小专题8 线段的计算

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小专题8二次函数的最值及函数值的范围

小专题8 二次函数的最值及函数值的范围对于二次函数y＝a(x－h)2＋k图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)，求函数值的范围(最值)考虑以下四种情况：当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y1，最小值为y2.当a<0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y2，最小值为y1．当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是1，y的最大值为y1，最小值为k.当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是， y的最大值为k，最小值为y2．类型1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围1．(温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－22．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )A．y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜33．如图，点P(x，y)在抛物线y＝－(x－1)2＋2的图象上，若－1＜x＜2，则y的取值范围是．4．已知点P(x，y)在二次函数y＝2(x＋1)2－3的图象上．(1)当0＜x＜1时，y的取值范围是；(2)当－2＜x＜1时，y的取值范围是；(3)当－4≤x＜1时，y的取值范围是．类型2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值5．若二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是．6．已知关于x的二次函数y＝ax2＋a2.(1)若它的最小值为4，则a的值为；(2)若它的最大值为4，则a的值为．7．(黄冈中考)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( ) A．－1 B．2C．0或2 D．－1或28．【易错】(泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( ) A．1或－2 B．－2或 2C. 2 D．19．【分类讨论思想】(潍坊中考改编)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值．小专题8 二次函数的最值及函数值的范围y2≤y≤y1 y1≤y≤y2 k≤y≤y y2≤y≤k1,D 2,B 3,－2＜y≤2 4(1)－1＜y＜5 (2)－3≤y＜5 (3)－3≤y≤15 5,6 6(1)2 (2)－2 7,D 8,D9 解：如图，画出二次函数的大致图象．当h＜2时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得，即－(2－h)2＝－1.解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，函数y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝5处取得，即－(5－h)2＝－1.解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或6.章末复习(二) 二次函数分点突破知识点1 二次函数的图象与性质1．(株洲中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ＜0(填“＝”“＞”或“＜”)． 2．抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是(A)A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)3．关于抛物线y ＝x 2－4x ＋4，下列说法错误的是(D)A ．开口向上B ．与x 轴只有一个交点C ．对称轴是直线x ＝2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大4．(攀枝花中考)在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是(C),A) ,B),C) ,D)5．(甘孜中考改编)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴分别交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由．解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴此二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)△BCD 为直角三角形．理由如下： ∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴顶点D 的坐标为(2，－1)．当x＝0时，y＝x2－4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵点B的坐标为(3，0)，∴BC＝32＋32＝32，BD＝（2－3）2＋（－1）2＝2，CD＝22＋（－1－3）2＝2 5.∵BC2＋BD2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°.∴△BCD为直角三角形．知识点2 二次函数图象的平移规律6．(宜宾中考)将抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2．7．如果要得到y＝x2－6x＋7的图象，需将y＝x2的图象(B)A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度知识点3 求二次函数解析式8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，则该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．9．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．11．(云南中考)已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1)求b ，c 的值；(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×16－4b ＋c ＝－92.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3.(2)由(1)可得，该抛物线解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.Δ＝(98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．令－316x 2＋98x ＋3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8.∴公共点的坐标是(－2，0)或(8，0)．知识点5 二次函数的实际应用12．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h ＝－t 2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是(D)A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m13．(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/件，才能在半月内获得最大利润． 14．用长为6 m 的铝合金制成如图所示的窗框，窗框的上部是由两个正方形组成的矩形，解答下列问题：(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？(2)当AB 和BC 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？解：(1)∵铝合金长为6 m ，AB ＝1 m ， ∴AD ＝(6－3－12)÷2＝54(m)．∴此时窗户的透光面积为1×54＝54(m 2)．(2)设窗户的透光面积为S m 2，AB ＝x cm ，则AD ＝(6－72x)÷2＝(3－74x)m.∴S ＝x(3－74x)＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97.∵－74＜0，∴当x ＝67时，S 最大，为97.答：当AB ＝67 m ，BC ＝32 m 时，窗户的透光面积最大，最大面积是97 m 2.易错题集训15．抛物线y ＝2x 2－5x ＋3与坐标轴的交点共有(B)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．【数形结合思想】若二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A(－1，y 1)，B(2，y 2)，C(5，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 217．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(D)A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－218．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是(D)A ．b>1B ．b<1C ．b ≥1D ．b ≤119．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，当－2≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围为－5≤y ≤4．20．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式y<0的解集是x>5或x<－1．21．如图，用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m ，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m 2.中考题型演练22．(泰安中考)若二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴为直线x ＝2，则关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13的解为x 1＝2，x 2＝4．23．(凉山州中考)将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移3个单位长度后经过点A(2，2)． 24．(衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为(－1_010，1_0102)．25．(南充中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)，a ＞0，顶点坐标为(12，m)．给出下列结论：①若点(n ，y 1)与点(32－2n ，y 2)在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x的一元二次方程ax 2－bx ＋c －m ＋1＝0无实数解，那么(A)A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误26．(黄石中考)如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，矩形ABCD 中AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y(cm 2)，则y 与x 的大致图象是(A)A. B.C. D.27．(广安中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0；②b ＜c ；③3a ＋c ＝0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的结论有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．(安徽中考)一次函数y ＝kx ＋4与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k ，a ，c 的值；(2)过点A(0，m)(0＜m ＜4)且垂直于y 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W ＝OA 2＋BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．解：(1)由题意，得k ＋4＝2，解得k ＝－2. 又∵二次函数顶点为(0，c)，∴c ＝4.把(1，2)代入二次函数表达式，得a ＋c ＝2，解得a ＝－2.(2)由(1)得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0， ∴x ＝±4－m2. 设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC ＝|x 1|＋|x 2|＝24－m2， ∴W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∴当m ＝1时，W 取得最小值7.29．(青岛中考)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将点(30，100)，(45，70)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝30k ＋b ，70＝45k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160. ∴y ＝－2x ＋160.(2)由题意，得w ＝(x －30)(－2x ＋160)＝－2(x －55)2＋1 250. ∵－2＜0，∴当x ＜55时，w 随x 的增大而增大．又∵30≤x ≤50，∴当x ＝50时，w 有最大值，此时w ＝1 200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1 200元． (3)由题意，得(x －30)(－2x ＋160)≥800，解得40≤x ≤70.∴每天的销售量y ＝－2x ＋160≥20. ∴每天的销售量最少应为20件．核心素养专练30．【新定义问题】(贵港中考)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c|(a ≠0，且b2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是4．小专题9 二次函数与几何图形的小综合类型1 线段长、图形面积最值问题1．(自贡中考节选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3， ∴D(－2，－3)．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t ，将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，－2k ＋t ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，t ＝－1. ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)由题意知P(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)(－2≤m ≤1)， ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)＝－m 2－m ＋2＝－(m ＋12)2＋94.当m ＝－12时，l 最大＝94.2．如图，抛物线y ＝－2x 2＋2x ＋4经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值．解：过点P 作PF ⊥x 轴于点F. ∵P 为第一象限内抛物线上一点，设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)，则F 点坐标为(n ，0)． ∴S ＝S 梯形OCPF ＋S △PFB ＝（PF ＋OC ）·OF 2＋12PF ·BF＝12PF ·OB ＋12OC ·OF ＝－2n 2＋2n ＋4＋12×4n＝－2n 2＋4n ＋4 ＝－2(n －1)2＋6. ∴当n ＝1时，S 最大＝6.类型2 线段和、周长最值问题3．如图，抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：令y ＝－12x 2＋12x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2.∴A 点坐标为(－2，0)．连接AD ，交对称轴于点P ，连接PB ，则PA ＝PB.∴PB ＋PD ＋BD ＝PA ＋PD ＋BD ＝AD ＋BD. 此时P 点使△BDP 的周长最小．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.将点A ，D 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵抛物线对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54，∴点P 的坐标为(12，54)．类型3 线段数量关系、面积数量关系问题4．如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．解：∵点P 的横坐标为m ，∴P(m ，－m 2＋4m ＋5)， E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)．∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，则0<m<5. ∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋194m ＋2.分两种情况讨论：①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34m ＋3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(－34m ＋3)．即2m 2－17m ＋26＝0. 解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)；②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(34m －3)．即m 2－m －17＝0.解得m 3＝1＋692，m 4＝1－692(舍去)．综上所述，m 的值为2或1＋692.5．(龙东中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C ，D 两点，连接BD ，AD.(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过点(3，0)， ∴0＝－9＋3m ＋3. ∴m ＝2. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－32x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72，y 2＝－94.∴D(72，－94)．∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×|y P |＝4×12AB ×94. ∴|y P |＝9，y P ＝±9.当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解；当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9， x 1＝1＋13，x 2＝1－13.∴点P 的坐标为(1＋13，－9)或(1－13，－9)．类型4 特殊图形的存在性问题6．如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4. ∴A(4，0)，B(－2，0)．令x ＝0，得y ＝－2.∴C(0，－2)． (2)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形．设P(1，a)，则AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5，AC 2＝20. ①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5，解得a ＝1.∴P 1(1，1)；②当CP ＝AC 时，即a 2＋4a ＋5＝20，解得a ＝－2±19.∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)； ③当AP ＝AC 时，即a 2＋9＝20，解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)，P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P4(1，11)，P5(1，－11)．7．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解：y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点P的坐标为(－1，4)．如图，分别过△PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.∵AM1綊CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．∵AM2綊PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．∵CM3綊AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．。

专题8几何图形变化—8.2平移之证明计算-2021届鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练

一、平移(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。

(2)平移的性质：①对应点的连线平行(或共线)且相等②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。

（从坐标来讲：向正方向平移为加，逆方向平移为减）(4)平移的两个要素：平移方向、平移距离(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。

考点5：平移后的证明型问题类型一【直角三角形的平移】【经典例题1】两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N 之间距离的最小值．【解析】（1）如图：作CG ⊥AB 于G 点．在Rt △ABC 中，由AC =4，∠ABC =30，得 BC =tan 30AC=43．在Rt △BCG 中，BG =BC •cos 30°=6．四边形CGEH 是矩形， CH =GE =BG +BE =6+4=10cm ，故答案为：10 .（2）①当04x ≤<时，如解图∵∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°， ∴DB ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，重叠部分的面积y ＝DG ·BG ＝×x ×x ＝x 2 ②48x ≤<时，如解图BD ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，BE ＝x －4， EH ＝ (x －4)重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝DG ·BG －BE ·EH ，即y ＝×x ×x － (x －4)× (x －4)，化简得：2343832433y x x =-+-③当810x ≤≤时，如解图AC ＝4，BC ＝4，BD ＝x ，BE ＝x －4， EG ＝ (x －4)重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝AC ·BC －BE ·EG ，即y ＝×4×4－ (x －4)× (x －4)，化简得：2343163y x x =+综上所述，)2223(04)343838)2433343163810x x y x x x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪⎪=-+-≤<⎨⎪⎪+≤≤⎪⎪⎩ （3）3【名师点睛】此题主要考查了几何变换综合，①利用锐角三角函数和矩形的性质，②利用三角形的面积，面积的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏，③利用垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数解答即可.练习1-1如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l 上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AB=AP且AB⊥AP，（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ【解析】（1）AB=AP且AB⊥AP。

人教版数学中考专题复习微专题1 “8”字模型及飞镖模型

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【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
由平移可得AC=BF.
如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:
∠BOC是△COD的外角,推出∠OCD+∠ODC=∠BOC.
由①②可得AB+AC>BD+CD.
∵∠BOC是△BOE的外角,
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
【解析】∵OA+OB>AB,①

∴ ∠EAB+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ (∠ECD-∠E)+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ ∠ECD- ∠E+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ ∠E=∠F.

