圆锥曲线1
圆锥曲线课件1【PPT】共17页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
圆锥曲线课件1【PPT】
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
Байду номын сангаас
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高三数学圆锥曲线1
1 2 ∵离心率 2 e= ∴ 2|MF|=|MN| x y 2 M为椭圆上一 1 的右焦点， ∴|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|=|AN| 16 12
动点，求|AM|+2|MF|的最小值，并求出 ∴|AN|=2+8=10 此时点 M的坐标即 . |AM|+2|MF|的最小值为10
此时 M (2 3, 3)
2
四、几个重要结论：
设P是椭圆 圆的焦点，∠F1PF2=θ ,则
1、当P为短轴端点时，
A1
x2 y2 2 1a b 0 2 上的点， F1，F2是椭 a b
B2 P
F1 B1
F2
A2
x
S△PF1F2有最大值=bc
2、当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大 3、椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远 4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短
思路二：设出 MN 的点斜式方程 思路一：设两端点M、N的坐标分 y 1 k ( x 2) M x , y , N x , y 别为 1 ，与椭圆联立，由 1 2 ，代入椭 2 圆方程，作差因式分解求出直线 韦达定理、中点公式求得直线 MN的 MN斜率，即求得 MN 的方程。 斜率，也可求得 MN 的方程。
椭圆，那么实数k的取值范围是 (
2
2
D
)
A、(0, ) C、(1, )
B、 D、
(0, 2)
(0,1)
x y 1 的焦点为F1和F2， 4、椭圆 12 3
点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴 上，那么|PF1|是|PF2|的( A ) A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍
2
2
左焦半径为|MF1|=a+ex0， 右焦半径为|MF2|=a-ex0
学生版圆锥曲线（1）
圆锥曲线（1）一、基础训练1．若椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值是________． 2．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O则M 到该抛物线焦点的距离为________．3．双曲线22260x y -+=上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4．已知双曲线2212x y a -=的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为________． 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F .若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线C 的离心率等于________． 6.若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点1(1,2作圆221x y +=的切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．二、典型例题例1 (1)椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A ，B .当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是________．(2) 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该椭圆离心率e 的取值范围是________． (3)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________．例2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当AMN ∆k 的值．例3已知双曲线2213y x -=，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3) ． (1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . ①若AM MN =，求AMB ∠的余弦值；②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．例4如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点(1,0)P ，(0,2)Q ．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．三、作业1．点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆的焦点，如果1275PF F ︒∠=，2115PF F ︒∠=，则椭圆的离心率为________．2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为________．3.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为________．5．设P 点在圆22(2)1x y +-=上移动，点Q 在椭圆2219x y +=上移动，则PQ 的最大值是________．6．已知1F ，2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ．7. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F ，2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．8.如图，点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4) ，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．9．设A 、B 分别为椭圆12222=+b y a x ()0>>b a 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4=x 上不同于点()0,4的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ．证明：MBP ∆为钝角三角形．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA = ，椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB取得最小值时，求点P 的坐标； （3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ= ，求实数λ的取值范围．。
