超越强化班 常微分方程题解(07.20)

P105--例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足01x y ==的特解为 ．解：222(1)(1)(1)(1)11dy dyy x y x dx x dx y y'=-+⇒=-⇒=-++⎰⎰ 解得 2arctan 2x y x C =-+，由014x y C π==⇒=则方程的特解为2arctan 24x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π=-+P105--例2 微分方程(0y dx xdy +-=(0)x >的通解为 ．解：dy y dxx ==+为齐次方程令yu y xu y u xu xⅱ=??+，而y u ¢=+11ln(ln()dx dx u Cx xx=??=有 2y u x Cx C ++为方程的通解P105--例3 微分方程 x x y y x ln 2=+' 满足()119y =-的解为 ．解：方程即为 2ln y y x x'+=，通解为：22ln dx dx x x y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰221ln x xdx C x =+⎡⎤⎣⎦⎰332111ln 39x x x C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦由()1109y C =-⇒=，所以 11ln 39y x x x =-P105--例4 微分方程31y xy y +='的通解为 ．解：33dxdx xy y yx y dydy=+⇒-=， 通解为2223222232y y y ydyydy e y e dy C Ce y x e y e dy C --⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎦=-⎣-⎰⎰=+=⎰⎰P106--例 5 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x '+⋅=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，求λ与μ．解：因12y y λμ+是非齐次方程的解，故1212()()()()y y P x y y Q x λμλμ'+++= 1122(())(())()y P x y y P x y Q x λμ''⇒+++= ()()()q x q x Q x λμ⇒+=． 即1λμ+=．又因12y y λμ- 是对应齐次方程的解，故1212()()()0y y P x y y λμλμ'-+-= 1122(())(())0y P x y y P x y λμ''⇒+-+= ()()0Q x Q x λμ⇒-=， 即0λμ-=．所以 10λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得 12λμ==P106--例6 设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足120()()()x f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．解：设120()A t f t dt =⎰，则0()()xf x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得()()()xf x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()xf A C A f x Ae =⇒=⇒=又 1122204()()1t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=+⎰⎰，则 24()1xf x e e =+P106--例7 设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且()00f =，x e x g x f 2)()(=+．① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式． 解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x -=,可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为2()2()4(0)0xF x F x e F '⎧+=⎨=⎩． (2) 由通解公式有]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是22()x x F x e e -=-．P107--例1 解方程022=+'+''y y y ．解：022=+'+''y y y 的特征方程为21,22201r r r i ++=⇒=-±则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+P107--例2 解方程(4)250y y y '''''-+=．解：(4)250y y y '''''-+=的特征方程为4321,23,42500,12r r r r r i -+=⇒==±则方程的通解为1234(cos2sin 2)x y C C x e C x C x =+++P108--例1 写出下列方程的特解形式．