2019-2020学年高中数学 §1.3函数的基本性质学案新人教A版必修1.doc

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高中数学人教A版必修1学案：1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)

1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x =(x 1-x 2)(1+211x x ).∵0<x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0, ∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法. 【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减. 由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0). ∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2). 温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较. 二、函数的最值【例3】求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决. 解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1. 解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1. 温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b). 三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围； (2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减.综上，k ≤0. 温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集. 各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-ab2）上是增函数.证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab2), ∴x 1+x 2<-ab，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0. ∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2). ∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-ab2］上单调递增. 变式提升1 若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减. 当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性. 综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增. 类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21)变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3). ∴f(2)<f(3)<f(4), 即f(2)<f(1)<f(4). 类题演练3已知函数f(x)=xx x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0,又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数， ∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1; 当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3. 综上，f(x)在［0,2］上的最大值为g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2. (2)y min =3. 变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax=221)2(+-++x a x a=a+221+-x a.∴y-a=221+-x a 与y ′='x k比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。

2019-2020年高中数学 1.3.1函数的单调性全册精品教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 1.3.1函数的单调性全册精品教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.（四）教学过程f (x )=x 216 9 4 1 012 3 4 (1)4916…x ∈(–∞，0]时，x 增大，f (x )减少，图象下降.x ∈(0，+∞)时，x 增大，f (x )也增大，图象上升.x 增大，函数值y 反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数（decreasing function ）.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x ) = x 2 在区间(0，+∞)上. 任取x 1、x 2. 若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，即x 12＜x 22.师：称f (x ) = x 2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？师：投影例1. 生：合作交流完成例1. 师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1 生：学生通过合作交流自主完成. 例1【解】：y = f (x )的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x ) 在区间[ 掌握利用图象划分函数单调区间的方法. 掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分xx 1 x 2 Oyf (x 1) f (x 2)y =f (x ) x x 1 x 2 Oyf (x 1) f (x 2)y =f (x )训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系. （2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. （3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数. –5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2 分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即21121212()()V V k kp V p V k V V V V --=-=. 由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0.由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0.又k ＞0，于是p (V 1) – p (V 2)＞0，即p (V 1) ＞p (V 2).所以，函数，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2生：自主完成训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，强化记题步骤与格式.因为f (x1) –f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数.归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后练习1.3第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.【证明】设任意x1、x2R，且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) –f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).∴f (x) =3x +2在R上是增函数.例2 证明函数f (x) =在（0，+∞）上是减函数.【证明】设任意x1、x2(0，+ ∞)且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) =，由x1，x2(0，+∞)得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 –x1＞0，∴f (x1) –f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x2).∴f (x) =在（0，+∞）上是减函数..。

2020年最新人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质导学案

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)（f(x 1)>f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（2）如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案新人教A版必修1 学案

函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】（2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

