线性代数 1-4 第1章4讲-行列式的性质及其应用(2)

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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

• 解：按照行列式按列展开的公式，有$D = 2M{12} + (-1)M{22} + (1)M_{32}$$= 2 \times \left|\begin{matrix} 2 & -1 \ -1 & 1 \end{matrix}\right| + (-1) \times \left|\begin{matrix} 1 & -1 \ -1 & 0 \end{matrix}\right| + (-1) \times \left|\begin{matrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix}\right|$$= 2 \times (2 \times 1 - (-1) \times (-1)) + (-1) \times (1 \times (-1) - (-1) \times 0) + (-1) \times (2 \times 1 - 3 \times 0)$$= 2 \times (2 - 1) + (-1) \times (1 + 0) + (-1) \times (2 - 0)$$= 4 + (-1) + (-2)$$= -3$
PART 02
行列式按行展开
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与公式
定义
行列式按行展开是将行列式中的元素按照某一行的组合进行展开，得到一个更简单的行列式或一个数。

线性代数与空间解析几何01-第4节利用性质计算行列式_4

1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
利用本例题的结论, 还可以证明：
a11 a1k c11 c1n
(1) ak1
akk
0
ck1 b11
a11
ckn
b1n
ak1
a1k b11
akk bn1
b1n .
bnn
bn1 bnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式我们知道，上（下）三角形行列式等于
主对角线上元素的乘积. 实际上，一般的行列式可以利用性质尤其是运算ri+krj (或ci+kcj) 将其化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．
下面举例说明如何运用行列式的性质将行列式化为上三角形行列式进行计算. 在计算过程中，所用方法步骤不唯一，但结果一定相同.
利用本例题的结论, 还可以证明：
a11 a1k
O
(2) b11
b1n
ak1 c11
akk c1k
bn1 bnn cn1 cnk
a11 a1k
b11 b1n
(1)kn
ak1 akk
bn1 bnn
1.2 行列式的性质
（一）小结： 1.计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式, 从而算得行列式的值．

线性代数第一章PPT讲解1-4

a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44.
a31 a32 a33
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
0
x2n2 ( x2 x1 )
x3n2 ( x3 x1 )
x n2 n
(源自文库
xn
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .

自考线性代数(经管类)-考点

线性代数

第一章行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数

得到下列式子：

称为一个二阶行列式，其运算规则为

2．三阶行列式

由9个数

得到下列式子：

称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式

对任何一个元素

，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素

的余子式，记成

例如

，

再记

，称

为元素

的代数余子式.

例如

，

那么，三阶行列式

定义为

我们把它称为

按第一列的展开式，经常简写成

4．n阶行列式

一阶行列式

n阶行列式

其中

为元素

的代数余子式.

5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角行列式

（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即

性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.

定理1（行列式展开定理）

线性代数第1章第4节行列式按行展开

2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式．
1 5
D 0
(1) (1) 23 2 3
3 3 1 4 1 3 (1)
0
3 1 2
1 2
92.
17
解法三：先调整，再展开．
1 D 2 3 2 3 1 0 3 0 1 5 1 2
1
2 4 1
0 1 0 0
1 5 16 2
1 4 1
r3 3r2

线性代数第一章：行列式的性质

a11 a1k
0
例8
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11 b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij 来自百度文库
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
例7 计算
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
解
1
3 1
1 5 3
D C1 C 2
0
21
5 1
3
1 3 1 2
r 2 r1
0
r 4 5r1 0
bip a jp , bjp aip ,
于是
D1
1 tb1 p1 bipi bjpj bnpn
1 ta1 p1 aipi a jpj anpn
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.

线性代数-行列式(完整版)

02 二阶与三阶行列式
二阶行列式计算
对角线法则
二阶行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素之积。
展开式
二阶行列式可以按照任意一行或一列展开，即选择一行或一列，将其元素与对应的代数余子式相乘后求和。
三阶行列式计算
对角线法则
三阶行列式的值等于主对角线上的三个元素之积加上三个副对角线上的元素之积，但要注意符号的变化。
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
06 行列式在解决实际问题中应用
线性方程组求解问题
01

线性代数及其应用-课件-第1.4节

由定义可知, n 阶行列式(1)共有 n ! 项;(2)其中
n! n! 个为正项, 个负项;(3)每项均是 A 的几 2 2
个不同行、不同列元素的乘积,并且该项的符
号,当行足标是自然排列时,若列足标是偶排列则冠正号,否则冠负号.
由定义,若方阵 A 有零行或零列,则
det A = 0.
例 1.23 证明下三角证的行列式

ain , ain ann a1n

a1n
a11
a12 ai 2 an 2

a1n . ain ann
ai ain 1 ann an1
由行列式定义,性质 4 显然成立.此性质说明行
ri rj
过一次第一种初等变换(交换两行),行列式变
号.
例如
a b c d ad bc, cb ad , c d a b
二者变号.
性质 1 和性质 2 不证明.
推论若矩阵有相同的两行,则其行列式等于
0.
证设矩阵 A 的第 i 行与第 j 行相同,且
A B .由性质 2, B A ; 另一方面, B A, 于是 B A , 故 A 0.
(未标明的元素均是 0)
证记矩阵
n
1 2