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式圆锥曲线焦半径和焦点弦的三角形式及其性质(以焦点在x 轴上的曲线为例)设圆锥曲线的焦点弦AB 所在直线的倾斜角为θ，斜率为k ，离心率为e ，焦准距为p (抛物线只需令e=1)性质1：焦半径AF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep -=-，BF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep +=+抛物线：AF=|cos 1|θ-p ，BF=|cos 1|θ-p 性质2：焦点弦AB=|cos 2||cos 12|222222θθc a ab e ep -=-，抛物线：AB=|sin 2|2θp 性质3：222BF 1AF 1b a ep ==+；抛物线：p2BF 1AF 1=+性质4：若→→=FB AF λ，则有|11|12+-+=λλk e ，|11||cos |+-=λλθe 典型例题例1：过椭圆1222=+y x 的左焦点作倾斜角为60°的直互，直线和椭圆交于A 、B 两点，则AB=____例2：已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与D 、E 交于两点，则AB+DE 的最小值为_______例3：已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若→→=FB 4AF ，则C 的离心率为______.例4：已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点，设FA>FB ，则FA 与FB 的比值等于___________例5:已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若AF 2=2F 2B ，AB=BF 1，则C 的方程为________例6设圆的圆心为A ，直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合，l 交圆于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(1)证明EA+EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.练习题1.设F 1、F 2分别是C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N(1)若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN=5F 1N ，求a 、b2.中心在原点O 的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l 的方程为：x =12(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点P 1、P 2、P 3，使得∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1，证明:321FP 1FP 1FP 1=+为定值，并求此定值.。
圆锥曲线1
第十四讲 圆锥曲线一、曲线与方程 1、 曲线与方程的定义在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个一元二次方程0),(=y x f 的实数解有如下关系：①曲线C 上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上 则: 方程0),(=y x f 称为曲线C 的方程，曲线C 称为方程0),(=y x f 的曲线；2、 求曲线轨迹方程的一般步骤⑴建立适当的直角坐标系，设动点坐标； ⑵写出适合条件的动点集合； ⑶用坐标表示动点的集合，列出等式； ⑷化简等式，整理得到曲线方程； ⑸证明所求的方程为曲线的方程；3、 曲线方程的求法⑴直接法：根据题意直接列式化简；⑵定义法：可求出符合已知曲线定义的曲线的方程；⑶参数法：根据题意列出参数方程，然后消去参数即可得到曲线的方程； ⑷交轨法：可求出两条直线、直线与曲线交点的轨迹方程；⑸转移法：将要求的曲线上的点转移到已知曲线上的点，可代入化简；4、 方程022=+++++f ey dx cy bxy ax 所表示的曲线⑴当042=-=ac b D 时：曲线可能为抛物线、一条直线、两平行直线或无轨迹； ⑵当042<-=ac b D 时：曲线可能为椭圆、圆、一个点或无轨迹； ⑶当042>-=ac bD 时：曲线可能为双曲线或两相交直线；二、椭圆的性质与应用 1、椭圆的定义⑴椭圆的第一定义：平面内到两定点21,F F 的距离之和等于定值)2(221F F a a >的点的轨迹；其中：定点21,F F 叫做焦点，他们之间的距离21F F 叫做焦距；即：若点P 为椭圆上的任意一点，则有：a PF PF 221=+；①当212F F a >时：表示以21,F F 为焦点的椭圆； ②当212F F a=时：表示以21,F F 为端点的线段； ③当212F F a <时：轨迹不存在；(2)椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值)10(<<e e 的点的轨迹； 其中：定点叫做焦点，定直线叫做准线，定值e 叫做离心率； 即：若点P 为椭圆上的任意一点，P 到准线的距离记作PH，则有：e PH PF =/3、标准椭圆系方程⑴与12222=+b y a x 共焦点的标准椭圆系方程为：12222=+++λλb y a x (λ为参数且2b ->λ)； ⑵与12222=-b y a x 共焦点的标准椭圆系方程为：12222=-++by a x λλ(λ为参数且2b >λ)； 4、与椭圆的位置关系：设点)(0,0y x P 与椭圆12222=+b y a x ，则：⑴点P 在椭圆内：12222<+b y a x ；⑵点P 在椭圆上：12222=+b y a x ；⑶点P 在椭圆外：12222>+by a x ；5、直线与椭圆的位置关系已知直线m kx y l +=:与椭圆1:2222=+by a x C ，联立直线与椭圆的方程得：222222222()20a k b x kma x a m a b +++-=；其判别式为∆，则：⑴当0>∆时：直线l 与椭圆C 有两个交点，此时直线l 与椭圆C 相交；⑵当0=∆时：直线l 与椭圆C 有一个交点，此时直线l 与椭圆C 相切； ⑶ 当0<∆时：直线l 与椭圆C 没有交点，此时直线l 与椭圆C 相离；6、椭圆中的圆问题⑴如下图所示：已知点P 为椭圆1:2222=+by a x C 上的一动点，延长P F 1到点Q ，使得2PF PQ =,连接Q F 2，设Q F 2的中点为M ，则Q 点的轨迹是以1F 为圆心，以a 2为半径的圆，其方程为：2224)(a y c x =++； M点的轨迹是以O 为圆心，以a 为半径的圆，其方程为：222a y x=+；证明：;2/;212111a QF MO a PF PF PQ PF QF ===+=+=⑵如下图所示：已知点P 为椭圆1:2222=+by a x C 上的任意一点，连接21,PF PF ,则：以21,PF PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆均相内切； 证明：设1PF 的中点为1O ，2PF的中点为2O ，则 