题中，点关于直线对称是最基本也是最重要的对称，处理此类问题要抓住两点：(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上．另外要注意直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线对称来处理．
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[解] (1)设A′(x，y)，再由已知得 yx＋＋21×23＝－1， 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得xy＝＝－14331，33，
∴A′(－3133，143)．
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(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则 2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1，解得M′(163，3103)．
[规律总结] (1)注意讨论斜率不存在的情况． (2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法．
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变式训练2 已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为 2，求直线l的方程．
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高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5

高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5 一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的符号定义通项公式对应函数图像等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数。

等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq=，其中1acq=分类递增数列：0d>递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：中项主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则推论：若2m n p+=则等积性：等比数列{}n a前n 项和nS==中间项求和公式：对应函数图像nS是关于n的一个的二次函数，即：2nS An Bn=+(0≠d)等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q=-≠其它性质1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。

即： 232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列为数列）3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +是数列。

4、在等差数列中，}S{nn 为等差数列1、等比数列中连续m 项的和，组成的新数列是数列。

即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列为数列）3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka ，}{}{},{nn n n n a b b a a k，是数列。

高中数学必修五学案数列求和

数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列。

对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法。

对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略。

1、公式法：⑴ 等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=， 2)1(1d n n na S n -+=⑵ 等比数列的求和公式当1≠q 时，1(1)1n n a q S q -=- ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时1n S na = ⑶ (1)122n n n ++++=， 2135(21)n n ++++-=， 2135(21)(1)n n +++++=+，22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 23333]2)1([321+=++++n n n 2、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

特征：a n +a 1=a n-1+a 2例1、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例2、已知)10011000()10012()10011(,244)(f f f S x f x x +++=+= 求的值。

