2020年高考数学5月份预测考试试题文【含答案】

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华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学答案

【解析】巾a2+a5=3a3 可知a3 +a4=3a3 ，所以a4=2a3 ；又a4 与2a7的等差中项为6，所以a4 +2a7=12,
即2a3+2a7=12，而2a5=a3 +a7=6，故a5=3，故选D.
5.【答案】C
【解析】因为xER，令g(x) =3sinx — 2x，则g（— x) =3sin ( — x) — 2X ( — x) ＝— 3sinx十2x=—g(x)'
综上，满足条件的ao的值共有6个，故选D.
12.【答案】B
【解析】由log2a=log少知l<a<b或a=b=l或O<h<a<l;当a=b=l时，＠成立，其他四个不成立；当O<h<a<I时，有 ab>h'a ab>a'a hb>h"，即＠成立，＠＠不成立；当I<a<h，取a= 2 ,b= 3 满足题设条件，此时ab= 2 3=8 <9= 32=b勹也成立，ab>矿，bb>片，＠＠不成立．综上，只有＠＠不可能成立，
9.【答案】A
t) 【解析】卢）—点sin2x-cos2x—2sin(2x— ；当xE[ o 分］时，2x-fE[— 飞早］，
故当2x 卫6 —卫2 即x—互3 时，f(x) 取得最大值，所以0—卫3 ；
理科数学参考答案和评分标准第1 页（共6页）
仁从而g(x)= f(x+f) = 2sin (x+f) — � ] = 2sin(zx+f) = 2 cos2x，故选A.
0在线段SD上，连接OA．设外接球半径为r，则有（点
r)
2+1

2020年河北省高考数学模拟试卷(5月份)答案解析

2020年河北省高考数学模拟试卷（5月份）答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}，则（）A．M⊆N B．N⊆MC．N∩（∁R M）＝{x|3≤x＜9}D．M⊆∁R N【解答】解：因为集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}＝{x|0≤x＜9}∴∁R M＝{x|x≥3}，∁R N ＝{x|x＜0或x≥9}，∴N∩∁R M＝{x|3≤x＜9}，故选：C．2．已知a∈R，复数+为纯虚数，则a＝（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：∵+＝为纯虚数，∴，解得a＝3．故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a4+a5＝2a3+7，则S7＝（）A．63B．49C．35D．15【解答】解：∵a1+a4+a5＝2a3+7，∴a4＝7，则S7＝7a4＝7×7＝49．故选：B．4．若x，y满足约束条件，则z＝2x+3y﹣1的最大值为（）A．﹣13B．13C．﹣11D．11【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，A（﹣5，0）．B（0，4），由图可知，当z＝2x+3y﹣1过B时，z有最大值为11．故选：D．5．古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同．如图所示，ABCD是一个矩形，ABEF和CDFE都是等腰梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF，AB＝30，BC＝10，EF＝50，BE＝26．则这个灰斗的体积是（）A．3600B．4000C．4400D．4800【解答】解：分别过点A，B作EF的垂线，垂足为M，N，连接DM，CN，则FM＝EN ＝10，又BE＝AF＝26，∴AM＝BN＝24，∴多面体ADM﹣BCN为三棱柱，体积为＝．三棱锥D﹣AFM的体积为••AD＝．∴这个灰斗的体积是3600+2×400＝4400．故选：C．6．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（）A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多【解答】解：对于选项A，芯片，软件行业从业者中90后占总人数的55%，故连项A正确；对于选项B，芯片，软件行业中从事技术、设计岗位的90后占总人数的（37%+12.6%）×55%＝27.28%，故选项B正确；对于选项C，芯心，软件行业中从事技术岗位的90后’占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后“占总人数的40%、但从从事技术的80后“占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，战选项C错；对于选项D，芯片软件行业中从事市场岗位的90后占总人数的14.4%×55%＝7.92%、“80前“占总人数的5%，故选项D正确，故选：C．7．函数f（x）＝（x2+cos x﹣|x2﹣cos x|）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，故选：B．8．随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法，为了辟谣并宣讲正确的预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（）A．12种B．14种C．16种D．32种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有C33＝1种选法，②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有C51C32＝15种选法，则一共有1+15＝16种选法，故选：C．9．已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且△BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点M，CF的中点N，连接MN，则MN∥DF．延长BC到P，使CP＝BC，连接MP，NP，则MP∥AC．令AB＝2，则MP＝MN＝，又△BCF是等边三角形，NC＝PC＝1，由余弦定理可得：NP＝，异面直线AC和DF所成角为∠NMP，∴cos∠NMP＝＝．故选：B．10．已知函数f（x）＝sin+cos（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立，则ω的最大值为（）A．2020B．4040C．1010D．【解答】解：利用辅助角公式对函数化解可得f（x）＝sin+cos＝2sin（x+），由对任意的实数x，对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立；可得f（x0），f（x0﹣2020），分别为函数的最大值和最小值，要使得ω最大，只要周期T＝＝2ω最大，当＝2020即T＝4040＝2ω，周期最大，此时ω＝2020；故选：A．11．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，则不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（）A．（﹣1，1）∪（1，4）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣，1）∪（1，2）D．（﹣，1）∪（1，）【解答】解：定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，令g（x）＝（x﹣1）2f（x），则g′（x）＝2（x﹣1）f（x）+（x﹣）2f′（x）＝（x﹣1）[2f（x）+（x﹣1）f′（x）]，所以当x＞1时，g′（x）＞0，且g（﹣1）＝g（3）＝6，结合函数的图象，可知不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（﹣1，1）∪（1，3）．故选：B．12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l：＝1与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T （﹣5c，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为S（x0，y0），联立方程组，两式相减可得b2（x12﹣x22）＝a2（y12﹣y22），可得b2（x1﹣x2）（x1+x2）＝a2（y1﹣y2）（y1+y2），可得2b2（x1﹣x2）x0＝2a2（y1﹣y2）y0，所以k MN＝﹣＝＝，即﹣•＝（1），由k MN•k ST＝﹣1，可得﹣•＝﹣1（2），由（1）（2）可得x0＝﹣，y0＝5b，即S（﹣，5b），又S在直线l上，所以﹣+5＝1，解得e＝＝．故选：D．二、填空题（共4题，共20分）13．已知{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝3．【解答】解：∵{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，∴3q+3q2＝36，且q＞0，解得此数列的公比q＝3．故答案为：3．14．已知非零向量，满足|2﹣|＝|﹣3|，且||＝5||，则与的夹角为．【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]．若|2﹣|＝|﹣3|，则有（2﹣）2＝（﹣3）2，变形可得：42﹣4•+2＝92﹣6•+2，化简可得：52＝2•，又由||＝5||，则cosθ＝＝＝，则θ＝；故答案为：．15．已知函数f（x）＝x2﹣4x+3n若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，可得x2﹣4x≥﹣3n，对任意n∈N*，都有﹣3n≤﹣3，当n＝1时取得等号，所以x2﹣4x≥﹣3，即x≤1或x≥3，由题意可得[m，+∞）⊆[3，+∞），从而m≥3，故答案为：[3，+∞）．16．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1y2＝﹣4．过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，准线与x 轴的交点为M，四边形F APM的面积记为S1，四边形FBQM的面积记为S2，则S1•S2﹣3|AF|•|BF|＝4．【解答】解：如右图所示，∵直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设直线l：x＝ay+1，由联立可得：y2﹣4ay﹣4＝0，∴．∵S1＝（x1+3）•|y1|，S2＝（x2+3）|y2|，∴S1S2＝|y1y2|（x1+3）（x2+3）＝（ay1+4）（ay2+4）＝16+12a2，又∵|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝（ay1+2）（ay2+2）＝4+4a2，∴S1•S2﹣3|AF|•|BF＝4．故填：﹣4，4．三、解答题17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B+b cos A+a＝b cos C+c cos B．（1）求A；（2）若a＝，点D在BC上，且AD⊥AC，当△ABC的周长取得最大值时，求BD的长．【解答】解：（1）∵，∴，整理可得，，∵sin B≠0，∴，又A∈（0，π），∴；（2）由（1）及，知3＝b2+c2+bc，∴3＝（b+c）2﹣bc，从而，∴b+c≤2，当且仅当b＝c＝1时取等号，即△ABC的周长取得最大值，此时，∵AD⊥AC，∴，又b＝1，∴，∴．18．2020年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调查结果对相应学生提出针对性学习建议．现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，然后再从这些学生中抽取10人，进行学情调查．（1）若采用分层抽样抽取10人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数．（2）若被抽取的10人中，有6人每天学时超过7小时，有4人每天学时不足4小时，现从这10人中，再随机抽取4人做进一步调查．（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，求事件A发生的概率；（ii）用ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，30+45+75＝150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法，高一应抽取10×＝2人，高二应抽取10×人，高三应抽取10×人，故高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人；（2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则P（A）＝P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝；（ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，则，，，，，随机变量ξ的分布列如下：ξ01234PEξ＝．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC＝，AB＝2，P A ⊥平面ABCD．（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面P AC⊥平面QBD．（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求P A的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，则BD⊥平面P AC，∵BD在平面QBD内，∴平面P AC⊥平面QBD；（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设P（0，﹣1，a）（a＞0），则，设平面PBC的一个法向量为，则，可取，同理可求平面PDC的一个法向量为，∴，解得a2＝2，∴．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a2＝4b2+1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）由e＝＝，所以＝1﹣＝1﹣＝，联立方程组，解得a2＝3，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1；（2）证明：由（1）可得F（1，0），当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，消去x可得（3+2m2）y2+4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，且点P（3，y1），则NP的方程为（x2﹣3）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+y1（x2﹣3），又x2＝my2+1，所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+my1y2﹣2y1（*）y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝y1+y2，（*）式可变形为（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）﹣y1+y2．所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣2），即直线NP经过定点（2，0）．当直线l与x轴重合时，显然直线NP也经过定点（2，0），综上，直线NP经过定点（2，0）．21．已知函数f（x）＝+（a＞0）．（1）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥1．（2）当0＜a≤1时，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥m，求整数m的最大值．【解答】解：（1）证明：，∵a＞0，x≥1，∴f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）＝1；（2）当x≥1时，由（1）知f（x）≥1，故m≤1，当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，所以，令，故问题转化为g（x）≥m在（0，1）上恒成立，，令h（x）＝x+1+lnx，易知h（x）在（0，1）上单调递增，∵h（e﹣2）＜0，h（1）＞0，∴存在，使得h（x0）＝x0+1+lnx0＝0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在x＝x0处取得最小值，，由于x0+1+lnx0＝0，于是，∵，∴0＜g（x0）＜1，∴m的最大整数值为0．（选做题）22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），设m与C相交于点M（非坐标原点），m与l相交于点N，点P（6，0），求△PMN的面积．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2＝2x．直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．转换为直角坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将代入得到．将代入ρ（cosθ+sinθ）＝8得到ρ2＝4．所以|MN|＝|．点P（6，0）到直线MN：x﹣的距离d＝，所以．23．已知函数f（x）＝2|x+2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣3a﹣2b有唯一零点x0，证明：+≥f（x0）．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，有﹣2（x+2）﹣x+3≥8，即x≤﹣3，故x≤﹣3；当﹣2＜x＜3时，有2（x+2）﹣x+3≥8，即x≥1，故1≤x＜3；当x≥3时，有2（x+2）+x﹣3≥8，即，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（2）证明：由题意知，y＝f（x）与y＝3a+2b有且只有一个交点，结合f（x）的图象知x0＝﹣2且f（x0）＝5＝3a+2b，即证明成立，∵，∴，当且仅当时取等号，∴+≥f（x0）．。

2020届高三5月数学文科试卷

2020届下学期高三模拟测试数学文科试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或22．若复数2i2a z -=，a R ∈在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（） A ．2B ．2C ．1D ．223．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1B ．1C ．1020-D ．1024．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（） A ．64B ．32C ．16D ．45．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．13-B ．13C ．12-D ．126．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）A ．B ．C ．7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U8．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63 的概率为（）A ．49 B ．13 C ．25D ．3109．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()xf x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（） A ．24B ．22C ．1D ．212．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A ．51-B ．15+ C ．35+ D ．5二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n }的前9项之和等于_____ 14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.16. 设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（共60分） 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c ，且3sin sin sin a b b cC B A+-=-．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．四、选做题（10分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,43x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.数学文科试卷参考答案一、单选题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2 【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项. 2．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（）A ．2 BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-，所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，可得10212aa z i -=⇒==-，,z =故选B.3．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C【解析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u r u u u ru u u ru u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算，得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=，则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24min yx +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 8．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（） A ．49 B ．13 C ．25 D ．310【答案】B 【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()xf x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【解析】求出0x ≤时()xf x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围．【详解】当0x ≤时，()xf x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增；当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-，由0x >时，()()1f x f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y g x k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e=-．由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10．已知函数()()231cos 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+Q , 函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω>Q 5012k ∴<≤；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612U ，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（） A ．24 B ．22C ．1D ．2 【答案】C【解析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C HMH AD C D =，1111HH C H DD C D=，即1MH HH =.再将22PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥所以MH ⊥平面11CC D D . 因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D =. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C H DD C D =. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，2MN MH ≥.所以21PM MN PM MH +≥+≥. 即22PM MN +的最小值为1 故选：C 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A 51 B ．152+ C 35+D 5【答案】C【解析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB，列方程即可求出离心率．【详解】如图：由题意得：112AF F F=，所以1212F AF F F A∠=∠，又12F B F B=，所以1221BF F BF F∠=∠，又2F B是21AF F∠的平分线，所以122BF F AF B∠=∠，所以221~BAF AF FV V，所以2212||AF AB F F=⋅，即2(22)||2c a AB c-=⋅，所以22()||c aABc-=，由角平分线定理知，2112||AFABBF F F=，则112211||BF F FAB AF+=+，所以21122||AFABAF F F AF=+，所以2222()2()||22222c a c c a c aAB cc a c c a c---=⋅==-+-，故22235303102c ac a e e e+-+=⇒-+=⇒=．故选：C．二、填空题13.在等差数列{}n a中,公差16250,14,40,d a a a a>+==则数列{a n}的前9项之和等于_____【答案】90【解析】【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a和5a的值，并求出1a和公差d的值，再利用等差数列前n项和公式可求出数列{}n a的前9项之和。