10112121)2(2121O R R PF a PF a PF OO -=-=-==; 20221221)2(2121O R R PF a PF a PF OO -=-=-==;7、圆中的椭圆问题与相内含的两定圆均相切的动圆的圆心的轨迹为以两圆圆心为焦点，半径之和半径之差分别为长轴和短轴的一个椭圆⑴动圆M 与圆1O 相内切，与圆2O 相外切：如左图所示：已知两定圆圆1O 圆2O 相内含，其半径分别为r R ,，且r R >，一动圆与圆1O 相内切，与圆2O 相外切，则：动圆圆心M 的轨迹是以1O ，2O 为焦点，以r R+为长轴长的椭圆；证明：212121O O r R r R MO MO r r MO r R MO MM>->+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⑵动圆M 的圆1O 相内切，与圆2O 相内切：如右图所示：已知两定圆圆1O ，圆2O 相内含，其半径分别为r R ,，且r R >，一动圆与圆1O 相内切，与圆2O 相内切，则：动圆圆心M 的轨迹是以1O ，2O 为焦点，以r R-为长轴长的椭圆；证明：212121O O r R MO MO rr MO r R MO M M>-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=拓展：与想内切的两定圆均相切的动圆的圆心的轨迹为以两圆圆心为焦点，半径之和为长轴长的一个椭圆与两圆心所在直线。
圆锥曲线专题一(图文课件分享)
圆锥曲线第1讲 椭圆的定义与标准方程
圆锥曲线第1讲 椭圆的定义与标准方程一．知识点梳理1．椭圆的定义:平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±C ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±C ） 这里椭圆 c ²=a²-b² 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：mx 2+ny 2=1 （m ＞0，n ＞0，m ≠n ），当m ＜n 时，椭圆的焦点在x 轴上，m ＞n 时焦点在y 轴上。
二．椭圆的简单几何性质：1.范围 （1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比a c 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=a c （0＜e ＜1）因为a ＞c ＞0，所以0＜e ＜1。
圆锥曲线硬解定理(1) (1)
圆锥曲线硬解定理(1) (1)
圆锥曲线硬解定理是由德国数学家爱德华·卡森于1866年提出的数学定理，是一个
重要的数学原理，有着广泛的应用。
简言之，这个定理说明：任意一个带有有界域（即有
限域）的圆锥曲线，其上所有连续变换（尤其是旋转）都必须具有一定的上限；旋转一定
次数后，就不能再持续下去了。
这个定理根据旋转上限来硬解问题，不同于把问题变成一
道定性或定性问题中求解。
卡森为了证明这个定理，引用了上述差分余弦定理，也就是差分余弦约束。
具体来说，卡森的定理的证明的细节可以这样解释：在某些情况下，圆锥曲线可以理解为是由一定数
量的处于不同曲线参数的拟合连接而来。
圆锥曲线有一定的旋转上限，也就是当拟合连接
的曲线参数满足一定条件之后（尤其是当把曲线参数都满足旋转上限的条件，即上限条件），就不能再拟合连接了。
因此，可以得出结论：圆锥曲线的拟合连接有一定的旋转上限，也就是满足上限条件之后，旋转就不会再持续了。
卡森的圆锥曲线硬解定理的证明也就是这样，直接从综合的本质出发，把圆锥曲线视
为一组差分曲线，从中推出其旋转上限存在，也就是上文所提到的上限条件下，曲线连接
拟合不再持续，这样便证明了定理。
圆锥曲线硬解定理更为宽泛地应用于函数空间，尤其是许多概率和随机变量空间，都
可以用这个定理来解决。
有许多应用因此被发现，如统计科学领域的蒙特卡罗模拟，信号
处理中的滤波系统，空气动力学的涡轮反应，射流空气动力学的翼型三维动压调节，以及
地球运动学中的旋转运动等。
正是因为圆锥曲线硬解定理的广泛应用，使得科学和技术的
发展具有更广阔的可能性。
圆锥曲线硬解定理(1) (1)
圆锥曲线硬解定理(1) (1)
圆锥曲线硬解定理是指通过将圆锥曲线的方程转化为一组直线的交点问题来确定圆锥曲线的解的方法。
该定理在几何学中有重要的应用，特别是在计算机图形学、机器人学和精密加工领域。
具体而言，圆锥曲线硬解定理的步骤如下：
1. 将圆锥曲线方程表示为一组直线的交点问题。
2. 构造出直线的方程。
3. 求解直线的交点。
4. 将交点表示为圆锥曲线上的点。
5. 检验求解结果是否满足原方程。
圆锥曲线硬解定理的优点在于可以针对任何类型的圆锥曲线进行求解，而不仅限于某些特定的类型。
此外，该方法还能够提供精确的结果，并且可以方便地应用在计算机程序中。
3-圆锥曲线 专题复习1
专题复习 圆锥曲线（一）【题模一】 圆锥曲线定义的应用：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当2a =21F F 时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <21F F 时，无轨迹；双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2（21212F F a PF PF <=-），的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
抛物线：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹.【讲透例题】1．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2、设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于 A ．3B ．210C ．45D ．3153. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4、 已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．2 B ．22C ．3 D ．35． 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．86． 若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B ．2C ．1D ．27． 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68． 已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．49． 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）A ．25B ．252C ．509D ．100910、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线24y x =交于点A ，点B 是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点F 为双曲线的一个焦点，且ABF 为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．2277134x y -=B ．2277143x y -=C ．