3、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

特征：所给数列｛a n ｝，其中a n =c n ·b n 而｛c n ｝是一个等差数列，且｛b n ｝则是一个等比数列。

（“等比数列”的求和）例3、已知数列｛a n ｝，a 1=2， a n =（n+1）x n －1(n ≥2，n ∈N *)，求S n 。

例4、求数列}21{n n ⨯前n 项和4、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

高二数学新教材苏教版必修5学案：第2章 2.3.3 第2课时数列求和

第2课时数列求和学习目标：1.掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)2.在求和过程中，体会转化与化归思想的应用.3.错位相减时的项数计算．(易错点)1．分组求和法若c n ＝a n ＋b n ，{a n }，{b n }，{c n }前n 项和分别为A n ，B n ，C n ，则C n ＝A n ＋B n ，以此可以对数列{a n }分组求和．2．错位相减法求和设数列{a n }为等比数列且公比q ≠1，则 S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n . 两式相减，(1－q )S n ＝a 1(1－q n )，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)．这种求和的方法叫错位相减法． 3．裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n 个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．4．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[基础自测]1．若a n ＝1n (n ＋1)，则数列{a n }的前10项和S 10＝________.[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.[答案] 10112．数列112，214，318，4116，…的前n 项和是________．[解析] S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n .[答案]n (n ＋1)2＋1－12n分组求和求和：S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n . [思路探究] 先分析通项a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝x 2n ＋1x 2n ＋2，再分组求和，注意x 的取值范围．[解] 当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎨⎧4n ，x ＝±1，(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1.[规律方法] 分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形.[跟踪训练]1．已知数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，…，1a n －1＋3n －2，…，求其前n 项的和．[解] 设S n ＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋7＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＋3n －2将其每一项拆开再重新组合得，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a 2＋…＋1a n －1＋(1＋4＋7＋…＋3n －2)，当a ＝1时，S n ＝n ＋(3n －1)n 2＝(3n ＋1)n 2；当a ≠1时， S n ＝1－1a n 1－1a ＋(3n －1)n 2＝a －a 1－n a －1＋(3n －1)n 2.错位相减法求和n 1n n n [思路探究] 利用错位相减法求T n ，但本题需注意n 的范围． [解] T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，② ①－②得：－2T n ＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1， ∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ∈N *)．[规律方法]1．若c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则{c n }的前n 项和可用错位相减法求得．2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和． [跟踪训练]2．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和S n .[解] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①12S n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1＝1－12n －n ×12n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n .裂项相消法求和求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2. [思路探究] 由1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1逐项裂项相消求和． [解] ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n (n ＋1). [规律方法]1．裂项相消法的裂项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1；(3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n .2．如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项相消法求和．[跟踪训练] 3．求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n. [解] ∵11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.数列求和的综合应用[探究问题]1．如何求数列{(－1)n }的前n 项的和？[提示] 分n 为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n }的和．2．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 与S n 间存在怎样的关系？如何由S n 求通项a n?[提示] 由S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1， ∴a n ＝⎩⎨⎧S n －S n －1(n ≥2)，a 1(n ＝1).已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11＝6n ＋5. 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，则a 1＝2b 1＋d ＝11，a 2＝b 2＋b 2＋d ＝2b 1＋3d ＝17. 解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1.所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式相减，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×[4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2.所以T n ＝3n ·2n ＋2.母题探究：1.(变条件)把例中的条件改为“数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n ·a n ＋1，数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164”，求数列{a n }，{b n }的通项公式． [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得4a 1＝a 1(a 1＋d )，解得d ＝2，所以a n ＝2n . 由b 1b 2b 3＝b 32＝164，解得b 2＝14，从而公比q ＝b 2b 1＝12，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.2．(变条件)本例中的条件改为“数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －b (a 是既不为0也不为1的常数)．”若{a n }是等比数列，求b .[解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a n ＝S 1＝a －b .∵{a n }为等比数列，∴a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22＝[(a －1)·a ]2＝a 1·a 3＝(a －b )·(a －1)·a 2，∵a ≠0且a ≠1，∴a －1＝a －b ，∴b ＝1. 经验证当b ＝1时，{a n }为等比数列， ∴b ＝1.[规律方法] (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列．(3)等比数列中用到的数学思想： ①分类讨论思想：利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论. ②函数思想：等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1（q n －1）（q ≠1）.设A ＝a 1q －1，则S n ＝A （q n －1）也与指数函数相联系.③整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解.1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A [由c 1＝a 1＋b 1，b 1＝0，知a 1＝1，设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则c 2＝q ＋d ＝1，c 3＝q 2＋2d ＝2，解得q ＝2，d ＝－1，故a n ＝2n －1，b n ＝1－n ，故{c n }的前10项和为(1＋2＋22＋…＋29)＋(0－1－2－3－…－9)＝1－2101－2－9×(1＋9)2＝978.]2．已知a n ＝(－1)n n ，则S 2 017＝________.[解析] ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝1，…，a 2 015＋a 2 016＝1，a 2 017＝－2 017. ∴S 2 017＝1 008－2 017＝－1 009. [答案] －1 009 3．已知a n ＝1n 2＋3n ＋2，则S n ＝________.[解析] ∵a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2.[答案]12－1n ＋24．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是________．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，整理可得 13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1. [答案] a n ＝(－2)n －15．求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .[解] 当a ＝1时，S n ＝12n (n ＋1)；当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ，aS n ＝1＋2a ＋3a 2＋4a 3＋…＋nan －1，(1－a )S n ＝－1－1a －1a 2－1a 3－…－1a n －1＋na n＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a 2＋…＋1a n －1＋n a n ， ∴S n ＝a (a n －1)－n (a －1)a n (a －1)2(a ≠1)，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n (n ＋1)(a ＝1)，a (a n－1)－n (a －1)a n (a －1)2(a ≠1).由Ruize收集整理。

人教版高一数学必修5 第12讲数列求和方法辅导教案设计(无答案)

