北京四中---高中数学高考综合复习专题六函数奇偶性的认知与延伸

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奇偶性高考函数知识点

奇偶性高考函数知识点高考时，数学是许多学生最令人头痛的科目之一。

其中，奇偶性高考函数是一个经常出现的知识点。

在本文中，我将介绍奇偶性函数的定义、性质和一些例题，帮助学生理解和掌握这一内容。

首先，我们来了解奇偶性函数的定义。

在数学中，奇数和偶数是两个相互对立的概念。

奇数可以被2整除时余数为1，而偶数被2整除时余数为0。

类似地，奇偶性函数也区分为奇函数和偶函数两种。

奇函数满足条件：f(-x) = -f(x)，即当自变量取相反数时，函数值取相反数。

偶函数满足条件：f(-x) = f(x)，即当自变量取相反数时，函数值保持不变。

了解了奇偶性函数的定义后，我们可以探讨一些奇偶性函数的性质。

首先，偶函数的图像具有对称性，也就是说以y轴为对称轴。

这是因为偶函数在自变量的取相反数时，函数值不变。

例如，y = x^2就是一个常见的二次函数，它是一个偶函数，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线。

相反，奇函数的图像具有原点对称性，也就是说以原点为对称中心。

这是因为奇函数在自变量的取相反数时，函数值取相反数。

例如，y = x^3就是一个常见的三次函数，它是一个奇函数，它的图像在原点处对称。

接下来，我们来看一些奇偶性函数的例题，以帮助学生更好地理解和应用这一知识点。

假设我们有一个函数f(x) = x^4 - x^2。

要判断这个函数是奇函数还是偶函数，我们可以进行一些简单的计算。

首先，我们取自变量的相反数，计算f(-x)。

根据奇函数的定义，如果f(-x)等于-f(x)，那么函数就是奇函数；如果f(-x)等于f(x)，则是偶函数。

对于这个函数，我们有f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x)，所以可以得出结论，这个函数是一个偶函数。

再来看一个例题，我们有一个函数g(x) = x^3 - x。

同样，我们取自变量的相反数，计算g(-x)。

根据奇函数的定义，如果g(-x)等于-f(x)，那么函数就是奇函数；如果g(-x)等于g(x)，则是偶函数。

高三函数奇偶性知识点归纳

高三函数奇偶性知识点归纳高三是每个学生都经历的重要阶段，而数学作为一门核心学科，也是高三学习中不可或缺的一部分。

在数学中，函数是一个非常重要的概念，而在函数的研究中，函数的奇偶性也是一个重要的知识点。

下面，我将对高三函数的奇偶性知识点进行归纳和总结。

首先，我们需要明确什么是奇函数和偶函数。

在数学中，我们定义一个关于y轴对称的函数为偶函数，式子可以表示为f(x)=f(-x)，其中x为实数。

偶函数的特点是其图像关于y轴对称。

而关于原点对称的函数则称为奇函数，式子可以表示为f(x)=-f(-x)，其中x为实数。

奇函数的特点是其图像关于原点对称。

在判断一个函数的奇偶性时，我们可以先观察函数的表达式中是否存在一些特定的形式。

比如，对于多项式函数来说，奇次幂的项对应奇函数，偶次幂的项对应偶函数。

当函数的表达式中不存在奇次幂的项时，则函数为偶函数。

举个例子来说明。

对于函数f(x)=x^3+x^2，我们可以观察到其中存在x^3这一奇次幂的项，而没有偶次幂的项。

所以，这个函数就是一个奇函数。

相反，对于函数g(x)=x^4+x^2，其中只存在偶次幂的项，没有奇次幂的项。

所以，这个函数就是一个偶函数。

除了观察函数表达式之外，我们也可以通过图像来判断函数的奇偶性。

对于一个奇函数，我们只需要观察其图像是否关于原点对称即可。

而对于一个偶函数，则只需要观察其图像是否关于y轴对称即可。

在高三数学中，我们经常会遇到一些复合函数的奇偶性问题。

对于复合函数来说，我们可以通过分解函数的形式来判断其奇偶性。

比如，对于两个奇函数的复合，其结果一定是奇函数。

因为两个奇函数的复合仍然具有关于原点对称的特点。

而两个偶函数的复合，则一定是偶函数。

因为两个偶函数的复合具有关于y轴对称的特点。

除了奇偶函数的基本性质之外，我们还可以通过一些具体的定理来判断函数的奇偶性。

比如，如果函数f(x)在区间(-a,a)内为奇函数，并且在区间(-b,b)内有定义，其中0通过以上的归纳总结，我们可以更加明确和深入地理解高三函数的奇偶性知识点。