①2xy y y xe '''++=；解：20y y y '''++=的特征方程为21,22101r r r ++=⇒=-由于1λ=不是特征根，故可设原方程的一个特解为*()xy ax b e =+② x xe y y y -=+'+''2；解：20y y y '''++=的特征方程为21,22101r r r ++=⇒=-由于1λ=-是特征重根，故可设原方程的一个特解为*2()x y x ax b e =+③x x y y +=+''2；解：0y y ''+=的特征方程为21,210r r i +=⇒=±由于0λ=不是特征根，故可设原方程的一个特解为*2y ax bx c =++④x x y y +='+''2；解：0y y '''+=的特征方程为21200,1r r r r +=⇒==-由于0λ=是特征单根，故可设原方程的一个特解为*2()y x ax bx c =++⑤x y y cos 4=+''；解：0y y ''+=的特征方程为21,210r r i +=⇒=±由于i i λω±=±是特征根，故可设原方程的一个特解为*(cos sin )y x A x B x =+⑥21sin y y x x ''+=++．解：0y y ''+=的特征方程为21,210r r i +=⇒=±对21y y x ''+=+，由于0λ=不是特征根，故可其一个特解为*21y ax bx c =++对sin y y x ''+=，由于i i λω±=±是特征根，故可其一个特解为*2(cos sin )y x A x B x =+ 则原方程的一个特解可设为**212(cos sin )y y y ax bx c x A x B x =+=++++P108--例2 方程24xy y e''-=的通解为 ．解：40y y ''-=的特征方程为21,2402r r -=⇒=±，则齐次方程的通解为 2212xx Y C eC e -=+，由于2λ=是特征单根，故可设原方程的一个特解为*2x y xAe =， 将*2x y xAe =代入原方程，解得*21144xA y xe =⇒=， 则原方程的通解为*2221214xx x y Y y C e C e xe -=+=++P108--例3 解方程2sin y a y x ''+=)0(>a 解：220i +=⇒=±ra r a ，而 i iλω±=± ① 若1a≠， 设特解为*cos sin =+y A x B x，代入方程解得 210,1==-A B a ， 所以特解为：*21sin 1=-yx a ，则通解为122cos sin 1sin 1y C ax C ax x a =++- ② 若1a =， 设特解为[]*cos sin =+yx A x B x ，代入方程解得 102,=-=A B ，所以特解为：*1cos 2=-y x则通解为121cos sin cos 2y C x C x x x =+-P108--例4 ①验证函数 +++++=)!3(!6!31)(363n x x x x y n满足方程x e y y y =+'+''；②利用①的结果求级数∑∞=03)!3(n nn x 的和函数．（数二不要求）【解题思路】 要验证函数()y x 满足方程，只需把它代入方程，求幂级数的和只需解此微分方程．解: ① 因为 3693()1,3!6!9!(3)!=++++++ nx x x x y x n25831'()2!5!8!(31)!-=+++++- n x x x x y x n4732(),4!7!(32)!-''=+++++- n x x x y x x n则23'12!3!!''++=+++++= n x x x x y y y x e n ② 二阶常系数微分方程'''++=x y y y e 相应的齐次方程为 '0''++=y y y , 其特征方程为210,++=r r 特征根为1,2122i =±r因此齐次微分方程的通解为1212cos sin 22-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦x Y eC C x 设非齐次方程的特解为*=x y Ae , 代入原方程得1,3=A 于是, 1*.3=x y e原方程的通解为12121cos sin .223-⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭x x y eC C x e 显然()y x 满足初始条件(0)1,'(0)0==y y ，代入得 122,0.3==C C 故幂级数的和函数132021()cos (3)!323n x x n x y x e x e n ∞-===+∑ ().-∞<<+∞xP109--例1利用变量代换cos x t = (0t π<<)化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求满足01x y ==，02x y ='=的特解．解：1sin dy dy dt dy y dxdt dx t dt'==⋅=-，222223111cos sin sin sin sin x t d ydy dy dt d y t dy y dx t dt t dt dx t dtt dt ''''==-=-⋅=⋅-⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入原方程得212120cos sin d y y y C t C t C x C dt+=⇒=+=+由01x y==，02x y ='=，解得122,1C C ==则方程0)1(2=+'-''-y y x y x 的满足01x y==，02x y ='=的特解为2y x =P109--例2设()y y x =在(),-? 内有二阶导数且0y '≠，①试将()x x y =所满足的微分方程()322sin 0d x dx y x dy dy 骣÷ç++?ç÷ç÷桫变换为()y y x =满足的微分方程． ②求变换后的微分方程满足初始条件()00y =，3(0)2y '=的解． 【解题思路】应用关系式1y dx dy'=，求出二阶导数的关系式后代入方程化简并求解方程． 解：1dx dy y =' ， 22311()y x d x dx y dy y y dy y ''''⎛⎫⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭ 代入原方程得121sin sin 2x xy y x y C e C e x -''-=⇒=+-由()00y =，3(0)2y '=，解得121,1C C ==-则方程()322sin 0d x dx y x dy dy 骣÷ç++?