数学辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版高一数学必修5 第12讲数列求和方法总结复习教案教学目标1、掌握等差（比）数列的求和公式；2、熟练掌握非特殊数列的常见的求和方法．教学重点与难点熟练掌握一般数列的常见的求和方法，会熟练的应用其解决综合问题【知识梳理】一、常用公式1．等差数列与等比数列求和公式等差数列等比数列求和公式①2)(1n n a a n S +=（*n N ∈）②1(1)2n n n S na d -=+ (*n N ∈)③2n S An Bn =+(*,,A B n N ∈是常数)①当1=q 时，1na S n = ②当1≠q 时，qq a a q q a S n n n --=--=11)1(11．(*n N ∈)2．其它常用公式：（1）1123(1)2n n n ++++=+，（2）222112(1)(21)6n n n n +++=++，（3）33332(1)123[]2n n n +++++=．二、倒序相加（求和）法数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法．（联系：等差数列的前n 项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题）．适用的基本形式：112n n a a a a -+=+=三、错位相减法数列特点：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差·比”数列，那么常选用错位相减法（联系：等比数列前n 和公式的推导过程）．适用的基本形式：}{n n b a 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 四、裂项相消法数列特点：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n 项化成首尾若干少数项之和．如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．适用的基本形式：12231111n na a a a a a -+++这样的求和，其中{a n }是等差数列．常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++； ③)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n④)(11n k n knk n -+=++ 【典型例题】考点1 公式法【例1】已知323log 1log -=x，求nx x x x ++++...32前n 项和．【变式1】数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )．A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n【变式2】设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．【例2】（1）若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－15（2）数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －1【变式1】求数列1，112+，11124++，……，11124+++……+112n -的和．【变式2】求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--考点2 倒序相加法【例3】等差数列求和的推导过程：12n n S a a a =+++111()[(1)]a a d a n d =+++++- ①把项的次序反过来，则：()[(1)]n n n n S a a d a n d =+-++--②①+②得：()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++个1()n n a a =+ 则1()2n n n a a S +=【变式1】求022222289sin 88sin 87sin ...3sin 2sin 1sin ++++++的值【变式2】已知函数()222xx f x =+（1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．考点3 错位相减法【例4】试化简：21123(0)n n S x x nx x -=++++≠．【变式1】求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和．【变式2】设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比； ②求数列{}n T 的通项公式．考点4 裂项相消法【例5】（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+（2）在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝9，则n ＝_____【变式1】在数列{}n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和．【变式2】求和S n =nn n n 212232252321132-+-++++- ．【课堂训练】1、已知数列{}n a 的前n 项和n S =N n a n ∈-,131，那么 ++++n a a a 242的值是（）（A ）—3 （B ）—1 （C ）3 （D ）12、等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为（） A ．－50B ．425C ．4125 D ．425- 3、在等比数列{}n a 中，1633a a +=，3432a a ⋅=，1n n a a +<，（1）求n a ；（2）若n n a a a T lg ...lg lg 21+++=，求n T ．4、已知{}n a 为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{}n b 的前n 项和公式．5、设{}n a 是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n b a +的前n 项和S n ．6、设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．7、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．8、已知数列{}n a 的前n 项和为,121-=+n n a a *∈N n ，31=a （1）设1-=n n a b ，*∈N n ，求证数列{}n b 为等比数列．(2)设12+⋅=n n n n a a c ，*∈N n ，求数列{}n c 的前n 项和31<n S ．9、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S ．（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）．10、数列}{n b 的前n 项和为S n ，且b n =2-2S n ；数列{}n a 为等差数列，且.20,1475==a a (1)求数列}{n b 的通项公式；(2)设n n n n T b a c ,=为数列{}n c 的前n 项和，求证：27<n T ．【课后作业】1、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )．A ．11B ．99C ．120D ．1212、已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和S n ＝________．3、已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______4、已知两个等差数列{}{}n n b a ,{}{},327++=n n T Sn b T n a S nn n n n n 项和，的前为数列项和，的前为数列则 55b a =___________． 5、若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )． A ．1－14nB ．1－12n C ．]411[32n -D ．]211[32n-6、已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n aa 的前n 项和S n 为________．7、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，且123=S ,63=a ．①求数列{}n a 的通项公式；人教版高一数学必修5 第12讲数列求和方法辅导教案设计(无答案）11 / 11 ②求证：11111321<++++nS S S S ．9、已知数列{}n a 的前n 项和kn n S n +-=221，*N k ∈,且S n 的最大值为8．（1）确定常数k ，求n a ；（2）求数列}229{n n a -的前n 项和T n ．10、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22+=．(1)求数列的通项公式；(2)设,1 (111)3221++++=n n n a a a a a a T 求n T ．。

2019-2020学年高中数学第二章数列 2.5 数列求和的求法(1)教案新人教A版必修5.doc

2019-2020学年高中数学第二章数列 2.5 数列求和的求法（1）教案新人教A 版必修5【学习目标】1．熟练的掌握数列求和的常用方法．2．熟练的掌握数列求和的常见题型和常用的变形技巧．【重点难点】重点：三种求和方法．难点：．【学法指导】求数列前n 项和时一定要先求通项公式，再根据通项公式的特点灵活的选择方法，熟练掌握每个方法的格式.一.课前预习1．数列}{n a 中，160a =-，且13n n a a -=+， _________n S =．2．数列}{n a 中，12a =，且113n n a a -=， _________n S =．3．2462(1)____________n ++++-=．4．2222123(1)_____________n +++-=．二．课堂学习与研讨数列求和的常用方法：（一）公式法：所给数列已为等差或等比数列，则直接利用等差，等比的求和公式求，或直接利用公式(1)123,2n n n +++++=2222(1)(21)1236n n n n +++++=求和，如课前预习的四个题（二）分组求和法：把数列的通项na分解成一些可以求和的数列，如等差或等比数列例1．求数列1，112+，11124++，的前n项和nS．练习1.求数列11111,3,5,724816的前n项和nS．（三）拆项抵消法（裂项相消法）：把数列的通项na拆成两项相减的形式，然后正负相消，剩下首尾若干项到达求和的目的。