2019-2020学年新人教A版必修一函数的性质教案

函数的性质课程目标知识提要函数的性质函数的性质主要包括函数的单调性、函数的奇偶性以及函数的周期性，同时还包括建立在函数单调性基础上得函数的最值，以及建立在函数的奇偶性基础上的函数的对称性．函数的单调性∙增函数一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f x1<f x2，那么就说函数f x在区间D上是增函数（increasing function）．∙减函数一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f x1>f x2，那么就说函数f x在区间D上是减函数（decreasing function）．∙单调性与单调区间如果函数y=f x在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f x在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D称为y=f x的单调区间．∙函数单调性的证明函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率ΔyΔx =f x1−f x2x1−x2进行．∙复合函数的单调性判断若函数u=g x在区间a,b上是单调函数，函数y=f u在区间g a,g b或 g b,g a上也是单调函数，那么复合函数y=f g x在区间a,b上是单调函数．当函数u=g x与函数y=f u的单调性一致时，函数y=f g x是单调递增函数；函数u=g x与函数y=f u的单调性不一致时，函数y=f g x是单调递减函数．复合函数的单调性判断法则可以简记为：“同增异减”．函数的最大（小）值∙函数的最大值一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x⩽M；②存在x0∈I，使得f x0=M．那么，我们称M是函数y=f x的最大值（maximum value）．∙函数的最小值一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x⩾M；②存在x0∈I，使得f x0=M．那么，我们称M是函数y=f x的最小值（minimum value）．函数的奇偶性∙奇函数一般地，若函数y=f x的定义域I关于原点对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f−x=−f x，那么函数y=f x称为奇函数（even function）．∙偶函数一般地，若函数y=f x的定义域I关于原点对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f−x=f x，那么函数y=f x称为偶函数（odd function）．∙奇函数和偶函数的图象性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．（3）由于奇函数f x的图象关于原点对称，当f x的定义域包含原点时，必有f0= 0．∙函数的奇偶性与单调性的关系一般地，若f x为奇函数，则f x在a,b和−b,−a上具有相同的单调性；若f x为偶函数，则f x在a,b和−b,−a上具有相反的单调性．函数的对称性∙函数图象关于直线x=a对称若函数y=f x的定义域I关于a对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f x=f2a−x，那么函数y=f x的图象关于直线x=a对称．此时直线x=a是函数y=f x的对称轴．∙二次函数图象的对称性对称．也即二次函数二次函数f x=ax2+bx+c a≠0的图象关于直线x=−b2af x=ax2+bx+c a≠0图象的对称轴是x=−b．2a∙函数图象关于点a,b对称若函数y=f x的定义域I关于a对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f x=2b−f2a−x，那么函数y=f x的图象关于点a,b对称．函数的周期性∙函数的周期性如果存在非零实数T，使得对函数y=f x定义域I内的任意一个自变量x，都有f x+T=f x，那么称函数y=f x是周期为T的函数，此时称T为函数y=f x的一个周期．∙最小正周期如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值，就称这个值为该函数的最小正周期．∙函数的对称性与周期性函数的对称性引起的周期性a≠b：①如果函数y=f x的图象关于直线x=a对称，且关于直线x=b对称，那么y=f x是周期为2∣a−b∣的函数．②如果函数y=f x的图象关于点a,0对称，且关于点b,0对称，那么y=f x是周期为2∣a−b∣的函数．③如果函数y=f x的图象关于直线x=a对称，且关于点b,0对称，那么y=f x是周期为4∣a−b∣的函数．精选例题函数的性质1. 设f x是R上的奇函数，且当x∈0,+∞时，f x=x1+x3，那么当x∈−∞,0时，f x=．【答案】x1−x32. 已知函数f x在R上是奇函数，当x>0时，f x=x2+4x，则x<0时f x的解析式．【答案】f x=−x2+4x【分析】当x<0时，−x>0又因为当x>0时，f x=x2+4x，所以f−x=−x2−4x=x2−4x，又因为函数f x是奇函数，所以f x=−f−x=−x2−4x=−x2+4x，综上所述x<0时，f x=−x2+4x．3. 函数f x=∣2−x∣的单调递增区间是，单调递减区间是.【答案】2,+∞；−∞,24. 已知f x是定义在−2,0∪0,2上的奇函数，当x>0时，f x的图象如右图所示，那么f x的值域是．【答案】−3,−2∪2,35. 已知f x是定义在R上的偶函数，并满足f x+2=−f x，当2⩽x⩽3，则f x=x，=．则f −112【答案】①③6. 已知函数f x是定义域为R的奇函数，当x>0时，f x=x2−2x．(1)求出函数 f x 在 R 上的解析式；【解】由于函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，则 f 0 =0．设 x <0，则 −x >0．因为 f x 是奇函数，所以 f −x =−f x ，所以 f x =−f −x =− −x 2−2 −x =−x 2−2x ．综上，f x = x 2−2x ,x >00,x =0−x 2−2x .x <0(2)画出函数 f x 的图象．【解】图象如图．7. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=3x4+1x2；【解】函数定义域为 x∣x∈R,且x≠0，f−x=3⋅−x4+1−x2=3x4+1x2=f x所以，f x=3x4+1x是偶函数(2)x−11+x1−x；【解】1+x1−x⩾0，解得−1⩽x⩽1又因为1−x≠0，所以x≠1，所以，函数定义域为x∈−1,1不关于原点对称所以，x−11+x1−x不是奇函数，也不是偶函数(3)f x=x−1+1−x；【解】f x=x−1+1−x的定义域为x∣x=1所以函数f x=0x=1定义域不关于原点对称，所以f x=x−1+1−x既不是奇函数也不是偶函数． (4)f x=2−1+1−x2【解】f x= x2−1+1−x2的定义域为1−x2⩾0 x2−1⩽0解得x=±1所以函数变形为f x=0x=±1所以f x=2−1+1−x2既是奇函数又是偶函数．8. 讨论函数f x=x+axa>0的单调性．【解】函数的定义域为x∣x≠0．任取x1,x2∈x∣x≠0，且x1<x2，则f x1−f x2=x1+ax1−x2−ax2=x1−x2x1x2−ax1x2=x1−x21−ax1x2.令x1=x2=x0，1−ax02=0可得到x0=±a，这样就把f x的定义域分为 −∞,−a ， −a,0，0,a ，a,+∞ 四个区间，下面讨论它的单调性．若0<x1<x2⩽a，则x1−x2<0，0<x1x2<a，所以x1x2−a<0．所以f x1−f x2=x1+ax1−x2−ax2=x1−x2x1x2−ax1x2>0，即f x1>f x2，所以f x在0,a 上单调递减．同理可得，f x在a,+∞ 上单调递增，在 −∞,−a 上单调递增，在 −a,0上单调递减．故函数f x在 −∞,−a 和a,+∞ 上单调递增，在 −a,0和0,a 上单调递减．9. 用定义法证明f x=1x+1在−1,+∞上是减函数．【解】设x1，x2∈−1,+∞且x1<x2，则f x1−f x2=1x1+1−1x2+1=x2−x1x1+1x2+1，因为x1,x2∈−1,+∞，所以x1+1>0，x2+1>0，所以x1<x2．所以x2−x1>0，所以x2−x1x1+1x2+1>0，即f x1>f x2，所以f x=1x+1在−1,+∞上是减函数．10. 已知函数f x=2x −xα，且f4=−72．(1)求α的值；【解】因为f4=−72，所以24−4α=−72，所以α=1．(2)判断f x在0,+∞上的单调性，并给予证明．【解】f x=2x −x在0,+∞上是减函数．证明如下：设任意x1，x2∈0,+∞，且x1<x2．则f x1−f x2=2x1−x1−2x2−x2=x2−x1⋅2x1x2+1.因为0<x1<x2，所以x2−x1>0，2x1x2+1>0．所以f x1−f x2>0，即f x1>f x2，故f x=2x−x在0,+∞上是减函数．函数的单调性1. 如果函数f x=x2+2a−1x+2在4,+∞上是增函数，则实数a的取值范围为．【答案】−3,+∞2. 函数y=log2x2+4x−12的单调递增区间是．【答案】2,+∞3. 函数f x=ax+1x+2（a为常数）在−2,2内为增函数，则实数a的取值范围是．【答案】a>12【分析】函数f x=ax+1x+2=a+1−2ax+2，由于f x存在增区间，所以1−2a<0，即a>12．4. 若函数y=ax和y=−bx 在区间0,+∞上都是减函数，则函数y=bax+1在−∞,+∞上的单调性是．（填“增函数”“减函数”或“非单调函数”）【答案】增函数5. 已知函数f x=x2+2a−1x+2在区间−∞,3上为减函数，求实数a的取值范围为．