2010届高考数学复习强化双基系列课件27《平面向量的数量积》

例1：判断下列各命题正确与否： 判断下列各命题正确与否： （1）0 ⋅ a = 0 ； （2 ）0 ⋅ a = 0 ； 成立； 成立； （3）若 a ≠ 0, a ⋅ b = a ⋅ c ，则 b = c ；
a 4）若⋅ b = a ⋅ c ，则当且仅当≠ c a = 0 时 b
( （5）a ⋅ b)⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) 对任意向量 a, b, c
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
27《平面向量的数量积》
1、知识精讲： 知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义 的夹角： ① 向量a, b 的夹角 ： 已知两个非零向量 a, b ， 过 O 点 作 OA = a ，OB = b, 则 ∠ AOB=θ ≤θ≤180 的夹角。 （00≤θ≤1800）叫做向量 a, b 的夹角。 同方向时，θ=0 当且仅当两个非零向量 a, b 同方向时，θ=00， 当且仅当反方向时θ= θ=180 当且仅当反方向时 θ=1800 ， 同时0与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题。 非零向量之间不谈夹角这一问题。
( ) ( )
2 2
(a ± b)
(a + b)⋅ (a − b) = a
2 2
2
−b = a − b ；
2
2 2
2
= a ± 2 a ⋅ b + b = a ± 2a ⋅ b + b
；
平面向量数量积的坐标表示: 平面向量数量积的坐标表示: ①若 =(x1,y1), =(x2,y2)则 a ⋅ b =x1x2+y1y2 OP3 满足，
OP1 + OP2 + OP3 = 0, OP1 = OP2 = OP3 = 1
求证： 是正三角形。 求证： ∆P1 P2 P3 是正三角形。
课堂小结：向量数量积的意义，运算， 课堂小结：向量数量积的意义，运算，性 质必须十分的了解。 质必须十分的了解。
(λa)⋅ b = λ (a ⋅ b) = a ⋅ (λb)(λ ∈ R)
(a ± b)⋅ c = a ⋅ c ± b ⋅ c = c ⋅ (a ± b)
③分配律成立： 分配律成立：
特别注意： 特别注意：
a （1）结合律不成立： ⋅ b ⋅ c ≠ a ⋅ b ⋅ c ； 结合律不成立：
（2）消去律不成立 a ⋅ b = a ⋅ c不能得到 b = c ⋅ （3）a ⋅ b =0不能得到 a= 0 或 b = 0 ④但是乘法公式成立： 但是乘法公式成立：
(2)a与b垂直；如果 a, b 的夹角为900,则称垂直， 记作a⊥b 。
a与 (3) b 的数量积：两个非零向量 a, b ，它们 的夹角为θ，则 a ⋅ b ⋅ cosθ叫做称 a与b 的
数量积（或内积），记作 a ⋅ b ， 即 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosθ 规定 0 ⋅ a =0 非零向量 a与b当且仅当 a⊥b 时， θ=900，这时 a ⋅ b =0。
(5)若a =(x1,y1),b =(x2,y2) 则 x1 x 2 + y1 y 2 cos θ = 2 2 2 2 x1 + y1 x 2 + y 2
重点、难点： 2、重点、难点：平面向量的数量积及其几何 意义， 向量垂直的充要条件。 意义 ， 向量垂直的充要条件 。 利用平面向量 的数量积处理有关长度、 角度和垂直的问题。 的数量积处理有关长度 、 角度和垂直的问题 。 3、思维方法：化归思想，数形结合。 思维方法：化归思想，数形结合。 4、特别提示：数量积不满足结合律。 特别提示：数量积不满足结合律。
④
方向上的投影： b 在 a 方向上的投影：OP = b cos θ =
a ⋅b a
∈R
（注意 OP 是射影） 是射影）
所以， 的几何意义： 所以， a ⋅ b 的几何意义： a ⋅ b 等于 a 的长 度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。
平面向量数量积的性质 是两个非零向量， 是单位向量， 设 a, b 是两个非零向量 ， e 是单位向量 ， 于是 有：① e ⋅ a = a ⋅ e = a cosθ ② a⊥b ⇔ a ⋅ b = 0 同向时， ③当 a与b同向时， a ⋅ b = a ⋅ b ；
作业布置：闯关训练。 作业布置：闯关训练。
a ②若 =(x,y),则| |=a . =x2+y2, = x 2 + y 2 a a =(x,y),则 a
),则 ③若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB = (x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 ④若a =(x1,y1),b =(x2,y2)则
2
a⊥b ⇔ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 （a // b 呢）
例4：平面内有向量OA = (1,7), OB = (5,1), OP = (2,1), 点X为直线OP上的一个动点。 为直线OP上的一个动点。 OP上的一个动点 取最小值时， 的坐标； （1）当 XA ⋅ XB 取最小值时，求OX的坐标； （2）当点X满足（1）的条件和结论时， 当点X满足（ 的条件和结论时， 的值。 求 cos ∠AXB 的值。
a 当a与b 反向时， 反向时， ⋅ b = − a ⋅ b ，
特别地， 特别地， ⋅ a = a = a a
2
2
。 ⑤ a ⋅b ≤ a ⋅ b
(4)cos θ =
a ⋅b a⋅b
平面向量数量积的运算律 ①交换律成立：a ⋅ b 交换律成立：
= b⋅a
②对实数的结合律成立： 对实数的结合律成立：
都成立； 都成立； （6）对任意向量 a ，有
a = a
2
2
。
例2：已知两单位向量 a与
b的夹角为120，
0
的夹角。 若 c = 2a − b,d = 3b − a ， 试求 c 与 d 的夹角 。
例3．已知 a = (4,3) b = (− 1,2， m = a − λ b, ， )
n = 2a + b，按下列条件求实数 λ 的值。 的值。 （1） m ⊥ n ；（2）m // n; (3) m = n