2234177x y -=D ．227711216x y -=12、已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±【相似题练习】1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、 已知A(-, 0)，B 是圆F:(x -)2+y 2=4(F 为圆心)上的一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是_______________.3． 已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．634、已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若,则|QF|= .5．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)6． 已知椭圆22:14x C y +=的焦点是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的内切圆半径r 为（ ） A 3B ．23C ．23+D ．26、已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．42B ．13C ．313 D ．467、（多选）已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ）A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线.B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动. C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形.8、（多选）已知焦点在x 轴上的椭圆过点()3,06，则（ ） A ．椭圆的标准方程为22193x y +=B ．椭圆经过点(0,23C ．椭圆与双曲线223x y -=的焦点相同D ．直线()11y k x -=-与椭圆恒有交点9、已知1F ，2F 是双曲线C ：2213x y -=的两个焦点，点M 在直线30x y -+=上，则12MF MF +的最小值为（ ） A ．213B ．6C ．26D ．510、已知()15,0F -，()25,0F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过1F 的直线l 与圆222:O x y a +=切于点T ，且与双曲线右支交于点P ，M 是线段1PF 的中点，若1OM TM -=，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2211213x y -=D ．2211312x y -=11、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过2F 的直线l 与C 的左､右支分别相交于M ､N 两点，若11MF NF =，2MN b =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．5C ．2D ．62【题模2】 圆锥曲线的标准方程1、椭圆：（1）焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），（参数方程，其中为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
《圆锥曲线》第一章基础知识篇
Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦 点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由 上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例 在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范 围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案 选 D.解 将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点 的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭 圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注 这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特 例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分 线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年 四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的 上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年 湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解 两个交点, 故选 A.例 若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是 解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题 型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断 当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧 在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的 普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨 论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注 因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标 准方程.5. 椭圆的极坐标方程 见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相 同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等 于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所 求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注 上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一 利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二 设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方 程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性 标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴 长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注 对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在 大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注 如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点 为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆 答案 选 D.