【答案】a⩽−26. 已知a>0，函数f x=x+axx>0，证明：函数f x在0,a 上是减函数，在a,+∞ 上是增函数．【解】设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f x1−f x2= x1+ax1− x2+ax2=x1−x2x1x2x1x2−a.当0<x1⩽x2⩽a时，0<x1x2<a，又x1−x2<0，所以f x1−f x2>0，即f x1>f x2，所以函数f x在0,a 上是减函数；当a⩽x1<x2时，x1x2>a，又x1−x2<0，所以f x1−f x2<0，即f x1<f x2，所以函数f x在a,+∞ 上是增函数．7. 设函数f x=x+2x−1．(1)用定义证明函数f x在区间1,+∞上是单调递减函数；【答案】略．【解】任取x1，x2∈1,+∞，且设x1<x2，则f x1−f x2=x1+2x1−1−x2+2x2−1=3x2−x1x1−1x2−1，因为1<x1<x2，所以x1−1>0，x2−1>0，x2−x1>0，所以3x2−x1x1−1x2−1>0，即f x1>f x2，所以f x=x+2x−1在1,+∞上是单调减函数．(2)若f t2−t+2−2<0，求实数t的取值范围．【答案】t>2或t<−1．【解】解法一：因为f t2−t+2−2=t2−t+2+2t2−t+2−1−2=−t2+t+2 2=−1+32,则f t2−t+2−2<0⇔−1+3t2−t+1<0,即3t2−t+1<1.因为t2−t+1>0，所以32<1⇔t2−t+1>3,即t2−t−2>0.解得t>2或t<−1．解法二：由题意可知f4=2，所以f t2−t+2−2<0⇔f t2−t+2<f4.又因为t2−t+2>1，由（1）可得t2−t+2>4，即t2−t−2>0，解得t>2或t<−1． 8. 已知函数f x=3x，f a+2=18，g x=λ⋅3ax−4x的定义域为0,1．(1)求a的值；【解】由已知得3a+2=18⇒3a=2⇒a=log32．(2)若函数g x在区间0,1上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【解】方法一：由（1）得g x=λ⋅2x−4x，设0⩽x1<x2⩽1，因为g x在区间0,1上是单调减函数，所以g x1−g x2=2x1−2x2λ−2x2−2x1>0恒成立，即λ<2x2+2x1恒成立．由于2x2+2x1>20+20=2，所以，实数λ的取值范围是λ⩽2．方法二：由（1）得g x=λ⋅2x−4x，因为g x在区间0,1上是单调减函数，所以有gʹx=λln2⋅2x−ln4⋅4x=ln2−2⋅2x2+λ⋅2x⩽0成立．设2x=u∈1,2，上式成立等价于−2u2+λu⩽0恒成立．因为u∈1,2，只需λ⩽2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ⩽2．9. 判断函数f x=x−2x+1x⩾0的单调性，并求出值域．【解】f x=x−2x+1=x+1−3x+1=1−3x+1，设0⩽x1⩽x2，则f x1−f x2=1−3x1+1−1−3x2+1=3x2+1−3x1+1=3x1−x2x1+1x2+1,因为0⩽x1⩽x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0，于是f x1−f x2<0，即f x1<f x2，故函数f x=x−2x+1在0,+∞上为增函数．f x min=f0=−2，无最大值．画出函数的大致图象，如图所示，知函数f x=x−2x+1x⩾0的值域为−2,1．10. 已知f x=xx−ax≠a．(1)若a=−2，试证f x在−∞,−2内单调递增；【解】证明：任设x1<x2<−2，则f x1−f x2=2x1−x2x1+2x2+2．(2)若a>0且f x在1,+∞内单调递减，求a的取值范围．【解】任设1<x1<x2，则f x1−f x2=a x2−x1x1−a x2−a．要使f x1−f x2>0恒成立，所以0<a⩽1．函数的最大（小）值1. 函数f x=2xx+1在1,2上的最大值和最小值分别是．【答案】43，1【分析】f x=2xx+1=2x+1−2x+1=2−2x+1在1,2上是增函数，所以f x max=f2=43，f x min=f1=1．2. 已知x，y均为正数，且xy=2x+y−1，则x+y的最小值为．【答案】5【分析】设x+y=t>0，则y=t−x，代入xy=2x+y−1有x2+1−t x+t−1= 0，此方程有解，则Δ=t2−6t+5⩾0，所以x+y的最小值为5．3. 函数f(x)=sin2x+3cos x−34 x∈0,π2的最大值是．【答案】1【分析】f(x)=sin2x+3cos x−34=−cos2x+3cos x+14，设cos x=t，因为x∈0,π2，所以t∈[0,1]．故f(x)的最大值即为g(t)=−t2+3t+14的最大值，因为t∈[0,1]，所以g(t)在对称轴t=32处取得最大值为1．4. 已知0<x<2，求函数y=x8−3x的最大值．【答案】1635. 已知0<x<1.5，则函数y=4x3−2x的最大值为．【答案】92【分析】因为y=4x3−2x=−8x2+12x=−8 x−342+92，所以当x=34时，函数取得最大值92．(1)用函数单调性的定义讨论函数f x=x+axa>0在0,+∞上的单调性；【解】函数单调性的定义可证明：当x∈0,a 时，f x在0,a 上单调递减；当x∈a,+∞ 时，f x在a,+∞ 上单调递增．证明略．(2)设函数f x=x+axa>0在0,2上的最小值为g a，求g a的解析式．【解】由（1）得，当a⩾2时，f x在0,2上单调递减，f x在0,2上的最小值为f2；当a<2时，f x在0,a 上单调递减，在a,2上单调递增，从而f x在0,2上的最小值为f a ．∴g a=2+a2,a⩾4,2a,0<a<4.7. 设函数f x=x+ax+1，x∈0,+∞． (1)当a=2时，求函数f x的最小值；【解】把 a =2 代入 f x =x +a x +1，得 f x =x +2x +1= x +1 +2x +1−1，∵x ∈ 0,+∞ ，∴x +1>0，2x +1>0，∴x +1+2x +1⩾2 2．当且仅当 x +1=2x +1，即 x = 2−1 时，f x 取最小值．此时，f x min =2 2−1． (2)当 0<a <1 时，求函数 f x 的最小值．【解】当 0<a <1 时，f x =x +1+a x +1−1，若 x +1+a x +1⩾2 a ，则当且仅当x +1=ax +1 时取等号，此时 x = a −1<0（不合题意），因此，上式等号取不到．故用以下方法求函数最值．设 x 1>x 2⩾0，则 f x 1 −f x 2 =x 1+ax1+1−x 2−ax 2+1= x 1−x 2 1−ax 1+1 x 2+1，∵x 1>x 2⩾0，∴x 1−x 2>0，x 1+1>1，x 2+1⩾1， ∴ x 1+1 x 2+1 >1，而 0<a <1，∴ax 1+1x 2+1<1，∴f x 1 −f x 2 >0， ∴f x 在 0,+∞ 上单调递增， ∴f x min =f 0 =a ．8. 已知 a ∈R ，函数 f x =x ∣x −a ∣，(1)当 a =2 时，写出函数 y =f x 的单调递增区间；【解】当 a =2 时，f x =x ∣x −2∣= x x −2 ,x ⩾2x 2−x ,x <2由图象可知，单调递增区间为 −∞,1 ， 2,+∞ ．(2)当 a >2 时，求函数 y =f x 在区间 1,2 上的最小值．【解】因为 a >2，x ∈ 1,2 ，所以 f x =x a −x =−x 2+ax =− x −a 2 2+a 24当 1<a2⩽32，即 2<a ⩽3 时，f x min =f 2 =2a −4当 a2>32，即 a >3 时，f x min =f 1 =a −1所以 f x min = 2a −4,2<a ⩽3a −1,a >3．9. 已知 x ⩾3，求 y =x +4x 的最小值．【解】设 f x =x +4x ，且 x 2>x 1⩾3，则f x 2 −f x 1 =x 2+4x 2− x 1+4x 1= x 2−x 1 x 1x 2−4 12>0.所以 f x 2 −f x 1 >0，即 f x 2 >f x 1 ．从而 f x =x +4x 在 3,+∞ 上单调递增，所以f x ⩾f 3 =13,故当 x =3 时，函数 y =x +4x 取到最小值 133．10. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f x =x −x 2． (1)求函数 f x 的解析式；【解】因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f −0 =−f 0 ，解得 f 0 =0；令 x <0，则 −x >0，从而 f x =−f −x =− −x −x 2 =x +x 2．因此，f x = x −x 2,x ⩾0,x +x 2,x <0.(2)求函数 f x 在区间 a ,a +1 上的最大值．【解】画出函数 f x = x −x 2,x ⩾0x +x 2,x <0的图象，两个分段函数图象的对称轴分别是x =−12 和 x =12．注意到区间 a ,a +1 的长度为 1．当 a <−1 时，a +1<0，此时 f x =x +x 2，则 f x max =f a =a +a 2；当 −1⩽a <−12时，−12⩽a +1<12，则 f x max =f a +1 = a +1 − a +1 2=−a −a 2；当 −12⩽a ⩽12 时，12⩽a +1⩽32，则 f x max =f 12 =14；当 a ⩾12 时，a +1⩾32，此时 f x =x −x 2，则 f x max =f a =a −a 2，所以，函数 f x 在区间 a ,a +1 上的最大值为g a = a +a 2,a <−1,−a −a 2,−1⩽a <−1,1,−1⩽a ⩽1,a −a 2,a >12.函数的奇偶性1. 设f x是定义在R上的奇函数，且f3+f−2=2，则f2−f3 = ．【答案】−22. 函数f x=ax3+bx，若f−2=1，则f2=．