北京四中高考数学总复习函数的基本性质(基础)知识梳理教案

【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增函数的基本性质奇偶性单调性周期性增减减减增减减减增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。

高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性

高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性高考数学知识点精讲：函数的奇偶性与周期性在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是非常重要的知识点，理解并掌握它们对于解决函数相关问题具有关键作用。

接下来，咱们就一起来详细探讨一下这两个重要的概念。

一、函数的奇偶性1、奇函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。

比如说，常见的奇函数有 y ＝ sin x ，y ＝ x 等。

我们以 y ＝ x 为例来直观地理解一下奇函数的特点。

当 x 取某个值时，比如 x ＝ 3 ，那么 f(3) ＝ 3 ；而当 x 取－3 时，f(－3) ＝－3 ，也就是 f(－3) ＝ f(3) ，这就体现了奇函数的性质。

奇函数的图象关于原点对称。

这意味着，如果我们知道了函数在原点一侧的图象，就可以通过原点对称的方式得到另一侧的图象。

2、偶函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。

像 y ＝ cos x ，y ＝｜x| 等都是偶函数。

以 y ＝｜x| 为例，当 x ＝3 时，f(3) ＝ 3 ；当 x ＝－3 时，f(－3) ＝ 3 ，即 f(－3) ＝ f(3) ，这符合偶函数的定义。

偶函数的图象关于 y 轴对称。

同样，如果知道了函数在 y 轴一侧的图象，通过 y 轴对称就能得到另一侧的图象。

判断一个函数是奇函数还是偶函数，通常有以下几种方法：（1）定义法：就是根据奇函数和偶函数的定义，分别计算 f(x) 和f(x) 或者 f(x) ，看是否相等。

（2）图象法：通过观察函数的图象是否关于原点对称（奇函数）或者关于 y 轴对称（偶函数）来判断。

二、函数的周期性1、周期函数的定义对于函数 y ＝ f(x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，那么就把函数 y ＝ f(x) 叫做周期函数，周期为 T 。

高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

高考数学总复习之函数的奇偶性

高考数学总复习之函数的奇偶性和周期性一、知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.4.函数的周期性（1）周期函数的定义：对于函数)(x f 定义域内的每一个x ，若存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 具有周期性，T 叫做)(x f 的一个周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f 的周期，所有周期中的最小正数叫)(x f 得最小正周期。

（2）常用结论①若)(x f y =图象有两条对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；②若)(x f y =图象有两个对称中心A )0,(a ，B )0,(b )(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；③若)(x f y =图象有一个对称中心A )0,(a ，和一条对称轴b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||4b a T -=；④若函数)(x f y =满足)()(x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=；⑤若函数)(x f y =满足)0()(1)(≠±=+a x f a x f ，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑥若函数)(x f y =满足)()(a x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑦若函数)(x f y =满足)(1)(1)(x f x f x a f -+-=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 4=；二、点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是（）①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.答案：A2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B4.设定义在R 上的函数)(x f y =满足12)2()(=+⋅x f x f ，且2)2010(=f ，则)0(f 等于（）A.12B.6C.3D.2解析：12)4()2(=++x f x f ，∴)2()4(f x f =+，∴)(x f y =的周期为4，∴2)2()2010(==f f ∴6)2(12)0(==f f 答案：B 5.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0.答案：316.给定函数:①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④7.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，则=)(x f __________.答案：⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--0,130,13x x x x三、典例剖析例1 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A例2 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx-+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.例3 （北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.四、深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b） B.（－b ，－a 2）C.（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b，－a 2）. 答案：C例4 （天津模拟题）已知函数f （x ）=x +xp+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m =－x －xp－m . ∴2m =0.∴m =0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max = f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p . （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数， ∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p}. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x +xp（p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法. f （x ）=x +xp的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？五、闯关训练1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是（）①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）=⎩⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D2.（北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A3. (全国Ⅰ文9)设偶函数)(x f )满足)0(42)(≥-=x x x f ，则}0)2(|{>-x f x = （） A ．4}x ,2|{>-<或x x B ．4}x ,0|{><或x x C ．6}x ,0|{><或x x D ．2}x ,2|{>-<或x x 答案B4.（辽宁文6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a = （）A ．21B ．32C ．43 D ．1答案A5.（全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是（） A ．3x y = B ． 1||+=x y C ．12+-=x y D ．||2x y -= 答案B6.（全国Ⅱ理9）设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f （） A ．21- B ．41- C ．41 D ．21 答案A命题意图：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是一个重要的考点，掌握好这些概念对于解决数学问题有非常大的帮助。