解 因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年 湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个 焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案 选 B.朽木易折，金石可镂解 焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年 上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离 在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案 选.。
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
圆锥曲线(1)《韦达定理》
第一部分：15分钟限时训练1. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围. 【解析】(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204{y x x my x ==+消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m xm x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t -⎛=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 第二部分：《韦达定理》例1.（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P 、C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.练习：已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．例2.（2015卷2）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.练习：（2013湖南）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l 与E 相交于点,A B ，2l 与E 相交于点,C D .以,AB CD 为直径的圆M ,圆N （,M N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l . （Ⅰ）若120,0k k >>，证明：22FM FN p ⋅<； （Ⅱ）若点M 到直线l 75，求抛物线E 的方程.第三部分：小题专练1. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A. ()1,2B. 321,4⎛⎤⎥ ⎝⎦C. 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得， ()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即22222229329420988c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则321e <≤，故选B. 2. 已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ： 22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D3. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ， P 为抛物线上的动点， PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. 322- B. 22- C. 32- D. 21-【答案】D4. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线M：221xym-=与圆N：()221x y m+-=相切，()1,0A m-+，()1,0B m+，若圆N上存在一点P满足2PA PB m-=，则点P 到x轴的距离为（）A. 3m B. 2m C. m D.1m【答案】A【解析】联立双曲线M：221xym-=与圆N：()221x y m+-=，消去x得221210m y my m m+-++-=（），∵双曲线与圆相切，∴判别式()2222144110111m m m m m m mm=-++-=∴+=∴+=（），（），，易知A B，分别为双曲线的左右焦点，又2PA PB m-=故由双曲线的定义知P在双曲线M上，且P为右切点，由韦达定理得332222211P Pm my m y mmm==∴=+＝，，即点P到x轴的距离为3m，故选：A5. 已知双曲线的标准方程为2213xy-=，直线():0,0l y kx m k m=+≠≠与双曲线交于不同的两点C D、，若C D、两点在以点()01A-，为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（）A.1{|0}4m m-<< B. {}4m m> C. {|04}m m<< D.1{|04}4m m m-<<>或【答案】D【解析】设CD 的中点为E ，联立直线与双曲线的方程可得：()2221226136330,13kmk xkmx m x x k----=∴+=- ,由AE CD ⊥ 可得： 222221313,,1,1343131313AEmkmm k E k k k k m km k k k +⎛⎫-⋅=⨯=-∴-=- ⎪--⎝⎭- 直线与双曲线有两个交点，则判别式：()()222236413330k m k m ∆=-⨯-⨯--> ，整理可得：()12480m m -> ，解得4m > 或0m < ，又21430m k +=> ，解得： 14m >- ，综上可得实数m 的取值范围是1{|04}4m m m -<<>或.6.椭圆的方程为22221(0)x y b a b +=≥>右焦点为(),0(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 31,4⎛⎤⎥⎝⎦ D. 71,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】310,,0222b b a e a ≥>∴≥∴<=≤，因为方程20ax bx c +-=的两根分别为12,,0x x ∆>， 1212,b cx x x x a a∴+=-=-，则()2222121212222b cx x x x x x a a+=+-=+()2222222112a c e e e e a -=+=-++=--+， 221210,2e x x <≤∴+的取值范围是71,4⎛⎤⎥⎝⎦，故选D.7. 