【答案】−13. 已知f x=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为a−1,2a，则函数y=f x的解析式为．【答案】f x=13x2+1【分析】b=0,a−1+2a=0,所以a=13,b=0,所以f x=13x2+1．4. 若奇函数y=f x x∈R且x≠0，当x∈0,+∞时，f x=x−1，那么使f x−1<0的x的取值范围为．【答案】−∞,0∪1,25. 设f x是定义在R上的奇函数，且x>0时，f x=x2+1，则当x<0时，f x=．【答案】−x2−1【分析】设x<0，则−x>0，因为x>0时，f x=x2+1，所以f−x=−x2+1=x2+1，因为f x是定义在R上的奇函数，所以f x=−f−x=−x2−1．6. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=5x2+2x+1；【解】函数的定义域为R．f−x=5−x2+2−x+1=5x2−2x+1≠f x，又f−x≠−f x．所以函数f x=5x2+2x+1既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f x=x3+5x13；【解】函数的定义域为R．f−x=−x3+5−x13=−x3−5x13=− x3+5x13=−f x.所以函数f x=x3+5x13为奇函数．(3)f x=x−2x+2x−2；【解】由x+2x−2⩾0，解得x>2或x⩽−2，即函数的定义域为−∞,−2∪2,+∞．因为此定义域不关于原点对称，所以函数f x=x−2⋅x+2x−2既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f x=2+ x2−1；【解】由1−x2⩾0,x2−1⩾0,解得x=1或x=−1，即函数的定义域为−1,1，且f x=0，所以f−x=f x=−f x=0，所以函数f x=2+ x2−1既是奇函数，又是偶函数．(5)f x=x2+2x,x<0 x2−2x,x⩾0；【解】解法一：不妨设x>0，则−x<0，那么有f−x=−x2+2−x=x2−2x，f x=x2−2x，即f−x=f x，又f0=0=f−0，所以对任意x∈R，都有f−x=f x，所以函数f x=x2+2x,x<0x2−2x,x⩾0是偶函数．解法二：可以画出函数f x的示意图（如图所示），又因为这个分段函数图象的两段都是开口大小相同的二次函数图象的一部分，可以知道函数f x=x2+2x,x<0x2−2x,x⩾0是偶函数．(6)f x=x+1,x⩾0 x−1,x<0．【解】函数的定义域为R．f x=x+1,x⩾0 x−1,x<0解法一：因为f0=1≠0，所以函数f x不是奇函数；又因为f1=2，f−1=−2，即f−x=f x不能恒成立，所以函数f x不是偶函数．所以函数f x既不是奇函数，也不是偶函数．解法二：可以画出函数f x的示意图（如图所示），易知函数f x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称．所以函数f x既不是奇函数，也不是偶函数．7. 已知函数f x=x2−2x，设g x=1x⋅f x+1．(1)求函数g x的表达式及定义域；【解】由f x=x2−2x，得f x+1=x2−1．所以g x=1x ⋅f x+1=x2−1x．定义域为 x∣x∈R且x≠0．(2)判断函数g x的奇偶性，并证明．【解】结论：函数g x为奇函数．证明：由已知，g x的定义域为x∣x≠0，又g−x=−x2−1−x=−g x，∴函数g x为奇函数．8. 已知f x是定义在R上的奇函数，当x⩾0时，f x=2x−1．(1)求f3+f−1；【解】因为f x是奇函数，所以 f 3 +f −1 =f 3 −f 1 =23−1−2+1=6． (2)求 f x 的解析式；【解】设 x <0，则 −x >0，所以 f −x =2−x −1，因为 f x 是奇函数，所以 f x =−f −x =−2−x +1．所以 f x = 2x −1,x ⩾0−2−x +1,x <0．(3)当 x ∈A 时，f x ∈ −7,3 ，求区间 A ．【解】结合函数图象可得 f x 在 R 上单调递增，且 f 0 =0．当 x <0 时，−7⩽−2−x +1<0，解得 −3⩽x <0；当 x ⩾0 时，0⩽2x −1⩽3，解得 0⩽x ⩽2．所以区间 A 为 −3,2 ．9. 已知函数 f x =k ⋅a −x （k ，a 为常数，a >0 且 a ≠1）的图象过点 A 0,1 ，B 3,8 ． (1)求实数 k ，a 的值；【解】把 A 0,1 ，B 3,8 的坐标代入 f x =k ⋅a −x ，得k ⋅a 0=1,k ⋅a −3=8,解得 k =1，a =12．(2)若函数 g x =f x −1f x +1，试判断函数 g x 的奇偶性，并说明理由．【解】由（1）知 f x =2x ，所以g x =f x −1 =2x −1x .此函数的定义域为 R ，又 g −x =2−x −12+1=2x ⋅2−x −2x 2⋅2+2=−2x −12+1=−g x ，所以函数 g x 为奇函数10. 判断下列函数的奇偶性并说明理由： (1) f x =1+a 2x1−a 2x a >0且a ≠1 ；【解】函数的定义域为 −∞,0 ∪ 0,+∞ ．∵f −x =1+a −2x1−a −2x=1+a −2x ⋅a 2x −2x 2x =a 2x +12x=−f x ,∴函数f x=1+a2x1−a为奇函数．(2) f x=x−1+1−x；【解】由x−1⩾0,1−x⩾0,得x=1，∴函数的定义域为1．由于函数的定义域不关于原点对称，∴f x=x−1+1−x为非奇非偶函数． (3) f x=x2+5∣x∣．【解】函数的定义域为R，且f−x=−x2+5∣−x∣=x2+5∣x∣=f x,∴函数f x=x2+5∣x∣为偶函数．函数的对称性1. 已知函数f x=1x2+1，则f log32+f log914=．【答案】 1【分析】f x+f−x=12+1+12+1=12+1+2x2+1=1，log914=log314log39=−log32，所以f log32+f log914=1．2. 四位同学在研究函数f x=x1+∣x∣x∈R时，分别给出下面四个结论：①函数f x的图象关于y轴对称；②函数f x的值域为−1,1；③若x1≠x2，则一定有f x1≠f x2；④若规定f1x=f x，f n+1x=f f n x，则f n x=x1+n∣x∣对任意n∈N∗恒成立．你认为上述四个结论中正确的有．【答案】②③④3. 函数y=∣x−a∣的图象关于直线x=3对称．则a=．【答案】34. 对于任意x∈R，函数f x满足f x=f4−x，如果方程f x=0恰有2006个根，则这些实根之和为．【答案】4012【分析】因为f x=f4−x，所以f x的图象关于直线x=2对称，所以f x=0的根之和为4×20062=4012．5. 函数f x对一切实数x都满足f12+x =f12−x ，并且方程f x=0有三个实根，则这三个实根的和为．【答案】326. 若函数f x对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足f x+f2a−x=2b，则称f x关于点a,b对称，已知函数f x=x 2+mx+mx的图象关于0,1对称，求实数m的值．【解】由题知，若f x的图象关于点a,b对称，则f x+f2a−x=2b．因为f x的图象关于点0,1对称，所以f x+f−x=2．所以x2+mx+mx +x2−mx+m−x=2，所以x2+mx+m−x2−mx+mx =2，所以m=1．7. 已知函数f x的图象与函数 x=x+1x+2的图象关于点A0,1对称．(1)求f x的解析式；【解】设f x上的任意一点为x,y，则点x,y关于A0,1对称点为−x,2−y，代入 x=x+1x +2，得2−y=x−1x+2，即y=x+1x，所以f x=x+1x．(2)若g x=f x⋅x+ax，且g x在区间0,2上为减函数，求实数a的取值范围．【解】g x=f x⋅x+ax= x+1x x+ax=x2+ax+1，对称轴为x=−a2，要使g x在区间0,2上为减函数，则−a2⩾2，即a⩽−4．所以实数a的取值范围a⩽−4．(1)写出函数y=x2−2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=x2−2x的单调递减区间是−∞,1，单调递增区间是1,+∞；其图象的对称轴是直线x=1；区间−∞,1和区间1,+∞关于直线x=1对称，函数y=x2−2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)写出函数y=∣x∣的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=∣x∣的单调减区间为−∞,0，增区间为0,+∞，图象关于直线x=0对称，在其两侧单调性相反．(3)定义在−4,8上的函数y=f x的图象关于直线x=2对称，y=f x的部分图象如图所示，请补全函数y=f x的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=f x,x∈−4,8的图象如图所示．函数y=f x的单调递增区间是−4,−1，2,5；单调递减区间是5,8，−1,2；区间−4,−1和区间5,8关于直线x=2对称．区间−1,2和区间2,5关于直线x=2对称，函数y=f x在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)由以上你发现了什么结论？（不需要证明）【解】发现结论：如果函数y=f x的图象关于直线x=m对称，那么函数y=f x在直线x=m两侧对称区间内的单调性相反．9. 设二次函数y=f x满足f x−2=f−x−2，且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段的长为22，求y=f x的解析表达式，并求其单调区间．【解】二次函数y=f x满足f x−2=f−x−2，∴y=f x的对称轴为x=−2．