2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)

2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.已知F1（-3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|-|PF2|=6，则P点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 一条射线3.已知复数z1＝1+2i，z2＝1-i，则（）A. B. C. D.4.已知a=0.24，b=0.32，c=0.43，则（）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. a＜b＜c5.用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A. 15B. 16C. 17D. 186.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的图象可能是（）A. B. C. D.7.数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，则a6=（）A. 32B. 62C. 63D. 648.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A. 4B.C. 2D. 49.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2=交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知点A（2，1），动点B（x，y）的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（）A. [，]B. [，]C. [2，18]D. [4，l8]12.设函数f（x）=，则满足2f（f（a）=f（a）的a的取值范围是（）A. （-∞，0]B. [0，2]C. [2，+∞）D. （-∞，0]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则a3与a7等差中项的值为______14.已知向量=（l，2），=（2，1），=（1，n），若（2-3）⊥，则n=______15.函数f（x）=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为______16.已知四面体中，，则四面体的体积为__________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6；如图2，将图l中△DAC沿AC起，点D在丽ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D-ABC的体积为l2．（1）求证：DE⊥AC；（2）求点B到平面ACD的距离．19.如图，O为坐标原点，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图l所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月-2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1-13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）根据散点图选择=和=两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：=0.9369+0.0285=0.9554+0.03061ln x （y i）20.0005910.000164（y i）20.006050份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36．参考公式：相关指数R2=1-．21.已知函数f（x）=e x--1（1）若直线y=x+a为f（x）的切线，求a的值．（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，求b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.设函数f（x）=|2x+a|+|x-1|-3．（1）当a=4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：D解析：解：F1（-3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=6，因为|F1F2|=6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3.答案：B解析：【分析】把z1=1+2i，z2=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴=．故选：B．4.答案：B解析：解：∵a=0.24=0.042=0.0016，b=0.32=0.09，c=0.43=0.064，∴b＞c＞a，故选：B．利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论．本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题．5.答案：B解析：解：若个位数是0，则有C=4种，若个位数不是0，则有A=12种，则共有4+12=16种，故选：B．讨论个位数是0，不是0时，对应的个数即可．本题主要考查简单计数的应用，利用讨论个位数是否为0是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越平缓，g（x）=-log a x 的图象为增函数，当1＜a时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越快，g（x）=-log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a （x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7.答案：C解析：解：数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，a2=2a1+l=3，a3=2a2+l=7，a4=2a3+l=15，a5=2a4+l=31，a6=2a5+l=63，故选：C．利用数列的递推关系式逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z，则，可得对角线的长为===．故选：B．首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x，y，z，根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长．本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p==．故选：B．现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解析：解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），可得|AB|=|OA|=2n，即有=n，又n2=m，解得m=，n=1，则-=1，且c=2，即a2+b2=4，可得a=b=，则e==．故选：C．由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），由正三角形的性质和点满足抛物线方程，求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，运用离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及抛物线和双曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=（x，y），=（2，1），则在向量方向上的投影为z=||cosθ==，设u=2x+y，得y=-2x+u，平移直线y=-2x+u，由图象知当直线y=-2x+u经过点B（0，2）时直线的截距最小，此时u=2，当直线y=-2x+u经过D时，直线y=-2x+u的截距最大，由，得，即D（6，6），此时u=12+6=18．即2≤u≤18，则≤z≤，即≤z≤，即z的取值范围是[，]，作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义，结合目标函数函数的几何意义利用平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用向量投影的定义进行转化，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，当t＞1时，2•=t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21-t=t，即有t=1，可得a=0或a=2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，讨论t的范围，结合图象可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分类讨论思想方法和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．13.答案：11解析：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则有a1+a9=a3+a7=1+21=22，则a3与a7等差中项为（a3+a7）=11；故答案为：11．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=1+21=22，进而由等差中项的定义分析可得答案．本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属于基础题．14.答案：4解析：解：；∵；∴；∴n=4．故答案为：4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出n．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算．15.答案：（1，2）解析：解：由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3-3（a+x）2+5（a+x）-1+（a-x）3-3（a-x）2+5（a-x）-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+（6a-6）x2，对任意x均成立，∴6a-6=0，且2a3-6a2+10a-2=2b，即a=1，b=2，即对称中心（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．本题主要考查三次函数对称性的求解，利用对称中心的性质，建立方程是解决本题的关键．16.答案：解析：解：取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO==，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又因为OE⊥AC，所以OE===，∴四面体ABCD的体积：V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC==2×=．故答案为：．取BD中点O，AC中点E，得出BD⊥平面AOC，由四面体ABCD的体积V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC，即可求出结果．本题考查四面体体积的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．∴由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，可得：9=CD2+49-2×CD×7×，由于CD＜7，∴解得CD=5，∵cos∠CDA==-，∴∠CDB=，又∵∠DCB=，∴BC=5．…6分（2）在△CDB中，∠DCB=，∠CDB=，∴C点到AB的距离h=，BD=10，∴△ABC面积S==．…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理结合CD＜7，解得CD的值，利用余弦定理可求cos∠CDA=-，可求∠CDB=，结合∠DCB=，可求BC的值．（2）在△CDB中，由（1）可求C点到AB的距离h=，BD=10，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC、△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF=F，故AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA⊂面ABC，GC⊂面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，∵DA=DC，∴GA=GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴E，F，G三点共线，由AB=2AD=2DC=6，得△ABC是等腰直角三角形，，设B到平面ADC的距离为h，则由V D-ABC=V B-ADC，得，∴点B到平面ACD的距离h===4．解析：（1）在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，推导出AC⊥DF，AC⊥EF，从而AC⊥面DEF，由此能证明DE⊥AC．（2）推导出DG⊥GA，DG⊥GC，EG垂直平分AC，E，F，G三点共线，设B到平面ADC的距离为h，由V D-ABC=V B-ADC，能求出点B到平面ACD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）由题意可知：，又a2=b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx-8=0，，且有x1+x2=kx1x2，，==，故==．故点T的纵坐标为3．解析：（1）建立方程求出a．b，c的值即可；（2）通过联立方程组，建立AM、BN的方程，再次联立AM、BN的方程求出交点T的纵坐标．本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目．20.答案：解：（1）=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+115×0.15+125×0.05=96．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽亲可知：，解得x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，基本事件总数n=6，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），其中恰有一人在[120，130]的情况共有3种，∴这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率P=．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，∴模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．2019年6月份对应的x=18．∴=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．解析：（1）利用频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样能求出x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，从而模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．由此能求出结果．本题考查平均数、概率的求法，考查直线回归方程的应用，考查频率分布直方图、列举法、回归直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，∴f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得x0=0，a=0．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．①令1-b≥0，即b≤1，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0在x∈[0，+∞）上恒成立，满足题意．②令1-b＜0，即b＞1时，g′（x）min=h′（0）=1-b＜0．又g′（x）在在x∈[0，+∞）上单调递增．∴存在唯一x0∈（0，+∞），使得g′（x0）=-x0-b=0．且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=--1-bx0=--1-x0（-x0）=+-1-x0．令u（x）=e x+-1-xe x，x＞0．h′（x）=x（1-e x）＜0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0．∵x0＞0，∴h（x0）＜0，即g（x0）＜0，不符合题意．综上可得：b≤1．解析：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，可得f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得a．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1，可得h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h （0）=1-b．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由ρ=8sinθ+6cosθ，得ρ2=8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2-6x-8y=0，即（x-3）2+（y-4）2=25；（2）把代入（x-3）2+（y-4）2=25，得．∴t1t2=-20．则|PA|•|PB|=|t1t2|=20．解析：（1）把已知方程两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）当a=4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x-1|≤9，当x≥1时，2x+4+x-1≤9，解得1≤x≤2；当x≤-2时，-2x-4+1-x≤9，解得-4≤x≤-2；当-2＜x＜1时，2x+4+1-x≤9，解得-2＜x＜1，综上可得-4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[-4，2]；（2）由f（x）=|2x+a|+|x-1|-3，=|x+|+|x+|+|x-1|-3≥0+|（x+）-（x-1）|-3=|1+|-3，（当且仅当x=-时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|-3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤-12，可得a的范围是（-∞，-12]∪[8，+∞）．解析：（1）由绝对值不等式解法，讨论x≥1，x≤-2，-2＜x＜1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。

2020届高考数学5月预测考试试题文(含解析)

其中和为奇数的情况包含 6 种：（1.2），（1，4），（2.3），（2.5），（3.4），（4.5）.
3 故满足题意的概率为 5 ，
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属简单题；注意列举的不重不漏.
7.
函数
f
x tan x
0, 0
2 与直线
y
1的两个相邻交点之间的距离为
T
2
，求出
2
，再由函数奇偶性，得到
π 6
，求得
f
x
tan
2x
6
，再由正切函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
T 【详解】由题意，易得最小正周期为
2
，所以
2，
将
f
x 的图象向左平移
6
之后得到
y
tan
2x
3
，因为其图象关于原点对称，
所以
y
tan
2x
3
为奇函数，因此
3
k 2
运算，考查了运算能力，属于中档题.
12. 定义在 R 上的连续函数 f x，导函数为 f x，若对任意不等于 1的实数 x 均有
x 1 f
x
f x
0
成立.且
f
1 x
f
1 xe2x ，则下列命题中一定成立的
是（）
A. f 1 f 0
ef 2 f 0
C.
ef 2 f 1
B.
ef 2 f 0
D.
【答案】B
8 B. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算法和循环结构依次计算即可
3 C. 7
6 D. 7
S 0 1 1

华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试数学(理) Word版含解析

机密★启用前华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学本试题卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|y＝12x}，则A∪B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x>1}2.右图来自中国古代的木纹饰图。

若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A.136B.19C.16D.293.设有下面两个命题：p1：复数x∈R的充要条件是z＝z；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限。

那么下列命题中，真命题是A.p1∧p2B.(⌝p1)∧p2C.p1∧(⌝p2)D.(⌝p1)∧(⌝p2)4.已知数列{a n}为等差数列，若a2＋a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝A.0B.1C.2D.35.已知定义在R上的函数f(x)＝3sinx－2x＋1，则f(x)的最大值与最小值之和等于A.0B.1C.2D.36.(1－x)·(x＋1x＋2)4的展开式中x的系数是A.10B.2C.－14D.347.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为A.94πB.98πC.109πD.329π8.如图所示的程序框图是为了求出满足1＋3＋5＋…＋n≤2020的最大正奇数n的值，那么在框中，可以填A.“输出i －4”B.“输出i －2”C.“输出i －1”D.“输出i ”9.已知函数f(x)3－cos2x 在区间[0，2π]上当x ＝θ时取得最大值，将f(x)的图象向左平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则A.g(x)＝2cos2xB.g(x)＝－2cos2xC.g(x)3sin2x ＋cos2xD.g(x)3sin2x －cos2x 10.已知双曲线于22143x y -=的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，则△AF 2B 的内切圆半径为 43 23 C.23D.2 11.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1。

华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试理科数学试题 (解析版)

