数列通项公式常用求法及构造法

例7.在数列 中， ， ， ，求 。
解析：在 两边减去 ，得
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
练习
1、在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列｛an｝通项公式。
解：由an+1=3an+2n（n∈N*）得，an+1+2n+1=3（an+2n）（n∈N*），
3、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.
∴ =1+2（n-1）=2n-1,∴Sn= (n≥2),n=1也适合，∴Sn= (n≥1)
当n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =- ，n=1不满足此式，
∴an={
二、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项公式。
∴a1，a3，a5……与a2，a4，a6……是首相分别为a1，a2，公比都是4的等比数列，
又∵a1=1，an+1an=4n，∴a2=4
∴an={
三、等差等比混合构造法
数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出
例6．设数列 满足 求
解：原条件变形为 两边同乘以 得 .
∵
∴
四、辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
∴
7.设 是首项为1的正项数列，且 ，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得 .
∵ ， ，∴ .
∴
8.数列 中， ，前n项的和 ，求 .
解：
，
∴
∴
9.设正项数列 满足 ， （n≥2）.求数列 的通项公式.
解：两边取对数得： ， ，设 ，
则
是以2为公比的等比数列， .
， ， ，
∴
总结
而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为： ；
（1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a +k}的形式求解。一般地，形如a =p a +q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a +k=p（a +k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k= ，从而得等比数列{a +k}。
（2）通过分解系数，可转化为特殊数列 的形式求解。这种方法适用于 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 ：设 ，比较系数得 ，可解得 。
∴a －2=－（ ） ∴a =2－（ ）
5.数列 中， ，求数列 的通项公式。
解：由 得 设
比较系数得 ，解得 或
若取 ，则有
∴ 是以 为公比，以 为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
= =
6.设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，对于任意正整数n，都有等式： 成立，求 的通项an.
解： ，
∴
，∵ ，∴ .即 是以2为公差的等差数列，且 .
∴数列通项公式为an=
例2在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an= (n≥2)，求Sn与an。
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入an= 得，Sn-Sn-1= ，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1？两边除以SnSn-1得， - =2，∴｛ ｝是首相为1，公差为2的等差数列
∴数列通项公式为an=
评析：本例通过两边取对数，变形成 形式，构造等比数列 ，先求出 的通项公式，从而求出 的通项公式。
例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。
解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{ ∴{
设bn= an+2n则bn+1=3bn，∴ =3，根据等比数列的定义知，
数列｛bn｝是首相b1=3，公比为q=3的等比数列，
根据等比数列的通项公式得bn=3n，即an+2n=3n，
∴数列通项公式为an=3n-2n
注意：2n+1-2n=2n
2、在数列 中， ， ，求数列 的通项公式。
解：、由 得， ，根据等差数列的定义知，数列 是首项为3，公差为3的等差数列，所以
例1在数列 中， = ， （ ），求数列 通项公式.
解析：由 得，an+1an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1an得， ，
设bn= ，则bn+1- bn= ，根据等差数列的定义知，
数列｛bn｝是首项b1=2，公差d= 的等差数列，
根据等差数列的通项公式得bn=2＋ （n-1）= n＋
，所以
3、已知数列 满足 ， ，求
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
4.数列{a }满足a =1，a = a +1（n≥2），求数列{a }的通项公式。
解：由a = a +1（n≥2）得a －2= （a －2），而a －2=1－2=－1，
∴数列{a －2}是以 为公比，－1为首项的等比数列
例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1
∴ =2，根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=
∴an+1+（n+1）+ =4（an+n+ ），根据等比数列的定义知，
数列｛an+n+ ｝是首项为 ，公比为q=3的等比数列，∴an+n+ = ×3n-1
∴数列通项公式为an= ×3n-1-n-
例5在数列｛an｝中，a1=1，an+1an=4n，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵an+1an=4n∴anan-1=4n-1两式相除得 =4，
数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法
构造法求数列通项公式
源自文库一、构造等差数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 =A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项公式。