一般分式或根式的求和就采用拆项抵消法．常见的拆项公式如下：1.111(1)1n n n n=-++2.1111()()n n k k n n k=-++3.1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+=例2．求数列1111,,,13243546⨯⨯⨯⨯的前n项和nS．例3．求数列的前n 项和n S ．练习2.求11112558811(31)(32)n s n n =++++⋅⋅⋅-+．三.课堂检测1．求数列12,23,34,45,⨯⨯⨯⨯的前n 项和n S ．2．求数列1111,,,14477101013⨯⨯⨯⨯的前n 项和n S ．3．求数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和n S ．四．作业1．求数列7， 77，777，的前n 项和n S ．2．求数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的前n 项和n S ．3．求数列1111,,,12123123+4+++++的前n 项和n S ．。

辽宁省沈阳市第二十一中学人教B版高中数学必修五学案2.1 数列(无答案)

2.1 数列【自主学习】1．数列:按照一定___________排成的一列____叫数列.数列中的__________叫做这个数列的___.各项依次叫做这个数列的第___项（或_______）,第____项，第_____项，…，第___项，….2.数列的一般形式可以写成：____________________________________________.其中_____是数列的第n 项，叫做数列的________.我们常把一般形式的数列简记作_________.3.通项公式：如果．．数列的第n 项_____与____之间的关系可以用一个函数式 ___________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.所有数列都有通项公式吗？若一个数列有通项公式那么它的通项公式是唯一的吗？4.从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为______________（或它的有限子集_________________）的函数，而数列的通项公式就是相应函数的________.5.数列的表示方法：____________、_____________、_________________.6.数列的分类：按项数的多少分为：_____________和________________. 按各项的大小分为：______________、______________和_______________.7.递推公式 :如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项_____与它的前一项_____ (或前几项)间的关系可以用一个_______来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.学以致用：．．．．．1. 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项,并画出它们的图像:（1）2312-+=n n a n （2）2cos πn a n = （3）n a n n 2)1(-= （4）11)1(1+--=+n n a n n2.观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的通项公式：（1）1，3，7，（），31，（），127；（2）2，5，（），17，26，（），50；（3）21，41-，（），161-，321，（），1281；（4）0，2，0，2，（），（）；（5）32-，154-，（），638-，9910-，（）；（6）-1，2，（），2，5-，（），7-.3.根据下面数列}{n a 的通项公式，写出它的第7项，第10项：（1）;121)1(1-+-=+n n a n n （2）;2)1(sin 1π-+=n a n （3）判断9951是不是第（1）小题中的那个数列中的项.4.已知数列}{n a 的第一项是2，以后的各项由公式111+=--n n n a a a （n=2，3，4，…）给出，写出这个数列的前5项.【合作探究】1.写出分别满足下列条件的数列}{n a 的递推公式和通项公式(设11=a ) (1)从第二项起,每一项都比她的前一项大2;(2)从第二项起,每一项都是它的前一项的3倍.*2.已知数列}{n a 的通项公式为452+-=n n a n(1)数列中有多少项为负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值？。

辽宁省沈阳市第二十一中学人教B版高中数学必修五学案2.3.2等比数列的前n项和(无答案)

2.3.2等比数列的前n 项和【自主学习】1．等比数列{}n a 前n 项和公式是⎪⎩⎪⎨⎧≠==)1()1(q q S n推导过程：2.[相关问题] (1)当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=_____________.(2)如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余___________. 例. 求下列等比数列前8项的和:(1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0【合作探究】1.求数列9,99,999，9999,99999,…的前n 项和2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30.求a n 和S n .变式. (1) 在等比数列{}n a 中,若21646=-a a ,813=-a a ,40=n S ,求n a q 及1,（2）等比数列{a n }满足： a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)． ①求数列{a n }的通项公式；②若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．3. 在等比数列{}n a 中，30102010==S S ，,求30S变式.在等比数列{}n a 中，91762==S S ，,求4S【自我检测】 1. 求等比数列32，94，278，…的第3项到第10项的和．2．在等比数列{}n a 中，已知12612866121===+-n n n S a a a a ，，，求q n ，3．在等比数列{}na 中，公比2=q ，25log log log1022212=+⋅⋅⋅++a a a则______1021=+⋅⋅⋅++a a a4．数列1，21+，2221++，…，122221-+⋅⋅⋅+++n ，…的前n 项和是( ) . A.n n --12B.221--+n nC.n n -2D.n 25. 某林场原有森林木材存量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值.)3.02(lg =。