在这篇文章中，我们将对函数奇偶性与周期性进行总结，并提供一些实例，以帮助读者更好地理解这些概念。

函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数值的对称性质。

如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值不变，那么该函数为偶函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值变为相反数，那么该函数为奇函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值既不变也不变为相反数，那么该函数既不是偶函数也不是奇函数。

举个例子，我们来看一下函数$y=x^2$ 。

当自变量取相反数时，函数值不变，即 $y=(-x)^2=x^2$ ，因此它是偶函数。

再来看一下函数 $y=x^3$ ，当自变量取相反数时，函数值变为相反数，即$y=-x^3$ ，因此它是奇函数。

最后，我们来看一下函数$y=x^2+1$ ，当自变量取相反数时，函数值既不变也不变为相反数，因此它既不是偶函数也不是奇函数。

我们利用函数的奇偶性可以快速求出某些函数的积分、导数和方程的根。

例如，对于偶函数，它的图像在$y$ 轴上具有对称性，因此它在 $(-a,a)$ 内积分的值与 $(-a,a)$ 之外积分的值相等；对于奇函数，它的图像在原点具有对称性，因此在 $(-a,a)$ 内积分的值为 $0$ 。

类似地，对于偶函数，它在 $x=0$ 的导数为 $0$ ；对于奇函数，在 $x=0$ 的导数为非 $0$ 常数。

函数的周期性函数的周期性是指函数图像在一个固定的距离上重复出现。

一个具有周期 $T$ （$T$ 为正实数）的函数 $y=f(x)$ 满足$f(x+T)=f(x)$ ，即在自变量增加 $T$ 时，函数值不变。

我们分以下几种情况来讨论函数的周期性。

1. 正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数，它们的周期都是$2\pi$ 。

例如， $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 周期都是 $2\pi$ 。

高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结函数是数学中一个十分重要的概念，而在高考数学中，函数的奇偶性和周期性更是具有重要的意义。

本文旨在对高考数学中函数的奇偶性与周期性进行总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。

奇偶性首先，我们来看函数的奇偶性。

一个函数的奇偶性指的是函数在定义域上是否满足一定的对称性质。

定义域上的对称性质可以分为两种：奇对称和偶对称。

如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数在定义域上是奇对称的。

如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数在定义域上是偶对称的。

有些函数既不是奇对称也不是偶对称，这样的函数称为一般函数。

下面我们来看一些具体的例子。

1. 奇函数最简单的奇函数当属平凡函数$y=x$。

因为对于任意实数$x$，有$(-x)=-x$，因此$f(-x)=-(-x)=x=f(x)$，故平凡函数是奇函数。

另一个常见的奇函数是正弦函数$y=\sin{x}$。

由于$\sin{(-x)}=-\sin{x}$，所以正弦函数是奇函数。

2. 偶函数最简单的偶函数当属常量函数$y=c$。

由于对于任意实数$x$，有$(-x)=x$，因此$f(-x)=f(x)$，故常量函数是偶函数。

另一个常见的偶函数是余弦函数$y=\cos{x}$。

由于$\cos{(-x)}=\cos{x}$，所以余弦函数是偶函数。

3. 一般函数最简单的一般函数当属同学们都非常熟悉的二次函数$y=ax^2+bx+c$。

显然，一般函数既不是奇函数也不是偶函数。

那么，大家可能会问，为什么要研究奇偶性呢？因为当我们知道一个函数的奇偶性之后，就可以轻松地求出函数的对称轴，从而更好地画出函数图像、解决一些简单的函数方程等问题。

周期性接下来，我们来看函数的周期性。

一个函数的周期性指的是函数在其自变量上是否具有一定的重复性或周期性。

定义域上的周期性可以分为两种：正周期和负周期。

北京四中高考数学总复习函数及表示知识梳理教案

【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．【知识网络】【考点梳理】1、映射的定义设,A B 是两个非空的集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →。