∴∠E=2∠F.∵∠E=42°,∴∠F=21°.
随堂测试
由①+②,得 AD+BC< OA+OD+OB+OC.
∴∠D=180°-(∠2+∠4).
练习2 如图,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2
由飞镖模型,得AB+BF>AD+DF.
∴∠A+∠B+∠BMH+∠ANC+∠1=360°.
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
∵BE+EC=BD+DE+EC,DE+EC>CD,

小专题(八) 线段长度的几种计算方法

当题目中有比例关系或倍分关系，以及数量关系比较复杂时，常利用方程思想求解．
5．如图，线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶5 三部分，且 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm，求 AB 的长．
解：设 AB 的长为 xcm.因为线段 AB 被点 C，D 分成了 3∶4∶ 5 三部分，所以 AC＝132x，CD＝142x，DB＝152x.
解：设 BD＝xcm，则 AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm. 因为点 E，点 F 分别为 AB，CD 的中点，所以 AE＝12AB＝1.5xcm，CF＝12CD＝2xcm. 所以 EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x(cm)．因为 EF＝10cm，所以 2.5x＝10，解得 x＝4. 所以 AB＝12cm，CD＝16cm.
解：(1)因为 AB＝24，CD＝10，所以 AC＋DB＝14. 所以12(AC＋DB)＝MC＋DN＝7. 所以 MN＝MC＋CD＋DN＝17. (2)因为 AB＝a，CD＝b，所以 AC＋DB＝a－b. 所以 MC＋DN＝12(AC＋DB)＝12(a－b)．所以 MN＝MC＋DN＋CD＝12(a－b)＋b＝12(a＋b)．
又因为 AC 的中点 M 和 DB 的中点 N 之间的距离是 40cm，所以 MC＝234x，DN＝254x. 所以234x＋142x＋254x＝40.解得 x＝60. 所以 AB 的长为 60cm.
6．如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分 BD＝13AB＝14CD，线段 AB，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10cm，求 AB，CD 的长．
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第4章图形的认识小专题（八）
线段长度的几种计算方法