人教B版高中数学必修五《第二章数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_24

数列专题复习——数列求和教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：启发式、讲练结合．教学过程：一、复习回基本公式1.公式法：即直接用公式求数列的前n 项和Sn=a1+a2+a3+…+an①等差数列前n 项和： ②等比数列前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧=--≠=)1(1)1()1(11q qq a q na s n n ③1+2+3+….+n=2)1(+n n ④)12)(1(61 (3212)222++=++++n n n n ⑤233332)1(......321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 例1. 1+3+5+….+(2n-1)=＿ =+++++n 2.....222132＿二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型1公式法求和．题型2分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．题型3裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，错位相减法求和．题型4这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求d n n na a a n s n n 2)1(2)(11-+=+=数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列．例2． n aa a a S 1.......111132+++++=（对a 进行=1和≠1分类讨论）备用例题：1、求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ，…(a 为常数)的前n 项和．解析若a ＝0，则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2 ．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n ，∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1，练习.练习：已知实数a 、b 满足，4a 2+9b 2-4a-6b+2=0求a+a 2b+a 3b 2+…+a 100b 99总结：在求等比数列前n 项和时，要特别注意公比q 是否为1。

北师大版高中数学必修5第一章数列第2课时数列求和学案含解析

北师大版高中数学必修5：第2课时数列求和内容标准学科素养1.掌握把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列解决的方法(分组转化法、裂项相消法).2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.3.掌握等差、等比数列及前n 项和的综合应用.加强方法归纳提升数学运算灵活综合应用授课提示：对应学生用书第26页[基础认识]知识点一分组分解求和法求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . 提示：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12n . 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二奇偶并项求和法求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002 ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5 050.悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三裂项相消求和法我们知道1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）.提示：由1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1得11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1（n ＋1）＝1－1n ＋1＝nn ＋1(n ∈N ＋)．知识梳理如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(4)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）.[自我检测]1．数列{2n －1＋1}的前n 项和为________．解析：设数列{2n －1＋1}的前n 项和为S n ，则S n ＝1＋1＋2＋1＋22＋1＋23＋1＋…＋2n －1＋1＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋(1＋1＋…＋1) ＝1－2n 1－2＋n ＝2n ＋n －1. 答案：2n ＋n －12．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前2 019项和为________．解析：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前n 项和为S n ，∵a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1∴S n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1， ∴S 2 019＝2×2 0192 019＋1＝2×2 0192 020＝2 0191 010.答案：2 0191 0103．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．解析：S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100 ＝2·2(1＋2＋…＋49)＋100＝4·50×492＋100＝5 000.答案：5 000授课提示：对应学生用书第26页探究一分组转化法求数列的和[例1] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．(2)由第(1)问知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.方法技巧如果一个数列的通项公式可写成c n ＝a n ±b n 的形式，而数列{a n }，{b n }是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和．跟踪探究 1.S n ＝3＋33＋333＋…＋＝________．解析：数列3，33，333，…，的通项公式a n ＝13(10n －1)．所以S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1)＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10（1－10n ）1－10－n 3＝1027(10n －1)－n 3. 答案：1027(10n －1)－n 3探究二错位相减法求数列的和[例2] 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N ＋，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N ＋，n ≥2)． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N ＋. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6×（1－2n ）1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)×2n ＋1＋8∴T n －8＝(3n －4)×2n ＋1.而当n ≥2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1，所以T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N ＋，n ≥2.方法技巧 “错位相减法”求数列前n 项和的类型及注意事项 (1)类型：如果数列{a n }是等差数列，公差为d ；数列{b n }是等比数列，公比为q ，则求数列{a n b n }的前n 项和就可以运用错位相减法． (2)注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意； ②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；③应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件，如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论．跟踪探究 2.数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N ＋.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n . S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.探究三裂项相消法求数列的和 [例3] 求和： 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2，n ∈N ＋. [解析] ∵1n 2－1＝1（n －1）（n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1. ∴原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n （n ＋1）(n ≥2，n ∈N ＋)．方法技巧对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：(1)1n （n ＋k ）＝1k ·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.(3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n .跟踪探究 3.求和： 2222－1＋3232－1＋4242－1＋…＋n 2n 2－1，n ≥2，n ∈N ＋. 解析：∵n 2n 2－1＝n 2－1＋1n 2－1＝1＋1n 2－1，∴原式＝⎝⎛⎭⎫1＋122－1＋⎝⎛⎭⎫1＋132－1＋⎝⎛⎭⎫1＋142－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋1n 2－1＝(n －1)＋⎝⎛122－1＋132－1＋⎭⎫142－1＋…＋1n 2－1 以下同例3解法．4．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N ＋)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 探究四等差、等比数列及前n 项和的综合应用[例4] 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n （a n ＋3）(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n均有S n ＞t36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得(d ＝0舍)，d ＝2.∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)b n ＝1n （a n ＋3）＝12n （n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）. 假设存在整数t 满足S n ＞t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12（n ＋2）－n2（n ＋1）＝12（n ＋2）（n ＋1）＞0， ∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36＜14，即t ＜9.又∵t ∈N ＋，∴适合条件的t 的最大值为8.方法技巧与等差、等比数列有关的综合问题，解题中应注意的方法与技巧(1)转化思想：将非等差(比)数列转化，构造出新的等差(比)数列，以便于利用其公式和性质解题．(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．(4)涉及前n 项和S n 的，要注意a n ＝S n －S n －1(n ≥2)在a n 与S n 关系中的应用．跟踪探究 5.设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t ＞0，n ＝2，3，4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1(n ＝2，3，4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. 解析：(1)证明：由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ，① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t .②①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2，3，…)．∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1bn －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列，且b 2n ＝4n ＋13，于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1 ＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－49(2n 2＋3n ).授课提示：对应学生用书第28页[课后小结]求数列的前n 项和，一般有下列几种方法 (1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． (4)奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论． (5)倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．[素养培优]忽略等比数列前n 项和公式应用的条件致误求数列1，2a ，4a 2，8a 3，…的前n 项和S n .易错分析等比数列与等差数列相比，具有更多地特殊性，例如：等比数列中任何一项均不为零，等比数列的求和公式中，要分q ＝1和q ≠1两种情况，分别求解．因此当数列中的项含有字母时，要注意分类讨论、本题容易忽视对参数a 的讨论而致误、考查分类讨论的学科素养．自我纠正 (1)当a ＝0时，易得数列的前n 项和S n ＝1.(2)当a ≠0时，数列是公比为2a 的等比数列．若2a ＝1，即a ＝12，这时数列为常数列．S n ＝n ×1＝n ；若2a ≠1，即a ≠12，其前n 项和S n ＝1－（2a ）n 1－2a，又当a ＝0时，S n ＝1，适合S n ＝1－（2a ）n1－2a.故S n ＝⎩⎨⎧1－（2a ）n 1－2a，a ≠12.n ， a ＝12.。