映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B 中的元素在集合A 中没有元素和它对应。

2、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一的值与它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：)(x f y =.其中x 叫做自变量，y 叫做函数，自变量x 的取值范围（数集A ）叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，所有函数值构成的集合{}(),C y y f x x A ==∈叫做这个函数的值域。

3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。

4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

映射函数及其表示函数三要素函数的表示5、区间的概念和记号设,a b R ∈，且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a 。

（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a 。

（3）满足不等式a x b ≤<或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半闭半开区间，分别表示为),[b a 和],(b a 。

这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点。

人教版北京市第四中学高中数学函数的单调性和奇偶性 (共11张PPT)教育课件

函数的奇偶性
1
学生练习：
１、已知：f(x)＝3x，画出函数图象，并求：f(2)、f(－2)、f(－x)。
解：f(2)＝3×2=6 f(－2)=3×(－2)=－6 f(－x)=3×(－x)＝－3x
2、已知：g(x)=2x2 ，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。
解：g(1)=2×12 =2
3
例：判断下列函数的奇偶性。
①f(x)=x 5 ＋x
②f(x)=x 4 －x 2
③f(x)=√3x 2
④f(x)=3x+1
4
解：①∵f(-x)=(-x)5 +(-x) =－x 5－x =－(x 5 +x)=－f(x)
∴此函数是奇函数。
② ∵f(－x)=(－x)4 －(－x) 2 =x 4－x 2 =f(x)
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入，令一方面是节省开支。这就是所谓的开源节流。时间管理也是如此，一方面要提高效率，另一方面是要节省时间。主要做法有：1、同时做两件事情（备注：请认真选择哪些事情可以同时做），比如跑步的时候边听有声书；2、压缩休息时间提升睡眠效率，比如晚睡半小时早起半小时（6~7个小时即可）；3、充分利用零碎时间学习，比如做公交车、等车、上厕所等。
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时现镜有

北京四中高考数学总复习：知识梳理_函数的图象(基础)

函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座- 33页

北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座目录北京四中高中数学精品全套-高考数学冲刺讲座 (1)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑 (2)高考冲刺第2讲、不等式 (5)高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 (7)高考冲刺第4讲导数与函数综合 (9)高考冲刺第5讲三角函数概念图象性质 (11)高考冲刺第6讲三角函数公式及应用 (13)高考冲刺第7讲等差、等比数列 (15)高考冲刺第9讲解析几何综合问题 (18)高考冲刺第10讲空间直线与平面的关系 (20)高考冲刺第11讲空间几何量的计算 (22)高考冲刺第12讲概率与统计 (25)高考冲刺第13讲复数、排列组合二项式定理 (29)高考冲刺第14讲归纳与类比 (31)高考冲刺第1讲集合与简易逻辑一、知识要点与基本方法：（一）集合的概念1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定 2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合（二）集合的运算1．交集 2．并集 3. 补集4. 集合中所含元素个数及子集个数。

（三）逻辑联结词和四种命题 1. 量词2. 基本逻辑连接词3. 真值表4. 四种命题（四）充分条件与必要条件二、典型例题：例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ⊆，下列说法正确的是（） A ．存在0x A ∈，使0x B ∈ B ．B A ⊆一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件例2．设集合{}{}021xM x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若M N φ=，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥－1B ．m ＞－1C ．m ≤－1D ．m ＜－1例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（） A ．{1，－1} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。

北京四中高中数学精品全套-高考总复习函数的概念和性质(01函数及解析式、02函数的基本性质)- 2页

函数及其解析式北京四中苗金利一、知识要点1．函数是高中数学最重要、最基础的内容，函数思想方法自始至终贯穿于代数教材全过程，可以毫不夸张的说，“函数”在数学教材中扮演“统帅”的角色。

2．函数是学习高等数学的基础，应深入理解函数的有关概念，灵活运用函数的解析式去分析问题。

3.函数的定义4. 函数的解析式二、典型例题例1、判断下列从A 到B 的对应是否为映射，是否为一一映射？（1）{|A αα=为三角形的内角}，{|}B y y R =∈，对应法则：tan y α=；（2）{|}A m m Z =∈，{|01}B y y y ===或，对应法则：0(2,)1(21,)m n n Z y m n n Z =∈⎧=⎨=+∈⎩；（3）{|01}A x x =<<，{|01}B y y =<<，对应法则：y x（4）{|01}A x x =≤≤，{|0}B ααπ=≤<，对应法则：sin .x α=例2、设()f x 是一次函数，,(())94x R f f x x ∈=+，求函数()f x 。