线段的和差- 2022-2023学年七年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

专题6.4 线段的和差模块一：知识清单1.线段的和与差：如下图，有AB +BC ＝AC ，或AC ＝a +b ；AD ＝AB -BD .2.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M ,N ,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PNMBA模块二：同步培优题库全卷共24题测试时间：80分钟试卷满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知点M 在线段AB 上，在①AB ＝2AM ；②BM ＝12AB ；③AM ＝BM ；④AM +BM ＝AB 四个式子中，能说明M 是线段AB 的中点的式子有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据线段中点的定义，借助图形逐一判断即可．【详解】解：如图：∵AB =2AM ，∴点M 是线段AB 的中点， ∵BM =12AB ，∴点M 是线段AB 的中点， ∵AM =BM ，∴点M 是线段AB 的中点，故①②③都能说明点M 是线段AB 的中点，根据：④AM +BM =AB ，不能判断点M 是线段AB 的中点，故选：C ．【点睛】本题考查了线段中点的定义，借助图形分析是解题的关键．2．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4 cm，延长AB至点C，使AC＝11 cm．点D 是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（）A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm【答案】B【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．【详解】解：∵AB＝4 cm，点D是AB的中点，∴AD＝12AB＝2cm．∵AC＝11cm，点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝5.5 cm．∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm故选：B．【点睛】题目主要考查线段中点的计算，找准线段间的数量关系是解题关键．3．（2022·浙江·七年级期末）如图，已知A B C D E、、、、五点在同一直线上，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，若线段12AC=，则线段DE等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】首先根据D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，可得AD=BD，BE=CE；然后根据线段AC=12，可得BD+CD=12，据此求出CE+CD=6，即可判断出线段DE等于6．【详解】解：∵D点是线段AB的中点，∴AD=BD，∵点E是线段BC的中点，∴BE=CE，∵AC=12，∴AD+CD=12，∴BD+CD=12，又∵BD=2CE+CD，∴2CE+CD+CD=12，即2（CE+CD）=12，∴CE+CD=6，即线段DE等于6．故选：A．【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确线段的中点的性质，并能推得AD=BD，BE=CE．4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（）A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm【答案】C【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出AN、AM的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．【详解】解：如图，∵16AC=cm，又∵AC 的中点为N ，∴8cm AN =， ∵10AB =cm ，∵AB 的中点为M ，∴5cm AM =，∴853cm MN AN AM =-=-=．故选：C【点睛】本题考查中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题． 5．（2022·浙江·七年级期中）如图，点M 为线段AB 的中点，C 为线段MB 上的任意一点（不与点M ，B 重合）．在同一直线上有一点N ，若1223CN AC <<，则（）A ．点N 不能在射线AP 上B ．点N 不能在线段AM 上C ．点N 不能在线段MB 上D ．点N 不能在射线BQ 上【答案】A【分析】当N 在C 点的左侧时，根据题意，可知CN AC <，结合图排除B ，当N 在C 点的右侧时，当C 点接近M 点时，111222AC AM MB <=,可排除C ；当C 点接近B 点时，1122AC AB MB <=，则可排除D ．【详解】213CN AC <<，CN AC ∴<， ①当N 在C 点的左侧时，结合图则，点N 不能在射线AP 上，故A 符合题意； N ∴在线段AM 上，故B 错误；②当N 在C 点的右侧时，当C 点接近M 点时，111222AC AM MB <=,此时点N 在线段MB 上；故C 错误；当C 点接近B 点时，1122AC AB MB <=，此时点N 在射线BQ 上，故D 错误故选A ．【点睛】本题考查了线段的和差关系，比例关系，根据C 是动点，分情况讨论是解题的关键． 6．（2022·河北唐山·七年级期末）如图所示，长为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 将线段MB 分为MC 和CB ，且:1:3MC MB =，则线段AC 的长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C【分析】根据中点的定义，可求出AM 和BM 的长度，根据MC 和MB 的比例关系，可求出MC 的长度，最后用AM 加上CM 即可求出AC 的长．【详解】∵点M 为AB 中点，∴AM =BM =12AB =6cm ， ∵:1:3MC MB =，∴13MC MB ==2cm ，∴AC =AM +MC =8cm ；故选：C【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键．7．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D 为线段AB 的中点，点C 为DB 的中点，若16AB =，13DE AE =，则线段EC 的长（）A ．7B ．203C ．6D ．5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．【详解】解：∵点D 为线段AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝12AB ＝12×16＝8，∵AD ＝AE ＋DE ，DE ＝13AE ，∴AE ＋13AE ＝8，∴AE ＝6，DE ＝2，∵点C 为DB 的中点，∴CD ＝12BD ＝12×8＝4， ∴CE ＝DE ＋CD ＝2＋4＝6，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．8．（2022·浙江·）定义：当点C 在线段AB 上，AC nAB =时，我们称n 为点C 在线段AB 上的点值，记作A C B d n =※．甲同学猜想：点C 在线段AB 上，若2AC BC =，则23C AB d =※．乙同学猜想：点C 是线段AB 的三等分点，则13C AB d =※ 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（） A ．甲正确，乙不正确 B ．甲不正确，乙正确 C ．两人都正确D ．两人都不正确【答案】A【分析】本题根据题目所给A C B d n =※的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．【详解】解：甲同学：点C 在线段AB 上，且2AC BC =， ∴23AC AB =，∴23C AB d =※，∴甲同学正确．乙同学：点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的三等分点，∴有两种情况， ①当13AC AB =时，13C AB d =※，②当23AC AB =时，23C AB d =※，∴乙同学错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可． 9．（2022·绍兴市柯桥区七年级开学考试）如图，线段 CD 在线段 AB 上，且 CD =1，若线段AB 的长度是一个正整数，则图中以A ，B ，C ，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC +CD +DB +AD +CB +AB ，然后根据CD =1，线段AB 的长度是一个正整数，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，图中以A ，B ，C ，D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是： AC +CD +DB +AD +CB +AB =(AC +CD +DB )+(AD +CB )+AB =AB +AB +CD +AB =3AB +CD ，∵CD =1，线段AB 的长度是一个正整数，AB ＞CD ，∴长度之和减1是3的倍数，而只有4-1=3是3的倍数，故选A ．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是数形结合，找出所求问题需要的条件． 10．（2022•松江区期末）如图，已知点C 为线段AB 的中点，D 为CB 上一点，下列关系表示错误的是（）A ．CD ＝AC ﹣DB B ．BD +AC ＝2BC ﹣CD C ．2CD ＝2AD ﹣ABD ．AB ﹣CD ＝AC ﹣BD【思路点拨】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD 、BD 、AD 进行和、差转化，即可发现错误选项．【答案】解：∵C 是线段AB 的中点， ∴AC ＝BC ，AB ＝2BC ＝2AC ，∴CD ＝BC ﹣BD ＝AB ﹣BD ＝AC ﹣BD ； ∵BD +AC ＝AB ﹣CD ＝2BC ﹣CD ； ∵CD ＝AD ﹣AC ，∴2CD ＝2AD ﹣2AC ＝2AD ﹣AB ；∴选项A 、B 、C 均正确．而答案D 中，AB ﹣CD ＝AC +BD ； ∴答案D 错误符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）C 是线段AB 上一点，D 是BC 的中点，若12cm AB =，2cm =AC ，则BD 的长为______．【答案】5cm【分析】根据题意画出图形，先求出BC ，再根据线段中点的定义详解．【详解】解：如图，12cm AB =，2cm =AC ，12210(cm)BC AB AC ∴=-=-=．D 是BC 的中点，11105(cm)22BD BC ∴==⨯=．故答案是：5cm ．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观．12．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，P 是线段MN 上一点，Q 是线段PN 的中点．若MN =10，MP =6，则MQ 的长是____．【答案】8【分析】首先求得NP =4，根据点Q 为NP 中点得出PQ =2，据此即可得出MQ 的长．【详解】解：∵MN =10，MP =6，∴NP = MN- MP =4， ∵点Q 为NP 中点，∴PQ =QN =12NP =2，∴MQ =MP +PQ =6+2=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了两点之间的距离，根据中点的定义得出PQ =2是解题关键．13．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，点C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上，AB ＝10，DB ＝4，则CD ＝________．【答案】1【分析】先根据线段中点的定义可得5BC =，再根据CD BC DB =-即可得．【详解】解：点C 为线段AB 的中点，且10AB =，152BC AB ∴==， 4DB =，541CD BC DB =∴=--=，故答案为：1．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．14．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，AD =12BD ，E 是BC 的中点，BE =15AC =2cm ，则线段DB的长为_______cm ．【答案】4【分析】根据BE =15AC =2cm 可以求得AC 长，进而得出AB 、BC 的长，即可求得DB 的长．【详解】解：∵BE =15AC =2(cm)，∴AC =5BE =10(cm)，∵E 是BC 的中点，∴BC =2BE =2×2=4(cm)，∴AB =AC -BC =10-4=6(cm)， ∵AD =12DB ，∴AD +DB =AD +2AD =6(cm)，∴AD =2cm ，∴DB =4cm ，故答案为：4．【点睛】本题主要考查的是线段的和差倍分计算和线段中点的概念，找出线段间的数量关系是解决此类问题的关键．15．（2022·山东威海·期末）如图，点C ，点D 在线段AB 上，点E ，点F 分别为AC ，BD 的中点．若AB m =，CD n =，则EF 的长为________．【答案】12m +12n【分析】先根据中点的定义可得EC =12AC 、DF =12BD ，再根据线段的和差可得AC +BD =AB -CD =m -n ，最后根据EF =EC +CD +DF 求解即可．【详解】解：∵点E 、点F 分别为AC 、BD 的中点∴EC =12AC ,DF =12BD ∵AB m =，CD n =∴AC +BD =AB -CD =m -n∴EF =EC +CD +DF =12AC +CD +12BD =12(AC +BD )+CD =12( m -n )+n =12m +12n ．故答案为12m +12n ．【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键．16．（2022·浙江·）已知 A B C 、、三点在同一条直线上，且线段4cm,6cm AB BC ==，点D E 、分别是线段AB BC 、的中点点F 是线段DE 的中点，则BF =_______cm ．【答案】12或52【分析】根据中点定义求出BD 、BE 的长度，然后分①点C 在AB 的延长线上时，求出DE 的长度，再根据中点定义求出EF 的长，然后根据BF =BE -EF 代入数据进行计算即可得解；②点C 在AB 的反向延长线上时，求出DE 的长度，再根据中点定义求出EF 的长，然后根据BF =BE -EF 代入数据进行计算即可得解．【详解】解：D 、E 分别是线段AB 、BC 的中点，4AB cm =，6BC cm =，114222BD AB cm ∴==⨯=，116322BE BC cm ==⨯=， ①如图1，点C 在AB 的延长线上时，235DE BD BE cm =+=+=，点F 是线段DE 的中点，1155222EF DE cm ∴==⨯=，此时，51322BF BE EF cm =-=-=； ②如图2，点C 在AB 的反向延长线上时，321DE BE BD cm =-=-=，点F 是线段DE 的中点，1111222EF DE cm ∴==⨯=，此时，15322BF BE EF =-=-=，综上所述，12BF =或52cm ．故答案为：12或52．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 17．（2022•和平区期末）已知线段AB ＝12，M 是AB 的中点，点C 是直线AB 上一点，且AC ＝5BC ，则C 、M 两点间的距离为．【思路点拨】根据线段中点的性质推出AM ＝BM ＝AB ＝×12＝6，并分点C 在点B 左侧和点C 在点B 左侧两种情况进行讨论，由题意作出相关的图形，结合图形当点C 在点B 左侧时，MC ＝BM ﹣BC ；当点C 在点B 右侧时，MC ＝BM +BC ，利用线段之间的和差关系进行求解即可．【答案】解：∵AB ＝12，M 是AB 的中点， ∴AM ＝BM ＝AB ＝×12＝6，当点C 在点B 左侧时，如图1，∵AC ＝5BC ，∴AB ＝AC +BC ＝6BC ，∴MC＝BM﹣BC＝AB﹣AB＝AB＝×12＝4；当点C在点B右侧时，如图2，∵AC＝5BC，∴AB＝AC﹣BC＝4BC＝12，∴BC＝3，∴MC＝BM+BC＝6+3＝9，综上所述，C、M两点间的距离为4或9．故答案为：4或9．【点睛】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据题意进行分类讨论（点C在点B 左侧时和点C在点B左侧时），注意结合图形联系线段中点的性质和线段之间的和差关系进行求解．18．（2022·北京海淀区·七年级期末）已知线段6cmAB=，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为________．【答案】1cm或2cm【分析】分两种情况考虑点M是AB的三等分点，求出AM的长，由中点定义求出MN即可．【详解】当M是AB的左三等分点，∵AB=6cm，∴AM=11AB=6=233⨯cm，∵N是AM的中点，∴AN=NM=11AM=2=1 22⨯，当M是AB的右三等分点，∵AB=6cm，∴AM=22AB=6=433⨯cm，∵N是AM的中点，∴AN=NM=11AM=4=2 22⨯，线段MN的长度为1cm或2cm．故答案为：1cm或2cm．【点睛】本题考查线段的三等分点，线段的中点计算，掌握线段三等分的性质，线段的中点的性质，会利用分类思想求线段AM是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（D ），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到C 地），过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息（休息处E ），司机说：再走从C 地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：A ，B 两市相距多少千米．【答案】A ，B 两市相距600千米．【分析】根据题意可知DE 的距离且可以得到12AD DC =，12EB CE =，11()22AD EB DC CE DE +=+=，由1=2AB AD EB DE DE DE =+++计算即可得出结果．【详解】如图，由题意可知，400DE =千米，12AD DC =，12EB CE =， ∴ 111()400200222AD EB DC CE DE +=+==⨯=（千米）∴ 200400600AB AD EB DE =++=+=（千米）答：A ，B 两市相距600千米．【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键． 20．（2022·辽宁大连市·）已知点D 为线段AB 的中点，点C 在线段AB 上．（1）如图1，若8cm,6cm AC BC ==，求线段CD 的长；（2）如图2，若2BC CD =，点E 为BD 中点，18cm AE =，求线段AB 的长．【答案】（1）1cm ；（2）24cm【分析】（1）先求出AB 的长，再根据中点定义求出BD 的长，进而可求CD 的长；（2）设cm CD x =，用含x 的代数式表示出AE ，然后列方程求出x ，进而可求AB 的长．【详解】解：（1）∵8cm,6cm AC BC ==，∴8614cm AB AC BC =+=+=， ∵点D 为线段AB 的中点，∴11147cm 22BD AB ==⨯=． ∵CD BD BC =-，∴761cm CD =-=．∴线段CD 的长为1cm ．（2）设cm CD x =．∵2BC CD =，∴2cm BC x =∵BD CD BC =+，∴23cm BD x x x =+=．∵E 为BD 中点，∴13cm 22DE BD x ==．又∵D 为AB 中点，∴3cm AD BD x ==．∵AE AD DE =+，∴393cm 22AE x x x =+=． ∵18cm AE =，∴918,42x x ==，∴2624cm AB BD x ===，∴线段AB 的长为24cm ．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，如果点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 与BC ，那么点C 叫做线段AB 的中点，这时AC =BC =12AB ，或AB =2AC =2BC ． 21．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段8cm AB C =,是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点．（1）3cm AC =，求线段CM NM 、的长；（2）若线段AC m =，线段BC n =，求MN 的长度（m n <用含,m n 的代数式表示）．【答案】（1）CM =1cm ，NM =2.5cm ；（2）12n【分析】（1）求出AM 长，代入CM =AM -AC 求出即可；分别求出AN 、AM 长，代入MN =AM -AN 求出即可；（2）分别求出AM 和AN ，利用AM -AN 可得MN ．【详解】解：（1）8AB cm =，M 是AB 的中点，142AM AB cm ∴==， 3AC cm =，431CM AM AC cm ∴=-=-=；8AB cm =，3AC cm =，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点， 142AM AB cm ∴==，11.52AN AC cm ==，4 1.52.5MN AM AN cm ∴=-=-=；（2）AC m =，BC n =，AB AC BC m n ∴=+=+，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，11()22AM AB m n ∴==+，1122AN AC m ==，111()222MN AM AN m n m n ∴=-=+-=．【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM 、AN 的长． 22.（2022·平山县七年级期末）已知点A ，B ，C 在同一条直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）如图1，若点C 在线段AB 上，AC =6cm ，CB =4cm ，则线段MN 的长为 cm ；（2）若点C 在线段AB 上，且AC +CB =acm ，则线段MN 的长度为 cm ；（3）如图2，若点C 在线段AB 的延长线上，且AC -BC =bcm ，猜测MN 的长度，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）5，（2）12a ，（3）MN =12b ．理由见解析．【分析】（1）根据中点的定义求解；（2）与（1）同理，根据中点的定义求解；（3）根据MN=CM-CN 求解．【详解】解：（1）由题意可得：113222MC AC CN CB====，，∴MN=MC+CN=3+2=5，故答案为5；（2）与（1）同理有：1122MC AC CN CB==，，∴()11112222MC CN AC CB AC CB a+=+=+=，故答案为12a，（3）结论为：MN=12b，理由如下：当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC＞BC，因为M是AC的中点，所以CM=12AC，因为点N是BC的中点，所以CN=12BC，所以MN=CM-CN=12（AC-BC）=12b．【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义、线段的四则运算及准确画图是解题关键．23．（2022·杭州市七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或243；（2）1742或116【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13 DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝163或83，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∴CD＝163或CD＝83，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=243；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵32AD ECBE+=，∴0.532x y yx y++=-，∴y＝27x，∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∴171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵32AD ECBE+=，BE＝EC+BC＝x+y，∴0.532y x yx y-+=+，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴5.51136==CD xAB x，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述CDAB的值为1742或116．故答案为：1742或116．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．24．（2022·浙江·七年级课时练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即13AM AC=，13BN BC=，求MN的长；③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即1AM ACn=，1BN BCn=，则MN＝___________；∴MN=12 a；故答案为：12 a；②∵AM=13AC，BN=13BC，∴CM=23AC，CN=23BC，∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，∵AB=a，∴MN=23 a；③∵AM=1nAC，BN=1nBC，∴CM=1nn-AC，CN=1nn-BC，∴MN=CM+CN=1nn-AC+1nn-BC=1nn-AB，∵AB=a，∴MN=1nn-a，故答案为：1nn-a．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．25．（2022·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B 出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm分析：(1) 观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程. 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP 的长.(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C 与点D 运动路程的关系与它们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD =2PC . 这样，本小题的思路就与前两个小题的思路一致了. 于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP 的长. (4) 由于题目中没有指明点Q 与线段AB 的位置关系，所以应该按照点Q 在线段AB 上以及点Q 在线段AB 的延长线上两种情况分别进行求解. 首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ -BQ =PQ ，得到AP 和BQ 之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段PQ 的长.【解析】(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =⨯=(cm). 因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =⨯=(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =⨯=(cm). 因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =⨯=(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC. 因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP . 因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==⨯=(cm). (4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==. 故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==⨯=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②). 因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ . 因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB=12cm，所以411233PQ AQ AP AB AB AB=-=-==(cm).综上所述，PQ的长为4cm或12cm.点睛：本题是一道几何动点问题. 分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要环节. 利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件. 另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时要注意体会和运用.。