2020年名校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合，则A∪B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞1}2．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A．B．C．D．3．设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数z∈R的充要条件是；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限，A．p1∧p2B．（￢p1）∧p2C．p1∧（￢p2）D．（￢p1）∧（￢p2）4．已知数列{a n}为等差数列，若a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝（）A．0B．1C．2D．35．已知定义在R上的函数f（x）＝3sin x﹣2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0B．1C．2D．36．的展开式中x的系数是（）A．10B．2C．﹣14D．347．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A．B．C．D．8．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A．“输出i﹣4”B．“输出i﹣2”C．“输出i﹣1”D．“输出i”9．已知函数在区间上当x＝θ时取得最大值，将f（x）的图象向左平移θ个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2cos2x B．.g（x）＝﹣2cos2xC．D．.10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为（）A．B．C．D．211．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为a n（n∈N），则使a7＝1的a0所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．612．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，A、B是圆O上的两点，若，则弦AB长为14．已知实数x、y满足，则z＝x+2y的最小值为．15．已知抛物线x2＝y的焦点为F，过F作两条夹角为30°的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则的最小值为．16．在四楼锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q点是△PBC内的一个动点（含边界），且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足且a＞b．（1）求角B的大小；（2）若b＝1，BC边上的中线AM的长为a，求△ABC的面积．18．在四棱锥P﹣ABCD中，BC＝BD＝DC，AD＝AB＝PD＝PB＝2，PA．（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（2）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．19．已知椭圆的离心率为．点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，﹣2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI＞28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）60727754●●7255 BMI（近22.323.228.320.323.523.725.516.6似值）（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X．求X的分布列及数学期望．（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5x，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg．计算得到的其他数据如下．（1）求的值及表格中8名员工体重的平均值；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重．（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+|2x﹣1|＞3的解集；（2）设g（x）＝1+|x|，若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∪B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∪B＝{x|x＞1}．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．解：因为大正方形的面积为：6×6＝36；而小正方的面积为：1×1＝1；故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是：．故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目．3．设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数z∈R的充要条件是；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限，A．p1∧p2B．（￢p1）∧p2C．p1∧（￢p2）D．（￢p1）∧（￢p2）【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），由复数z∈R得，则p1为真命题；再判断p2为真命题．然后由复合命题的真假判断得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z∈R⇔b＝0⇔，则p1为真命题；若复数z所对应的点在第一象限，则a＞0，b＞0，而，故复数所对应的点（b，﹣a）在第四象限，p2为真命题．∴p1∧p2为真命题．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复合命题的真假判断，是基础题．4．已知数列{a n}为等差数列，若a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．解：∵数列{a n}为等差数列，a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，∴，解得a1＝﹣1，d＝1，∴a5＝﹣1+4＝3．故选：D．【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知定义在R上的函数f（x）＝3sin x﹣2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sin x﹣2x，分析可得g（x）为奇函数，由奇函数的性质可得g（x）max+g（x）min＝0，进而可得[f（x）max﹣1]+[g（x）min﹣1]＝f （x）max+f（x）min﹣2＝0，变形分析可得答案．解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sin x﹣2x，有g（﹣x）＝3sin（﹣x）﹣2（﹣x）＝﹣（3sin x﹣2x）＝﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则g（x）max+g（x）min＝0，则有[f（x）max﹣1]+[g（x）min﹣1]＝f（x）max+f（x）min﹣2＝0，变形可得f（x）max+f （x）min＝2；即f（x）的最大值与最小值之和等于2；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意构造新函数g（x）＝f（x）﹣1，属于基础题．6．的展开式中x的系数是（）A．10B．2C．﹣14D．34【分析】把变成，再利用二项展开式的通项公式展开，可得的展开式中x的系数．解：∵（1﹣x）•＝（1﹣x）•（•x4•x3•x2+•••），故展开式中x的系数是14，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：取AB的中点D，连接SD，易知球心O在线段SD上，连接AO，设外接球的半径为r，则：，解得r．所以，该几何体的体积．则：．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A．“输出i﹣4”B．“输出i﹣2”C．“输出i﹣1”D．“输出i”【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出符合题意的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由于满足1+3+5+…+n＞2020后，此时i值比程序要求的i的值多2，又执行了一次i＝i+2，故输出的应为i﹣4．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．已知函数在区间上当x＝θ时取得最大值，将f（x）的图象向左平移θ个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2cos2x B．.g（x）＝﹣2cos2xC．D．.【分析】利用两角差的正弦函数公式可求函数解析式f（x）＝2sin（2x），利用正弦函数的性质可得当x时，f（x）取得最大值，由题意可求θ，进而利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解g（x）的解析式．解：2sin（2x），当x∈时，2x∈[，]，故当2x，即x时，f（x）取得最大值，所以θ，从而g（x）＝f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）＝2cos2x．故选：A．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为（）A．B．C．D．2【分析】设内切圆的圆心M，设△AF2B三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M的线段，由内切圆的性质可得|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，再由双曲线定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，可得Q，F1重合，再由∠AF2B＝60°可得内切圆的半径的值．解：设内切圆的圆心为M（x，y），设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S，如图所示连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|＝|F2S|，|AT|＝|AQ|，|BS|＝|BQ|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|AF2|﹣|AT|＝|F2T|，|BF2|﹣|BQ|＝|BF2|﹣|BS|＝|F2S|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，由双曲线的定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，所以可得Q，F1重合，所以|TF2|＝2a＝4，所以r＝|MT|＝|TF2|tan•4，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质及内切圆的性质，属于中档题．11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为a n（n∈N），则使a7＝1的a0所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】推导出∀n∈N*，，由a7＝1，得a6＝2，从而a5＝4，进而a4＝1或a4＝8．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的a0的值的个数．解：由题意知∀n∈N*，，由a7＝1，得a6＝2，∴a5＝4，∴a4＝1或a4＝8．①当a4＝1时，a3＝2，∴a2＝4，∴a1＝1或a1＝8，∴a0＝2或a0＝16．②若a4＝8，则a3＝16，∴a2＝5或a2＝32，当a2＝5时，a1＝10，此时，a0＝3或a0＝20，当a2＝32时，a1＝64，此时，a0＝21或a0＝128，综上，满足条件的a0的值共有6个．故选：D．【点评】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由log2a＝log3b，知1＜a＜b或a＝b＝1 或0＜b＜a＜1，然后分情况验证个关系式即可．解：由log2a＝log3b，知1＜a＜b或a＝b＝1 或0＜b＜a＜1，当a＝b＝1时，②成立，其他的不成立；当0＜b＜a＜1时，a b＞b a，a b＞a a，b b＞b a，③成立，④⑤不成立；当1＜a＜b时，取a＝2，b＝3，则a b＝23＝8＜9＝32＝b a，①成立，a b＞a a，b b＞b a，④⑤不成立，综上，只有④⑤不可能成立．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，A、B是圆O上的两点，若，则弦AB长为2【分析】结合图形可得，两边平方后整理可得2﹣20，则2＝24．解：因为，两边平方可得2﹣222，即2﹣20，所以2＝24，所以AB＝2故答案为：2．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x、y满足，则z＝x+2y的最小值为0．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x、y满足，画出可行域如图，化z＝x+2y为y x z，由图可知，当直线y x z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值，由，解得A（2，﹣1），最小值z＝2+2×（﹣1）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知抛物线x2＝y的焦点为F，过F作两条夹角为30°的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则的最小值为1．【分析】求得抛物线的焦点F的坐标，设直线m的倾斜角为α，求得直线m的参数方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得|PQ|，再将α换为α+30°，可得|MN|，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求最小值．解：抛物线x2＝y的焦点为F（0，），设直线m的倾斜角为α，可得直线m的参数方程为（t为参数），设P，Q对应的参数分别为t1，t2，联立抛物线的方程x2＝y，可得t2cos2α﹣t sinα0，即有t1+t2，t1t2，则|PQ|＝|t1﹣t2|，即有|PQ|，将α换为α+30°，同理可得|MN|，则cos2α+cos2（α+30°）＝1[cos2α+cos（2α+60°）]＝1+cos（2α+30°）cos30°＝1cos（2α+30°），当cos（2α+30°）＝﹣1，即α＝75°时，的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16．在四楼锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q点是△PBC内的一个动点（含边界），且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解距离即可．解：根据题意，连接AC，BD，两直线交于点O，取PC上一点M，连接MB，MD，如图：若满足题意DQ⊥AC，又AC⊥BD，故AC⊥平面DBQ，则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可，假设如图所示，平面DBM与平面DBQ是同一个平面，则Q点的轨迹就是线段BM，根据假设，此时直线AC⊥平面DBM，则AC⊥MO，故三角形PAD是等腰直角三角形，三角形BAD是等边三角形，故AD⊥PB，又因为BC∥AD，故BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形，故PC2，在三角形PAC中，PA，AC＝2，PC＝2，由余弦定理可得：cos∠PCA，在菱形ABCD中，OC，故在直角三角形MOC中，MC，在三角形BCM中，∠PCB＝45°，故BM2＝BC2+CM2﹣2BC×CM×cos∠PCB＝22+（）2﹣2×2，故得BM．【点评】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题．三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足且a＞b．（1）求角B的大小；（2）若b＝1，BC边上的中线AM的长为a，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B；（2）由已知结合向量数量积的性质即可求解．解：（1）因为，由正弦定理可得，sin A sin B cos C+sin C sin B cos A sin B，因为sin B≠0，所以sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，因为a＞b，所以B为锐角，故B，（2）由题意可知，2，||＝a，两边同时平方可得，4a2＝b2+c2+2bc cos∠BAC，又由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，故cos A＝0因为A∈（0，π），所以A＝90°，所以b＝1，c，S△ABC．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量数量积的性质的综合应用，属于中档试题．18．在四棱锥P﹣ABCD中，BC＝BD＝DC，AD＝AB＝PD＝PB＝2，PA．（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（2）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结PO，推导出PO⊥OA，PO⊥BD，从而PO ⊥平面ABCD，由此能证明平面PBD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结PO，由对称性知O为BD中点，且AC⊥BD，PO⊥BD，又△PBD≌△ABD，AO⊥BD，从而PO＝AO＝1，又PA，由PO2+OA2＝PA2，∴PO⊥OA，PO⊥BD，OA∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．（2）解：由（1）知，PO，BD，AC两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，，0），P（0，0，1），在等腰△BCD中，CO＝3，则C（3，0，0），（3，，0），（0，，1），平面PBD的法向量（1，0，0），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，3），设二面角C﹣PD﹣B的平面角为θ，∴cosθ．∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆的离心率为．点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，﹣2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．【分析】（1））由已知得，解得a2，b2，进而可得椭圆C的方程．（2）设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB 与椭圆方程，得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，结合韦达定理，中点坐标公式得M（，），同理N（，），进而得直线MN斜率，和方程，令x＝0，得y，即可得出答案．解：（1）由已知得，解得a2＝12，b2＝3，所以椭圆C的方程为．（2）由题意知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，由△＞0得k2，且x1+x2，所以x M，y M＝kx M﹣2，即M（，），同理N（，），所以k MN，所以直线MN的方程为y（x），由对称性可知定点必在y轴上，令x＝0，得y（0），所以直线MN过定点（0，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI＞28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）60727754●●7255BMI（近22.323.228.320.323.523.725.516.6似值）（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X．求X的分布列及数学期望．（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5x ，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg．计算得到的其他数据如下．（1）求的值及表格中8名员工体重的平均值；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重．（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）．【分析】（I）由表中可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（II）（1）由已知条件易知19，从而得到线性回归方程，由于其一定经过样本中心点，将样本中心点代入回归方程即可求得；（2）由的计算公式可知320，而更正后的数据，，再结合的公式即可求出其值，利用可求出，于是可得更正后的线性回归方程，最后把x＝180代入求出即可．解：（I）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列为X012P数学期望E（X）．（II）（1）∵根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，∴71＝0.5×180，解得19，故线性回归方程为0.5x﹣19．∵样本中心点一定在回归直线方程上，∴．（2）由（1）知更正前的数据，∵0.5，∴2×（89920﹣8×170×66）＝320，更正后的数据，，∴，，∴0.8，∴，故更正后的线性回归方程为．当x＝180时，，∴重新预估一名身高为180cm的员工的体重约为75kg．【点评】本题考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对h（x）求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的a的范围．解：（1）由题意可知，y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为f′（x）＝x+a，，所以f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即，由可得x0＝1或x0＝﹣a﹣1，由点P唯一可得﹣a﹣1＝1或﹣a﹣1≤0，即a＝﹣2或a≥﹣1，由可得a，综上可得，a；（2）由h（x）＝f（x）﹣g（x），x＞0，则，（i）若a+1＞0即0＞a＞﹣1时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因为x→0时，h（x）→+∞，且h（2）＝2+2a﹣（a+1）ln2＞2+2a﹣2（a+1）＝0，故要使得h（x）有2个零点，只有h（1）＜0即﹣1＜a，当a＝﹣1时，h（x）只有一个零点，故﹣1＜a（ii）若a+1＜0，即a＜﹣1时，①当a＝﹣2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；②当﹣2＜a＜﹣1时，h（x）在（0，﹣a﹣1）上单调递增，在（﹣a﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且x→0时，h（x）→﹣∞，且h（1）＝a0，h（e2）0，故要使得h（x）有2个零点，则h（﹣a﹣1）0，即，令m（a），﹣2＜a＜﹣1，则0，故m（a）在（﹣2，﹣1）上单调递增，且m（﹣2）0，故m（a）＞0在（﹣2，﹣1）上恒成立，不可能有2个零点，③当a＜﹣2时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，且h（1）＝a0，故h（x）不可能有2个零点，综上﹣1＜a．【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用函数的性质与导数求解函数零点个数，体现了分类讨论思想的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m 的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．转换为直角坐标法方程为x+y﹣m＝0．曲线C的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（0≤y≤1）．（2）设点P（）是曲线C2上一点，则点P到曲线C1的距离d，由于0≤α≤π，所以，则：[．由点P到曲线C1的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则2﹣m＝4，即m＝﹣2，故m＝﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+|2x﹣1|＞3的解集；（2）设g（x）＝1+|x|，若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）+|2x﹣1|中，然后根据f（x）+|2x﹣1|＞3，利用零点分段法解不等式即可；（2）由条件可知|ax+1|≤1+|x|，然后分a＝0和a≠0两种情况，利用数形结合法得到关于a的不等式，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）+|2x﹣1|＝|x+1|+|2x﹣1|．∵f（x）+|2x﹣1|＞3，∴或或，∴x＜﹣1或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜﹣1 或x＞1}．（2）不等式f（x）≤g（x），即|ax+1|≤1+|x|，当a＝0时，1≤1+|x|恒成立，∴a＝0；当a≠0时，作出f（x）＝|ax+1|与g（x）＝1+|x|的图象，如图所示，则由图象可知|a|≤1，∴﹣1≤a≤1且a≠0，综上，a的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。