如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和()()22221x y ma mb +=（0a b >>， 1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（ ）A.35 B. 34 C. 45D. 74【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为()()22221x y ma mb += ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =-代入内层椭圆消去y 得: ()2222232242211120k a b x mk a x m k a a b +-+-=由0∆=化简得221221,1b k a m =⋅-同理得()222221,b k m a =⋅-所以44222124443,.1(),555b b c b k k e a a a a ⎛⎫=====-= ⎪⎝⎭选A.8. 如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若||23||OP OQ =+，则双曲线的渐近线被圆M ：22(1)4x y -+=所截弦长为A ．144 B ．142 30 D 230【答案】D【解析】由已知(,0)A a -，(,0)B a ，1(,0)F c -，2(,)b M c a-.由1BOQ BF M △∽△可得，11||||||||OQ OB MF BF =，即2||OQ a b a c a =+，解得2||b OQ a c =+.由1AOP AF M △∽△可得，11||||||||OP OA MF AF =，即2||OP a b c a a=-，解得2||b OP c a =-.由已知||123||1OP c a e OQ c a e ++===+--.解得3e =.所以3c a =，故2b a =.该双曲线的渐近线方程为2y x =±.而圆M 的圆心为(1,0)M ，半径2r =，由圆与双曲线的对称性可知，两渐近线被圆所截弦长相等，而圆心M 到渐近线2y x =的距离22|210|63(2)1d ⨯-==+.所 9. 已知双曲线Γ：的焦距为2c ，直线:l y kx kc =-．若3k =，则l 与Γ的左、右两支各有一个交点；若15k =，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为 . 【答案】()2,4。
高二数学之圆锥曲线(1)
高二数学之圆锥曲线（1）1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之 等于常数( )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的2．双曲线的定义 平面内与定点F 1、F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．22【课前练习】1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．2 解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23＝233.3．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3) 解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.4．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 5．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.6．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x248＝1一、椭圆的定义及标准方程[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1. [答案] D练习1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.二、椭圆的几何性质[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF ·2PF 的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12 D.5－2 [自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF ·2PF ＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF ·2PF 的最大值是 1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B练习2. F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF |＝3|2MF |，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .三、直线与椭圆的位置关系[例3] (2012·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.练习3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20， ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1. 故两条切线的斜率之积为常数－1.练习4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.。
2.9圆锥曲线常用方法1：同构法
妙法拓展
y
M
B
A
O
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
抛物线： x2 2 py
切点弦AB：x0 x p( y0 y)
y A
PO M
x
B
抛物线： y2 2 px 切点弦AB：y0 y p(x0 x)
x2 4y Pl : x y 2 0
证明：AB过定点。
切点弦AB过定点
切线交点P在定直线上
再寻真迹
y
A
P
M l
B
O
x
线参
（2011 浙江理 21）已知抛物线 C1 : x2 y ，圆 C2 : x2 y 42 1 的圆心为点 M．
（1）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （2）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛 物线 C1 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂足于 AB，求直线 l 的方程．
y0 2
y
2
4
x0 2
y2 8
的两根，
即 PM 垂直于 x 轴.
若AB过定点（1，0），
化简得 y1, y2 是二次方程 y2 2 y0 y 8x0 y02 0 的两个不等实根， 求点P轨迹？
真题再现
y
A