人教版数学高二B版必修5学案第二章数列章末复习

章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力.1.等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示递推公式a n＋1－a n＝da n＋1a n＝q中项由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝x＋y2如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±xy通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1前n项和公式S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2 dq≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q，q＝1时，S n＝na1性质a m，a n的关系a m－a n＝(m－n)da ma n＝qm－n m，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋ta m＋a n＝a s＋a t a m a n＝a s a t{k n}是等差数列，且k n∈N＋{nka}是等差数列{nka}是等比数列n＝2k－1，k∈N＋S2k－1＝(2k－1)·a k a1a2·…·a2k－1＝a2k－1k判断方法利用定义a n＋1－a n是同一常数a n＋1a n是同一常数利用中项a n＋a n＋2＝2a n＋1a n a n＋2＝a2n＋1利用通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数a n＝ab n(a≠0，b≠0)利用前n项和公式S n＝an2＋bn (a，b为常数)S n＝A(q n－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或S n＝np(p为非零常数) 2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法.(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.(5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.类型一方程思想求解数列问题例1设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{a n}的通项；(2)令b n＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由已知，得⎩⎨⎧a1＋a2＋a3＝7，(a1＋3)＋(a3＋4)2＝3a2，解得a2＝2.设数列{a n}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q，又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.由题意，得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1，2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln2， ∴{b n }是等差数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln2(n ∈N ＋).反思与感悟在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量.跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n 的最大值.解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得a 1＝9，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2.则S nn ＝10－n .∵S n ＋1n ＋1－S n n＝－1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以9为首项，－1为公差的等差数列.则T n ＝n ·[9＋(10－n )]2＝－12n 2＋192n ＝12⎝⎛⎭⎫n －1922＋3618.∵n ∈N ＋，∴当n ＝9，或n ＝10时，T n 有最大值45. 类型二转化与化归思想求解数列问题例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式. (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋2，①则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n +1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ，即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列.由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5， ∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列.方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1＝2(a n －2a n －1)，令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n 2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，c 1＝a 12＝12， ∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列.(2)解由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2，n ∈N ＋是数列{a n }的通项公式.设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2， ∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n ＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N ＋.反思与感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N＋).(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2). ∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列. 类型三函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2. ∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋).(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的. ∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.反思与感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列的定义域是正整数集或{1，2，3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响.跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32.故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值.解 (1)由a n ＋1＝f (a n )，得a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0，即a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列，即a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|，即a 22＝a 1·(2－|a 2|)，且a 2＝2－|a 1|，得(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]，即(2－a 1)2＝a 1(2－|2－a 1|)，分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(2－a 1)]＝a 21，解得a 1＝1，且a 1≤2；②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)，即2a 21－8a 1＋4＝0，即a 21－4a 1＋4＝2，即(a 1－2)2＝2，解得a 1＝2＋2，且a 1＞2，综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.反思与感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n . 解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴a n ＋1－a n ＝23，∴{a n }是以23为公差的等差数列.又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13，n ∈N ＋.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n ).1.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q 等于( ) A.－2 B.2 C.3 D.－3答案 A解析由题意知当q ＝1时不成立. 当q ≠1时，因为S 3＋3S 2＝0，所以a 1(1－q 3)1－q ＋3a 1(1－q 2)1－q＝0，即(1－q )(q 2＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去).2.设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是. 答案 a n ＝36(2n －1)解析设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件，得a 21＝9(2a 1＋d )，① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).②由②得d ＝2a 1，代入①有a 21＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36.将a 1＝0舍去.因此a 1＝36，d ＝72，故数列{a n }的通项公式为a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1).3.