武汉大学电路分析-12

°
+ 4 . 166 sin( 5 ω t − 89 . 53 ) mV
°
例2
π 已 知 : u = 30 + 120 cos 1000t + 60 cos( 2000t + ) V. 4 求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
V2 10mH A3
L1 A1 C1 40mH A2 25μF V V 11 c
(2) 按周期规律变化
f (t ) = f (t + kT )
例1
半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例2
脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例4 交直流共存电路 +V
Es
12.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频）
ak = 0
－T/2
f (t) T/2
T/2
t
（3）奇谐波函数
T f (t ) = − f (t + ) 2
a2k = b2k = 0
T
t
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
iS
Im
T/2 T
⎧ ⎪ Im i S (t ) = ⎨ ⎪0 ⎩
直流分量： I O 谐波分量：
2. 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R = 20 Ω 、 L = 1mH 、C = 1000 pF I m = 157μ A 、 T = 6 .28 μ S
R
iS
iS
Im
T/2
C
u
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：
2Im Im 1 (sin ω t + sin 3ω t + iS = + π 3 2 1 + sin 5ω t + L ) 5
12.4
1. 计算步骤
非正弦周期交流电路的计算
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号； （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算； （注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
( R + jX L 5 )( − jX C 5 ) Z ( 5ω 1 ) = = 208 . 3 ∠ − 89 . 53 o Ω R + j(5 X L5 − X C 5)
−6 10 & & U 5 = I 5 s ⋅ Z ( 5ω 1 )= 20 ×
2
⋅ 208 .3 ∠ − 89 .53 °
4 .166 = ∠ − 89 .53 ° mV 2
（3）
三角函数的正交性
2π
∫ ∫ ∫
0 2π 0 2π 0
cos k ω t ⋅ sin p ω td ( ω t ) = 0 cos k ω t ⋅ cos p ω td ( ω t ) = 0 sin k ω t ⋅ sin p ω t d ( ω t ) = 0
(k ≠ p )
2. 非正弦周期函数的有效值
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 = 1.57 mV
5000 & U1 = mV 2
12 .47 & U3 = ∠ − 89 .2 ° mV 2
4.166 o & U5 = ∠ − 89.53 mV 2
u = U 0 + u1 + u 3 + u 5 ≈ 1 . 57 + 5000 sin ω t + 12 . 47 sin( 3 ω t − 89 . 2 )
I =
I 02 +
2 0 2 1
∑
∞
k =1
2 I km 2
I=
结论
I + I + I + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2 2
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波 分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若
i(t ) = I 0 +
∑
∞
k =1
I k cos( k ω t + ϕ k )
则其平均值为：
π
0
bk =
∫ π
1
2π
0
f ( t ) sin kω 1 td (ω 1 t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化 f(t) （1）偶函数
f (t ) = f (− t )
（2）奇函数
bk = 0
－T/2
f(t)
T/2
t
f ( t ) = − f (t )
I AV
1 = T
∫
T 0
i ( ω t ) dt = I 0
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u (t ) = U
0
+
∑
∑
∞
∞
U
k =1
km
cos( k ω t + ϕ uk )
ik
i(t ) = I 0 +
1 P = T
k =1
I km cos( k ω t + ϕ
)
∫
∞
T 0
周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
基波
t
t
七次谐波
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
等效电源
iS
Im
t T/2 T
IS0
is1 is3 is 5
I m 2I m 1 1 iS = + (sin ωt + sin 3ωt + sin 5ω t + K) 2 3 5 π
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数
∫
2π
0
sin k ω td (ω t ) = 0
∫
2π
0
cos k ω td (ω t ) = 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为π。
∫
2π
0
sin k ω td (ω t ) = π
2
∫
2π
0
cos 2 k ω td (ω t ) = π
IS0
is1
is3
is 5
Akm
iS
Im
矩形波的频谱图
t T/2 T
0
ω 3ω 5ω 7ω
I m 2I m 1 1 iS = + (sin ωt + sin 3ωt + sin 5ω t + K) 2 3 5 π
例2
f(t)
给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量： (1) 正弦分量； (2) 余弦分量； (3) 正弦偶次分量； (4) 余弦奇次分量。 O T/4 t 试画出 f(t) 的波形。
第12章 非正弦周期电流电路
z 重点 1. 周期函数分解为付里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
12.1
非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 z 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波
=
3 × 10 × 1000 × 10
6
− 12
= 0 . 33 K Ω
3ω 1 L = 3 × 10 6 × 10 − 3 = 3 k Ω ( R + jX L 3 )( − jX C 3 ) = 374 .5 ∠ − 89 . 19 0 Ω Z ( 3ω 1 ) = R + j( XL3 − XC 3)
1 = T
T 0< t < 2 T < t <T 2
t
∫
1
T
0
1 i S ( t ) dt = T
2π
∫
源自文库
T /2
0
Im I m dt = 2
i S (ω t ) sin k ω t d (ω t ) π 0 0 K为偶数 ⎧ Im 1 ⎪ 2Im ( − cos k ω t ) π = 0 = ⎨ K为奇数 π k ⎪ ⎩ kπ bK =
I
5 m
2π 2 × 3 . 14 = = 10 ω = −6 T 6 . 28 × 10
1 = I 5
1 m
= 20 μA
6
rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 = 78 .5
is3 =
μA
μA
i s 1 = 100 sin 10 6 t μ A
100 is5 = sin 5 ⋅ 10 6 t μ A 5
f ( t ) = a0 + ∑[ak coskω1 t +bk sinkω1t]
k=1
系数之间 的关系为
∞
A0 = a0 Akm = a + b a k = Akm cos φ k − bk φ k = arctan ak
2 k 2 k
bk = − Akm sin φ k
系数的计算：
1 T A0 = a0 = ∫ f ( t )d t T 0 1 2π a k = ∫ f ( t ) cos kω 1 td (ω 1t )
u ⋅ i dt
利用三角函数的正交性，得：
P = U 0 I 0 + ∑ U k I k cos ϕ k = P0 + P1 + P2 + ......