1.（2018 浙江 21）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物 线 C : y2 4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上．
y1
,
B
y22 4
,
系列讲座之十一——圆锥曲线(1)
＝Ｒ 等・ ２— Ｍ一 丽
令３ ｏ 意 一 ， ， ， 到兰 一 一 注
ｅ ｃ Ｏ ｌ 高ｅ 撒 删Ｍ一、 １ ， —‘ ３ Ｌ
因为 。 一 ｚ一 ６ ，得 （ ｚ ｚ ｚ一 ） 一 一 ０， 得 ｚ 解
ｔ Ｆ ｔｃ ａ Ｍ — ｎ Ｍ 删 一
线
例 １ 设 椭 圆 的方 程 为 ＋ 一 １ ｎ ６ ０ ， （ ＞ ＞ ）
， Ａ。 别 与 同一 条 准 线 交 于 Ｍ ， 两 点 ， Ｐ 分 ＭＩ 试
（ ０ ５年 天 津 市数 学 竞 赛 试题 ） ２０
证明 ： 以线 段 ＭＭ 为直 径 的 圆必 经 过椭 圆外 的一 个 定点． 分 析 由对 称 性 知 道 定 点 在 Ｘ轴 上 ， 用 向量 利 的 数 量 积知 识 求 ＭＭ 为直 径 的 圆方 程 ．
！． 一 ０
．
设 以线 段 ＭＭ 直 径 的 圆 Ｃ上 任 意 一点 Ｑ（ 为 ｘ，
） 则 由 ，
Ｒ ，即 Ｑ ＜ Ｐ Ｍ Ｐ Ｑ
，
．
一 ０得 圆 ｃ 的方 程 为
ｅ
所以 ８ ． ＞
ｃ 譬 ｃ ． ｚ 一 一
得 （ 一 ） 一 ｚ ｚ
，ｏ －－
于ｃ 是０ ｓ
证 明 由已 知 可设 Ａ 一口， ） Ａ（ Ｏ ， 条 （ ０ ， ａ， ） 一
分 涉 焦 弦 Ｉ 析 及 点
｝
统 ， ｌ． 一如设一 Ｉ 解１ ＿／ 定 兰 ／ 薹图线卜 义 麦 段 ／ ．
Ｐ 的 中 点 为 Ｍ ， 点 Ｐ， Ｑ 过 ｌ
准 的 程 一 ，圆 动 Ｐ 坐 为 ， 线 方 为 等椭 上 点 的 标 （ ｚ 。 ） ≠ ， 一， 兽 一 ． 且 。 ＋ 即 则
浅谈圆锥曲线的计算1
浅谈圆锥曲线的计算技巧圆锥曲线是高考的一个重点和难点，很多学生会出现有思路方法，却不敢算、不会算、算不对的问题。
不可否认有些圆锥曲线的题目计算量本身就比较大，但是一般来说高考题和大部分省市的模拟题都是会控制计算量和计算难度的，出现计算问题的主要原因主要是条件的转化不够合理、不懂得一些常见的运算技巧、只会死算等等。
首先介绍一下圆锥曲线常见的条件转化方式：1.角度问题：加上正切值转化成斜率或者加上余弦值转化成数量积。
2.弦长问题：12||||AB x x =−== 3.面积问题：11||*sin 22S AB d ab c == 或者割补法（善于观察三角形的特点决定怎么算） 4.以AB 为直径的圆过P 点：0PA PB →→=或1PA PB k k =−5.以AB 为直径的圆的方程：()()()()0A B A B x x x x y y y y −−+−−= （使用向量推导）6.对称：斜率垂直+两点的中点在对称轴所在的直线上7.等腰三角形： 中线垂直于底边，斜率相乘等于-18.等边三角形：等腰三角形（第7点）+中线与底边长度之比为29.平行四边形：对角线互相平分→对角线中点坐标重合或OC OA OB =+ （四边形OACB ）10.两根之比12x x ：212122112()2x x x x x x x x +++=下面我将选取几题比较有代表性、难度适中的题目讲解圆锥曲线的一些运算技巧。
例1.平面直角坐标系xOy 中，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点的直线30x y −−=与C 相交于M ，N 两点，P 为MN 的中点，且OP 斜率是14−.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 分别与椭圆C 和圆222:()D x y r b r a +=<<相切于点A B 、，求|AB|的最大值．分析：（Ⅰ）点差法，略 （Ⅱ）1. 选择最优的思路和条件转化方式。
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2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为【 】（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是【 】(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4．正方体的截平面不可能是【 】(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5)5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是 【 】(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 6．设函数y ＝f(x)满足f(x ＋1)＝f(x)＋1，则方程f(x)＝x 根的个数可能是【 】(A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多二．填空题（本大题满分54分，每小题6分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
9. 设函数1343)1()(2232+++-=+x x x x x f x x f ，则 f(x)＝ 。
10. 设命题 P: c c <2和命题Q: 对任何R x ∈，0142>++cx x 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 。
11. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {},2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 232=上从左向右依次取点列{} ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-∆（ ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。
12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。
假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是 。
三. 解答题（本大题满分60分，每小题20分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13.（20分）设双曲线122=-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，若21F PF ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动, 求21F PF ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹。
14.（20分）设+∈R x x x n ,,21，定义 ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=ni i i n x n n x S 12211， 1）求n S 的最小值；2）在122221=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值； 3）在121=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值，并加以证明。