2024年湖南省中考数学第一轮复习课件微专题8全等三角形之六大模型

若∠DAB=∠DBE=∠BCE=α,∠D和∠E的数量关系为∠D+∠E=180°-α,理由如下: ∵∠DAB=α, ∴∠ABD+∠D=180°-α, ∵∠DBE=α, ∴∠ABD+∠EBC=180°-α, ∴∠D=∠EBC, ∵∠BCE=α, ∴∠EBC+∠E=180°-α, ∴∠D+∠E=180°-α;
模型2 对称模型特点所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合
示例
解题时先要确定全等三角形的对应顶点(折叠后重合的顶点);还要注思路
意隐含条件,即公共边或公共角等
【针对训练】 3.(2023·长沙望城区模拟)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE=DF. 求证:(1)△BDE≌△CDF; (2)AD⊥BC.
【解析】(1)由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”. 答案:④ (2)①想法一:延长CB至点E,使BE=CD,连接AE, ∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ABE+∠ABC=180°, ∴∠ADC=∠ABE, ∵AD=AB,DC=BE, ∴△ADC≌△ABE(SAS), ∴∠ACD=∠AEB,AC=AE, ∴∠ACB=∠AEB,∴∠ACD=∠ACB. 即CA平分∠BCD;
°.
10.(2023·衡阳珠晖区一模)综合与实践: 初步探究: (1) 如图 1, 直线 m 同侧有两定点 D,E, 点 A,B,C 是直线 m 上的三个动点 . 在运动过程中 , 当 ∠DAB=∠DBE=∠BCE=60°时,求∠D和∠E的数量关系. 深入探究: (2)当A,B,C三个动点运动到如图2所示的位置时,有∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°,求此时∠D和∠E 的数量关系;若∠DAB=∠DBE=∠BCE=α,∠D和∠E又有什么样的数量关系?(请直接写出这两个问题的答案) 拓展应用: (3)在图2中,如果∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°仍然存在,再添加条件BD=EB,求证:AC=AD+CE.

求线段的长短的专题训练

求线段的长短的专题训练一．解答题（共30小题）1．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN=cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．2．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．3．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．4．已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．5．如图，C 为线段AB的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm．求线段CB、线段AC、线段AB的长．6．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．7．如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度．8．如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．9．已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6cm，求线段MC的长．10．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．11．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=8cm，BD=2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长．12．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN 的长．13．如图，C为线段AB的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．求线段DB的长．14．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，线段BC=3cm，D、E分别是线段AB与线段CB的中点，求线段DE的长度．15．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．16．如图，点B是线段AC上一点，且AC=12，BC=4．（1）求线段AB的长；（2）如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长．17．已知线段AC=8cm，点B是线段AC的中点，点D是线段BC的中点，求线段AD的长．18．如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．19．如图，已知AB=7，BC=3，点D为线段AC的中点，求线段DB的长度．20．如图，已知点M是线段AB的中点，点N在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB 和线段NB的长．21．如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，MN=AM，若MN=2m，求AB的长．22．如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M 是AC的中点，在BC上取一点N，使得CN=BC，求MN的长．23．如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC=8cm，NB=5cm，求线段MN 的长．24．如图所示，C、D是线段AB上的两点，已知AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，求线段CD、BD 的长．25．如图，点C是线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？26．将线段AB延长至C，使BC=AB，延长BC 至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，若CE=8cm．（1）求AB的长度；（2）如果点M是线段AB中点，点N是线段AE 中点，求MN的长度．27．如图，已知线段AB=32，C为线段AB上一点，且AC=BC，E为线段BC的中点，F为线段AB 的中点，求线段EF的长．28．如图，C、D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，CB=14cm，求：（1）线段AB的长；（2）线段ED的长．29．如图，线段AC=6，线段BC=16，点M是AC 的中点，在线段CB上取一点N，使得CN=NB，求MN的长．30．如图，已知线段AB=20，点C在线段AB上，且AC：CB=2：3，点D是线段CB的中点，求线段CD的长．求线段的长短的专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016春•威海期末）如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN=5cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．【解答】解：（1）∵M 、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BCMN=MC+CN=．故填：5．（2）∵AC=3，CP=1，∴AP=AC+CP=4，∵P是线段AB 的中点，∴AB=2AP=8∴CB=AB ﹣AC=5，∵N是线段CB的中点，CN=CB=，∴PN=CN﹣CP=．2．（2016春•郴州期末）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．【解答】解：（1）∵AC=6cm，M是AC的中点，∴AM=MC=AC=3cm，∵MB=10cm，∴BC=MB﹣MC=7cm，∵N为BC的中点，∴CN=BC=3.5cm，∴MN=MC+CN=6.5cm；（2）如图，∵M是AC中点，N是BC中点，∴MC=AC，NC=BC ，∵AC﹣BC=bcm，∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b（cm）．3．（2016秋•东营期中）如图，D是AB的中点，E 是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．【解答】解：∵BE=AC=3cm，∴AC=15cm，∵D是AB的中点，E 是BC的中点，∴DB=AB，BE=BC，∴DE=DB+BE=AB+BC=AC=15cm=7.5cm，即DE=7.5cm．4．（2016春•高青县期中）已知线段AB=14cm，C 为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB 的中点，求DE的长度．【解答】解：如图，由D是AC的中点，E是CB的中点，得DC=AC，CE=CB．由线段的和差，得DE=DC+CE=（DC+CE）=×14=7cm，DE的长度为7cm．5．（2016秋•高密市校级月考）如图，C为线段AB 的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm．求线段CB、线段AC、线段AB的长．【解答】解：∵N为线段CB的中点，CN=1cm，∴CB=2CN=2cm．∵C为线段AB的中点，∴AC=CB=2cm．∴AB=2AC=4cm．6．（2015秋•故城县期末）已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．【解答】解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm 所以AD=AB+BC+CD=10xcm因为M是AD的中点所以AM=MD=AD=5xcm所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm因为BM=6 cm，所以3x=6，x=2故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，AD=10x=10×2=20 cm．7．（2015秋•阜阳期末）如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度．【解答】解：∵C、D为线段AB的三等分点，∴AC=CD=DB（1分）又∵点E为AC的中点，则AE=EC=AC（2分）∴CD+EC=DB+AE（3分）∵ED=EC+CD=9（4分）∴DB+AE=EC+CD=ED=9，则AB=2ED=18．（6分）8．（2015秋•沛县期末）如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．【解答】解：∵AB=4cm，BC=2AB，∴BC=8cm，∴AC=AB+BC=4+8=12cm，∵M是线段AC中点，∴MC=AM=AC=6cm，∴BM=AM﹣AB=6﹣4=2cm．9．（2015秋•重庆期末）已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD 的中点，CD=6cm，求线段MC的长．【解答】解：由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2xcm，BC=4xcm，CD=3xcm，…1分则CD=3x=6，解得x=2．…2分因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18（cm）． (4)分因为点M是AD的中点，所以DM=AD=×18=9（cm）．…6分MC=DM﹣CD=9﹣6=3（cm）．…7分10．（2015秋•石柱县期末）如图所示，已知C、D 是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．【解答】解：（1）∵AB=10cm，CD=4cm，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6cm，∵M、N分别为AC、BD的中点，∴AM+BN=AC +BD=（AC+BD）=3cm，∴MN=AB﹣（AM+BN）=10﹣3=7cm；（2）根据（1）的结论，AM+BN=AC +BD=（AC+BD）=（a﹣b），∴MN=AB﹣（AM+BN）=a ﹣（a﹣b）=（a+b）．11．（2015秋•亭湖区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=8cm，BD=2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长．【解答】解：（1）图中共有6条线段；（2）∵点B为CD的中点．∴CD=2BD．∵BD=2cm，∴CD=4cm．∵AC=AD﹣CD且AD=8cm，CD=4cm，∴AC=4cm；（3）当E在点A的左边时，则BE=BA+EA且BA=6cm，EA=3cm，∴BE=9cm当E在点A的右边时，则BE=AB﹣EA且AB=6cm，EA=3cm，∴BE=3cm．12．（2015秋•昆明校级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长．【解答】解：①当点C在线段AB上时，则MN=MC+CN=AC +BC=5cm；②当点C在线段AB的延长线上时，MN=MC﹣CN=AC ﹣BC=7﹣2=5cm．13．（2015秋•衡阳校级期末）如图，C为线段AB 的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．求线段DB的长．【解答】解：∵C为线段AB的中点，线段AB=12cm，∴BC=AB=6cm，∴DB=BC﹣CD=6﹣2=4cm．故线段DB的长为4cm．14．（2015秋•江门校级期末）已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，线段BC=3cm，D、E分别是线段AB与线段CB的中点，求线段DE的长度．【解答】解：（1）如图1，，8÷2﹣3÷2=4﹣1.5=2.5（cm）所以线段DE的长度是2.5cm．（2）如图2，，8÷2+3÷2=4+1.5=5.5（cm）所以线段DE的长度是5.5cm．综上，可得线段DE的长度是2.5cm或5.5cm．15．（2015秋•双城市期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD 的长．【解答】解：设BD=x，则AB=3x，CD=4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x，CF=CD=2x，AC=AB+CD﹣BD=3x+4x﹣x=6x．∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5x．∵EF=20，∴2.5x=20，解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．16．（2015秋•南安市期末）如图，点B是线段AC 上一点，且AC=12，BC=4．（1）求线段AB的长；（2）如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长．【解答】解：（1）由线段的和差，得AB=AC﹣BC=12﹣4=8；（2）由点O是线段AC的中点，得OC=AC=×12=6，由线段的和差，得OB=OC﹣BC=6﹣4=2．17．（2015秋•荔湾区期末）已知线段AC=8cm，点B是线段AC的中点，点D是线段BC的中点，求线段AD的长．【解答】解：因为AC=8cm，B是线段AC的中点，D是线段BC的中点，所以AB=BC==4cm（2分）所以CD==2cm（3分）所以AD=AC﹣CD=8﹣2=6cm．（5分）答：线段AD的长为6cm．（6分）18．（2015秋•文安县期末）如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．【解答】解：∵线段AB=8cm，E为线段AB的中点，∴BE=AB=4cm，∴BC=BE﹣EC=4﹣3=1cm，∴AC=AB﹣BC=8﹣1=7cm，∵点D为线段AC的中点，∴CD==3.5cm，∴DE=CD﹣EC=3.5﹣3=0.5cm．19．（2015秋•浦口区校级期末）如图，已知AB=7，BC=3，点D为线段AC的中点，求线段DB的长度．【解答】解：由线段的和差，得AC=AB+BC=7+3=10．由D为线段AC的中点，得AD=AC=×10=5．由线段的和差，得DB=AB﹣AD=7﹣5=2，线段DB的长度为2．20．（2015秋•曲阜市期末）如图，已知点M是线段AB的中点，点N在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB和线段NB的长．【解答】解：∵MN=AM，且MN=3cm，∴AM=5cm．又∵点M为线段AB的中点∴AM=BM=AB，∴AB=10cm．又∵NB=BM﹣MN，∴NB=2cm．21．（2015秋•邵阳校级期末）如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，MN=AM，若MN=2m，求AB的长．【解答】解：∵MN=AM，MN=2m，∴AM=5cm，∵M是线段AB的中点，∴AB=2AM=10cm，即AB的长是10cm22．（2015秋•浦城县期末）如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在BC上取一点N，使得CN=BC，求MN的长．【解答】解：∵M是AC的中点，∴MC=AC=×6=3cm，∵CN=BC，∴CN=×15=5cm，∴MN=MC+NC=3+5=8cm．23．（2015秋•曹县期末）如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC=8cm，NB=5cm，求线段MN的长．【解答】解：∵N是CB的中点，NB=5cm，∴BC=2BN=10cm，∵AC=8cm，∴AB=AC+BC=18cm，∵M是AB的中点，∴BM=AB=9cm，∴MN=BM﹣BN=4cm．24．（2015秋•冠县期末）如图所示，C、D是线段AB上的两点，已知AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，求线段CD、BD的长．【解答】解：∵AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，∴AD=AB=4cm，BC=AB=3cm，CD=AB﹣AD﹣BC=12﹣4﹣3=5cm，BD=AB﹣AD=12﹣4=8cm，答：线段CD、BD的长分别是5cm、8cm．25．（2015秋•永新县期末）如图，点C是线段AB 上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC 的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【解答】解：（1）MN=MC+CN=AC +CB=×10+×8=5+4=9cm．答：线段MN的长为9cm．（2）MN=MC+CN=AC +CB=（AC+CB）=cm．（3）如图，MN=AC﹣AM﹣NC=AC ﹣AC ﹣BC=（AC﹣BC）=cm．（4）当C点在AB线段上时，AC+BC=AB，当C点在AB延长线上时，AC﹣BC=AB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．26．（2015秋•湖南校级期末）将线段AB延长至C，使BC=AB，延长BC至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，若CE=8cm．（1）求AB的长度；（2）如果点M是线段AB中点，点N是线段AE 中点，求MN的长度．【解答】解：如图：，设DE=x，由BC=AB，延长BC至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，得CD=3x，BC=9x，AB=27x．由线段的和差，得CE=BC+DE=4x，DE=8，解得x=2，AB=27x=54；（2）由线段的和差，得AE=AB+BC+CD+DE=27x+9x+3x+x=40x=80，由点M是线段AB中点，点N是线段AE中点，得AM=AB=×54=27，AN=AE=×80=40，由线段的和差，得MN=AN﹣AM=40﹣27=13．27．（2015秋•宁城县期末）如图，已知线段AB=32，C为线段AB上一点，且AC=BC，E为线段BC 的中点，F为线段AB的中点，求线段EF的长．【解答】解：∵F为线段AB的中点，∴BF=AB=16，∵AC=BC，∴BC=AB=24，∵E为线段BC的中点，∴BE=12，∴EF=BF﹣BE=16﹣12=4．28．（2015秋•越秀区期末）如图，C、D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，CB=14cm，求：（1）线段AB的长；（2）线段ED的长．【解答】解：（1）设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，∵CB=CD+DB，∴3x+4x=14，解得，x=2，∴AB=AC+CD+DB=18cm；（2）∵E为线段AB的中点，∴EB=AB=9cm，∴ED=EB﹣DB=1cm．29．（2015秋•长乐市期末）如图，线段AC=6，线段BC=16，点M是AC的中点，在线段CB上取一点N，使得CN=NB，求MN的长．【解答】解：∵点M是AC的中点，∴MC=AC=3，∵CN=NB，∴CN=BC=4，∴MN=MC+CN=7．30．（2015秋•安阳县期末）如图，已知线段AB=20，点C在线段AB上，且AC：CB=2：3，点D是线段CB的中点，求线段CD的长．【解答】解：按比例分配：AC=20×=8，BC=20×=12．由D是BC的中点，得CD=BC=6．第11页（共11页）。