又函数图象在x轴上截得的线段的长为22，∴函数图象与x轴的交点为 −2+0和 −2−0．故设f x=a x+2−2 x+2+2,由函数图象在y轴上的截距为1，得f0=1．∴a=12，∴y=f x的解析表达式为f x=12x2+2x+1．函数在−∞,−2上单调递减，函数在−2,+∞上单调递增．10. 设函数f x=x x−1x−a a∈R，f x的两个极值点为A α,fα，B β,fβ，线段AB的中点为M．(1)如果函数f x为奇函数，求实数a的值；当a=2时，求函数f x图象的对称中心；【解】解法 1：因为f x为奇函数，所以f−1=−f1得−1×−1−1−1−a= 0，故a=−1．当a=−1时，f x=x x−1x+1=x x2−1，有f−x=−f x，则f x为奇函数．当a=2时，f x=x x−1x−2，该图象可由奇函数f x=x+1x x−1的图象向右平移一个单位得到，所以函数f x=x x−1x−2图象的对称中心为1,0．解法2：f x=x3−1+a x2+ax，f−x=−f x恒成立，即−x3−1+a x2−ax=x3−1+a x2+ax解得a=−1．以下同解法1．(2)如果点M在第四象限，求实数a的取值范围；【解】因为fʹx=3x2−21+a x+a，令fʹx=3x2−21+a x+a=0，则α，β为方程3x2−21+a x+a=0的两个实根．所以α+β=21+a3，αβ=a3．fα+fβ2=12α3−1+aα2+aα+β3−1+aβ2+aβ=12α+βα+β2−3αβ−a+1α+β2−2αβ+aα+β=−2a+1327+a a+13=−a+1a−22a−127.因为点Mα+β2,fα+fβ2在第四象限，所以Δ=41+a2−12a>0, a+1>0,a+12a−1a−2>0,解得a>2．即实数a的取值范围是2,+∞．(3)证明：点M也在函数f x的图象上，且M为函数f x图象的对称中心．【解】由（2）得点M1+a3,−a+1a−22a−127又f1+a3=1+a31+a3−11+a3−a=1+a3⋅a−23⋅1−2a3=−a+1a−22a−127,所以点M也在函数f x的图象上．证明M为函数f x图象的对称中心有两种证法：证法1：设P x0,y0为函数f x的图象上任意一点，P x0,y0关于M的对称点为Q21+a3−x0,−2a+1a−22a−127−y0．而f21+a3−x0=21+a3−x03−1+a21+a3−x02+a21+a3−x0=−a+1a−22a−127−x03+a+1x02−ax0=−2a+1a−22a−127−y0.即Q21+a3−x0,−2a+1a−22a−127−y0在函数f x=x x−1x−a的图象上．所以M为函数f x的对称中心．证法2设g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127= x+1+a3 x+1+a3−1 x+1+a3−a +a+1a−22a−127= x+1+a3 x+a−23x+1−2a3+a+1a−22a−127=x3+1+a3+a−23+1−2a3x2+1+a3⋅a−23+a−23⋅1−2a3+1+a3⋅1−2a3x+1+a3⋅a−23⋅1−2a3+a+1a−22a−127=x3−13a2−a+1x.所以g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127为奇函数，对称中心为O0,0．把函数g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127的图象按向量OM=1+a3,−a+1a−22a−127平移后得到函数f x的图象．所以M1+a3,−a+1a−22a−127为函数f x的对称中心．函数的周期性1. 已知定义在R上的函数f x满足f2=2−3，且对任意的x都有f x+3=1−f x，则f2015=．【答案】−2−32. 已知定义在R上的函数f x满足f2=15，且对任意的x都有f x+3=−1f x，则f8=；f2015=．【答案】15；−5【分析】由f x+3=−1f x ，得f x+6=−1f x+3=f x，故函数f x是周期为6的周期函数．故f8=f2=15，f2015=f6×335+5=f5=−1f2=−11=−5．3. 设f x是以4为周期的偶函数，且当x∈0,2时f x=x，则f7.6=．【答案】0.4【分析】f7.6=f4+3.6=f3.6=f−3.6=f−3.6+4=f0.4=0.44. 已知定义在R上的函数f x满足f x+5=−f x+2，且当x∈0,5时，f x=x，则f2008的值为．【答案】−1【分析】由f x+5=−f x+2得f x+10=−f x+5+2，∴f x+10=f x，∴f x是以10为周期的函数．故f2008=f8=−f3+2=−3+2=−1．5. 若f x是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f x+4⩽f x+4和f x+ 2⩾f x+2,且f3=4,f2007的值是．【答案】2008【分析】根据f x+2−f x⩾2,可得f x+4−f x=f x+4−f x+2+f x+2−f x⩾2+2=4,即f x+4⩾f x+4.又由已知，得f x+4⩽f x+4,所以f x+4=f x+4,因此f2007=f3+501×4=f3+500×4+4×1=f3+499×4+4×2=f3+498×4+4×3=⋯⋯=f3+0×4+4×501=4+4×501=2008.6. 已知函数f x定义在自然数集上，且对任意x∈N∗都有f x=f x−1+f x+1，其中f1=2008．问f x是不是周期函数？若是周期函数，求出它的一个周期，并求f2008．【解】由f x=f x−1+f x+1，得f x−1=f x−f x+1．所以f x+1−1=f x+1−f x+2．所以f x−1=−f x+2．同理f x=−f x+3，f x=f x+6，所以f x是以6为周期的周期函数．f2008=f4=−f1=−2008．7. 已知函数f x的定义域为−∞,+∞，且对于任意一个x的值，都有f x=f x−1+f x+1．求证：f x一定是周期函数．【解】因为f x=f x−1+f x+1 ⋯⋯①．用x+1替换①式中x，得到f x+1=f x+f x+2 ⋯⋯②．用x+2替换①式中x，得到f x+2=f x+1+f x+3 ⋯⋯③把②③联立，得f x+1=f x+f x+2f x+2=f x+1+f x+3所以f x=−f x+3，即f x+3=−f x．所以f x+6=f x+3+3=−f x+3=−−f x=f x，所以f x是周期函数．8. 已知f x为定义在区间−∞,+∞上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间2k−1,2k+1，已知x∈I0时，f x=x2．(1)求f x在I k上的解析式；【解】由题意f x是定义在R上的以2为周期的函数，由于对一切x∈R，都有f x=f x±2k k∈Z.当2k−1<x⩽2k+1时，有−1<x−2k⩽1,所以f x =f x −2k = x −2k 2,x ∈I k(2)对自然数 k ，求集合 M k = a ∣使方程 f x =ax 在 I k 上有两个不相等的实根．【解】当 x ∈N 且 x ∈I k 时，由（1）的结论可得： x −2k 2=ax ，化简有x 2− 4k +a x +4k 2=0,解方程，可得x 1=14k +a − a a +8k ,x 2=14k +a + ,所以方程在区间 I k 上恰有两个不相等实根当且仅当：a a +8k >02k −1<124k +a − a a2k +1⩾124k +a + a a 解得集合 M k 为M k = a ∣0<a ⩽12k +1.9. 已知函数 f x 是 −∞,+∞ 上的奇函数，且 f x 的图象关于 x =1 对称，当 x ∈ 0,1 时，f x =2x −1，(1)求证：f x 是周期函数；【解】因为函数 f x 为奇函数，则 f −x =−f x ，因为函数 f x 的图象关于 x =1 对称，则 f 2+x =f −x =−f x ，所以 f 4+x =f 2+x +2 =−f 2+x =f x ，所以 f x 是以 4 为周期的周期函数． (2)当 x ∈ 1,2 时，求 f x 的解析式；【解】当 x ∈ 1,2 时，2−x ∈ 0,1 ，又 f x 的图象关于 x =1 对称，则 f x =f 2−x =22−x −1，x ∈ 1,2 ．(3)计算 f 0 +f 1 +f 2 +⋯+f 2013 的值．【解】因为 f 0 =0，f 1 =1，f 2 =0， f 3 =f −1 =−f 1 =−1，又 f x 是以 4 为周期的周期函数．所以 f 0 +f 1 +f 2 +⋯+f 2013 =f 2012 +f 2013 =f 0 +f 1 =1．10. f x是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f x+3⩽f x+3和f x+2⩾f x+2，设g x=f x−x．(1)求证：g x是周期函数；【解】g x=f x−x可得g x+2=f x+2−x−2,g x+3=f x+3−x−3再以f x+3⩽f x+3和f x+2⩾f x+2代换，可得g x+2⩾f x+2−x−2=f x−x=g x ⋯⋯①g x+3⩽f x+3−x−3=f x−x=g x ⋯⋯②由①②可得g x+6⩾g x+4⩾g x+2⩾g x,g x+6⩽g x+3⩽g x于是g x+6=g x即g x是周期函数（6是它的一个周期）．(2)如果f998=1002，求f2000的值．【解】g2000=g6×167+998=g998，即f2000−2000=f998−998，所以f2000=f998+1002=1002+1002=2004．课后练习1. 函数f x在R上为奇函数，且x>0时，f x=x+1，则当x<0时，f x=．2. 定义在R上的偶函数f x在0,+∞上是增函数，若f1=0，则f log2x>0的解集是．3. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上不是单调函数的充分必要条件是．4. 函数f x=13x−log2x+2在区间−1,1上的最大值为．