15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。
为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题 1、下列三数16273,log 82,log 1242的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822<<C 、27163log 124log 822<<D 、27163log 124log 822<<2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线L 则满足条件的直线L 共有（ ）A 、1条B 、2条C 、 3条D 、 4条 3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）A 、20B 、4C 、42D 、1454、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示的图形面积为（ ）A 、13 B 、23 C 、1 D 、435、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。
A 、2006B 、21003 C 、210031003- D 、210031002- 6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为（ ）。
A 、2B 、4C 、6D 、8 二、填空题7、手表的表面在一平面上。
整点1,2,,12 这12个数字等间隔地分布在半径为2的圆周上。
从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t + ，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅＝ 。
8、设(1,2,),,,,i a R i n R αβγ+∈=∈ 且0αβγ++=，则对任意,x R ∈()()()1111111nx x x x x x i i i i i i i a a a a a a ααβββγγαγ+++=⎛⎫++= ⎪++++++⎝⎭∑ 。
9、在1,2,,2006 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。
10、设,a b 是非零实数，x R ∈，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则2008200820062006sin cos x xa b+= 。
11、已知()()(){}22,2cos 21sin 10,A x y xy x y R ααα=+-++-=∈，(){},3,B x yy k x k R ==+∈。
若A B ⋂为单元素集，则 。
12、2323,,111max min ,,,a b c Ra b c a b c +∈⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭。
三、解答题13、在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆2222244420a x a y abx ay b +--+=外切(),,0a b N a ∈≠，且动圆1C 与x 轴相切，求 （1）动圆1C 的圆心轨迹方程L ； （2）若直线)2241469580abx ay b a a -++-=与曲线L 有且仅有一个公共点，求,a b 之值。
14、已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+ ()1,2,3n = ，{}n b 满足11b =，21nn n b b b n+=+()1,2,3n =，证明：112n k =≤<。
2007年浙江省高中数学竞赛一．选择题1.已知集合{}220,A x x x x R =--<∈，{}210,B x x x R =-≥∈，则A B ⋂＝（ ） A.{}12x x -<<B {}1, or 12x x x ≤-≤< C. {}12x x << D. {}12x x ≤< 2. 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，下面四个函数中最大的是（ ）。
A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D. cos(cos )x3. 已知椭圆2214x y +=x = ） A. 2B.3)3 C.3)3D. 334.设非常值函数() ()f x x R ∈是一个偶函数，它的函数图像()y f x =关于直线2x =对称，则该函数是 （ ）A. 非周期函数B.的周期函数 C.D. 周期为2的周期函数5. 如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（ ） A. 01x << B. 813x <<C. 1x <<+∞D. 83x <<+∞ 6. 设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =（ ）A. １B. ２ Ｃ. ３ D. ４二．填空题7. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。
若320OA OB OC -+=，则AB BC= 。
8. 已知数列{}n a ，11a =，前ｎ项部分和n S满足n S S -=n a = 。
9.方程116sin cos 16x x x xππ=+的解集合为 。
11. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 种。
12. 整数x y z >>，且222 4.625x y z++=，则,,x y z 分别为 。
三．解答题13. 设Ｐ，Ｑ为圆周221x y +=上的两动点，且满足与圆内一定点1(0,)2A ，使2PAQ π∠=，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M 的轨迹。
14. 设222(,,)sin ()sin ()sin ()f x y z x y y z z x =-+-+-，,,x y z R ∈，求(,,)f x y z 的最大值。
15．设11,0nii i xx ==>∑，求证：221()1ni j i i i ji jx x n x x x =<--≤+∑∑。
2008年浙江省高中数学竞赛试卷一．选择题 （本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ） A ．{}1,A B y y => B.{}2A B y y => C.{}21A B y y ⋃=-<< D. {}21A B y y y ⋃=<>-或 2．当01x <<时，()lg xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<3．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D.11(,][,)22-∞-⋃+∞ 4．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形5．已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 46．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。