例3、（1）将函数y ＝3x 2－4x －12的图象沿向量a →＝（－2，3）平移后的解析式为____________；（2）函数y =f （x ）与14y x =的图象关于直线x=1对称，则f （x ）= ____________。

例4、设2111(1)1(0)f x x x x +=++≠，求函数(1)f x -.例5、函数1()21,()1,()32,,()2f x xg x x x x x R F x ϕ=+=-=-+∈ 表示(),(),()f x g x x ϕ中的最小值，求函数()F x 。

例6、已知1()()lg 1(0)f x f x x x=⋅+>，求()f x 。

函数的基本性质北京四中苗金利一、知识要点1．函数的单调性、奇偶性、周期性2. 函数性质的考查经常以选择题、填空题的形式出现，一般在试题的前几个题中。

函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版

函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。

高三奇偶函数知识点

高三奇偶函数知识点奇偶函数是数学中的一种特殊类型的函数，它们具有一些独特的性质和规律。

在高三数学学习中，奇偶函数是一个重要的知识点。

本文将从定义、性质和例题三个方面介绍高三奇偶函数的相关知识。

一、定义奇偶函数的定义如下：对于定义在一个对称区间上的函数f(x)，当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = -f(x) 时，函数 f(x) 称为奇函数；当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = f(x) 时，函数 f(x) 称为偶函数。

二、性质1. 对于奇函数来说，如果函数图像关于原点对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = -f(-x)。

2. 对于偶函数来说，如果函数图像关于 y 轴对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = f(-x)。

3. 奇函数与偶函数的性质可以通过函数图像的对称性来判断。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。

4. 如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么它必须是常值函数，即对于某一个实数 k，f(x) = k，对于定义区间上任意一个 x都成立。

5. 奇函数和偶函数的性质在函数的运算中也能体现出来。

奇函数和奇函数、偶函数和偶函数的和、积、商都是奇函数；奇函数和偶函数的和、差、乘积、商都是奇函数；偶函数和偶函数的和、差、乘积、商都是偶函数。

三、例题下面通过几道例题来加深对奇偶函数知识点的理解。

例题1：已知函数 f(x) = x^3 - x，判断其是否为奇函数或者偶函数。

解析：将函数f(x) 分别代入奇函数和偶函数的定义中进行判断。

奇函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x偶函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x由计算可知，f(-x) = -f(x)，f(-x) = f(x)。