5. 已知函数f x是R上的增函数，A0,−1，B3,1是其图象上的两点，那么f x+1<1的解集是．6. 已知函数f x=−x2+m在x∈m,+∞上为减函数，则m的取值范围是．7. 若函数y=2k+1x+b在−∞,+∞上是减函数，则k的取值范围是．8. 若函数f x=ax在0,+∞上为增函数，则实数a的取值范围是.9. 已知f x=3a−1x+4a,x⩽1,log a x,x>1.是−∞,+∞上的减函数，那么a的取值范围是．10. 已知函数f x=x2∣x−a∣在区间0,2上单调递增，则实数a的取值范围是．11. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m−4，则ba=．12. 已知函数f x=x−1x+2,x⩽3,5，函数f x的最大值和最小值分别为．13. 设函数f x的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f x⩽M，则M是函数f x的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f x<f x0，则f x0是函数f x的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f x⩽f x0，则f x0是函数f x的最大值．这些命题中，真命题的个数是．14. 函数y=2x−1，x∈2,6的最大值是．15. 函数f x=x⋅∣x∣+x3+3在区间−2015,2015上的最大值与最小值之和为．16. 已知函数f x=ax3−bx+1，a，b∈R，若f2=−1，则f−2=．17. 已知函数f x为奇函数，且当x>0时，f x=x2+1x，则f−1=．18. 奇函数f x，若x>0时，f x=2x−3，则x<0时，f x=．19. 若函数f x=x22x+1x+a的图象关于y轴对称，则a=．20. 已知y=f x是定义在R上的奇函数，当x⩾0时，f x=x2−2x，则f x在x<0时的解析式是．21. 若函数f x=log2∣ax−1∣的图象的对称轴方程是x=2，则非零实数a的值为．22. 若f x=a−x与g x=a x−a a>0且a≠1的图象关于直线x=1对称，则a=．23. 设函数f x对于一切实数x都有f2+x=f2−x，如果方程f x=0有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于．24. 若存在x0∈−1,1使得不等式∣4x0−a⋅2x0+1∣⩽2x0+1成立，则实数a的取值范围是．25. 抛物线f x=x2−6x+1的对称轴方程是．26. 若f x是R上周期为5的奇函数，且满足f1=1，f2=2，则f3−f4=．27. 设g x是定义在ℛ上，以1为周期的函数，若函数f x=x+g x在区间0,1上的值域为−2,5，则f x在区间0,3上的值域为．28. 已知函数f x的定义域为R，且满足f x+1+f x=3，当x∈0,1时，f x=2−x，则f−2009.9=．29. 定义在R上的函数f x满足f x+1=−f x，且f x=1,−1<x⩽0−1,0<x⩽1，则f3=．30. 若函数f x是定义域为R，最小正周期为3π2的函数，且当x∈0,π时，当f x=sin x，则f15π4=．31. 作出函数y=∣x−2∣x+1的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．32. 已知函数f x=x2+2x+ax,x∈1,+∞．(1)当a=4时，求函数f x的最小值；(2)当a=12时，求函数f x的最小值；33. 若函数f x=x2x+1x−a为奇函数，求实数a的值．34. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=5x2+2x+1(2)f x=x3+5x1．(3)f x=x−2x+2x−2．(4)f x=2+ x2−1．(5)f x=x2+2x x<0, x2−2x x⩾0.35. 设函数f x是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f32+x =−f32−x 成立．(1)证明y=f x是周期函数，并指出其周期；(2)若f1=2，求f2+f3的值；(3)若g x=x2+ax+3，且y=∣f x∣⋅g x是偶函数，求实数a的值．36. 已知函数f x=1x．(1)求f x定义域；(2)证明f x在0,+∞上是减函数．37. 已知函数f x=−x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0,是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f x在区间−1,a−2上单调递增，求实数a的取值范围．38. 用函数单调性定义证明f x=x+ax+ba>b>0在−b,+∞上是减函数．39. 利用单调性的定义证明函数f x=x+2在−2,+∞上是增函数．40. 已知函数f x=x+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数(1)求函数f x的解析式；(2)用单调性的定义证明函数f x在−1,1上是增函数；(3)解不等式f x2−1+f x<0．41. 已知函数f x=ax2−x+a，a∈R．(1)当a=2时，解不等式f x>3；(2)若函数f x有最大值−2，求实数a的值．42. 求函数f x=x+1x 在区间12,1上的最大值和最小值．43. 如图，ABCD是正方形空地，边长为30 m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9 m，3 m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN:NE= 16:9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x m，液晶广告屏幕MNEF的面积为S m2．(1)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(2)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？44. 某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？45. 已知f e x=x2−2x+32⩽x⩽3．(1)求f x的解析式和定义域；(2)求f x的最值．46. 判断下列函数的奇偶性： (1)f x=x−1x；(2)f x=x；(3)f x=−x2+x+1,x>0, x2+x−1,x⩽0.47. 判断下列函数的奇偶性：(1)f x=3,x∈R；(2)f x=5x4−4x2+7,x∈−3,3；(3)f x=∣2x−1∣−∣2x+1∣；(4)f x=1−x2,x>0 0, x=0 x2−1,x<0.48. 函数f x是R上的奇函数，且当x⩾0时，f x=2x−1，求x<0时函数的解析式．49. 设f x是奇函数，g x是偶函数，并且f x−g x=x2−x，求f x．50. 已知f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x,y,f x都满足f xy=yf x+xf y．(1)求f1，f−1的值；(2)判断函数f x的奇偶性．51. 已知函数y=f x的图象与y=x2+x的图象关于点−2,3对称，求f x的解析式．52. 已知函数y=f x的图象与x轴有三个不同的交点m,0，n,0，p,0，试分别就下列情况求m+n+p的值：(1)函数f x为奇函数；(2)函数f x的图象关于直线x=2对称．53. 设二次函数f x=ax2+bx+c a,b∈R满足条件：①当x∈R时，f x的最大值为−2，且f x−1=f3−x成立；②二次函数f x的图象与直线y=−2交于A，B两点，且∣AB∣=4．(1)求f x的解析式；(2)求最小的实数n n＜−1，使得存在实数t，只要当x∈n,−1时，就有f x+t⩾2x成立．54. 已知函数f x是定义在R上的增函数，设F x=f x−f a−x．(1)用函数单调性的定义证明：F x是R上的增函数；(2)证明：函数y=F x的图象关于点a2,0成中心对称图形．55. 设函数y=f x的定义域为R，其图象关于点12,12成中心对称，令a k=f kn，其中n是常数且n⩾2，n∈N∗，k=1,2,⋯,n−1，求数列a n的前n−1项的和．56. 设f x是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称．对任意x1,x2∈0,12都有f x1+x2=f x1⋅f x2．(1)设f1=2，求f12及f14；(2)证明f x是周期函数．57. 已知f x是定义在R上的函数，且对任意x∈R，f x+a=12+ f x−f x2，试证：f x为周期函数．58. 如果函数y=f x的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f x+a=f−x成立，则称此函数具有" P a性质"．(1)判断函数y=sin x是否具有" P a性质"，若具有" P a性质"，求出所有a的值；若不具有" P a性质"，请说明理由；(2)设函数y=g x具有" P±1性质"，且当−12⩽x⩽12时，g x=∣x∣．若y=g x与y=mx交点个数为2013个，求m的值．59. 已知函数f x是定义在R上且T=5的周期函数，当x∈0,1时，f x=3x4−3n n∈N∗，当x∈1,4时，f x=log a x+b，又函数y=f x在−1,1上是奇函数且在区间0,1上单调递增．(1)求函数y=f x在1,4上的解析式；(2)求函数y=f x在R上的解析式．60. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f x+1=f1−x成立．(1)证明：f x是周期为4的周期函数；(2)若f x=x0<x⩽1，求x∈−5,−4时，函数f x的解析式．。