ç÷÷ç桫的满足初始条件()00y =，3(0)2y '=的特解为 1sin 2x x y e e x -=--P109--例3设函数)(x f 具有二阶连续导数，而(sin )xz f e y =满足方程22222xz z e z x y抖+=抖， 求)(x f .【解题思路】利用复合函数的微分法将上面的偏微分方程转化为关于()f u 的常微分方程，从而求出函数()f u ．解：由(sin )x z f e y =，设sin x u e y =2222()sin ,()sin ()sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ 2222()cos ,()cos ()sin x x xz z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==-∂∂， 代入到22222x z z e z x y抖+=抖中得：222()()x x x f u e e z e f u ⅱ==， 即有 1212()()()()u u x x f u f u f u C e f x C e C e C e --ⅱ=?+=+ÞP109--例1 设()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰ 其中)(x f 为连续函数，求)(x f ．【解题思路】 先在等式两边对x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数()f x 的微分方程，再求解此微分方程． 解：原方程整理得()sin ()()x xf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边求导()cos ()x f x x f t dt '=-⎰， 再两边求导得 ()sin ()f x x f x ''=--，整理得()()sin ,(0)0,(0)1f x f x x f f '''+=-==（初始条件到原方程中找）解得1()sin cos 22xf x x x =+P110--例1 设1y ，2y ，3y 都是非齐次线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解．1C ，2C 为任意常数，则函数()11221231y C y C y C C y =++--( D ) ．(A)是方程的通解 (B)不是通解(C)是特解 (D)可能是也可能不是通解，但一定不是特解P110--例2 设()12cos sin xy e C x C x =+为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为 ．【解题思路】 本题已知方程的通解，反求微分方程．一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此可得微分方程．解：1,21r i = 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有22(1)1220220y y r y r r ⅱ --+=--+= =Þ为所求二阶常系数齐次线性方程.P110--例3 函数212x x x y C e C e xe -=++满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是 ． 解：121,2r r ==- 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有22(1)(220)00r r r r y y y ⅱ +--+=?-==为所求二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程.设二阶常系数非奇次线性方程为2()y y y f x ⅱ +-=，将*xy xe =代入上式，可得()3xf x e =则函数212x x x y C e C e xe -=++满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是23x y y y e ⅱ +-=P110--例4 已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-为某二阶线性非齐次方程的三个特解，求其通解及该方程．解：132212--⎫-=⎬-=-⇒⎭xx x x y y e y y e e e 均为对应的齐次方程的特解， 所以121,2=-=r r 为特征方程的两个根. ()()212020+-=⇒--=r r r r 则对应的齐次方程为 20'''--=y y y设所求非齐次方程为 2()'''--=y y y f x ，把1y 代入方程可得：()(12)=-x f x x e 所以原方程为 2(12)x y y y x e '''--=-. 其通解为 2212x x x x y C e C e xe e -=+++P111--例1 方程03='+''y y x 的通解为 ．【解题思路】所给方程不显含y ，属于(,)y f x y '''=型可降阶方程．解：330y xy y y x''''''+=⇒=-令,y p y p ''''==，原方程变为 3p p x'=-11333ln 3ln ln C dp dp dx dx p x C p y p x p x x'⇒=-⇒=-⇒=-+⇒==⎰⎰ 所以232112C dx C y C x x=-+=⎰P111--例2方程y ''=01x y==，02x y ='=的特解为________．【解题思路】所给方程不显含x ，属于(,)y f y y '''=型可降阶方程． 解：令,dp y p y pdy '''==，原方程变为dppdy=332222114()4pdp p y C y y C '⇒=⇒=+⇒=+⎰⎰，由0120x y C ='=⇒=所以 3331222242y y y dy dx y dy dx y x C --'=⇒=⇒=⇒=+⎰⎰由0214x yC ==⇒=则14112y x =+为方程y ''=，满足01x y==，02x y ='=的特解.P111--例3 解方程 2()(1)(1)1y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩．【解题思路】所给方程不显含y ，属于(,)y f x y '''=型可降阶方程． 解：令,y p y p ''''==，原方程变为21dp pdx x dx p x p dx x p dp p dp p=⇒=+⇒-=+ 通解为1111()dx dx p px e pedx C p p C -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰，即1()x y y C ''=+代入初始条件得321220,3C y y x C '=⇒=⇒==+21(1)13y C =⇒=由， 则322133y x =+为所求.P111--例1 方程222420d y dy x x y dx dx++= )0(>x 的通解为 ．（数学一） 解：令tx e =，上方程化为 221223203201,2d y dyy r r r r dt dt++=⇒++=⇒=-=- 通解为1222112t t y C x C e x e C C ----=+=+P113--例1 设曲线L 位于xOy 平面的第一象限， L 上任一点P 处的切线与y 轴总相交，交点记为A ．已知PA OA =， 且L 过点33,22骣÷ç÷ç÷ç桫．求L 的方程． 解：设曲线上任一点(,)P x y ，则P 点的切线方程为：()'-=-Y y y X x ，令0=X ，可得过P 点处的切线与Y 轴的交点为：()0,'-A y xy ， 因为=PA OA ，即有'-y xy即 ()()222''+=-x xy y xy 为齐次方程，()2232232x y x y xy y =⎧-'=*⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对（*） 222122y y x xy y xy x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==⎛⎫⎪⎝⎭，令y u y xu y u xu x ''=⇒=⇒=+ 即有 2212121u u y u xu du dx u ux -''=+=⇒=-+⎰⎰， 解得2221C u y Cx x x +=⇒=- 由于L 过点33,22骣÷ç÷ç÷ç桫，则3C =， 则 223y x x =-P113--例2 设)(x f y =是第一象限内连接点()()0,1,1,0A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，C 为M 在x 轴上的投影． 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163x +， 求)(x f 的表达式．解：由题设有：31()11()263⎡⎤⎣⎦+⋅+=+⎰xf x x x f x dx 为积分方程，且(1)0f =，两边对x 求导得21()()1()22⎡⎤⎣⎦'⋅++-=x f x x f x f x ， 整理得：11()()'-=-fx f x x x x为一阶线性非齐次方程，解得 1121()1dxdx xxf x e x edx C x Cx x ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰=-+=++⎰由于 (1)02=⇒=-f C ， 则2()12f x x x =+-P113--例3 设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >．已知曲线()y f x =与直线0y =，1x =及x t =（1t >）所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程． 解法1:由题意知 211()()ttf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰，代入1t =得(1)1f =或(1)0f =（舍去）．再求导得 )()(2)()(2t f t t f t f t f '+='． 记()f t y =，则112dt t dy y+=， 其通解为 11222()3dydyy y t eedy c y -⎰⎰=+=+⎰，代入1t =，1y =得13c =，从而 23t y =，故所求曲线方程为 23x y =+解法2：由题意知 211()()ttf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得 21()()()tf t f x dx tf t =+⎰， 代入1t =得(1)1f =或(1)0f =（舍去）． 再求导得 )()(2)()(2t f t t f t f t f '+='．整理得 22dy ydt y t=-．设y u t =，则,dy du u t dt dt =+ 原方程变成 23221du u u t dt u -=-．分离变量得211(32)u du dt u u t-=-，即 114()332dt du u u t -+=-， 积分得Ct u u ln )23(ln 312=-- ，即 1233(32)u u Ct ---=．代入 1,1t u ==得1C =，所以 231(32)u u t -=． 代入y ut =并化简得2(32)1y t y -=，即 23t y =． 故所求曲线方程为 23x y =．P113--例4 设函数()y x ()0x >二阶可导且0)(>'x y ，1)0(=y ．过曲线上任一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线．上述两直线与x 轴围成三角形面积记为1S ，区间[]0,x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设212S S -恒为1．求此曲线方程． 