因此，函数 f(x) 同时是奇函数和偶函数。

2024年高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性含解析

专题06函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合详细函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数图象理解和探讨函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会推断、应用简洁函数的周期性.基础学问融会贯穿1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【学问拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．重点难点突破【题型一】推断函数的奇偶性【典型例题】下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3C．f（x）D．f（x）【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），知函数f（x）＝x|x|为奇函数，又f（x）＝x|x|当x＞0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上为增函数，依据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）＝x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）＝x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∵不关于原点对称，∴f（x）＝sin x在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∵f（x）的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选：A．【再练一题】下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝﹣|x+1|C．D．【解答】解：f（x）＝sin x是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；∵f（x）＝﹣|x+1|，∴f（﹣x）＝﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y＝a x在[﹣1，1]上单调递增，y＝a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；故选：D．思维升华推断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)推断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在推断奇偶性的运算中，可以转化为推断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．【题型二】函数的周期性及其应用【典型例题】已知函数f（x）满意f（0）＝2，且对随意x∈R都满意f（x+3）＝﹣f（x），则f（2024）的值为（）A．2024 B．2 C．0 D．﹣2【解答】解：∵f（x+3）＝﹣f（x），∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（2024）＝f（3），又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，∴f（2024）＝﹣2．故选：D．【再练一题】定义在R上的函数f（x）满意：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2024）＝（）A．336 B．337 C．338 D．339【解答】解：∵f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2024）＝336+f（1）+f（2）+f（3）＝338．故选：C．思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的推断，利用函数周期性求值．【题型三】函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式【典型例题】已知奇函数f（x）（x∈R）满意f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f（2024）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满意f（x+4）＝f（x﹣2），∴f（x+6）＝f（x），∵当x∈[﹣3，0）时，，∴f（2024）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣{}．故选：D．【再练一题】设偶函数f（x）对随意x∈R，都有f（x+3），且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，则f（107.5）＝（）A．10 B．C．﹣10 D．【解答】解：因为f（x+3），故有f（x+6）f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）＝f（6×17+5.5）＝f（5.5）．故选：B．命题点2 求参数问题【典型例题】已知函数f（x）＝ln x，且f（a）+f（a+1）＞0，则a的取值范围为（）A．（﹣1，）B．（）C．（）D．（）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝ln x，有0，解可得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1），有f（﹣x）＝ln（﹣x）＝﹣（x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，分析易得，f（x）＝ln x在（﹣1，1）上为增函数，f（a）+f（a+1）＞0⇒f（a）＞﹣f（a+1）⇒f（a）＞f（﹣a﹣1），则有，解可得a＜0，即a的取值范围为（，0）；故选：B．【再练一题】已知，若f（x）＝x a为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值是（）A．﹣1，3 B．，3 C．﹣1，，3 D．，，3【解答】解：若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则α＞0，解除A，C，当α＝2时，f（x）＝x2为偶函数，不满意条件．当α时，f（x）为非奇非偶函数，不满意条件．当α＝3时，f（x）＝x3为奇函数，满意条件．当α时，f（x）为奇函数，满意条件．故选：B．命题点3 利用函数的性质解不等式【典型例题】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满意f（），则a的取值范围是（）A．（）B．（1，）C．（0，）D．（）【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，∴f（x）在R上都是增函数，则不等式f（），等价为f（）＞f（），即，则log3，即a即实数a的取值范围是（），故选：A．【再练一题】定义在R上的函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）＝0，则f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【解答】解：∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，∵f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，∴f（3）＝0．则对应的函数图象如图（草图）则当﹣3＜x＜0或x＞3时，f（x）＞0，当0＜x＜3或x＜﹣3时，f（x）＜0，即f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3），故选：B．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)驾驭以下两个结论，会给解题带来便利：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.基础学问训练1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依据题意，依次分析选项：对于A，是偶函数，函数图像开口向下在上单调递减，不符合题意；对于B，的图像不关于y轴对称，故不是偶函数，不符合题意；对于C，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，是偶函数，在上单调递减，不符合题意；故选：C．2．已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为奇函数当时，，可知上单调递增上也单调递增，即上的增函数，解得：本题正确选项：3．设函数的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，由于为奇函数，图像关于原点对称，故函数的最大值与最小值的和为，所以的最大值与最小值的和为，故选A.4．下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是A．B．C．D．【答案】B【解析】对于为偶函数，对于是奇函数；对于奇函数；对于时，时，，该函数既不是奇函数，也不是偶函数，故选B．5．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于A．B．8 C．D．．【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数，且当时，；．故选：A．6．已知函数是定义在R上的奇函数，且（）A．B．9C．D．0【答案】A【解析】依据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2024）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．7．已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，为自然对数的底），则函数在区间上的全部零点之和为（）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】D【解析】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，且当x∈（0，2）时，，则=0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增， =f(2)>0,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x＝2对称，故函数f（x）在区间区间上的全部零点的和为3×4+2＝14，故选：D．8．设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=( ) A．－2 B．2 C．4 D．6【答案】A【解析】因为的周期为2，所以，由为奇函数，则，但，故，故，选A．9．已知函数，则满意的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为的定义域是，，故是奇函数，又，故递增，若，等价于，故，解得，故选D．10．已知是偶函数，且对随意，设，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵对随意，∴函数上为增函数．又函数为偶函数，∴上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．11．已知偶函数在区间单调递减，则满意的x取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，偶函数在区间单调递减，则上为增函数，则，解可得：，即x的取值范围是；故选：D．12．定义在上的奇函数，当时，，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，所以上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以时，上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为13．若，则满意不等式的取值范围为___．【答案】【解析】由题意得，，所以是R 上的奇函数，所以=0，又在R上单调递减，所以，即，所以，解得，即的取值范围为.答案为.14．已知函数为奇函数，，且图象的交点为，…，，则______．【答案】18【解析】函数为奇函数，函数关于点对称，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，图像的交点为，…，,两两关于点对称，. 故答案为：1815．已知定义在上的函数满意，且当时，，则____________．【答案】【解析】由可得，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．16．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则＝_____. 【答案】0【解析】依据题意,为偶函数，则函数的图象关于直线对称,则有，若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，则有,则有,设，则变形可得，则函数是周期为4的周期函数，又由函数的图象关于点对称，则，则有，可得，，故答案为0.17．已知定义在上的奇函数有最小正周期2，且当时，.(1)求的值；(2)求上的解析式.【答案】（1）0,0；（2）【解析】(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝0.(2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1).由f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，综上，在[－1，1]上，.18．函数的定义域为，且对随意，有，且当时，，(Ⅰ)证明是奇函数；(Ⅱ)证明上是减函数；(III)若，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)【解析】(Ⅰ)证明：由，令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，∴f(x)+f(−x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x).∴f(x)是奇函数.(Ⅱ)任取，且，则由，∴<0.∴>0，即，从而f(x)在R上是减函数.(III)若，函数为奇函数得f(-3)=1,又5=5f(-3)=f(-15),所以=f(-15),由得f(4x-13)<f(-15),由函数单调递减得4x-13>-15,解得x>-,故的取值范围为19．已知函数，且的定义域，并推断函数的奇偶性；对于恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，时，.【解析】（1）由题意，函数，由，可得，即定义域为；由，即有，可得为奇函数；对于恒成立，可得当时，，由可得的最小值，由，可得时，y取得最小值8，则，当时，，由可得的最大值，由，可得时，y取得最大值，则，综上可得，时，时，．20．已知指数函数满意，定义域为的函数是奇函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数上有零点，求的取值范围；（3）若对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．【解析】试题分析：（1）依据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）依据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分别参数法求k的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设,则，a=3, ，，因为是奇函数，所以，即,∴，又，；．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，从而，即，∴，∴，∴k的取值范围为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，∴在R上为减函数（不证明不扣分）．又因是奇函数，所以，因为减函数，由上式得：,即对一切，有恒成立，令m(x)=,易知m(x)在上递增，所以，∴，即实数的取值范围为．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础学问与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，留意特别值的运用，可以使问题简洁快速求解，但要留意检验，在处理恒成立问题时，留意利用分别参数求参数的取值范围，留意分别参数后转化为求函数最值问题．实力提升训练1．设函数的定义域为R，且，若对于随意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，令，可得，，故A正确，令，可得，，故B正确令，可得，，；，，故C正确，令，可得，，故D错误，故选：D．2．已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且，则A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数，为偶函数，所以，且，则，即是周期为4的周期函数，所以，故选D.3．设函数，则使得成立的的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】,所以为奇函数,,所以单调递增,转化成得到,解得x满意，故选B。