2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案13 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案13 新人教A 版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P32练习第1、2、3题注意：1 单调区间的书写2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1课本P32练习第4题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．例4(07福建高考)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.解析：∵为R上的减函数,∴＞1,即＜-1或＞1;解得-1＜x＜0或0＜x＜1从而选C三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P39习题1．3（A组）第1- 4题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．课题：§1.3.1函数的最大（小）值教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：五、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（2）（3）（4）六、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，25如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：⑴（教材P32练习5）⑵求函数在区间上的最大值。

高中数学 133函数的基本性质学案新人教A版必修1 学案

1.3.3函数的基本性质使用说明：“自主学习”8分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”4分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。

能力展示8分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:1.了解奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.学习重点：奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

学习难点:函数奇偶性概念的认识。

学习过程： 1.自主学习：1.判断函数单调性的方法.2.画出函数2x y x y ==与，从对称的角度观察其图像特点。

3.分析函数2x y =的图像，比较()()x f x f -与的关系。

4.给出偶函数的概念。

5.偶函数的图像有什么特征？6.偶函数的定义域有何要求？7.观察函数x y =的图像，给出奇函数的概念、性质、图像特征。

（二）合作探讨例1 判断下列函数的奇偶性（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21xx f =例2已知函数y ＝f(x)是偶函数，且知道x ≥0时的图像，请作出另一半图像.例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数（三）巩固练习： 1、判断下列函数的奇偶性（1）()2432x x x f +=（2）()x x x f 23-=（3）()xx x f 12+=（4）()12+=x x f （5）()[]2,1,2-∈=x x x f （6）()2244x x x f -+-=2.已知函数f(x)=x2-,(1)它是奇函数还是偶函数？(2)它的图像具有怎样的对称性?(3)它在(0，＋∞)上是增函数还是减函数？（4）它在(－∞，0)上是增函数还是减函数？3.已知f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？并证明你的判断.4. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。

高中数学人教a版必修1学案1.3函数的基本性质

7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．
二、典型例题选析例 2 当 a，b，c 满足什么条件时，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 是：(1) 奇函数； (2)偶函数； (3) 既奇又偶函数； (4) 非奇非偶函数．
解 (1)若是奇函数，应有 f(－ x)＝－ f(x)，于是有 ax2－ bx＋ c＝－ ax2－ bx－ c，即 ax2＋ c＝ 0 对定义域内所有实数都成立，
y＝x2－ 2x＋ 1
在整个定义域 (－∞，＋∞ )上不具有单调性，但是在 (－∞， 1]上是减函数，在 (1，＋∞ )上是
增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
3．有的函数无单调性．如函数
1，x为有理数， y＝
0， x为无理数，
它的定义域是 (－∞，＋∞ )，但无
单调性可言，又如 y＝ x2＋ 1， x∈ {0,1,2} ，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上
2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需
要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：
f(－ x)＝ ±f(x)? f(－ x) ±f(x)＝ 0 ? f － x 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于
y 轴成轴对称图形，反
(2)作差：指求 f(x2)－ f( x1)． (3) 变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式 f(x2) －f(x1)进一步化简变形，变到利于判断 f(x2)－ f (x1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．