华大新高考联盟名校(2020年05月份高考预测考试数学(理)含答案

华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学参考答案和评分标准一、选择题1.【答案】D 扫码关注查询成绩【解析】由x —2>0得x>2,则B ={x x>2}; 又A ={x l<x<3}, 则AUB ={xlx>l},故选D .2.【答案】D8 2 【解析】在大正方形内随机取一点，则此点取自图形中小正方形的概率为＝—，故选D .6X 6 9 3.【答案】A 【解析】设z =a+bi,a,bER, 则zER号=O已z =乏,P 1为真命题；若在复平面内复数z 所对应的点在第一z a+bi 象限，则a>趴b>O,而----:-=. =b —ai, 故三所对应的点(b,—a)在第四象限，P z 为真命题，所以P 1/\仇为真命题，故选A .生【答案】D 【解析】巾a 2+a 5=3a 3可知a 3+a 4 =3a 3, 所以a 4=2a 3; 又a 4与2a 7的等差中项为6'所以a 4+2a 7=12,即2a 3+2a 7 = 12, 而2a 5=a 3 +a 7 =6, 故a 5=3,故选D .5.【答案】C 【解析】因为xER,令g(x)=3sinx —2x,则g(—x)= 3sin (—x)—2X (—x)=—3sinx十2x =—g(x)'故g(x)为奇函数，g(x)的最大值和最小值的和为O;又g(x) = f(x)—1, [g (x ) J max + [g (x) l run = [f (x) J max —1 +[J(x)J min —l =O, 所以[f(x)]max +[J(x)匕=2,故选C.6.【答案】C【解析】因为(1—x)•(x+』+2)= (1—x)• (石＋—r ) ;(石＋上)8的展开式的通项公式为T =x 石户1c;c石）8—侵）r =C�x 4—r '所以(1—x)•(x+ l +2 的展开式中x 的系数为C尸c:=—14,故选C.X f 7.【答案】D 【解析】由三视图还原为空间几何体，如图所示，取AB 的中点D ,连接SD ,易知球心0在线段S D 上，连接OA .设外接球半径为r,则有（点r)2+1—r z '解得r —2屈3 4 3 32点1 1 J3故V 1——订—3 27 穴，而该几何体体积为V 2——X —X2X l X岛—3 2 3 ，则V 1与32 忆的比值为—穴，故选D .9 8.【答案】A 【解析】由千满足1+3+5+…+n>2020后，此时1值比程序要求的1值多2,又执行了一次i =i+2,故输出的应为1—4,故选A .9.【答案】A s【解析】卢）—点sin2xcos2x —2sin(2x —t ); 当xE [ o 分］时，2x f E [—飞早］，故当2x 卫—卫即x —互时，f(x)取得最大值，所以0—卫；6 2 3 3 理科数学参考答案和评分标准第1页（共6页）。

辽宁省2020届高三(5月份)高考数学(文科)押题试卷及答案解析

辽宁省2020届高三（5月份）高考数学（文科）押题试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数i z x y =+（x ， R y ∈）满足()1i 3i z +=-，则x y +的值为（） A. 3- B. 4- C. 5- D. 6-2.若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为（）A. 718 B. √23 C. 4−√26 D. 4+√263.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ⎤∈⎦时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（） A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（）A. (3√132+3)π+√22+2 B. (3√134+32)π+√22+2C.√132π+√22 D.√134π+√225.函数y =sinx +ln |x |在区间[−3,3]的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知函数()()1312,2,2{2,2R,0,2x x x f x a x a a x +-+≤=->∈≠-若()()()635ff f =-，则a 为（） A. 1C.7.执行下图的程序框图，若输入的0x =， 1y =， 1n =，则输出的p 的值为（）A. 81B.812 C. 814 D. 8188.已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a1b 1+a2b 2+a3b 3+⋯+a nb n =12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（）A. -442B. -446C. -450D. -4549.若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（）A. []0,8B. (]0,8C. ][(),08,-∞⋃+∞ D. ()(),08,-∞⋃+∞ 10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（）A. 函数g(x)图象的对称轴方程为x =kπ−π12(k ∈Z)B. 函数g(x)的最大值为2√2C. 函数g(x)的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y =3x −1平行D. 方程g(x)=2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1−x 2|最小值为π2第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11.向量,a m n =， ()1,2b =-，若向量a ， b 共线，且2a b =，则mn 的值为_________．12.已知点()1,0A -， ()1,0B ，若圆2286250x y x y m +--+-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为__________．13.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒， 90B ∠=︒， 120C ∠=︒， 90E ∠=︒，3AB =， 3AE =，当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，则BC 的取值范围为三、解答题（题型注释）， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且222cos cos sin sin B C A A B -=. （1）求角C ；（2）若6A π∠=， ABC 的面积为 M 为AB 的中点，求CM 的长.15.如图所示的几何体P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ＝a ，PB ⊥AB ，平面ABCD ⊥平面P AB ，AC ∩BD ＝O ，E 为PD 的中点，G 为平面P AB 内任一点．(1)在平面P AB 内，过G 点是否存在直线l 使OE ∥l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A ，C ，E 三点的平面将几何体P —ABCD 截去三棱锥D —AEC ，求剩余几何体AECBP 的体积．16.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..17.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点2P ⎛ ⎝⎭，动直线l ： y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ， B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.18.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ， 2x （12x x <），证明122x x a +>. 19.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 3,{2x cost y sintαα=+=+（t 为参数， 0a >），在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ， B 两点，求AB . 20.选修4-5：不等式选讲. 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案1.C【解析】1.由题意可得： ()()113x yi i y x i i ++=-++=-，则：3{11y x -=+=-，解得： 2{3x y =-=-，则5x y +=-.本题选择C 选项. 2.C【解析】2.分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解sin[(π4+α)−π4]的值.详解：因为cos(π4+α)=13,0<α<π2，则0<π4+α<π2，且sin(π4+α)=√1−cos 2(π4+α)=2√23，则sin[(π4+α)−π4]=sin(π4+α)cos π4−cos(π4+α)sin π4=2√23×√22−13⋅√22=4−√26，故选C. 3.D【解析】3.由题意可得： [][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ，双曲线的渐近线为b y x a =± ，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.4.A【解析】4.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥=34×13×πa 2×3=34πa 2,V 三棱锥=12a 2×3×13=12a 2 由题意：34πa 2+12a 2=3π+2,∴a =2 ，据此可知：S 底=2aπ×34+12×2×2=3π+2 ，S 圆锥侧=34π×√13×2=3√132π ，S 棱锥侧=12×2√2×√11=√22 ，它的表面积是 (3√132+3)π+√22+2.本题选择A 选项.5.A【解析】5.分析：判断f (x )的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算f (1)的值，结合选项即可得出答案. 详解：设f (x )=sinx +ln |x |，当x >0 时，f (x )=sinx +lnx ⇒f ′(x )=cosx +1x，当x∈(0,1)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上为单调递增函数，排除B ；由当x=1时，f (1)=sin1>0，排除D ；因为f (−x )=sin(−x)+ln |−x |=f (x )=−sinx +ln |x |≠±f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，排除C ，故选A. 6.D【解析】6.由题意可得：()()()()()()()32199463211,314,322255f f f f f f f f a ⎛⎫=-===+===-=- ⎪⎝⎭，解得： a =本题选择D 选项. 7.C【解析】7.依据流程图运行程序，首先初始化数值， 0,1,1x y n === ，进入循环体：1,12y y nx n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行12n n =+= ，进入第二次循环， 32,22y y n x n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行13n n =+= ，进入第三次循环，99,24y y n x n y +====，时不满足条件2y x ≥ ，输出814p xy == .本题选择C 选项.8.C【解析】8.{a n }的通项公式为a n =2n −1，由a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=12n 可得{a n b n}的通项进而求出b n 后可得S 5．因为{a n }为等差数列且a 1=1,d =2，故a n =2n −1．又a nb n={12,n =112n−12n−1,n ≥2，也就是a nb n={12,n =1−12n ,n ≥2，所以b n ={2,n =1−(2n −1)2n,n ≥2， S 5=2−12−40−112−288=−450，故选C ．9.A【解析】9.很明显0m ≥，且()'20mf x x m x=+-≥恒成立，即： min2,2m m m x m x x x ⎛⎫≤+∴≤+ ⎪⎝⎭由均值不等式的结论： 2mx x+≥，据此有： 28m m ≤，解得： 08m ≤≤. 本题选择A 选项. 10.C【解析】10.根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的图象知，A ＝2，T 4=2π3−π6=π2，∴T ＝2π，ω=2πT=1；根据五点法画图知，当x =π6时，ωx +φ=π6+φ=π2，∴φ=π3，∴f （x ）＝2sin （x +π3）； ∴f ′（x ）＝2cos （x +π3），∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）＝2sin （x +π3）+2cos （x +π3）＝2√2sin （x +π3+π4）＝2√2sin （x +7π12）；令x +7π12=π2+k π，k ∈Z，解得x =−π12+k π，k ∈Z，∴函数g （x ）的对称轴方程为x =−π12+k π，k ∈Z，A 正确；当x +7π12=π2+2k π，k ∈Z 时，函数g （x ）取得最大值2√2，B 正确；g ′（x ）＝2√2cos （x +7π12），假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行，则k ＝g ′（x 0）＝2√2cos （x 0+7π12）＝3，解得cos （x 0+7π12）=2√21，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g （x ）＝2，则2√2sin （x +7π12）＝2，∴sin（x +7π12）=√22，∴x +7π12=π4+2k π或x +7π12=3π4+2k π，k ∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x 1，x 2时， |x 1﹣x 2|的最小值为π2，D 正确．故选：C ． 11.-8【解析】11.由题意可得： ()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ，则： ()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- . 12.16【解析】12.圆的方程即： ()()2243x y m -+-=，设圆上的点P 的坐标为()2cos ,3sin P m m θθ++，则：()()5cos ,3sin ,3,3PA m m PB θθθθ=----=----，计算可得： ()()240PA PB m θϕ⋅=+++=，()sinθϕ+= 11-≤≤，求解关于实数m 的不等式可得： 1636m ≤≤，则m 的最小值为16.13. 【解析】13.由题意可设：BC DE a== ，则：()211189222244ABCDE S a a a a ⎡=⨯⨯+⨯⨯=-∈⎣ ，则：当a = 时，面积由最大值；当a =时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得： BC 的取值范围为.14.（1）6C π∠=.（2）CM =.【解析】14.试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得cos C =.则6C π∠=.(2)利用题意首先求得4a =，然后结合余弦定理可得CM =.试题解析：（1）由22cos cos B C -= 2sin sin A A B ，得22sin sin C B -= 2sin sin A A B .由正弦定理，得222c b a -=-，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-= == 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故21sin 2ABCSa B ==2=，所以4a =. 在MBC 中，由余弦定理，得222CM MB BC =+- 2cos MB BC B ⋅= 4162++⨯ 124282⨯⨯=.解得CM =.15.（1）过G 点存在直线l 使OE ∥l ，详见解析（2）38a 3【解析】15.（1）先根据三角形中位线性质得OE ∥PB ，再在平面P AB 内，过G 点作PB 平行线即可，注意讨论点G 在直线PB 上情况，（2）先根据面面垂直性质定理得PB ⊥平面ABCD 以及OE ⊥平面ACD ，再根据锥体体积公式得V 四棱锥P —ABCD 以及V 三棱锥D —AEC ，相减可得结果. (1)过G 点存在直线l 使OE ∥l ，理由如下：由题意知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以在△PBD 中，OE ∥PB .若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求的直线l ，所以有OE ∥l ；若点G 不在直线PB 上，在平面P AB 内，过点G 作直线l ，使l ∥PB ，又OE ∥PB ，所以OE ∥l ，即过G 点存在直线l 使OE ∥l .(2)连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分：三棱锥D —AEC 与几何体AECBP (如图所示)．因为平面ABCD ⊥平面P AB ，且交线为AB ，又PB ⊥AB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥平面ABCD .故PB 为几何体P —ABCD 的高．又四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ，所以S 四边形ABCD ＝22，所以V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PB ＝132＝12a 3.又OE ∥12PB 且OE =12PB ，所以OE ⊥平面ACD ，所以V 三棱锥D —AEC ＝V 三棱锥E —ACD ＝13S △ACD ·EO ＝14V 四棱锥P —ABCD ＝18a 3，所以几何体AECBP 的体积V ＝V 四棱锥P —ABCD －V 三棱锥D —EAC ＝12a 3－18a 3＝38a 3.16.（1）448.（2）见解析;（3）12P =.【解析】16.试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为B 的概率，然后求解人数约为448人； (2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为12. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ， 3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ， 2ab ， 3ab ， 12b b ， 13b b ， 23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ， 2ab ， 3ab ，共3种情况，故所求概率12P =.17.（1）2212x y +=；（2）22322m k -=.【解析】17.试题分析：(1)由题意求得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. (2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值.试题解析：（1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点P ⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220k x kmx m +++-=，由()()22221681120k m m k ∆=--+>，得2212km +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k-=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m km kkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 18.（1）见解析;（2）见解析.【解析】18.试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >，则当()0,x a ∈时，数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时， f 函数()f x 单调递增；②若0a =，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增.(2)原问题即证明122x x a +>，构造新函数()()g x f x ='=- 22a x a x +-，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由()22ln f x a x x ax=-+-，可知()2'2a f x x a x=-+-=()()2222x a x a x ax a x x+---=.因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >，则当()0,x a ∈时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0f x >，函数()f x 单调递增. （2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x ='=- 22a x a x+-，因为()2220a g x x+'=>，所以()()g x f x ='为单调递增函数.所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫>='⎪⎭'⎝，即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++ ()12210x x a a+->.（*）又22111ln a x x ax m -+-=， 22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+- ()12210x x a a+-=.把()1221x x a a+-= 1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+. 令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<），则()()2411t t t ϕ+'=-+ ()()22101t t t -=>+，所以()t ϕ在其定义域上为增函数，所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.19.（1）1C ， ()()22232x y a -+-=， 2C ： ()2224x y +-=； []1,5；（2.【解析】19.试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=， ()2224x y +-=； a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得AB =. 试题解析：（1）曲线1C ： 3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ： 4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得： ()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ： ()()22329x y -+-=，两曲线交点A ， B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==.20.（1）[1,1-；图见解析（2）见解析.【解析】20.试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件. 试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤> 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦218577⎡⎢+=⎢⎣. 当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立，即216a =， 243b =时，有最小值，所以221418117a b+≥++得证.。

2020届高三数学5月质量检测试题文含解析

x x
103 170
0.618
，解得
x
5.4
厘米.
故选：A
【点睛】本题考查了黄金分割，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5. 若双曲线 C : x2 y2 1的离心率 e 2, 2 ，则实数 m 的取值范围为（）. m3
-2-
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D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可知函数为奇函数，通过构造函数 g x x sin x 0 x π ，可得 x sin x ，进一步可得
x2 1 sin x x ，即 f x 1，结合图象可得结果.
【详解】由
f
x
x sin x x2 1
-7-
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求得实数 a 的取值范围.
【详解】由 f x g x h x 2x1 ，
有
f
x
g
xபைடு நூலகம்
hx
g
x
hx
2 2x
，
解得 g x 2x 2x ， h x 2x 2x ， h x2 ag x 1
7. 已知数列 an 满足 an1 an 1 ，且 a1 1 ，a2 3 ，则数列an 前 6 项的和为（）.
A. 115
B. 118
C. 120
D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
由题干条件求得 2 ，得到 an1 2an 1 ，构造等比数列可得数列 an 的通项公式，再结