若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为；数列{na n }中数值最小的项是第项. 答案 a n ＝3n －16 3解析利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求得a n ＝3n －16，n ∈N ＋.则na n ＝3n 2－16n ＝3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －832－649，所以n ＝3时，na n 的值最小.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式. 解设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17，得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12，得q 2＋q －d ＝4.②由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ＋，b n ＝3·2n －1，n ∈N ＋.1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.一、选择题1.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3 C.它的首项是－3，公差是2 D.它的首项是3，公差是－2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，S 3＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22·d ＝3，解得a 1＝－2，d ＝3.2.在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A.2B.－2C.2或－2D.2或－1 答案 C解析 S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，①S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，② ②÷①，得1＋q 4＝17，q 4＝16.q ＝±2.3.等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋t ，则t ＋a 3的值为( )A.1B.－1C.17D.18答案 C解析 a 1＝S 1＝3＋t ，由a 1＋a 2＝9＋t ，得a 2＝6，由a 1＋a 2＋a 3＝27＋t ，得a 3＝18，由a 1a 3＝a 22，得t ＝－1，故t ＋a 3＝17. 4.已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13＜0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项答案 C解析由S 13＝13a 7，S 12＝6(a 6＋a 7)及S 13＜0，S 12＞0，知a 7＜0，a 6＋a 7＞0，即a 6＞－a 7＞0，故|a 6|＞|a 7|.又等差数列为递减数列，故|a 1|＞|a 2|＞…＞|a 6|＞|a 7|，|a 7|＜|a 8|＜…，故|a 7|最小.5.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( ) A.16(1－4－n )B.16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 答案 C解析依题意，a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，两式相除，可求得q ＝12，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式，可得原式＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－4－n ). 6.在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，n ∈N ＋，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A.2n +1－2B.3nC.2nD.3n －1答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝2q n －1.因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0，即(q －1)2＝0，解得q ＝1.由a 1＝2，得a n ＝2，所以S n ＝2n .二、填空题7.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N ＋，则它的通项公式为.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2，n ≥2.8.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为. 答案 110解析设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 9.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝.答案 2600解析由a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)知，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以a 2＝2为首项，2为公差的等差数列.所以S 100＝50×2＋50×492×2＋50×1＝2600. 10.设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1，1，2，…，则数列{c n }的前10项和为.答案 978解析由题意，得a 1＝1，设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，∴q 2－2q ＝0， ∵q ≠0，∴q ＝2，∴d ＝－1，∴a n ＝2n －1，b n ＝(n －1)(－1)＝1－n ，∴c n ＝2n －1＋1－n ，设数列c n 的前n 项和为S n ，∴S 10＝978.11.已知等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则这个数列的前n 项和最大时n ＝.答案 15解析方法一设数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ，解得d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋31，设这个数列的前n 项和最大，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋31≥0，－2(n ＋1)＋31≤0， ∴292≤n ≤312， ∵n ∈N ＋，∴n ＝15.方法二设数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ，解得d ＝－2.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S 10＝S 20，知x ＝10＋202＝15是其对称轴，由d ＝－2知二次函数的图象开口向下，故n ＝15时S n 最大.三、解答题12.求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)·a n－1的前n 项和.解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1，3，5，7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2. (3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，(1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a ＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，a ＝0，n ∈N ＋，n 2，a ＝1，n ∈N ＋，1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n)(1－a )2，a ≠0且a ≠1，n ∈N ＋.13.在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N ＋)，公比q ∈(0，1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n n最大时，求n 的值. 解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4，而q ∈(0，1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n . (2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0. ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n最大. 四、探究与拓展14.阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数.函数[x ]叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x －1＜[x ]≤x ＜[x ＋1].请回答：[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 21 024]的值是.答案 8204解析由题意得，当x ∈[2k ，2k ＋1)时，[log 2x ]＝k ，令原式＝S ，则S ＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10，①2S ＝22＋2×23＋3×24＋…＋9×210＋20，②①－②，得－S ＝2＋22＋23＋…＋29－9×210－10＝－12－213，∴S ＝12＋213＝8204.15.已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列. 设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.当λ＝－1时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n +1－a n －12n ＝12n +1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n +1[(2n +1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2，公差是1的等差数列. (3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差是1的等差数列. ∴a n －12n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1，n ∈N ＋.。