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。

【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1）求直线 AB 的解析式；（2）将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝．故答案为．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形(教师版)

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD 中， AD =4 ， BC =1 ， ∠B =90°∠A =30° ，∠ADC =120° ，则 CD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．3D ．2.5【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，∵⊥A=30°，∴DE=12AD=2，⊥ADE=90°-⊥A=60°，∴⊥CDF=⊥ADC -⊥ADE=60°， ∴⊥FCD=30°，∴CD=2FD=2. 故答案为：A.【分析】过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ，根据角的和差关系求出⊥CDF ，再根据含30°角直角三角形的性质求CD 即可.2．（2021八上·绍兴期中）如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB=90°，⊥A=30°，BC=3，点D 在AB 上且AB=3AD ，那么CD 的长是（）A ．2 √3B ．√13C ．2 √6D ．4【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB 于E ，∵⊥A=30°，⊥ACB=90°， ∴AB=2BC=6， ∵⊥BEC=90°， ∴⊥BCE=90°-⊥B=30°，∴BE=12BC=1.5，CE=√BC 2−BE 2=3√32，∵AB=3AD ，∴BD=23AB=4，∴DE=BD -BE=4-1.5=2.5，∴CD=√CE 2+DE 2=√(3√32)2+(52)2=√13.故答案为：B.【分析】作CE⊥AB 于E ，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB ，BE 和CE ，然后根据AB=3AD 求出BD ，再根据线段间的和差关系求出DE ，最后在Rt⊥CED 中，根据勾股定理求CD 长即可.3．（2021八上·萧山期中）在Rt⊥ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，则以下判断正确的是（）A ．BC ＝2CDB ．CD ＝2ABC ．AC ＝2CD D ．CD ＝BD【答案】D【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD 是斜边AB 的中线，∴AB=2CD ，故A 、B 、C 不符合题意； ∴CD=BD ，故D 符合题意；故答案为：D.【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AB=2CD ，CD=BD=AD ，由此可得到正确结论的选项.4．（2021八上·萧山期中）如图：BD⊥AC 于点B ，G 是线段BD 上一点(不与点B ，点D 重合)，且AB=BG ，BD=BC ，E ，F 分别为AD ，CG 的中点，AD=6，连结EF ，DF ，若⊥DEF 为直角三角形，则DF 的长度为( )A ．3B ．√27C ．3或 √27D ．3或 √27 或 √18【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS ）；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：连接BE ，BF ，∵BD⊥AC ，∴⊥ABD=⊥GBC=90°，在⊥ABD 和⊥GBC 中{AB =GB∠ABD =∠GBC BD =BC∴⊥ABD⊥⊥GBC （SAS ） ∴⊥A=⊥BGC ，AD=CG=6； ∵E ，F 分别为AD ，CG 的中点，∴AE=DE=BE=12AD=3，GF=FC=BF=12GC=3，∴⊥ADB=⊥EBD ，⊥BGF=⊥FBG ， ∵⊥A+⊥ADB=90° ∴⊥A+⊥EBD=90°， ∴⊥BGF+⊥EBD=90°，∴⊥EBD+⊥FBG=90°即⊥EBF=90°， ∴BE=BF=3∴EF =√32+32=3√2，∵⊥DEF 是直角三角形，DE ＜EF ，当⊥EDF=90°时DF =√EF 2−ED 2=√(3√2)2−32=3；当⊥DEF=90°时，DF =√EF 2+ED 2=√(3√2)2+32=3√3，故答案为：C.【分析】连接BE，BF，利用垂直的定义可证得⊥ABD=⊥GBC，利用SAS证明⊥ABD⊥⊥GBC，利用全等三角形的性质可得到⊥A=⊥NGC，AD=CG=6；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BE，BF，ED的长，利用等边对等角可推出⊥ADB=⊥EBD，⊥BGF=⊥FBG，利用三角形的内角和定理去证明⊥EBF=90°，利用勾股定理求出EF的长；根据⊥DEF是直角三角形，DE＜EF，分情况讨论：当⊥EDF=90°时；当⊥DEF=90°时；分别利用勾股定理求出DF的长.5．（2021八上·下城期中）如图，在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD＝DB.若⊥B＝20°，则⊥DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，E是AB的中点，∴BE＝CE，又∵⊥B＝20°∴⊥ECB＝⊥B＝20°，∵AD＝BD，⊥B＝20°，∴⊥DAB＝⊥B＝20°，∴⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝20°+20°＝40°，∴⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB＝40°+20°＝60°.故答案为：D.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝CE，由等腰三角形的性质可得⊥ECB＝⊥B＝20°，⊥DAB＝⊥B＝20°，由外角的性质可得⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝40°，⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB，据此进行计算.6．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【答案】B【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，取⊥2，∵⊥2=90°-45°=45°，∴⊥1=60°+45°=105°.故答案为：B.【分析】取⊥2，根据角的和差关系求出⊥2，再利用三角形外角的性质求⊥1即可.7．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C 也是格点，且使得⊥ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：①AB 为直角⊥ABC 斜边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为直角⊥ABC 其中的一条直角边时，符合条件的格点C 点有1个. 故共有3个点. 故答案为：C.【分析】分AB 为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C 的位置，据此解答.8．（2020八上·温州期中）如果直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么斜边上的中线等于（） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．10cm【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，∴斜边长为：√62+82=10（cm ），∴斜边上的中线长为：12×10=5（cm ）.故答案为：C.【分析】根据勾股定理求得斜边长，再由直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出答案.9．（2021八上·温州期中）如图，在 △ABC 中， AB =4，BC =3，∠B =60∘，M 是 BC 延长线上一点， CM =2，P 是边 AB 上一动点，连结 PM ，作 △DPM 与 △BPM 关于 PM 对称 (点 D 与点 B 对应)，连结 AD ，则 AD 长的最小值是（）A ．0.5B ．0.6C ．5−√21D ．√13−3【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，如图，∵CM=2，BC=3，∴BM=BC+CM=5，由折叠得：DM=BM=5，∵⊥B=60°，∴⊥ BAE=90°−60°=30°，又AB=4，BC=3，∴BE=12AB=2，在中RtΔABE中，∵AE2+BE2=AB2，∴AE=√AB2−BE2=√42−22=2√3，∴EM=BM−BE=5−2=3，在RtΔAEM中，∵AE2+EM2=AM2，∴AM=√AE2+EM2=√(2√3)2+32=√21，∴AD=DM−AM=5−√21.故答案为：C.【分析】过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得⊥BAE=30°，则BE=12AB=2，在Rt⊥ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt⊥AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.10．（2021八上·下城期末）在⊥ABC中，⊥BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ()A．若AC=2AB，则⊥C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CDC．若⊥B=2⊥C，则AC=2AB D．若⊥B=2⊥C，则S⊥ABD=2⊥ACD【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：由题，⊥BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，A、若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，若⊥C=30°，BC=2AB，故A选项错误；B、如图：若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，作AE⊥BC，则S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE，可得AE=AB⋅ACBC=√5AB=2√55AB，∵AD=AB，∴BE=DE=√AB2−AE2=√55AB，∴BD=2√55AB,DC=BC−AB=3√55AB，∴3BD=2CD，故B选项正确；C、若⊥B=2⊥C，∵⊥BAC=90°，∴⊥B+⊥C=90°，∴⊥C=30°，⊥B=60°，∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，∵AD=AB，∴⊥ABD为等边三角形，∴⊥ADB=60°，∴⊥DAC=⊥ADB-⊥C=30°=⊥C，∴AD=DC=BD，即AD为⊥ABC的中线，∴S⊥ABD=S⊥ACD，故D选项错误.故答案为：B.【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；B、作AE⊥BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD 的关系，然后判断即可；C、若∠B=2∠C，可求出⊥C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，可证⊥ABD为等边三角形，继而求出AD为⊥ABC 的中线，可得S⊥ABD=S⊥ACD，据此判断即可.二、填空题（每题4分，共24分）11．（2020八上·湖州期中）在Rt△ABC中，锐角⊥A＝25°，则另一个锐角⊥B＝°.【答案】65【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=25°，∴另一个锐角∠B=90°−∠A=65°，故答案为：65.【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得.12．（2021八上·鹿城期中）如图，⊥ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为.【答案】√10【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵⊥ADE是等腰直角三角形，∴⊥ADE＝⊥EDF＝90°，∵AD＝DE＝1，∴EF＝√DE2+DF2＝√12+DF2，∴当DF的值最小时，EF的值最小，∵AF⊥BC时，AF的值最小，∴DF的值最小，∵⊥B＝30°，∴此时AF＝12AB＝4，DF＝3，EF＝√10.故答案为：√10.【分析】由等腰直角三角形的性质可得⊥ADE＝⊥EDF＝90°，AD＝DE＝1，由勾股定理表示出EF，推出AF⊥BC时，AF的值最小，则DF的值最小，据此求解.13．（2021八上·绍兴期中）如图⊥MAN＝60°，若⊥ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，⊥ABC是直角三角形．【答案】3或12【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图：当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ABC＝30°，∴AC= 12AB=3，∴运动时间t= AC1=31=3秒，当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ACB＝30°，∴AC= 2AB=12，∴运动时间t= AC1=121=12秒，当运动时间t是3或12秒时，⊥ABC是直角三角形.故答案为：3或12.【分析】当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，⊥ABC＝30°，由30°所对的直角边为斜边的一半可得AC的值，然后除以速度可得时间；当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，⊥ACB＝30°，同理可得t的值.14．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，⊥ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为.【答案】3.5【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：连接CQ 、CD ，∵FG 是线段CP 的垂直平分线，Q 是FG 上的一个动点， ∴CQ ＝PQ ，∴PQ+QD ＝CQ+QD ，∴当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ， ∵⊥ACB ＝90°，AB ＝7，点D 是AB 的中点，∴CD ＝ 12AB ＝3.5.故答案为：3.5.【分析】连接CQ 、CD ，由垂直平分线的性质可得CQ ＝PQ ，推出当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.15．（2021八上·诸暨期中）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是．【答案】5【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8，∴斜边长为√62+82=10，∴斜边上的中线长为12×10=5.故答案为：5.【分析】首先由勾股定理求出斜边长，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.16．在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2，则⊥B= . 【答案】60°【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2设⊥A=x ，则⊥B=2x ， ∴⊥A+⊥B=90°即x+2x=90° 解之：x=30°，∴⊥B=2×30°=60°.故答案为：60°.【分析】由已知设⊥A=x，则⊥B=2x，利用直角三角形的两锐角互余，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出⊥B的度数。