2020高考押题模拟文科数学试卷5月

—2020年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如，需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =的定义域为A ,函数y =l n (3-x )的定义域为队则A ⋂B =A .(-∞,3)B .(一8,-3)C .{3}D .[-3,3)2.已知复数z =a -i (a ∈R ),若z 十=8,则复数z =A .4+i B .4-i C .-4+i D .-4-i3.巳知命题P :∀x >0,则3x >1;命题q :若a <b ,则a 2<b 2，下列命题为真命题的是A .p ∧q B .p ∧⌝q C .⌝p ∧q D .⌝p ∧⌝q 4.若m,n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是A .若m ⊂β,α⊥β,则m ⊥αB .若m ⊥β,m//α,则α⊥βC .若α⊥γ，α⊥β,则β⊥γD .若α⋂γ=m ,β⋂γ=n ,m //n ,则α//β5.郑州市2019年各月的平均气温(︒C )数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A .20B .21.C .20.5D .236.在如图所示的程序框图中，若输出的值是4,则输入x 的取值范围是A .(2,十o o )B .(2,4]C .(4,10]D .(4,十o o )7.已知△A B C 是边长为1的等边三角形，点D ,E 分别是边A B ,B C 的中点，连接D E 并延长到点F ,使得D E =2E F ,则值为A .一58B .18C .14D .1188.已知双曲线的一条渐近线与直线3x -yXA .B .10C .3D .9.函数的图象大致为10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线O L 时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线O K L 时，表示收人完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为△O K L 的面积．将G i n i ＝aS，称为基尼系数．对于下列说法：①G i n i 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y =f (x ),则对∀x ∈(0,1),均有f (x )x>1;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =(x ∈[0,1]),则G i n i =;其中正确的是：A .①②B .①③C .②③D .①②③11.在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1—B C 1D 内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为A .86πB .36πC .323πD .646π12.已知函数f (x )＝-π2x，g (x )=x •c o s x -s i n x ,当x ∈[-4π，4π],且x ≠0时，方程f (x )=g (x )根的个数是A .5B .6C .7D .8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m =.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ,b ,则直线a x +b y =0与圆(x -2)2+y 2=2有公共点的概率为．.15.在△A B C 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b =3,3c =(s i n A +3c o s A )b ,则△A B C 的面积的最大值为．16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国C P I (居民消费价格指数），同比上涨4.5%,C P I上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响C P I上涨3.27个百分点．下图是2019年11月C P I一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．0.5%生活用服务6.①C P I一篮子商品中权重最大的是居住②C P I一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在C P I一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在C P I一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.(12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n 1.(I)求数列{a n}的通项公式；(I I)若数列{b n.}满足,求数列{b n}的前n项和T n.18.(12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨）6.66.777.17.27.4(I)根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程^y=^b x+a(I I)根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n,y n),其回归直线^y=^b x+^a的斜率和截距的最小二乘估计分别为6（参考数据：,计算结果保留到小数点后两位）19.(12分）如图，三棱柱A B C-A1B1C1中，平面A A1B1B⊥平面A B C,D是A C的中点．(I)求证:B1C//平面A1B D;(I I)若∠A1A B=∠A C B=60°,A B=B B1,A C=2,B C=1,求三棱锥C-A A1B的体积．20.(12分）已知椭圆C:的短轴长为22,离心率为3 2 .(I)求椭圆C的标准方程；(I I)直线l平行于直线y=b a x,且与椭圆C交于A,B两个不同的点，若∠A O B为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21.(12分）已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=1e.(I)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(I I)求证：当x>0时，f(x)≤x-1.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2a s i nθ(a>0).以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数）．(I)求圆C的标准方程和直线l的普通方程，(I I)若直线l与圆C交于A,B两点，且|A B|≥3a.求实数a的取值范围．23.[选修4-5:不等式选讲](10分）已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.(I)当a=-2时，解不等式f(x)>5;(I I)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值．。

2020年高考数学5月份预测考试试题文【含答案】

D.
2
12.定义在 R 上的连续函数 f(x)，导函数为 f'(x)。若对任意不等于－1 的实数 x，均有
(x＋1)[f(x)－f'(x)]>0 成立，且 f(－1＋x)＝f(－1－x)e2x，则下列命题中一定成立的是
A.f(－1)>f(0) B.ef(－2)<f(－1) C.e2f(－2)<f(0) D.e2f(－2)>f(0)
(1)求 C 的轨迹方程；
(2)设直线 y＝x＋n 与曲线 C 相交与 A、B 两点，试探究曲线 C 上是否存在点 M，使得四边形
MAOB 为平行四边形，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
21.(12 分)
xn
设函数 f(x)＝lnx，g(x)＝
。
x 1
(1)当 n＝－1 时，若函数 y＝g(x－m)在(1，＋∞)上单调递增，求 m 的取值范围；
题计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
x 2t 2
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
3t
1
(t
为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2
4
。
1 3cos2
(1)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程； (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 的夹角为 30°的直线，交 l 于点 Q，求|PQ|的最大值与最小值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 设函数 f(x)＝|x＋1|－|x－1|。 (1)求 y＝f(x)的值域； (2) x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求 a＋2b 的最小值。

辽宁省2020届高三数学5月押题试题文含解析

辽宁省2020届高三数学5月押题试题文（含解析）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|23,}A x x x Z =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合A B 为（）A. {2,1,0,1,2}--B. {1,0,1,2}-C. {1,0,1,2,3}-D.{2,1,0,1,2,3}--【答案】B 【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A =- ，则集合A B ⋂{}1,0,1,2-.本题选择B 选项.2. 若复数(,)z x yi x y R =+∈满足()13z i i +=-，则x y +的值为（） A. 3- B. 4-C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】【详解】分析：利用复数的运算法则化简复数，再由复数相等即可得出. 详解：由(,)z x yi x y R =+∈，可得(1)()(3)()z i i i i +⋅-=-⋅-，即113z i +=--，可得23z i =--，所以2,3x y =-=-，所以5x y +=-. 故选：C点睛：本题主要考查了复数的运算与复数相等的概念，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3. 若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（）A.718B.3C.46D.46+ 【答案】C 【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式sin()4πα+的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解sin[()]44ππα+-的值. 详解：因为1cos(),0432ππαα+=<<，则042ππα<+<，且sin()43απ+==，则14sin[()]sin()cos cos()sin 44444432326ππππππααα-+-=+-+=⨯-⋅=，故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（）A.19B.13C.49D.59【答案】A 【解析】【详解】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有： (2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：41369p == . 本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率[2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（） A. [0,]6πB. [,]63ππC. [,]43ππD. [,]32ππ【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：[][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，1,3b a ⎡⎤∈⎣⎦设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ，tan 1,3θ⎡⎤∈⎣⎦因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（）A .313(3)2222π++ B. 3133()22242π++ 1322 1322 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：2222313111=3,=3434232V a a V a a ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=圆锥三棱锥由题意：223132,242a a a ππ+=+∴= ，据此可知：31=2223242S a ππ⨯+⨯⨯=+底，3313=1324S ππ⨯⨯=圆锥侧，1=2211222S ⨯⨯=棱锥侧，它的表面积是 3133222π⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ；由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±，所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8. 已知函数()()1312,222,2,02x x x f x a x a R a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩，若()()()635f f f =-，则a 为（）A. 1B. 3425C. 22D. 34【答案】D 【解析】由题意可得：()()()()()()()32199463211,314,322255f f f f f f f f a ⎛⎫=-===+===-=- ⎪⎝⎭，解得：34a =.本题选择D 选项.9. 执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（）A. 81B.812C.814D.818【答案】C 【解析】【详解】依据流程图运行程序，首先初始化数值， x =0,y =1,n =1 ，进入循环体：x =n x =1,y =2y n+ =1，时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=2 ，进入第二次循环， x =n x =2,y =2y n + =32,时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=3 ，进入第三次循环，x =n x =9,y =2y n + =94时，不满足条件y 2≥x ，输出814p xy == .10. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系31212312n n n a a a a b b b b ++++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（） A. -442 B. -446C. -450D. -454【答案】C 【解析】【分析】{}n a 的通项公式为21n a n =-，由121212n n n a a a b b b +++=可得n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项进而求出n b 后可得5S ．【详解】因为{}n a 为等差数列且11,2a d ==，故21n a n =-．又11,1211,222n n n n n a b n -⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，也就是1,121,22nn n n a b n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以()2,1212,2n nn b n n =⎧=⎨--≥⎩， 521240112288450S =----=-，故选C ．【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现n a 与n S 之间的相互转化.11. 若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,∞+内单调递增，则实数m 的取值范围为（）A. []0,8B. (]0,8C. (][),08,-∞+∞D.()(),08,-∞+∞【答案】A 【解析】很明显0m ≥，且()'20mf x x m x=+-≥恒成立，即： min2,2m m m x m x x x ⎛⎫≤+∴≤+ ⎪⎝⎭ 由均值不等式的结论：222mx m x+≥，据此有：28m m ≤，解得：08m ≤≤. 本题选择A 选项.12. 已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B. 函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行D. 方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π【答案】C 【解析】【分析】根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）的图象知，A ＝2，24362T πππ=-=， ∴T ＝2π，ω2Tπ==1；根据五点法画图知，当x 6π=时，ωx +62ππϕϕ=+=，∴3πϕ=，∴f （x ）＝2sin （x 3π+）； ∴f ′（x ）＝2cos （x 3π+），∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）＝2sin （x 3π+）+2cos （x 3π+）＝sin （x 34ππ++）＝sin （x 712π+）；令x 7122ππ+=+k π，k ∈Z ，解得x 12π=-+k π，k ∈Z ， ∴函数g （x ）的对称轴方程为x 12π=-+k π，k ∈Z ，A 正确；当x 7122ππ+=+2k π，k ∈Z 时，函数g （x ）取得最大值B 正确；g ′（x ）＝cos （x 712π+），假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行，则k ＝g ′（x 0）＝（x 0712π+）＝3，解得cos （x0712π+）=1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g （x ）＝2，则sin （x 712π+）＝2，∴sin（x 712π+）=， ∴x 7124ππ+=+2k π或x 73124ππ+=+2k π，k ∈Z ； ∴方程的两个不同的解分别为x 1，x 2时， |x 1﹣x 2|的最小值为2π，D 正确．故选C ．【点睛】本题考查了由y ＝A sin （ωx +ϕ）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b =，则mn 的值为__________．【答案】-8 【解析】由题意可得：()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ，则：()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- .14. 已知点()1,0A -，()10B ,，若圆2286250x y x y m +--+-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为__________．【答案】16 【解析】【详解】圆的方程即：()()2243x y m -+-=，设圆上的点P 的坐标为()4,3P θθ+，则：()()5cos ,3sin ,3,3PA m m PB m θθθθ=----=---，计算可得：()()240PA PB m θϕ⋅=+++=，()sinθϕ+=11-≤≤，求解关于实数m 的不等式可得：1636m ≤≤，则m 的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设x，y满足约束条件2402010x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则32x y+的最大值为__________．【答案】22 3【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数32z x y=+在点28,33C⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值282232333z=⨯+⨯=.16. 在平面五边形ABCDE中，已知120A∠=︒，90B∠=︒，120C∠=︒，90E∠=︒，3AB=，3AE=，当五边形ABCDE的面积[63,93)S∈时，则BC的取值范围为__________．【答案】3,33【解析】【详解】由题意可设：BC DE a==，则：()21313918393333363,93 2244ABCDES a a⎡=⨯+⨯=∈⎣，则：当33a=时，面积有最大值3；当3a=时，面积有最小值3；结合二次函数的性质可得：BC 的取值范围为.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin sin A A B .（1）求角C ；（2）若6A π∠=，ABC 的面积为M 为AB 的中点，求CM 的长.【答案】（1）6C π∠=.（2）CM =.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把角的关系转化为222c a b =+，由余弦定理可得C 的值. （2）由,A C 可以得到B ，从而ABC 为等腰三角形，利用面积公式得到边长后用余弦定理计算CM 的长.【详解】（1）由正弦定理，222sin sin sin sin C B A A B -=可化为22222222c b a a b R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得到222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 22a b c C ab +-==. 因为0C π<< ，所以6C π=.（2）因为6A C π==，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π=.故221sin 2△===ABC S a B a ，所以4a =. 在MBC △中，由余弦定理，得2222cos CM MB BC MB BC B =+-⨯21 416224282CM=++⨯⨯⨯=，解得27CM=.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18. 如图所示的几何体P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB＝3a，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD＝O，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点．(1)在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE∥l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A，C，E三点的平面将几何体P—ABCD截去三棱锥D—AEC，求剩余几何体AECBP的体积．【答案】（1）过G点存在直线l使OE∥l，详见解析（2）3 8a3【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线性质得OE∥PB，再在平面PAB内，过G点作PB平行线即可，注意讨论点G在直线PB上情况，（2）先根据面面垂直性质定理得PB⊥平面ABCD以及OE⊥平面ACD，再根据锥体体积公式得V四棱锥P—ABCD以及V三棱锥D—AEC，相减可得结果.【详解】(1)过G点存在直线l使OE∥l，理由如下：由题意知O为BD的中点，又E为PD的中点，所以在△PBD中，OE∥PB.若点G在直线PB上，则直线PB即为所求的直线l，所以有OE∥l；若点G不在直线PB上，在平面PAB内，过点G作直线l，使l∥PB，又OE∥PB，所以OE∥l，即过G点存在直线l使OE∥l.(2)连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分：三棱锥D—AEC与几何体AECBP(如图所示)．因为平面ABCD⊥平面PAB，且交线为AB，又PB⊥AB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥平面ABCD.故PB为几何体P—ABCD 的高．又四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB3，所以S四边形ABCD＝2×34a2＝32a2，所以V四棱锥P—ABCD＝13S四边形ABCD·PB＝13323＝12a3. 又OE∥12PB且OE 12PB，所以OE⊥平面ACD，所以V三棱锥D—AEC＝V三棱锥E—ACD＝13S△ACD·EO＝14V四棱锥P—ABCD＝18a3，所以几何体AECBP的体积V＝V四棱锥P—ABCD－V三棱锥D—EAC＝12a3－18a3＝38a3.【点睛】本题考查线面平行性质定理、锥体体积公式以及面面垂直性质定理，考查基本分析论证求解能力，属中档题.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率.【答案】（1）该校学生获得成绩等级为B的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有1480044825⨯=；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）12P=.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为B的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为12.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，故可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为5614 10025=，则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点2P ，动直线l ：y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值. 试题解析：（1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220kxkmx m +++-=，由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210kx xkm x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m kmkkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，212()x x x <，证明122x x a +>. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >，则当()0,x a ∈时，数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，f 函数()f x 单调递增；②若0a =，函数()f x 单调递增；③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增.(2)原问题即证明122x x a +>，构造新函数()()22a g x f x x a x='=-+-，结合新函数的性质和题意，即可证得结论.【详解】（1）由()22ln f x a x x ax =-+-，可知()2'2a f x x a x =-+-= ()()2222x a x a x ax a x x+---=. 因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以，①若0a >，则当()0,x a ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增； ②若0a =，则当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增.综上：当0a >时，()f x 递减区间是()0,a ，递增区间是(),a +∞，当0a =时，()f x 递增区间是在()0,∞+，当0a <时，()f x 递减区间是0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.（2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()22a g x f x x a x ='=-+-，因为()2220a g x x+'=>，所以()()g x f x '=为单调递增函数. 所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫>='⎪⎭'⎝，即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++ ()12210x x a a+->.（*）又22111ln a x x ax m -+-=，22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+- ()12210x x a a+-=. 把()1221x x a a +-= 1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+. 令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<），则()()()()222141011t t t t t tϕ'-=-+=>++，所以()t ϕ在其定义域上为增函数，所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .【答案】（1）a 的取值范围为[1,5]；（2）3AB ==. 【解析】【分析】(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=，()22 24x y +-=；a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得3AB =. 【详解】（1）曲线1C ：3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t ，可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ得24sin ρρθ=，可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5. （2）当3a =时，曲线1C ：()()22329x y -+-=，① 曲线2C ：()2224x y +-=，②①-②得两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以4822493AB =-=. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b ∈R ，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 【答案】（1）解集为[1,1]-；（2）见解析见解析. 【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题- 21 - 中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤>所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =.所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()2222412118527117a b a b ⎡⎤++⎢⎥+⋅=⎢⎥++⎣⎦.当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立，即216a =，243b =时，有最小值，所以221418117a b +≥++得证.。