解：点(,)P x y 的切线方程为()Yy y X x '-=-⇒yx x y-'切线与轴的交点为A(,0) 由已知1201212()()12x y S S x x y y x dx y ⎡⎤-=⇒⋅--⋅-=⎢⎥'⎣⎦⎰，整理得： 2()1x y y x dx y -='⎰， 两边求导得222()20()(0)1,(0)1x y y y yy y y y e y yy y y '⎧''=''''⋅-⎪-=⇒⇒⎨'⎪'===⎩P114--例5 一个充满气体的气球突然破了一个孔，漏气的速率正比于球内气体的质量，比例系数0k >．设球内原有气体100克，如果孔破后一分钟内还有20克气体，问什么时候球内剩下1克气体? 解：应建立球内气体质量与时间t 的关系式漏气的速率即球内气体质量的变化率，由题意得(0)100dmk m dt m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得 100k tm e -=又ln5(1)20ln5100t m k m e -⋅=⇒=⇒=当1m =时，ln1002.86()ln 5t =分钟P114--例6 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数0k >．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的78．问雪堆全部融化需多少小时?解：需建立体积与时间或半径与时间的关系式，据题意有dVk S dt=-， 而322222,23233dr dr V r S r r k r k r kt C dt dtππππ==⇒⋅⋅=-⋅⇒=-⇒=-+ 已知0000302()3t r r k t r r C r V r k t π==-=⇒-=⇒=⇒由题意333000012121(3)83836t t V V r k r k r ππ===⇒-=⋅⇒= 所以0016rr r t =-，当0r =时（即雪堆全部融化），此时，6()t =小时P114--例7质量为m 克的雨点，在空气中自由落下，设空气阻力和雨点速度成正比，比例系数为0k >． 如果开始雨点速度为0，试求雨点运动的速度和时间的关系式． 解：设()v v t =，(0)0v =，一方面F m g kv =-合；另一方面dv F m a m dt =⋅=⋅合 由牛顿第二定律有：dv dv km g kv m v g dtdt m-=⋅⇒+= 解得kt m mgv Ce k-=+，由(0)0mg v C k =⇒=-所以v =ktm mg mg v e k k-=-P114--例8 设有一质量为9000kg 的飞机着陆的水平速度为700/km h ， 经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数6106⨯=k )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?解：由0dv dv mkv m m v s v c dt ds m F m a ds dv k k -=⋅=⇒⇒=-=⋅⋅=-⇒+⎰⎰合 由0700700700s m m mC s v k k k v ==⇒=⋅⇒=-+⋅当0v =时，69000700700 1.05()610m s k m k =⋅=⋅=⨯P115--例1 差分方程11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭的通解为 ． （数三要求掌握）解：特征方程为11022λλ-=⇒=，对应齐次方程的通解为1()2t C ⋅． 52d =不是特征方程的根，故设特解*5()2t t y A =，代入方程得12A =．∴原方程的通解为 115()()222t t t y C =⋅+．P115--例2 差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 ．（数三要求掌握） 解：方程化为1552t t y y t ++=，特征方程为 505λλ+=⇒=-，对应齐次方程的通解为(5)t C ⋅-． 1d =不是特征方程的根，故设特解为*t y at b =+，代入原方程得5(1)5()2a t b at b t ++++=512a ⇒=，572b =-，∴*51()126t y t =-． 所以原方程的通解为 51(5)()126tt y C t =-+-．本章小结常微分方程是微积分学联系实际的主要渠道．考研主要考察两个方面的问题，一是求方程的解，二是根据实际问题的要求先确定方程，再求解．1.关于解方程首先应判别方程的类型，判别方程类型也是一种能力．因为不同类型的方程有不同的解法，若某一方程，属于多种不同的类型，应选择相对简便的解法．其次是求解方法，一些典型方程的求解方法应熟练掌握．对于一阶方程，有五种类型；对于高阶线性方程，应搞清解的结构理论及常系数齐次线性方程的特征方程的根与微分方程解的关系，应搞清常系数非齐次线性方程特解的设法；对于其它类型的高阶方程如可降阶的高阶方程，欧拉方程等，它们都是用固定的变量代换化简并求解；最后对于不属于典型类型的方程，作变量代换是一种行之有效的途径．作什么样的变量代换要具体问题具体分析，根据题目的特点来确定所作的变换．2.关于建立方程有关微分方程的应用问题，首先是建立方程，这要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的几何量或物理量的意义，并结合其它相关知识来解决．有些微分方程可能是数学问题提供的，例如有的微分方程是由积分方程提出的，有的来自曲线积分与路径无关的条件或微分式子是某个函数的全微分，此时应转化成微分方程来求解．在建立微分方程的过程中还应注意所给条件是否提供了初始条件．本章主要内容如下微分方程微分方程的概念一阶微分方程高阶微分方程变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程伯努利方程（数一）全微分方程（数一）可降阶的高阶方程线性微分方程()()ny f x=型(,)y f x y'''=型(,)y f y y'''=型解的性质与结构常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程。