k =1
(ϕ k = ϕ uk − ϕ ik )
P = U0 I0 + U1 I1 cosϕ1 + U2 I 2 cosϕ 2 +L
结论 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
& = I & U 3 S3
=
10 − 6 ⋅ Z ( 3ω 1 ) = 33 . 3 × × 374 . 5 ∠ − 89 . 19 0 2
12 . 47 ∠ − 89 . 2 0 mV 2
(d)五次谐波作用
1
is5
100 = sin 5 ⋅ 10 6 t μ A 5
1 = = 0 .2 ( K Ω ) 6 − 12 5ω 1 C 5 × 10 × 1000 × 10 5ω 1 L = 5 × 10 6 × 10 − 3 = 5 k Ω
Z (ω 1 ) = 50 K Ω
i s 1 = 100 sin 10 6 t μ A
−6 × 5000 100 10 & = I & ⋅ Z (ω ） U = ⋅ 50 = mV 1 1 1 2 2 (c)三次谐波作用 i s 3 = 100 sin 3 ⋅ 10 6 t 3 1 1
3ω 1 C
30Ω d
L2
C2 25μF u _ b
a
+
解
i +
L1 40mH iC1 C1 25μF c
30Ω d
L2 10mH iL2 C2 25μF
a b (1) u0=30V作用于电路，L1、 L2 短路， C1 、 C2开路。 L1 L2 30Ω iL20 iC10 c d C2 C1 i
100 sin 3 ⋅ 10 6 t 3
（2） 对各种频率的谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 = 78.5μA
电容断路，电感短路:
R
IS0
−6
u0
U 0 = RI
S0
= 20 × 78 . 5 × 10
= 1 . 57 mV
（b)基波作用 i s 1 = 100 sin 10 6 t
∫
a
k
= =
2
π
2 I
∫
2π 0
i S ( ω t ) cos kω t
k ω t d (ω t )
π
0
π
m
1 ⋅ sin k
2 K
= 0
（K为奇数）
i s 的展开式为：
2Im AK = b + a = bK = kπ aK ψ K = arctan = 0 bK
2 K
Im 2Im 1 1 iS = + (sin ω t + sin 3ω t + sin 5ω t + L) π 5 2 3
1 1 = = 1k Ω 6 − 12 ω 1C 10 × 1000 × 10 ω 1 L = 10 6 × 10 − 3 = 1k Ω XL>>R
Z (ω 1 ) =
R
iS
C
u
L
( R + jX L ) ⋅ ( − jX C ) X L X C L ≈ = = 50 k Ω R + j( X L − X C ) R RC
解
(1) 正弦分量； f(t)
− T/2 − T/4
O T/4
T/2
t
(2) 余弦分量；
f(t)
− T/2 − T/4
f(t) (3) 正弦偶次分量；
O T/4
T/2
t
− T/2 − T/4
f(t) (4) 余弦奇次分量。
O T/4
T/2
t
− T/2 − T/4
O T/4
T/2
t
12.2 有效值、平均值和平均功率
若
i(t ) = I 0 +
1 T 1 T
∑
∞
k =1
I km cos( k ω t + ϕ k )
则有效值:
I = =
∫ ∫
T 0 T 0
i 2 (ω t )d ( t ) ⎡ ⎢I0 + ⎣
∑
∞
k =1
I km
⎤ cos (k ω t + ϕ k )⎥ d ( t ) ⎦
2
利用三角函数的正交性得：
代入已知数据：
t
T
I m = 157 μ A , T = 6 . 28 μ s
直流分量 基波最大值
Im 157 I0 = = = 78 . 5 μ A 2 2 2Im 2 × 1 . 57 = = 100 μ A I 1m = π 3 . 14
三次谐波最大值 五次谐波最大值 角频率
I 3m
1 = I 1 m = 33 . 3 μ A 3
f (t ) = A0 + A1m cos(ω1t + φ1 ) + + A2m cos(2ω1t + φ2 ) + L + Anm cos(nω1t + φn ) +
∞
高次谐波
f (t ) = A0 + ∑ Akm cos(kω1t + φk )
k =1
也可表示成：
Akm cos(kω1 t + ϕ k ) = ak cos kω1 t + bk sin kω1 t