2020年山东省新高考预测(5月份)数学试卷 (解析版)

2020年山东省新高考预测数学试卷（5月份）一、选择题（共8小题）.1．设复数z＝（2+i）（3﹣2i），则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（4，1）B．（8，1）C．（4，﹣1）D．（8，﹣1）2．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x≥2} 3．“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）＝2sin|x|在[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C．D．5．在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→•（AC→+AE→）＝（）A．8B．12C．16D．206．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“﹣”表示一根阳线，“═”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A．514B．314C．328D．5287．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（p4，a）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A．12B．10C．9D．4.58．三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．2B．3C．2√3D．3√3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分.9．已知等比数列{a n}的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则q 的值可能为（）A．12B．1C．2D．310．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行，B﹣自行乘车，C﹣家人接送，D﹣其他方式．并将收集的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A．扇形统计图中D的占比最小B．条形统计图中A和C一样高C．无法计算扇形统计图中A的占比D．估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送11．若将函数f（x）＝cos（2x+π12）的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）在区间[0，π2]上单调递减C．x=π12不是函数g（x）图象的对称轴D．g（x）在[−π6，π6]上的最小值为−1212．已知f（x）=2m(x 2+1)e x −1，g（x）＝（m+2）（x2+1）2．若φ（x）＝e x•f（x）−g(x)e x有唯一的零点，则m的值可能为（）A．2B．3C．﹣3D．﹣4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f（x）={x2，x＜02x−2，x≥0，则f（f（﹣2））＝．14．已知a+2b＝1（a＞0，b＞0），则2ba+1b的最小值等于．15．已知（2﹣x2）（1+ax）3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a＝，展开式中含x2的项的系数是．16．已知圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8，点T（﹣2，4），从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且k1•k2＝﹣1，则|TM|的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若____，求数列{b n}的前n项和S n．在①b n=4a n a n+1，②b n＝（﹣1）n•a n，③b n＝2a n•a n这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=（cos C，2b−√3c），n→=（cos A，√3a），m→∥n→．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3√32，且b2﹣a2=12c2，求b的值．19．如图①，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB=√2，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDP，其中M为AD的中点．（1）试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；（2）求二面角M﹣PC﹣A的余弦值．20．某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y（单位：百万）的相关数据，如表：年份201420152016201720182019年份代号t123456年利润y/百万358111314（1）根据表中数据，以年份代号t为横坐标，年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；（2）利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程（保留2位小数）；（3）用y i表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t对应的年利润的估计值，y i为与年份代号t对应的年利润数据，当y i﹣y i＜0时，将年利润数据y i称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X为“超预期数据”的个数，求X的分布列与数学期望．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．21．已知椭圆Γ：x2a +y2b=1(a＞b＞0)经过点M（﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N（1，0）的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t=MA→⋅MB→，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1+t2的值．22．已知函数f（x）＝e x+a﹣lnx（其中e＝2.71828…，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＝0时，求函数a＝0的图象在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当a＞1−1e时，f（x）＞e+1．参考答案一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z＝（2+i）（3﹣2i），则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（4，1）B．（8，1）C．（4，﹣1）D．（8，﹣1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝（2+i）（3﹣2i）＝8﹣i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（8，﹣1），故选：D．2．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x≥2}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}；∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：C．3．“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若两条直线不是相交直线，则当直线l与平面α内的两条直线都垂直时，直线l与平面α垂直不成立，即充分性不成立，若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的任何直线，则直线l与平面α内的两条直线都垂直成立，即必要性成立，则“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件，故选：B．4．函数f（x）＝2sin|x|在[﹣π，π]上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：∵f （﹣x ）＝f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故排除B ，D ． ∵f （π2）＝2＞1，∴排除C ．故选：A ．5．在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB →•（AC →+AE →）＝（）A ．8B ．12C ．16D ．20【分析】通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可．解：建立坐标系如图：则A （0，0），B （4，0），D （0，2），C （2，2），E （3，1）；所以AC →+AE →=（5，3），AB →=（4，0），则AB →•（AC →+AE →）＝20．故选：D ．6．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“﹣”表示一根阳线，“═”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A．514B．314C．328D．528【分析】从八卦中任取两卦，基本事件总数n=C82=28，利用列举法求出这两卦的六根线中恰有4根阴线包含的基本事件有6种，再由古典概型概率公式求解．解：从八卦中任取两卦，基本事件总数n=C82=28，这两卦的六根线中恰有四根阴线包含的基本事件有6种，分别为：（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震、坎），（坎，艮）．∴这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为P=628=314．故选：B．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（p4，a）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB |的值是（） A ．12B ．10C ．9D ．4.5【分析】由抛物线的定义，解得p ，然后求解抛物线方程，A （1，a ）（a ＞0）在C 上，求出a ，求出直线AF 的方程，联立抛物线方程由韦达定理，求出AB ．解：由抛物线的定义，得，|AF |=p4+p2=3，解得p ＝4，所以C 的方程为y 2＝8x ．得A （1，a ），因为A （1，a ）（a ＞0）在C 上，所以a 2＝8，解得a ＝2√2故直线AF 的方程为y ＝﹣2√2（x ﹣2），由{y =−2√2(x −2)y 2=8x 消去y ，得x 2﹣5x +4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，由抛物线的定义，得故|AB |＝x 1+x 2+p ＝4+1+4＝9，故选：C ．8．三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上．若△PAC 是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（） A ．2B ．3C ．2√3D ．3√3【分析】根据三角形的形状判断球心O 的位置，得出B 到平面APC 的最大距离，再计算体积．解：设AC 的中点为D ，连接PD ，则PD ⊥AC ， ∵平面PAC ⊥平面ABC ， ∴PD ⊥平面ABC ，∵AB ⊥BC ，∴AC 为平面ABC 所在截面圆的直径， ∴球心O 在直线PD 上，又△PAC 是等边三角形，∴△PAC 的中心为棱锥外接球的球心，即OP ＝2， ∴OD ＝1，AC ＝2√3，∴B 到平面APC 的距离的最大值为12AC =√3，∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值为V=13×12×2√3×3×√3=3．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分.9．已知等比数列{a n}的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则q 的值可能为（）A．12B．1C．2D．3【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．解：因为a2，a3+1，a4成等差数列，所以a2+a4＝2（a3+1），因此，a1+a2+a3+a4＝a1+3a3+2＝a1+14，故a3＝4．又{a n}是公比为q的等比数列，所以由a2+a4＝2（a3+1），得a3（q+1q）＝2（a3+1），即q+1q=52，解得q＝2或1 2．故选：AC．10．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行，B﹣自行乘车，C﹣家人接送，D﹣其他方式．并将收集的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．扇形统计图中D 的占比最小B ．条形统计图中A 和C 一样高 C ．无法计算扇形统计图中A 的占比D ．估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送【分析】利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解．解：由条形统计图知，B ﹣自行乘车上学的有42人，C ﹣家人接送上学的有30人，D ﹣其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A ﹣结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A ﹣结伴步行上学与B ﹣自行乘车上学的学生占60%，所以x+42x+90=60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确．D 的占比最小，A 正确．故选：ABD ．11．若将函数f （x ）＝cos （2x +π12）的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列说法正确的是（） A ．g （x ）的最小正周期为πB ．g （x ）在区间[0，π2]上单调递减C ．x =π12不是函数g （x ）图象的对称轴 D ．g （x ）在[−π6，π6]上的最小值为−12【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵将函数f （x ）＝cos （2x +π12）的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g （x ）＝cos （2x +π4+π12）＝cos （2x +π3）的图象，故g （x ）的最小正周期为2π2=π，故A 正确；在区间[0，π2]上，2x +π3∈[π3，4π3]，函数g （x ）没有单调性，故B 错误；当x =π12时，g （x ）＝0，故x =π12不是函数g （x ）图象的对称轴，故C 正确；在[−π6，π6]上，2x +π3∈[0，2π3]，函数g （x ）的最小值为g （π6）=−12，故D 正确，故选：ACD ．12．已知f （x ）=2m(x 2+1)ex−1，g （x ）＝（m +2）（x 2+1）2．若φ（x ）＝e x •f （x ）−g(x)ex 有唯一的零点，则m 的值可能为（） A ．2B ．3C ．﹣3D ．﹣4【分析】通过φ（x ）＝e x•f （x ）−g(x)e x 只有一个零点，化为（m +2）(x 2+1e x )2−2m •x 2+1e+1＝0只有一个实数根．令t =x 2+1e x ，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当m ＝2时，②当m ＝3时，③当m ＝﹣3时，④当m ＝﹣4时，验证函数的零点个数，推出结果即可．解：f （x ）=2m(x 2+1)ex −1，g （x ）＝（m +2）（x 2+1）2．∵φ（x ）＝e x •f （x ）−g(x)ex 只有一个零点，∴2m （x 2+1）﹣e x −(m+2)(x 2+1)2e x =0只有一个实数根，即（m +2）(x 2+1e x )2−2m •x 2+1e x +1＝0只有一个实数根．令t =x 2+1e x ，则t ′=(x 2+1)′e x−(x 2+1)e x (e x )2=−(x−1)2e x ≤0， ∴函数t =x 2+1e x 在R 上单调递减，且x →+∞时，t →0，∴函数t =x 2+1ex 的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程（m +2）t 2﹣2mt +1＝0（*）有且只有一个正实根． ①当m ＝2时，方程（*）为4t 2﹣4t +1＝0，解得t =12，符合题意；②当m ＝3时，方程（*）为5t 2﹣6t +1＝0，解得t =15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝﹣3时，方程（*）为t 2﹣6t ﹣1＝0，得t ＝3±√10，只有3+√10＞0，符合题意．④当m ＝﹣4时，方程（*）为2t 2﹣8t ﹣1＝0，得t =4±3√22，只有4+3√22＞0，符合题意．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知f （x ）={x 2，x ＜02x−2，x ≥0，则f （f （﹣2））＝ 14 ．【分析】由已知f （x ）={x 2，x ＜02x −2，x ≥0，将x ＝﹣2代入可得答案．解：∵f （x ）={x 2，x ＜02x−2，x ≥0，∴f （﹣2）＝4，∴f （f （﹣2））＝f （4）＝14，故答案为：14．14．已知a +2b ＝1（a ＞0，b ＞0），则2b a+1b 的最小值等于 2√2+2 ．【分析】由a +2b ＝1（a ＞0，b ＞0），代入2b a+1b变形，利用基本不等式的性质即可得出．解：由题意得2b a+1b=2b a+a+2b b=2b a+a b+2≥2√2b a ⋅a b+2＝2√2+2，当且仅当a =√2b =√2−1，即a =√2−1，b ＝1−√22时，等号成立，所以2b a+1b的最小值为2√2+2．故答案为：2√2+2．15．已知（2﹣x 2）（1+ax ）3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝ 2 ，展开式中含x 2的项的系数是 23 ．