高三数学奇偶性及周期性知识点整理

高三数学奇偶性及周期性知识点整理高三数学函数的奇偶性、周期性知识点一函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx是奇函数。

函数的周期性：1定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使fx+T=fx恒成立，则fx叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的。

2若T是周期，则k·Tk≠0，k∈Z也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非都有最小正周期，如常函数fx=C。

奇函数与偶函数性质：1奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

3在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.2、函数的周期性令a,b均不为零，若：1函数y=fx存在fx=fx+a==>函数最小正周期T=|a|2函数y=fx存在fa+x=fb+x==>函数最小正周期T=|b-a|3函数y=fx存在fx=-fx+a==>函数最小正周期T=|2a|4函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|2a|5函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|4a|高三数学函数的奇偶性、周期性知识点二一、函数的奇偶性二、周期性1、周期函数对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx+T=fx，那么就称函数y=fx为周期函数，称T为这个函数的周期.2、最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx 的最小正周期.三、奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;3若奇函数fx在x=0处有定义，则f0=0;4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.5若函数满足fx+T=fx，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nTn∈Z 且n≠0也是函数的周期.四、利用定义判断函数奇偶性的方法1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f-x=-fx或f-x=fx是否对定义域内的每一个x恒成立恒成立要给予证明，否则要举出反例.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f-x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.【特别提醒】函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式.利用奇偶性构造关于fx的方程，从而可得fx的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法：利用fx±f-x=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.感谢您的阅读，祝您生活愉快。