人教新课标版数学高二B必修5课件2.3.2习题课数列求和

C.12(n2－n＋2)－21n
D.12n(n＋1)＋2(1－21n)
明目标、知重点
1234
解析 121＋214＋318＋…＋(n＋21n) ＝(1＋2＋…＋n)＋(21＋41＋…＋21n) ＝nn2＋1＋2111－－1221n＝12(n2＋n)＋1－21n＝12(n2＋n＋2)－21n. 答案 A
明目标、知重点
当n为奇数时，令n＝2k＋1 (k∈N＋).
－3n＋1 Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝ 2 .
－3n＋1
∴Sn＝
2
n为奇数，
3n 2
n为偶数.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于( B )
明目标、知重点
跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋ an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0). 解当a＝1时，则an＝n，
nn＋1 于是 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 . 当 a≠1 时，an＝11－－aan＝1－1 a(1－an).
明目标、知重点
∴Sn＝1－1 a[n－(a＋a2＋…＋an)]
x＝±1， x≠±1.
明目标、知重点
呈重点、现规律
求数列前n项和，一般有下列几种方法. 1.错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
明目标、知重点
3.裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 4.奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论. 5.倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法.

人教版高中数学必修5第二章2.5.2数列的求和问题学案

2.5.2数列的求和问题一、学习目标1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2．掌握数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系式；3．熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.二、学习要点1、数列的前n 项和S n 的相关公式任意数列的第n 项{}n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数）当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或qqa a S n n --=11等比数列的求和中若q 的范围不确定，要特别注意1q =的情况. 2、求数列的前n 项和的几种常用方法公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和；倒序相加法：等差数列前n 项和的推导方法，即将n S 倒写后再与n S 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1(1)n a n n =+的数列求和.常见的拆项公式： ①)11(1)(1kn n k k n n +-=+•；①若{}n a 为等差数列，且公差d 不为0，首项也不为0，则111111()n n n n a a d a a •++=-；①若{}n a 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=.①n n nn -+=++111；)(11n k n knk n -+=++.分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为n n n a 32+=的数列求和.错位相减法：如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n c b a ⋅=（其中{}n b 是公差d≠0的等差数列，{}n c 是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n 项和n S .例如对通项公式为(21)2n n a n =-⋅的数列求和.一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后，再错位相减求出其前n 项和；①在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.3、掌握一些常见数列的前n 项和公式 1. 2)1(321+=++++n n n ； 2. 2135(21)n n ++++-=3. 6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.三、典型例题复习题型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式【例1】．设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n N =-∈则1215||||+||a a a ++……= 【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。

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