【分析】取x ＝1，结合展开式的所有项系数之和为27求得a 值，然后展开两数和的立方公式，可得展开式中含x 2的项的系数．解：由已知可得，（2﹣12）（1+a ）3＝27，则a ＝2．∴（2﹣x 2）（1+ax ）3＝（2﹣x 2）（1+2x ）3＝（2﹣x 2）（1+6x +12x 2+8x 3）． ∴展开式中含x 2的项的系数是2×12﹣1＝23．故答案为：2；23．16．已知圆M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2＝8，点T （﹣2，4），从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2＝﹣1，则|TM |的取值范围为 [2√5−4，2√5+4] ．【分析】由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，写出圆心到直线的距离，可得k 1，k 2是方程k 2（8−x 02）+2kx 0y 0+8−y 02=0的两个不相等的实数根，结合已知及根与系数的关系得到x 02+y 02=16．再由|TO |=√4+16=2√5，可得|TO |﹣4≤|TM |≤|TO |+4，则答案可求．解：由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，∵OP ，OQ 与圆M 相切，∴100√1+k 12=2√2，200√1+k 22=2√2，分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 12(8−x 02)+2k 1x 0y 0+8−y 02=0， k 22(8−x 02)+2kx 0y 0+8−y 02=0．∴k 1，k 2是方程k 2（8−x 02）+2kx 0y 0+8−y 02=0的两个不相等的实数根，∴k 1k 2=8−y 028−x 02，又k 1•k 2＝﹣1，∴8−y 028−x 02=−1，即x 02+y 02=16．又|TO |=√4+16=2√5，∴|TO |﹣4≤|TM |≤|TO |+4， ∴2√5−4≤|TM |≤2√5+4．故答案为：[2√5−4，2√5+4]四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若____，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n =4a n a n+1，②b n ＝（﹣1）n •a n ，③b n ＝2a n•a n 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n }的公差为d ，然后根据已知条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可得到等差数列{a n }的通项公式；第（2）题对于方案一：选条件①，先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法可计算出前n 项和S n ；对于方案二：选条件②，先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后分n 为偶数和奇数两种情况分别求和，并运用分组求和法和等差数列的求和公式进行计算，即可计算出前n 项和S n ；对于方案三：选条件③，先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后根据通项公式的特点运用错位相减法可计算出前n 项和S n ．解：（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 {a 1+5d =12a 1+17d =36，解得{a 1=2d =2， ∴a n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ，n ∈N*．（2）方案一：选条件①由（1）知，b n =4a n an+1=42n⋅2(n+1)=1n(n+1)， S n ＝b 1+b 2+…+b n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1) ＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1 ＝1−1n+1 =n n+1．方案二：选条件②由（1）知，b n ＝（﹣1）n •a n ＝（﹣1）n •2n ， ∴S n ＝b 1+b 2+…+b n ＝﹣2+4﹣6+8﹣…+（﹣1）n •2n ，（i ）当n 为偶数时， S n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣2+4﹣6+8﹣…+（﹣1）n •2n ，＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+[﹣2（n ﹣1）+2n ] ＝2+2+…+2 =n2×2 ＝n ，（ii ）当n 为奇数时，n ﹣1为偶数， S n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣2+4﹣6+8﹣…+（﹣1）n •2n ，＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+[﹣2（n ﹣2）+2（n ﹣1）]﹣2n ＝2+2+…+2﹣2n =n−12×2﹣2n ＝﹣n ﹣1， ∴S n ={n ，n 为偶数，−n −1，n 为奇数.；方案三：选条件③ 由（1）知，b n ＝2a n•a n ＝22n •2n ＝2n •4n ，∴S n ＝b 1+b 2+…+b n ＝2×41+4×42+6×43+…+2n ×4n ， 4S n ＝2×42+4×43+…+2（n ﹣1）×4n +2n ×4n +1，两式相减，可得﹣3S n ＝2×41+2×42+2×43+…+2×4n ﹣2n ×4n +1 ＝8×（1+41+42+…+4n ﹣1）﹣2n ×4n +1 ＝8×1−4n1−4−2n ×4n +1=2(1−3n)3•4n +1−83．∴S n =2(3n−1)9•4n +1+89．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m →=（cos C ，2b −√3c ），n →=（cos A ，√3a ），m →∥n →．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为3√32，且b 2﹣a 2=12c 2，求b 的值．【分析】（1）法一：由已知结合向量平行的坐标表示及正弦定理，和差角公式进行化简可求cos A 进而可求A ；法二：由已知结合向量平行的坐标表示进行转化后，利用余弦定理可求cos A ，进而可求A ；（2）由已知结合（1）中a ，b ，c 的关系可得c =23b ，然后代入三角形的面积公式S △ABC =12bc sin A 即可求解．解：（1）法一因为m →∥n →．所以√3a cos C ＝（2b −√3c ）cos A ，由正弦定理得√3sin A cos C ＝2sin B cos A −√3cos A sin C ，得√3sin （A +C ）＝2sin B cos A ，所以√3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B ＞0，所以cos A =√32，又A ∈（0，π），所以A =π6．法二因为m →∥n →．所以√3a cos C ＝（2b −√3c ）cos A ，易知cos C =a 2+b 2−c 22ab ，cos A =b 2+c 2−a 22bc ，代入上式得，√3a ×a 2+b 2−c 22ab=（2b −√3c ）×b 2+c 2−a 22bc，整理得，√3bc ＝b 2+c 2﹣a 2，所以cos A =√32，又A ∈（0，π），所以A =π6．（2）由（1）得√3bc ＝b 2+c 2﹣a 2，又b 2﹣a 2=12c 2，所以c =2√3b ，又S △ABC =12bc sin A =12b 2√3b ×12=3√32，得b 2＝9，所以b ＝3．19．如图①，在等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =√2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，将△ABP 沿BP 折起，使平面ABP ⊥平面PBCD ，得到如图②所示的四棱锥A ﹣BCDP ，其中M 为AD 的中点．（1）试分别在PB ，CD 上确定点E ，F ，使平面MEF ∥平面ABC ；（2）求二面角M ﹣PC ﹣A 的余弦值．【分析】（1）当E ，F 分别为BP ，CD 的中点时，连接ME ，MF ，EF ，则MF ∥AC ．BC ∥EF ．从而MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，由此能证明平面MEF ∥平面ABC ．（2）以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣PC ﹣A 的余弦值．解：（1）E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下：连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC ．又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF ． ∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC ．（2）由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB =√2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ， ∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2，∴M （0，1，12），P （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），PC →=（1，1，0），PM →=（0，1，12）．设平面MPC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PC →=0n →⋅PM →=0，即{x +y =0，y +12z =0，令z ＝﹣2，则y ＝1，x ＝﹣1， ∴n →=（﹣1，1，﹣2）为平面MPC 的一个法向量．同理可得平面PAC 的一个法向量为m →=（﹣1，1，0）．设二面角M ﹣PC ﹣A 的平面角为θ，由图可知θ∈（0，π2），则cos θ=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=26×2=√33．∴二面角M﹣PC﹣A的余弦值为√3 3．20．某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y（单位：百万）的相关数据，如表：年份201420152016201720182019年份代号t123456年利润y/百万358111314（1）根据表中数据，以年份代号t为横坐标，年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；（2）利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程（保留2位小数）；（3）用y i表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t对应的年利润的估计值，y i为与年份代号t对应的年利润数据，当y i﹣y i＜0时，将年利润数据y i称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X为“超预期数据”的个数，求X的分布列与数学期望．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据表中数据，描点可得散点图．（2）由已知数据得样本中心的坐标，求出回归直线方程的斜率与截距，即可得到回归直线方程．（3）由（2）可知，当t＝1时，y1̂=3.15；当t＝2时，y2̂=5.49；当t＝3时，y3̂=7.83；当t＝4时，y4̂=10.17；当t＝5时，y5̂=12.51；当t＝6时，y6̂=14.85．推出X的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）根据表中数据，描点如图：（2）由已知数据得t=1+2+3+4+5+66=3.5，y=3+5+8+11+13+146=9，∑6i=1t i y i=3+10+24+44+65+84＝230，∑6i=1t i2=1+4+9+16+25+36＝91，b=∑6i=1i i−6ty∑i=1i22=230−6×3.5×991−6×3.52≈2.34，a=y−b⋅t=9﹣2.34×3.5＝0.81，所以y关于t的线性回归方程为y=2.34t+0.81．（3）由（2）可知，当t＝1时，y1̂=3.15；当t＝2时，y2̂=5.49；当t＝3时，y3̂=7.83；当t＝4时，y4̂=10.17；当t＝5时，y5̂=12.51；当t＝6时，y6̂=14.85．与年利润数据y i对比可知，满足y î−y i＜0的数据有3个，所以X的所有可能取值为0，1，2，则P （X ＝0）=C 32C 62=15，P （X ＝1）=C 31⋅C 31C 62=35，P （X ＝2）=C 32C 62=15，X 的分布列为： X0 1 2 P 15 35 15数学期望E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1． 21．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值．【分析】（Ⅰ）列方程组求解出a 2，b 2即可；（Ⅱ）对k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t 的恒成立方程进行求解．解：（Ⅰ）由题意可知，{a 2−b 2=3，4a 2+1b 2=1，解之得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆Γ的标准方程为x 26+y 23=1．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x 26+y 23=1，y =k(x −1)，得x 2+2k 2（x ﹣1）2＝6，即（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣6＝0，因为（1，0）在椭圆内部，△＞0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−61+2k 2，则t =MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+(y 1−1)（y 2﹣1）＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+（kx 1﹣k ﹣1）（kx 1﹣k ﹣1）=(1+k 2)x 1x 2+(2−k 2−k)(x 1+x 2)+k 2+2k +5=(1+k 2)⋅2k 2−62k 2+1+(2−k 2−k)⋅4k 22k 2+1+k 2+2k +5， =15k 2+2k−12k 2+1，所以（15﹣2t ）k 2+2k ﹣1﹣t ＝0．k ∈一、选择题，则△＝22+4（15﹣2t ）（1+t ）≥0，∴（2t ﹣15）（t +1）﹣1≤0，即2t 2﹣13t ﹣16≤0，又t 1，t 2是2t 2﹣13t ﹣16＝0的两根，∴t 1+t 2=132，当直线AB 斜率不存在时，联立{x 26+y 23=1，x =1，得y ＝±√102，不妨设A(1，√102)，B(1，−√102)， MA →=(3，√102−1)，MB →=(3，−√102−1)，MA →⋅MB →=9−104+1=152，可知t 1＜152＜t 2．综上所述，t 1+t 2=132． 22．已知函数f （x ）＝e x +a ﹣lnx （其中e ＝2.71828…，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a ＝0时，求函数a ＝0的图象在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当a ＞1−1e时，f （x ）＞e +1．【分析】（Ⅰ）把a ＝0代入函数解析式，求出函数导函数，再分别求出f （1）与f ′（1），代入直线方程点斜式可得函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，令g （x ）＝f ′（x ），可得g ′（x ）＞0，得到g （x ）是增函数，进一步说明f ′（x ）＝0仅有一解，记为x 0，则当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；当x ＞x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；从而求出f （x ）的最小值，由f ′（x 0）＝0可得a 与x 0的关系，进一步构造函数h （x ）＝lnx +x ，可得则f(x 0)=1x 0−lnx 0=h(1x 0)，由a ＞1−1e，得h （x 0）＜h （1e ），再由h （x ）的单调性证得结论．【解答】（Ⅰ）解：∵a ＝0时，∴f(x)=e x −lnx ，f′(x)=e x −1x(x ＞0)， ∴f （1）＝e ，f ′（1）＝e ﹣1，∴函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线方程：y ﹣e ＝（e ﹣1）（x ﹣1），即（e ﹣1）x ﹣y +1＝0；（Ⅱ）证明：∵f′(x)=e x+a −1x(x ＞0)，设g （x ）＝f ′（x ），则g′(x)=e x+a +1x 2＞0， ∴g （x ）是增函数，∵e x +a ＞e a ，∴由e a ＞1x⇒x ＞e −a ， ∴当x ＞e ﹣a 时，f ′（x ）＞0；若0＜x ＜1⇒e x +a ＜e a +1，由e a+1＜1x⇒x ＜e −a−1， ∴当0＜x ＜min {1，e ﹣a ﹣1}时，f ′（x ）＜0，故f ′（x ）＝0仅有一解，记为x 0，则当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；当x ＞x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； ∴f(x)min =f(x 0)=e x 0+a −lnx 0，而f′(x 0)=e x 0+a −1x 0=0⇒e x 0+a =1x 0⇒a =−lnx 0−x 0，记h （x ）＝lnx +x ，则f(x 0)=1x 0−lnx 0=h(1x 0)， a ＞1−1e ⇔﹣a ＜1e −1⇔h （x 0）＜h （1e ），而h （x ）显然是增函数，∴0＜x 0＜1e ⇔1x 0＞e ，∴h(1x 0)＞h(e)=e +1．综上，当a ＞1−1e时，f （x ）＞e +1．。

2020届高三5月数学文科试卷

2020届黑龙江省高三5月联考数学(文)试题(解析版)