2019-2020学年新人教A版必修一考点05 函数的基本性质教案

一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总: 1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数（2）奇偶函数的性质： ①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称； ③ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． ④ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=． ⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性. 1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．学%科网（2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数.⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()f x '＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上. 1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． ⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数)(x f y =的图象变换①将函数()y f x ω=图像0)((0))||a a a ><向左(向右单位(())y f x a ω=+的图象； ②将函数)(x f y =图像0)((0))||b b b ><向上(向右单位()y f x b =+的图象； ③将函数)(x f y =图像x x x 轴下方部分沿轴对折到轴上方|()|y f x =的图象； ④将函数)(x f y =图像y 擦除轴左侧部分将y 轴部分沿y 轴对折(||)y f x =的图象；⑤将函数)(x f y =图上1ω所有点的横坐标变为原来的倍()y f x ω=的图象;⑥将函数)(x f y =图上A 所有点的纵坐标变为原来的倍()y Af x =的图象. （2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读 1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例 1【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题. 【答案】A【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性. 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（） A ．y=log 2（﹣x ） B ． C ．y=﹣x 2+1 D ．y=e |x|【答案】D【解析】对于A ，由﹣x ＞0，得x ＜0，函数的定义域为（﹣∞，0），函数为非奇非偶函数；对于B ，y=的定义域为{x|x≠1}，函数为非奇非偶函数；对于C ，y=﹣x 2+1的定义域为R ，在（﹣∞，0）上为增函数；对于D ，y=e |x|，定义域为R ，且f （﹣x ）=f （x ），函数为偶函数，∵当0<x 时，t tee y )1(==-在（﹣∞，0）上为减函数，故选D ．学*科网【变式2：改编结论】若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 2122a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎭. 【变式3：改编问法】已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (),1-∞B. []2,0-C. (22---+D. []0,1 【答案】A2.函数奇偶性的判定与应用 2.1考题展示与解读例3【2018年新课标Ⅲ】已知函数f （x ）=ln （﹣x ）+1，f （a ）=4，则f （﹣a ）= ．【命题意图探究】本题主要考查函数奇偶性的应用，是容易题. 【答案】﹣2【解析】设)1ln()(2x x x g -+=，∵g （﹣x ）=ln （+x ）==﹣ln （﹣x ）=﹣g（x ），∴g （x ）是奇函数，∵41)()(=+=a g a f ，∴3)(=a g ，∴1)(1)()(+-=+-=-a g a g a f =213-=+-．【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】设()f x 是定义在上的任意函数，下列叙述正确的是A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x +-是偶函数D. ()()f x f x --是偶函数【答案】C【变式2：改编结论】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当=（）A ．﹣2B ．2C ．D ．【答案】A【解析】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当=f （﹣ln2）=﹣f （ln2）=﹣e ln2=﹣2，故选A ．学@科网【变式3：改编问法】若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A.3.函数奇偶性与单调性的综合应用 3.1考题展示与解读例2【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【命题意图探究】本题主要考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，是容易题. 【答案】D【解题能力要求】运算求解能力、转化与化归思想【方法技巧归纳】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()()124a f f ->，则a 的取值范围是（）A. (),1-∞-B. ()(),13,-∞⋃+∞C. ()1,3-D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(−∞,0)上单调递增，∴f (x )在(0,+∞)是减函数，则不等式()()124a f f ->,得2|a −1|<4，即|a −1|<2，得−2<a −1<2，得−1<a <3，故选C.【变式2：改编结论】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ()f x '为其导函数，当0x >时，()()0xf x f x +>'，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为（）A. ()()1,00,1-⋃B. ()()1,01,-⋃+∞C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()(),10,1-∞-⋃ 【答案】C【变式3：改编问法】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时， ()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________．【答案】[)0,1【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。

2019-2020学年新人教A版必修一函数的概念学案

1．2.1函数的概念学习目标 1.理解函数的概念；2.了解构成函数的三要素；3.正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考1初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？答案因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，值域是集合B的子集．思考2用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；(2)；(3)；(4)；(5).答案(1)不是，因为集合A不是数集．(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．知识点二函数相等思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．知识点三区间思考1填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：答案(－∞，a)[a，b)思考2若集合A＝{x|a<x<2a}＝∅，则实数a的取值范围是________；若已知区间(a,2a)，则实数a的取值范围是________．答案a≤0a>0类型一函数的概念例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应．跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是()A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→1|x|B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→x答案 C解析A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．类型二函数相等例2下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等； (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x 不相同，所以不相等；(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相等．反思与感悟在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．跟踪训练2 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？ (1)y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1). 解 (1)中两函数定义域不同，所以不相等； (2)中y 1＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等．类型三 “对应关系f ”的表现形式例3 (1)已知函数f (x )＝2x ＋1，求f (0)和f [f (0)]；(2)求函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数的定义域，值域；(3)若f (x )、g (x )对应关系分别由下表给定，求f [g (x )]的值域.解 (1)f (0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f (1)＝2×1＋1＝3.(2)x 为有理数或无理数，故定义域为R .只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}． (3)f [g (x )]中的x ＝1,2,3.由表知g (1)＝1，g (2)＝2，g (3)＝1，∴f [g (1)]＝f (1)＝3，f [g (2)]＝f (2)＝2，f [g (3)]＝f (1)＝3.∴值域为{2,3}．反思与感悟 “某种确定的对应关系f ”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2x ＋1，求f [f (x )]； (2)如图是函数f (x )的图象，试写出f (x )的解析式．解 (1)f [f (x )]＝2f (x )＋1＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B2．下列说法中，不正确的是( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素答案 B3．下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C ．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应答案 D4．区间(0,1)等于()A．{0,1} B．{(0,1)}C．{x|0<x<1} D．{x|0≤x≤1}答案 C5．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈BB．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝bD．若a＝b，则f(a)＝f(b)答案 C1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．一、选择题1．下列对应：①M＝R，N＝N*，对应关系f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应关系f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”．是集合M到集合N上的函数的有()A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①M中有的元素在N中无对应元素．如M中的元素0；③M中的元素不是实数，即M不是数集；只有②满足函数的定义，故选A.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2答案 D解析 A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.3．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.4．已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 答案 B解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f (3)唯一确定，故只有一个交点(3，f (3))． 5．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x | 答案 A解析对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立．对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立．对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立．对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16答案 D解析组装第A 件产品用时15分钟，即f (A )＝15. ∵A ≥A ，∴f (A )＝cA＝15，① ∴必有4<A ，且c x ＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16. 二、填空题7．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，所以x ≥2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x ＜5，f (x －5)，x ≥5，那么f (13)＝________.答案 27解析根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)， ∴f (13)＝f (13－5)＝f (8)＝f (8－5)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3，∴f (3)＝33＝27.9．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是________．答案 1解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f [f (－1)]＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0， ∴a ＝1或a ＝0(舍去)．10．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________. 答案 3解析 f (1)＝f (2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3. 三、解答题 11．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3. f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.12．已知A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，求A ∩B . 解集合A ＝{x |y ＝x ＋1}表示函数y ＝x ＋1的定义域，∴A ＝[－1，＋∞)，集合B ＝{y |y＝x 2＋1}表示函数y ＝x 2＋1的值域，∴B ＝[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝[1，＋∞)．13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ， ∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．。

2019-2020学年新人教A版必修一函数复习教案

通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力.合作学习一、提出问题①第一节是集合,分为几部分?②第二节是函数及其表示,分为几部分?③第三节是函数的基本性质,分为几部分?④画出本章的知识结构图.二、应用示例【例1】若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q=⌀B.P⫋QC.P=QD.P⫌Q【例2】求函数y=x2+1的最小值.【例3】求函数y=的最大值和最小值.【例4】函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数三、变式训练1.设集合M={x|x>1},P={x|x2-6x+9=0},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⫋MC.M⫋PD.M∩P=R2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉A∩B},则(A*B)*A等于()A.A∩BB.A∪BC.AD.B3.求函数f(x)=-的单调区间.四、作业课本P44复习参考题第5,7题.参考答案一、提出问题①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射.③分为:单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图所示,二、应用示例【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=⌀.答案:A点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x2+1的定义域是R,∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.方法二:(公式法)函数y=x2+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.点评:求函数最值的方法:观察法:当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接观察写出函数的最值;公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值.【例3】解:(判别式法)由y=得yx2-3x+4y=0,∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.∴0<y2≤.∴-≤y<0或0<y≤.综上所得,-≤y≤.∴函数y=的最小值是-,最大值是.点评:形如函数y=(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组-此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.【例4】解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)==x+-2a,下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.设1<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+-2a)-(x2+-2a)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-)=(x1-x2)-.∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0.又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.答案:D三、变式训练1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P⫋M.答案:B2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.答案:D点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合.3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y=,u=x2-1,当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在[1,+∞)上是增函数.当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在(-∞,-1]上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间.注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.。

2019-2020学年高中数学 §1.3函数的基本性质学案 新人教A版必修1.doc

高中数学人教A版必修1学案：1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)

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