人教版七年级上册专题练习第四章线段的相关计算

人教版七年级上册专题线段的相关计算1．如图，点C在线段AB上，且AC︰BC=5︰2，点D是线段BC的中点，点E是线段AD 的中点，AB=14，求线段CE的长.2．如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB 上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C 点到达B点时停止运动），F为OE中点．（1）当C点运动到AO中点时，求BF长度；（2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由；（3）①　当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．②　若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为秒（直接写出答案）；3．如图，C、D是线段AB上两点，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M、N分别为AC、AB，求线段MN的长.DB的中点，且184．如图，已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点．DE cm，求线段AB的长．（1）若线段9CE cm，求线段DB的长．（2）若线段55．如图，AB＝2，AC＝5，延长BC到D，使BD＝3BC，求AD的长．6．如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：(1)延长线段AB到点C，使BC＝2AB，取AC中点D；(2)在(1)的条件下，如果AB＝4，求线段BD的长度．7．如图，在数轴上有两点A、B，点A表示的数是8，点B在点A的左侧，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数：；点P表示的数用含t的代数式表示为．（2）动点Q从点B出发沿数轴向左匀速运动，速度是点P速度的一半，动点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q的距离为2个单位？（3）若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，在点P的运动过程中，线段MN的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．8．如图,C是线段AB上一点，M是AC的中点,N是BC的中点（1）若AM=1,BC=4,求MN的长度.（2）若 AB=6,求 MN 的长度.9．如图，AD＝12，AC＝BD＝8，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长．10．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.11．画图并计算：已知线段AB=2 cm，延长线段AB至点C，使得2BC=AB，再反向延长AC至点D，使得AD=AC.(1)准确地画出图形，并标出相应的字母；(2)线段DC的中点是哪个？线段AB的长是线段DC长的几分之几？(3)求出线段BD的长度.12．如图,已知点C在线段AB上,线段AC=6厘米,BC=4厘米,点M,N分别是AC,BC的中点.(1)求线段MN的长度;(2)根据第(1)题的计算过程和结果,设AC+BC=a,其他条件不变,你能猜出MN的长度吗?请用一句话表述你发现的规律.13．已知线段AB，延长线段AB到点C，使32BC AB，且BC比AB大1，D是线段AB的中点，如图所示.(1)求线段CD的长；(2)线段AC的长是线段DB的几倍?(3)线段AD的长是线段BC的几分之几?14．已知线段AB=10 cm，点C是线段AB上任意一点，若M、N分别是线段AC、BC 的中点，求出线段MN的长．15．已知点C是线段AB上一点，AC=6 cm，BC=4 cm，若M．N分别是线段AC、BC 的中点，求线段MN的长．16．如图，已知A 、B 、C 三点在同一直线上，AB=24cm ，BC=38AB ，E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，求DE 的长．17．如图，P 是线段AB 上任一点，AB ＝12 cm ，C 、D 两点分别从P 、B 同时向A 点运动，且C 点的运动速度为 2 cm/s ，D 点的运动速度为 3 cm/s ，运动的时间为t s.(1)若AP ＝8 cm.①运动 1 s 后，求CD 的长；②当D 在线段PB 运动上时，试说明AC ＝2CD ；(2)如果t ＝2 s 时，CD ＝1 cm ，试探索AP 的值．18．如图，线段AB 上有两点P ，Q ，点P 将AB 分成两部分，AP ＝23PB ，点Q 将AB 也分成两部分，AQ ＝4QB ，PQ ＝3 cm ，求AP ，QB 的长.19．如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶4∶８三部分，点E 是AD 的中点，CD ＝16，求EC 的长.20．（8分）如图，已知9.6AC cm ，15AB BC ，2CD AB ，求CD 的长．21．如图，C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上．（1）图中共有条线段．。

人教版2024-2025学年七年级数学上册专题8 线段计算的四种方法(习题课件)

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(2)当线段 CE ＝20 cm时，求线段 BE 的长度.
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方法三整体求值法 5. 如图，点 C 在线段 AB 上，点 M ， N 分别是 AC ， BC 的
中点.
(1)若 AC ＝9 cm， CB ＝6 cm，则线段 MN 的长为
cm；
(2)若 AB ＝ m cm，则线段 MN 的长为
8. [2024·泰安岱岳区期中]阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图①，一条直线上有 A ， B ， C ， D 四点，线段 AB ＝ 8 cm，点 C 为线段 AB 的中点，线段 BD ＝2.5 cm，请你补全图形，并求 CD 的长度.
以下是小华的解答过程：
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解：如图②. 因为线段 AB ＝8 cm，点 C 为线段 AB 的中点，
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【点拨】
【答案】B
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4. [2024·常德武陵区期末]如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC ∶ BC ＝2∶3，点 D 在线段 AB 的延长线上， BD ＝2 AC ，点 E 为 AD 的中点.
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(1)当线段 AC ＝2 x cm时，用含 x 的代数式表示线段 AE 的长度.
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2. [2024·济南莱芜区期中]如图，点 B ， D 在线段 AC 上. (1)①图中有 6 条线段，以 A 为端点的线段有 3
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条； ② AB ＝ AD ＋ DB ＝ AC － BC ；
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(2)若 D 是线段 AC 的中点， BC ＝3 BD ， AC ＝8 cm，求线段 AB 的的长为 4 ； ⁠
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北师版七年级数学上册作业课件(BS) 第四章基本平面图形专题训练(五) 线段的计算