2020届黑龙江省高三5月联考数学（文）试题一、单选题1．若集合{|34},{|0}A x x B y y =-<<=>，则A B =I （） A ．∅ B ．[0,4)C ．(0,4)D ．(3,0)-【答案】C【解析】由集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】因为(0,)B =+∞，所以(0,4)A B =∩. 故选：C. 【点睛】本题考查交集运算，属基础题. 2．设22(3)z i =+-，则z =（） A ．610i + B ．610i -C ．106i +D ．106i -【答案】C【解析】利用复数的乘法运算求出106z i =-，再求共轭复数【详解】因为286106z i i =+-=-，所以106z i =+. 故选：C. 【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R Î＋，的形式，再根据题意求解．3．已知P 为椭圆22132x y +=短轴的一个端点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，则12PF F △的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【解析】P 为短轴的一个端点，12PF F △中12F F 上的高为b =12=22F F c =，求出面积. 【详解】依题意可得222,321b c ==-=，则1b c ==，所以12PF F △的面积为122c b bc ⨯⨯==故选：A. 【点睛】椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．4．2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（） A ．6天 B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【解析】利用加权平均数公式计算平均值. 【详解】因为2234586107169161010124770x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈，所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 故选：B. 【点睛】本题考查样本的数字特征平均数.如果有n 个数据12n x x x ，，，⋯，那么这n 个数的平均数12nx x x x n++⋯+=5．若函数2()3log (2)f x x x =+-，则10(5)()3f f +=（） A ．24 B ．25C ．26D ．27【解析】把自变量代入解析式求值即可. 【详解】因为22104(5)15log 3,10log 33f f ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，所以210(5)25log 4272f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查求函数值. 把自变量代入解析式求值.若是分段函数求值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．6．设等比数列{}n a 的前6项和为6，且公比2q =，则1a =（） A ．221B ．17C ．421D ．521【答案】A【解析】根据题意，列出基本量的方程，即可求得结果. 【详解】由题意可得()61611263612a S a -===-，即1221a =. 故选：A . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属基础题.7．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r（）A ．45AB AD -+u u ur u u u rB ．45AB AD -u u ur u u u rC ．45AB AD -+u u u r u u u rD ．34AB AD -+u u ur u u u r【答案】A【解析】由4,CE ED u u u r u u u r=得45CE CD u u u r u u u r =，在BEC △中，利用向量加法可得.【详解】44,,5CE ED CE CD u u u r u u u r u u u r u u u r Q =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ∴=+=+=-+【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．8．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACD C ．平面ABD ⊥平面ACD D ．平面BCD ⊥平面ABD【答案】B【解析】根据题意，先证BC ⊥平面ACD ，即可由线面垂直推证面面垂直. 【详解】因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC ⊥，又AD ⊥圆柱的底面，所以AD BC ⊥，因为AC AD A =I ，所以BC ⊥平面ACD .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACD . 故选：B . 【点睛】本题考查由线线垂直推证面面垂直，属基础题. 9．若函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[0,]m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为（） A ．24,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3π⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用换元法，即可由函数单调性求得参数范围. 【详解】因为[0,]x m ∈，所以2,2333x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. πππ⎡⎤又()21f t cost =-在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]0,π单调递减，且03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故要满足题意，只需233m ππ->，解得3m π>.故选：D . 【点睛】本题考查由函数的最值求参数范围，涉及余弦函数的单调性，属基础题.10．已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（） A ．36y x =-+ B ．612y x =-+C ．36y x =-D ．612y x =-【答案】B【解析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】设函数()(1)(3)(4)(5)g x x x x x =----，则()(2)()(2)()()(2)()f x x g x x g x g x x g x ''''=-+-=+-，所以(2)(2)6f g '==-，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为612y x =-+. 故选：B . 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π【答案】B【解析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -，其中AB ⊥平面,2,4PAC PA PC AC AB ====.设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径23r =，则2221623R r =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．12．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩…若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=恰有3个不同的实根，则m 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．(2,5){1}⋃【答案】B【解析】求解二次方程，即可求得()f x 的结果，根据()f x 的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由22()(21)()[2()1][()]0f x m f x m f x f x m -++=--=，得1()2f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程1()2f x =有1个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃. 故选：B . 【点睛】本题考查方程和函数之间的相互转化，涉及指数函数的图像，属综合中档题.二、填空题13．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本、泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为___________. 【答案】37【解析】找出7个国家中的亚洲国家，由古典概型的概率计算公式，即可求得结果. 【详解】这7个国家中是亚洲国家的有日本、泰国、韩国，故所求概率为37. 故答案为：37. 【点睛】本题考查简单古典概型问题的求解，属基础题.14．设,x y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪-≤⎩……则当2z x y =+取得最大值时，y =_______. 【答案】4【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】由101100x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,0),A ∴-同理(3,4),B (3,4),C - 2C z ∴=，10B z =，2A z =- 10B z ∴=取最大值．此时4y =故答案为：4．【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 的坐标为(0,2)b ，若直线AF 的倾斜角为45°，则C 的离心率为_________. 23 【解析】根据,A F 两点坐标求得斜率，根据齐次式即可求得离心率. 【详解】依题意得21AF bk c==，所以()22222,44c b c b c a===-，即2234c a =，所以23c e a ==. 23. 【点睛】三、双空题16．定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1,(93)2,(1714)3p p p ===.在等差数列{}n a 中，2109,25a a ==，则n a =___________，数列(){}n p a 的前100项和为__________.【答案】25n + 227【解析】用())*(n m a a n m d n m N Î＝＋－，求公差，得到通项公式；利用25n a n =+为奇数，分类求出()1n p a =，()2n p a =，()3n p a =的个数，在相加可得. 【详解】因为2109,25a a ==，所以公差2592102d -==-，所以92(2)25n a n n =+-=+.因为11007,205a a ==，且n a 为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111n a =时，()1n p a =；当101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199n a =时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为182(4017)3(10084017)227⨯+⨯++⨯---=.故答案为：25n + ；227 ．【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)n a a n d =+-和前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+，在两个公式中共涉及五个量：1n n a d n a S ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．四、解答题17．设,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.已知cos cos a B b A c =+. （1）证明：ABC V 是直角三角形.（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD △的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）9【解析】(1)用正弦定理化简cos cos a B b A c =+可得. （2）用余弦定理求出 ,利用已知数据和利用三角形面积公式. 【详解】（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+. 又sin sin()C A B =+，所以2sin cos 0B A =.因为sin 0B >，所以cos 0A =，则2A π=，故ABC V 是直角三角形.（2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯，所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=. 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=.因为1cos 15BDA ∠=，所以sin 15BDA ∠=故ABD △的面积为1sin 2AD BD BDA ⨯∠=. 【点睛】本题考查三角形正弦定理、余弦定理和面积公式. 判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C p ++＝这个结论．18．如图，EA ⊥平面,,4,3,,ABC AB BC AB BC BD AC AD CD ⊥=====（1）证明：BD //平面ACE .（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱锥E ABC -的侧面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）935+【解析】（1）先证BD ⊥平面ABC ，结合EA ⊥平面ABC ，即可求得；（2）根据几何体的体积求得EA ，再求侧面积即可. 【详解】（1）证明：因为,BC BD AC AD ==，所以ABC ABD △≌△. 因为AB BC ⊥，所以AB BD ⊥. 因为222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. 又AB BC B ⋂=，所以BD ⊥平面ABC . 因为EA ⊥平面ABC ，所以EA //BD .因为BD ⊄平面,ACE AE ⊂平面ACE ，所以BD //平面ACE .（2）因为ABC V 的面积13462S =⨯⨯=，所以几何体EABCD 的积1()2(3)103V S EA BD EA =+=+=，所以2EA =.因为EA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则BC EA ⊥，又因为BC AB ⊥，又,EA AB ⊂平面ABE ，故BC ⊥平面ABE ，则BC BE ⊥，所以BCE V 的面积为221324352⨯+= 所以三棱锥E ABC -的侧面积为2211352423493522⨯⨯+⨯+=+【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥体积的求解，属综合基础题.19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元（ⅱ）每天应该批发两大箱【解析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为1000650350-=元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于2450070 350=，∴所求频率为630.3 30+=.（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为60255066000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(12050)5506600018650⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(12070)5506600028750⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件时，当日利润为9010000.9(12090)5506600038850⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量量为110件时，当日利润为11010000.9(120110)5506600048950⨯+⨯-⨯-=元；所以这30天这款零件的总利润为186505287501538850848950293.32⨯+⨯+⨯+⨯=万元.（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为45260054000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(9050)6005400017600⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(9070)6005400026800⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为9010005400036000⨯-=元. 所以这30天这款零件的总利润为1760052680015360001085⨯+⨯+⨯=万元，∵93.32万元85>万元， ∴每天应该批发两大箱. 【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题. 20．已知函数3()x f x x e =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性；（2）分离参数，构造函数()xg x xe =，利用导数求其最值，则问题得解.【详解】（1）232()3e e e (3)x x xf x x x x x '=+=+，令()0f x '≥，得3x ≥-，则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞；令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.（2）当0x =时，不等式2()f x mx …即0x …，显然成立. 当0x ≠时，不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，等价于x m xe „对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)xxg x xe x g x x e '=≠=+，令()0g x '<，得1x <-；令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e=-=-. 所以1m e -„，即m 的取值范围为1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题. 21．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点. （1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若(,)2pP p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行.【答案】（1）（2）33(,)(,)222p p p-⋃+∞，证明见解析【解析】（1）设直线l 的方程为()(0)2py k x k =-≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ，利用||3MN p =转化求k 即可.（2）直线l 的方程为,y x m =-+与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得y 轴上的截距的取值范围；要证明MPN ∠的平分线与y 轴平行，则只需要直线,PM PN 的斜率互补，即证明0PM PN k k +=. 【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2px =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±，所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭. 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p px x k ++=，所以2121222||||||322p p k p pMN MF NF x x x x p p p k+=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为.（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+. 由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=，则2121222,x x m p x x m +=+=.由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-.又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p p p-⋃+∞.()()1221121212()()22()()2222PM PN p p y p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- ()()111222()()22()()22p px m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 2121221122()()()2()(22)()220()()()()2222p px x m x x p m p m m m p p m p p p p p x x x x -+-+---+-+--===----，所以直线,PM PN 的斜率互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. 【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞ 【解析】（1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x …时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围. 【详解】解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x …时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞. 【点睛】本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．已知函数()|25||21|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩„或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩…即12x -„或1324x -<<所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…，所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++„，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞. 【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。

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2020年高考数学5月份预测考试试题文
本试题卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A＝{x|－1<x<3，x∈N*}的非空子集个数为
A.3
B.4
C.7
D.8
2.已知命题p：复数z＝2－i的虚部是－i；命题q：ax2＋ax＋1>0恒成立，则a∈(0，4)。

下列命题为真命题的是
A.p∧q
B.p∨q
C.⌝p∧q
D.⌝p∧⌝q
3.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P(3
5
，
4
5
-)。

则sinβ＝
A.－3
5
B.
3
5
C.
4
5
- D.
4
5
4.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为
A.49
B.89
C.37
D.67
5.函数f(x)＝2sin x x 的大致图象为
6.从1，2，3，4，5这五个数中随机选取两个，则和为奇数的概率为
A.25
B.12
C. 35
D.710
7.函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<
2π)与直线y ＝1的两个相邻交点之间的距离为2π，且将f(x)的图象向左平移
6
π之后得到的图象关于原点对称。

则关于函数f(x)，下列说法正确的是 A.最小正周期为π B.渐近线方程为x ＝
2π＋2k π(k ∈Z)
C.对称中心为(－12π＋2k π，0)(k ∈Z)
D.单调递增区间为(－3π＋2k π，6
π＋2k π)(k ∈Z) 8.直线2ax ＋by －2＝0(a>0，b>0)过函数f(x)＝x ＋11x -＋1图象的对称中心，则41a b +的最小值为
A.9
B.4
C.8
D.10
9.在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点P 是以点C 为圆心，2为半径的圆上的动点，设AP AB AD λμ=+，则λ＋μ的最小值为
A.1
B.76
C.2
D.83
10.九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)。

现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法。

显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球。

因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆。

结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。

若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
A.163
B.2π
C.83
D.43
π 11.设F 1，F 2是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线右支上一点，满足∠FPF 2＝60°，且以PF 1，PF 2为邻边的平行四边形的两对角线长度分别为2c ，4b 。

则双曲线的离心率为 352 D.132
+ 12.定义在R 上的连续函数f(x)，导函数为f'(x)。

若对任意不等于－1的实数x ，均有(x ＋
1)[f(x)－f'(x)]>0成立，且f(－1＋x)＝f(－1－x)e 2x
，则下列命题中一定成立的是
A.f(－1)>f(0)
B.ef(－2)<f(－1)
C.e 2f(－2)<f(0)
D.e 2f(－2)>f(0)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若4进制数2m01(4)(m 为正整数)化为十进制数为177，则m ＝。

14.已知命题“存在x ∈R ，使ax 2－x ＋1≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是。

15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2－a 2＝accosC ＋c 2
cosA ，若△ABC
的面积为3，则其周长的最小值为。

16.如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使B
点与C 点的距离为1，则四面体ABCD 的外接球的表面积为。

三解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)
某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查，得到如下列表：(附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++。

(1)是否有99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；
(2)为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54人，36人，18人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率。

18.(12分)
已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝30，a 2，a 4的等差中项为10。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求T n ＝2131
22222n
n n S S S S S S +++⋅⋅⋅+。

19.(12分)
如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若AP ＝AC ＝BC ＝2。

(1)求异面直线AE 与BC 所成的角；
(2)若三棱锥M －AEF 的体积等于
19，求AM BM 。

20.(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q(1，0)，直线l ：x ＝2，若动点P 在直线l 上的射影为R ，且2PR PQ =，设点P 的轨迹为C 。

(1)求C 的轨迹方程；
(2)设直线y ＝x ＋n 与曲线C 相交与A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

21.(12分)
设函数f(x)＝lnx ，g(x)＝1
x n x ++。

(1)当n ＝－1时，若函数y ＝g(x －m)在(1，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围；
(2)若函数y ＝f(x)－g(x)在定义域内不单调，求n 的取值范围；
(3)是否存在实数a ，使得()2((0))2ax a x x f f e f a
⋅+≤对任意正实数x 恒成立?若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2231x t y t =+=-⎧⎨⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ
=+。

(1)写出直线l和曲线C的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l的夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值与最小值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|。

(1)求y＝f(x)的值域；
(2) x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋2b的最小值。

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