二项式定理的几种重要题型

C80C84 C82C63 C84C42 C86C21 C88
=1107
例12 (x2 3x 2)5的展开式中 x 的系数是____2__4_0____
解：原式化为[( x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr1 C5r (x2 2)5r (3x)r
要使x的指数为1,只需r 1
f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1) 27 47
(1) a1 a3 a5 a7 26 213 8128
(2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
（3）因为a1, a3, a5, a7是负数
所以a0 a1 a2 a7
a0 a1 a2 a7
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
总结
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
例题2 若 n N ,( 2 1)n 2an bn,
(an ,bn Z ) ,则 bn 的值(A )
A 一定为奇数 B 与n的奇偶性相反
C 一定为偶数 D 与n的奇偶性相同
解:
2an bn (1
2
)
n

C
0 n
Cn1
2 Cn2 (
2)2
Cn3( 2)3L Cnn ( 2)n
T2 C51(x2 2)4 3x
15 x(x8 4 2x6 6 4x4 4 8x2 24 )
所以x的系数为15 24 240
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
题型8 求展开式中系数最大(小)的项
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
原r式 9的有27理6项r 为 3:T4T10 (841)x9C4 9T91x03
x3
x3
例4
求 (x
1 )8 x
的展开式中 x5的
系数为__________
解: 设第 r 1项为所求
注意(1)二项式系数与系数的区别.
(2) Tr1 Cnranrbr表示第 r 项.
题型2 二项式定理的逆用 例5 计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
解(1):将原式变形
x5 1
总结 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学 的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正 用,才能掌握逆向应用和变式应用
题型3 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例6 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
的展开式中,x2 的系数等于___________
bn

C奇n0
Cn2
(
2
偶
)2Cn4
(
偶
2
)4
L
所以 bn 为奇数 故选(A)
例3 求 x 3 x 9展开式中的有理项
解:
Tr1

C9r
(x
1 2
)9r
1
(x3
)r

(1)r
C9r
27r
x6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1L 9)
6
6
( x 1)6(2x 1)5 的通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r2 s 2
由题意知
16r2 s 2
6
r 2s 4 (r 0L 6, s 0L 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
所以 x6 的系数为:
28.88 r 29.88
r 29
展开式中数值最大的项是
T30

C29 50
(
2)29
总结
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1

Tr Tr 2
由此确定r的取值
题型9 整除或余数问题
例16 求9192除以100的余数。
解:9192 (100 9)92
Tr 1

C8r
x8r
(
x

1 2
)r

(1)r
C8r
x8r
x

r 2

(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2
2
x5 的系数为 (1)2C82 28
总结
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x3 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解.
的展开式
解法2

3
x
1 x
4

3x 14
x2

1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2 C43(3x)C44 ]

1 x2
(81x4
108x3

54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
系数最大的项是第13项 即C2102 28312
二项式系数最大的项为第11项,即
C10 20
所以它们的比是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11
例14 在 (3x 2y)20 的展开式中系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
CC22rr00
312
28

x12

y8
例15求 (1 2)50 的展开式中数值最大的项
解：设第 r 1项是是数值最大的项
TTrr11

Tr Tr
2
C5r0 ( C5r0 (
2)r

C r1 50
(
2)r

C r1 50
(
2 )r1 2 )r1
r 102 51 2 r 101 51 2
题型4 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数)
例题8:求 ( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6 项
的系数.
解(
x 1)6 的通项是 C6r (
x )6r
C xr
6r 2
6
(2x 1)5 的通项是
C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s
C63 20 所以 x2 的系数为-20
例7．求 x (1 x)4 x2(1 2x)8 x3(1 3x)12 展开式中
x 4的系数。
解:可逐项求得 x 4 的系数
(1 x)4 的展开式通项为 C4r (x)r 当r 3时
系数为-4
(1 2x)8的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时
10092 C91210091 9 C92210090 92
前面各C项9921均10能0被991100整99除2 .只有 992 不能被100整除
992 (10 1)92 1092 C9121091 C9221090
C9920102 C992110 (1)92
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x2的系 数是 C20(1)C31 (1)2C42 (1)3C53 20
解法2 运用等比数列求和公式得
原式 (x 1)[1 (x 1)5] (x 1) (x 1)6
1 (x 1)
x
在(x 1)6的展开式中,含有 x3 项的系数为
1092 C9121091 C9221090 C992010 2 920 1
1092 C9121091 C9221090 C992010 2
可见9192被100除的余数是 81
1000 81
注 余数为 意 正整数
(1)证明:9910-1能被1000整除
例10 已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 L a6x a7
求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6
(3) a0 a1 a2 a7
解:设f (x) (3x 1)7
f (1) a0 a1 a2 a7
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
640
总结
对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
题型5 求展开式中各项系数和 例9. (2x2 1)的n 展开式的各项系数和为___1_
解：设 (2x2 1)n a0x2n a1x2(n1) an
展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n= a0 a1 a2 an
∴a0 a1 a2 an =（2-1）n=1 总结： 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项
式中的字母为1
题型六：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
(2)证明:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除
(3)9192除以100的余数是
(81
(4)今天是星期日,再过290天是星期几? (一)
(5)11100-1末尾连续零的个数是 个 (3个)
总结
整除性问题，余数问题，主要根据二项式 定理的特点，进行添项或减项，凑成能整 除的结构，展开后观察前几项或后几项,再 分析整除性或余数。这是解此类问题的最 常用技巧。余数要为正整数
复习回顾
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr1 Cnran-rbr 第 r 1 项
题型1 利用 a b n的二项展开式解题
例1
求

3
x
1 4 x 的展开式
题型7 三项式转化为二项式
例11 求( x 1 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x 1 1 )8 [( x 1 ) 1]8
x
x
C80(
x
1 x
)8

C81
(
x
1 )7 x

C87 (
x
1 x
)

C88
再利用二项式定理逐项分析常数项得
原式 Cn01n Cn11n1g2 Cn21n2g22 L Cnn 2n
(1 2)n 3n
解:(2)原式 C50 (x 1)5C51(x 1)4C52(x 1)3 C53(x 1)2C54(x 1)C55 C55
[(x 1) 1]5 1
320r 320r
2r 2r

C r1 20
C r1 20
319r 321r
2r1 2r1
37 r 42 55
r 8
3(r 1) 2(20 r) 2(21 r) 3r
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9

C
8 20
解法1
来自百度文库
3
x
1 x
4
C40
3
x 4C41 3
31 x
x
式直 定接 理用 展二 开项
C42 (3
x )2 (
1 )2 x
C43 (3
x )( 1 )3 x
C44 (
1 )4 x

81x2
108 x

54

12 x

1 x2
例1
求

3
x
1 x
4

例13 在(2x 3)20的展开式中， 求其项的最大系数
与最大二项式系数的比
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
C2r0 220r
3r

C r1 20
220r
1

3r
1
C2r0 220r
3r

C 2 r1 20r1 20
3r1
11.6 r 12.6
系数为 4C82 112
(1 3x)12的展开式通项为 C1t2 (3x)t 当 t 1时 系数为3C112 36
所以 x(1 x)4 x2 (1 2x)8 x3 (1 3x)12 展开式中的 系数为 4 112 36 144
总结
求复杂的代数式的展开式中某项 (某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量