5．如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3的三部分，且点M为线段AD的中点， BM＝6 cm，求CM和AD的长．
解：设 AB＝2x cm，BC＝5x cm，CD＝3x cm，则 AD＝AB＋BC＋CD＝10x cm. 又因为点 M 是线段 AD 的中点，所以 AM＝MD＝12 AD＝5x cm，所以 BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x cm，因为 BM＝6 cm，所以 3x＝6，解得 x＝2，故 CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝4 cm，AD＝10x＝20 cm
当点D在线段AB的反向延长线上时，如图②，则AN＝MN－AM＝10－6＝4(cm). 因为点N是CD的中点，所以DN＝NC＝AN＋AC＝4＋8＝12(cm)，所以AD＝DN＋AN＝12＋4＝16(cm) 所以AD的长为24 cm或16 cm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10．如图，数轴上 A，B 两点对应的有理数分别为 10 和 15，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 Q 同时从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为 t 秒． (1)当 0＜t＜5 时，用含 t 的式子填空：BP＝___5_－__t_____，AQ＝_1_0_－__2_t__； (2)当 t＝2 时，求 PQ 的长；
解：(1)因为 CD＝12 AC＝3 cm，CE＝12 BC＝2 cm，所以 DE＝CD＋CE＝5 cm (2)因为 CD＝12 AC，CE＝12 BC，所以 DE＝CD＋CE＝12 AC＋12 BC＝12 (AC＋BC)＝12 AB＝12 a (3)DE＝12 b
7．如图，已知C，D是线段AB上的两个点，点M，N分别为AC，BD的中点． (1)若AB＝10 cm，CD＝4 cm，求MN的长； (2)如果AB＝a，CD＝b，用含a，b的式子表示MN的长．

七年级数学上册专题训练线段或角的计算

专题训练线段或角的计算一、线段的和或差的计算1.如图，C 是线段AB 上的一点，M 是线段AC 的中点，若AB ＝8 cm ，BC ＝2 cm ，则MC 的长度为（）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm 2.平坦的草地上有A ，B ，C 三个球，A 球距B 球3 m ，A 球距C 球1 m ，则B 球与C 球相距（）A.4 mB.3 mC.2 mD.无法确定3.如图已知线段AD ＝16 cm ，线段AC ＝BD ＝10 cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 长为 cm .4.如图，C ，D 是线段AB 上的两点，已知BC ＝14AB ，AD ＝13AB ，AB ＝12 cm ，则DC ＝ cm.5.过点P 作直线l 的垂线PO ，垂足为O ，连接PA ，PB ；比较线段PO ，PA ，PB 的长短，并按从小到大的顺序排列 .6.如图，已知线段AB ＝6 cm ，延长AB 至点C ，使BC ＝13AB ，若点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长.7.已知线段AB ＝6 cm ，在直线AB 上画点C ，使BC ＝4 cm ，若M ，N 分别是AB ，BC 的中点.（1）求点M ，N 之间的距离；（2）若AB ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，此时M ，N 间的距离是多少？（3）分析（1）（2）的解答过程，从中你发现了什么规律？二、角的和或差的计算8.已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数是（）A.15°B.25°C.105°D.125° 9.上午10：00时，钟表上分针与时针所夹角的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90° 10.一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角为（）A.30°B.40°C.60°D.75°11.如图，已知∠AOC ＝90°，∠COB ＝50°，OD 平分∠AOB ，则∠COD 的度数为______.第11题图第12题图12.如图，∠AOB ＝160°，OC 平分∠AOB ，OD 为∠BOC 内任一射线，OE 平分∠BOD ，且∠BOE ＝30°，则∠COD ＝ .13.如图，已知∠AOB ＝m 度，OA 1平分∠AOB ，OA 2平分∠AOA 1，OA 3平分∠AOA 2，OA 4平分∠AOA 3，…，OA n 平分∠AOA n －1，则∠AOA n 的度数为度.14.如图，OC 为∠AOB 的内部任一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线.若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数.15.如图，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时∠1＝∠2.如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3＝30°，那么∠1应等于多少度，才能保证红球能直接入袋？16.如图，已知小明家（A ）在商场（O ）的南偏东60°方向，小华家（B ）在商场的东北方向.（1）若王亮家（C）在商场的北偏西19°20′的方向，试问：∠AOB和∠AOC的度数分别是多少？（2）若∠BOC＝67°20′，试说明王亮家（C）在商场的什么方向上？17.把一副三角板的直角顶点O重叠在一起.（1）如图1，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？（2）如图2，当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？18.将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，若∠AEM′＝120°，则∠BCN′的度数为多少？。

2024年北师大版七年级上册数学复习专项突破练8 线段的有关计算

一直线上，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在线段 AB 上.

(1)若 AB ＝6， BD ＝ BC ，求线段 CD 的长度；
解：(1)如图①，

由题意，得 BC ＝ AB ＝3，所以 BD ＝ BC ＝1.5.
所以 CD ＝ BC － BD ＝1.5.
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(2)点E是线段AB上一点，且AE＝2BE，当AD∶BD＝
所以点A对应的数是1－6＝－5，点C对应的数是
1＋2＝3.
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(2)经过 t 秒后，求点 P ， Q 分别对应的数(用含 t 的式子表
＝3， CM ＝ AM ＝2，
所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝5.
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(2)若 AB ＝10，求 MN 的长度.

解：(2)由题易得 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ BC ＝

(AC＋ BC )＝ AB ＝5.

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2. 【2023西安高新一中月考】已知 A ， B ， C ， D 四点在同

所以 MC ＝ AC ， CN ＝ BC .

所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ BC ＝ (AC＋ BC )＝
×(12＋8)＝10(cm).
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初中数学几何模型与最值问题08专题-瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题(含答案)

初中数学几何模型与最值问题专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2B．4C．6D．8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A-1B．3C．3D．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接B P，以B P为边作等边△B P Q，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6B．3C．2D．1．5【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P，取B P的中点M，则CM的最小值为（）A．B．C-D．2、如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题答案【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

中考数学专题复习8几何初步及三角形相关计算(原卷版)

几何初步及三角形相关计算复习考点攻略考点一直线、射线、线段相关概念和性质1．直线的性质（1）两条直线相交.只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线.即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线.两点之间.线段最短.两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点.则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内.两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中.垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线.这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．7. 角：有公共端点的两条射线组成的图形．8．角平分线（1）定义：在角的内部.以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线.则∠AOC=∠BOC=12∠AOB.∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。

9．度、分、秒的运算方法1°=60′.1′=60″.1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．10．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．11．方向角和方位角在描述方位角时.一般应先说北或南.再说偏西或偏东多少度.而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时.又常常说成东南、东北、西南、西北方向．【例1】如图.在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数）.且2AB=BC=3CD.若A、D两点表示的数分别为-5和6.且AC的中点为E.BD的中点为M.BC之间距点B的距离为13BC的点N.则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N【例2】如图.∠AOB=180°.∠BOC=80°.OD平分∠AOC.∠DOE=3∠COE.求∠BOE．【例3】如图.要修建一条公路.从A村沿北偏东75°方向到B村.从B村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE与AB的方向一致.则∠ECB的度数为A．80°B．90°C．100°D．105°【例4】计算：18°30′=__________°考点二立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆.棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面.棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆.侧面是曲面；棱锥的底面是多边形.侧面是三角形．2．点动成线.线动成面.面动成体.线没有粗细.点没有大小．3．设立体图形的面数为F.顶点数为V.棱数为E.则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：【例5】如图是一个正方体包装盒的表面积展开图.若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数.使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后.相对面上的两数互为相反数.则填在A、B、C内的三个数依次为A．0.-2.1 B．0.1.2C．1.0.-2 D．-2.0.1考点三三角形的基本概念(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

小专题(八) 线段的计算-北师大版七年级数学上册作业课件

解：(1)因为AB＝24，CD＝10，所以AC＋DB＝AB－CD＝14. 因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC＋DN＝12(AC＋DB)＝7. 所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.
(2)因为AB＝a，CD＝b，所以AC＋DB＝AB－CD＝a－b. 因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC＋DN＝12(AC＋DB)＝12(a－b)．所以MN＝MC＋DN＋CD＝12(a－b)＋b＝12(a＋b)．
【变式1】若MN＝k cm，求线段AB的长．解：因为点M是AC的中点，所以CM＝12AC. 因为点N是BC的中点，所以CN＝12BC. 所以MN＝CM＋CN＝12AC＋12BC＝12AB. 所以AB＝2MN＝2k cm.
【变式2】若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M， N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．
②当点P在点Q左边时，如图3.
图3 此时，OQ＝2t，AP＝t，OA＝10，AB＝5. 所以PQ＝OQ－OA－AP＝2t－10－t＝t－10. 当PQ＝12AB时，即t－10＝2.5，解得t＝12.5. 综上所述，当PQ＝12AB时，t＝7.5或12.5.
；
(2)当t＝2时，求PQ的值；
(3)当PQ＝12AB时，求t的值．
解：(2)当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上，OQ＜10，点Q在线段OA上，如图1.
图1 此时PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝(10＋t)－2t＝10－t＝8.
(3)①当点P在点Q右边时，如图2.
图2 此时，AP＝t，OQ＝2t，OA＝10，AB＝5. 所以PQ＝OA＋AP－OQ＝10＋t－2t＝10－t. 当PQ＝12AB时，即10－t＝2.5，解得t＝7.5.

【专题复习】2019年七年级数学上册线段的计算专题练习20题(含答案)

2019年七年级数学上册线段的计算专题练习一、解答题：1、如图，己知线段AB=80，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB=14，（1）求MB的长；（2）求PB的长；（3）求PM的长．2、如图，点C、D是线段AB上两点，点D是AC的中点，若BC=6cm，BD=10cm，求线段AB的长度．3、如图，已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点．（1）若线段DE=9cm，求线段AB的长．（2）若线段CE=5cm，求线段DB的长．4、点A，B，C在同一直线上，AB=8，AC：BC=3：1，求线段BC的长度．5、如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．6、如图，已知线段AB=32，C为线段AB上一点，且3AC=BC，E为线段BC的中点，F为线段AB的中点，求线段EF的长．7、如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．8、如图，线段AC=8 cm，线段BC=18 cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN∶NB=1∶2.求MN的长．9、如图，已知BC=AB=CD，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF=60厘米，求AB，CD的长．10、如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t=2时，①AB= cm．②求线段CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．11、如图，点B、C在线段AD上，CD=2AB＋3．（1）若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；（2）若4BC=AD，求BC－AB的值；（3）若线段AC上有一点P（不与点B重合），AP＋AC=DP，求BP的长．12、A、B、C、D四个车站的位置如图所示，B、C两站之间的距离BC=2a＋b，B、D两站之间的距离BD=4a ＋3b.求：⑴ C、D两站之间的距离CD；⑵若C站到A、D两站的距离相等，则A、B两站之间的距离AB是多少？13、如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．14、如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN 的长．15、如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP= ，AQ= ；（2）当t=2时，求PQ的值；（3）当AB=2PQ时，求t的值．16、如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点.（1）若AC=6 ，CB=4 ，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，其它条件不变，你能猜想线段MN与AB的数量关系吗？并说明你的理由；（3）若点C在线段AB的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，写出你的结论，并说明你的理由；17、如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长．18、已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数: ；用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A.①点P、Q同时运动运动的过程中有处相遇，相遇时t= 秒．②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．19、如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．20、探索性问题：已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值．a= ，b= ，c= ；（2）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．①t秒钟过后，AC的长度为（用t的关系式表示）；②请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．参考答案1、解：（1）∵M是AB的中点∴MB=40（2）∵N为PB的中点，且NB=14 ∴PB=2NB=2×14=28（3）∵MB=40，PB=28 ∴PM=MB﹣PB=40﹣28=122、解：已知BC=6cm，BD=10cm，∴DC=BD﹣BC=4cm，又点D是AC的中点，∴DA=DC=4cm，所以AB=BD+DA=10+4=14（cm）．答：线段AB的长度为14cm．3、解：（1）∵DE=9cm，∴DC+CE=9cm．∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，∴AC=2CD，BC=2CE．∵AB=AC+BC=2（CD+CE）=2DE=18cm；（2）点C是线段AB的中点，∴AB=ACB．∵点E是线段BC的中点，∴BC=2CE=10cm．∵点D是线段AC的中点，∴DC=AC=BC=5cm．∴DB=DC+CB=5+10=15cm．4、解：由于AC：BC=3：1，设BC=x，则AC=3x第一种情况：当点C在线段AB上时，AC+BC=AB．因为 AB=8，所以3x+x=8解得 x=2所以 BC=2第二种情况：当点C在AB的延长线上时，AC﹣BC=AB因为 AB=8，所以3x﹣x=8解得 x=4所以 BC=4综上，BC的长为2或4．5、解：∵线段AB=8cm，E为线段AB的中点，∴BE4cm，∴BC=BE﹣EC=4﹣3=1cm，∴AC=AB﹣BC=8﹣1=7cm，∵点D为线段AC的中点，∴CD=3.5cm，∴DE=CD﹣EC=3.5﹣3=0.5cm．6、解：∵F为线段AB的中点，∴BF=AB=16，∵AC=BC，∴BC=AB=24，∵E为线段BC的中点，∴BE=12，∴EF=BF﹣BE=16﹣12=4．7、解：∵AB=4cm，BC=2AB，∴BC=8cm，∴AC=AB+BC=4+8=12cm，∵M是线段AC中点，∴MC=AM=AC=6cm，∴BM=AM﹣AB=6﹣4=2cm．8、解：BC=18cm所以CN=18×1÷(1+2)=6mM是AC中点所以MC=AC/2=4cm所以MN=MC+CN=4+6=10cm9、解：设BC=x厘米，由题意得：AB=3x，CD=4x∵E，F分别是AB，CD的中点∴BE=AB=x，CF=CD=2x∴EF=BE+CF﹣BC=x+2x﹣x即x+2x﹣x=60，解得x=24∴AB=3x=72（厘米），CD=4x=96（厘米）．答：线段AB长为72厘米，线段CD长为96厘米．10、解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，∴当t=2时，AB=2×2=4cm．故答案为：4；②∵AD=10cm，AB=4cm，∴BD=10﹣4=6cm，∵C是线段BD的中点，∴CD=BD=×6=3cm；（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，∴当0≤t≤5时，AB=2t；当5＜t≤10时，AB=10﹣（2t﹣10）=20﹣2t；（3）不变．∵AB中点为E，C是线段BD的中点，∴EC=（AB+BD）=AD=×10=5cm．11、解：12、解：⑴ CD=(4a＋3b)－（2a＋b）=2a＋2b 答：C、D两站之间的距离CD为（2a＋2b）⑵ AB=AC－BC=CD－BC=（2a＋2b）－（2a＋b）=b 答：A、B两站之间的距离AB是b.13、解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，∴MN=CM+CN=4+3=7（cm）；即线段MN的长是7cm．（2）能，理由如下：如图所示，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=（AC﹣BC）=cm．14、解：∵M是AC的中点，AC=6，∴MC=3，又因为CN∶NB=1∶2，BC=15，∴CN=5，∴MN=MC＋CN=3＋5=8，∴MN的长为8 cm15、解：16、解：17、解：18、解：（1）P点对应的数为﹣26+t；PC=36﹣t；故答案为：﹣26+t；36﹣t；（2）①有2处相遇；分两种情况：Q返回前相遇：3（t﹣16）﹣16=t﹣16，解得：t=24，Q返回后相遇：3（t﹣16）+t=36×2．解得：t=30．综上所述，相遇时t=24秒或30秒．故答案为：24或30；②当16≤t≤24时 PQ=t﹣3（t﹣16）=﹣2t+48，当24＜t≤28时 PQ=3（t﹣16）﹣t=2t﹣48，当28＜t≤30时 PQ=72﹣3（t﹣16）﹣t=120﹣4t，当30＜t≤36时 PQ=t﹣[72﹣3（t﹣16）]=4t﹣120，当36＜t≤40时 PQ=3（t﹣16）﹣36=3t﹣84．19、解：20、解：。

人教版七年级上册同步强化训练：线段长短的计算(含答案)

4.2线段长短的计算一．选择题1．如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD＝BC C．CD＝AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC 2．点M在线段AB上，给出下列四个条件，其中不能判定点M是线段AB中点的是（）A．AM＝BM B．AB＝2AM C．BM＝AB D．AM+BM＝AB 3．如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能确定4．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（）A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BDC．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC5．如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝20，AD＝14，则AC的长为（）A．10B．8C．7D．66．如图，已知线段AB＝10cm，点N在AB上，NB＝2cm，M是AB中点，那么线段MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．已知线段AB和点P，如果P A+PB＝AB，那么（）A．点P为AB中点B．点P在线段AB上C．点P在线段AB外D．点P在线段AB的延长线上8．已知线段AB＝5，C是直线AB上一点，BC＝2，则线段AC长为（）A．7B．3C．3或7D．以上都不对9．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC等于（）A．11cm B．5cm C．11cm或5cm D．8cm或11cm 二．填空题10．如图，点C在线段AB上，E是AC中点，D是BC中点，若ED＝6，则线段AB的长为．11．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC 的长度为．12．如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AC＝5cm，BD＝2cm，则CD＝cm．13．已知线段AB，延长AB至点C，使BC＝AB，反向延长AB至点D，使AD＝AB，若AB＝12cm，则CD＝cm．14．线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝．三．解答题15．如图，A、B、C三点在一条直线上，根据右边的图形填空：（1）AC＝++；（2）AB＝AC﹣；（3）DB+BC＝﹣AD（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．16．如图，点M为AB中点，BN＝AN，MB＝3cm，求AB和MN的长．17．如图，已知线段AB上有一点C，点D、点E分别为AC、AB的中点，如果AB＝10，BC＝3，求线段DE的长．18．如图已知点C为AB上一点，AC＝18cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．19．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．（2）若AB＝6，求MN的长度．20．如图：A、B、C、D四点在同一直线上．（1）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝AB，A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，故本选项正确；B、D不一定是BC的中点，故CD＝BC不一定成立；C、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故本选项正确；D、CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD，故本选项正确．故选：B．2．解：A、由AM＝BM可以判定点M是线段AB中点，所以此结论正确；B、由AB＝2AM可以判定点M是线段AB中点，所以此结论正确；C、由BM＝AB可以判定点M是线段AB中点，所以此结论正确；D、由AM+BM＝AB不可以判定点M是线段AB中点，所以此结论不正确；因为本题选择不能判定点M是线段AB中点的说法，故选：D．3．解：根据题意和图示可知AB＝CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC＝BD．故选：A．4．解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．故选：C．5．解：∵AB＝20，AD＝14，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣14＝6，∵D为线段BC的中点，∴BC＝2BD＝12，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣12＝8．故选：B．6．解：∵AB＝10cm，M是AB中点，∴BM＝AB＝5cm，又∵NB＝2cm，∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm．故选：C．7．解：如图：∵P A+PB＝AB，∴点P在线段AB上．故选：B．8．解：当点C在线段AB上时：AC＝5﹣2＝3；当C在AB的延长线上时：AC＝5+2＝7．故选：C．9．解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：（1）当C点在B点右侧时，如图所示：AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；（2）当C点在B点左侧时，如图所示：AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；所以线段AC等于5cm或11cm，故选：C．二．填空题10．解：∵E是AC中点，D是BC中点，AC+BC＝AB∴ED＝AB∴AB＝12．∴线段AB的长为12．11．解：∵线段AB的中点为M，∴AM＝BM＝6cm设MC＝x，则CB＝2x，∴x+2x＝6，解得x＝2即MC＝2cm．∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．12．解：∵点C为AB中点，∴BC＝AC＝5cm，∴CD＝BC﹣BD＝3cm．13．解：如图∵AB＝12cm，∴BC＝AB＝8cm，AD＝AB＝3cm，∴CD＝DA+AB+BC＝3+12+8＝23cm．14．解：本题有两种情形：（1）当点Q在线段AP上时，如图，BQ＝BP+PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14+11＝23；（2）当点Q在线段BP上时，如图，BQ＝BP﹣PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14﹣11＝1．故答案为：23或1．三．解答题15．解：（1）AC＝AD+DB+BC；（2）AB＝AC﹣BC；（3）DB+BC＝AC﹣AD（4）∵D是AC的中点，AC＝8，∴AD＝DC＝4，∵B是DC的中点，∴DB＝＝2，∴AB＝AD+DB，＝4+2，＝6（cm）．∴线段AB的长为6cm．故答案为：AD，DB，BC；BC；AC．16．解：∵点M为AB中点，∴AB＝2MB＝6cm，∴AN+NB＝6cm，∵BN＝AN，∴2BN+NB＝6cm∴NB＝2cm∴MN＝MB﹣NB＝1cm．17．解：因为D是AC的中点，所以，因为点E是AB的中点，所以AE＝AB，所以．因为AB＝10，BC＝3，所以AC＝AB﹣BC＝7．所以＝．答：线段DE的长为．18．解：∵AC＝18cm，CB＝AC，∴BC＝×18＝12cm，则AB＝AC+BC＝30cm，∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD＝AC＝9cm，AE＝AB＝15cm，∴DE＝AE﹣AD＝15﹣9＝6cm，答：DE的长是6cm．19．解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4∴CN＝2，AM＝CM＝1∴MN＝MC+CN＝3；（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6∴NM＝MC+CN＝AB＝3．20．解：（1）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即，AC＝BD，故答案为：＝；②∵BC＝AC，且AC＝12cm，∴BC＝×12＝9（cm），∴AB＝CD＝AC﹣BC＝12﹣9＝3（cm），∴AD＝AC+CD＝12+3＝15（cm），故答案为：15；（2）如图，设每份为x，则AB＝3x，BC＝4x，CD＝5x，AD＝12x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM＝BM＝x，CN＝DN＝x，又∵MN＝16，∴x+4x+x＝16，解得，x＝2，∴AD＝12x＝24（cm），答：AD的长为24cm．。