A aij

线性代数总结【含1-4章】

线性代数知识要点总结：

第一章行列式

1、二阶和三阶行列式的计算-（P3 例2）。

2、逆序与逆序数的计算方法

3、上三角形行列式的计算----由主对角线各个元素相乘积所得（P16 例4）。

4、行列式的5个性质：（重点掌握）

（1）转置，行列式的值不变

（2）换行（或列），行列式改变符号

（3）某行（或列）可以提取公因子

（4）某行（或列）若为两元素之和，可以拆为两个行列式之和（5）某行（或列）的K倍，加到另一行（或列），值不变

8、行列式的元素，余子式，代数余子式的定义以及关系

9、行列式的展开定理：

（1）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以自己对应的代数余子式，其和就是行列式的值

（2）行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以其他行（或列）对应元素的代数余子式，其和等于零

10、行列式计算的常用方法：

（1）利用行列式的定义

（2）利用行列式的性质（主要是性质5和性质2），化为上三角形行列式

（3）利用行列式的展开定理

（4）实际上，常是先利用行列式的性质5，将某行（或列）化为零元素较多，然后利用行列式的展开定理，对此行（或列）进行展开，达到降阶的目的，从而计算得到结果。可以重复反复使用上述步骤。

第二章矩阵

1、矩阵的概念（m ×n 矩阵，行矩阵，列矩阵，单位阵，零矩阵

等）

2、矩阵的运算（相等，加，减，数乘矩阵，矩阵相乘，矩阵的转置，方阵的行列式及其有关性质，等）（P41 例3）。

3、逆矩阵的定义（P52定义一）。（余子式矩阵，代数余子式矩阵，伴随矩阵（P53 例2）。等）和有关性质（P55 三）。

理学-线性代数行列式的计算与性质

线性代数行列式的计算与性质

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，

取值为一个标量，写作

或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成

的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

矩阵A 的行列式有时也记作|A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。

不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：

），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵：A=????? ??i h g f

e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作：A=i h g

f e d

c b a

，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼

高等数学线性代数矩阵的性质与计算教学ppt(2)

性质4 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论1 行列式中如果有一行(列)元素全为0，则此行列式为零．
推论2 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数
之和，则此行列式可拆为如下两个行列式的和：
a11
a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin
an1 a11 a12
an 2 a1n
ann a11 a12
ai1 ai2
ai n
bi1 bi2
21 3. 7
二、三阶行列式
a11 a12 a13
定义
已知3阶方阵
a21
a22
a23
,
a31 a32 a33
定义3阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a12
副对角线
a21
a22

线性代数知识点总结

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。下面是小编想跟大家分享的线性代数知识点总结，欢迎大家浏览。

第一章行列式

知识点1：行列式、逆序数

知识点2：余子式、代数余子式

知识点3：行列式的性质

知识点4：行列式按一行（列）展开公式

知识点5：计算行列式的方法

知识点6：克拉默法则

第二章矩阵

知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

知识点9：计算方阵的幂

知识点10：转置矩阵及运算律

知识点11：伴随矩阵及其性质

知识点12：逆矩阵及运算律

知识点13：矩阵可逆的判断

知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

知识点15：矩阵方程的求解

知识点16：初等变换的概念及其应用

知识点17：初等方阵的概念

知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断

知识点20：矩阵的.子式与最高阶非零子式

知识点21：矩阵的秩的概念与判断

知识点22：矩阵的秩的性质与定理

知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

第三章向量

知识点25：向量的概念及运算

知识点26：向量的线性组合与线性表示

知识点27：向量组之间的线性表示及等价

知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

知识点29：线性表示与线性相关性的关系

知识点30：线性相关性的判别法

知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系

知识点33：求向量组的最大无关组

知识点34：有关向量组的定理的综合运用

行列式及其性质

行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一

个标量值。在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线

性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。本文将从

定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及

其相关概念。

一、行列式的定义

行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。对于一个n

阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A

的行列式记作|A|或det(A)，即：

|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *

a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn

二、行列式的性质

1. 行列式的性质1：行列式与转置

若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置

矩阵的行列式相等。

2. 行列式的性质2：行列式的倍数

若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。

3. 行列式的性质3：交换行（列）

若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。

4. 行列式的性质4：行列式的线性性质

对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个

数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。

5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系

线性代数第1章行列式n阶行列式的定义

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶行列式计算，适用于高阶行列式。
80%
详细阐述了行列式的七大性质，包括转置性质、换行性质、数乘性质、拆行性质、倍加性质、消去性质和拉普拉斯展开定理。
行列式的计算
介绍了行列式的计算方法，包括直接计算法、降阶法和升阶法等，以及特殊类型行列式的计算技巧。
后续章节预告
矩阵及其运算
将介绍矩阵的概念、矩阵的运算以及矩阵的逆等知识点。
特征值与特征向量
多做练习题，通过实践加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力和思维水平。
ABCD
提前预习后续章节内容，了解相关知识点的基本概念和方法，为深入学习打下基础。
注重知识点的联系和综合运用，能够将所学知识串联起来，形成完整的知识体系。
THANK YOU
感谢聆听
特殊行列式的性质
01
02
03
04
对角行列式
对角线上的元素相乘即为行列式的值。
上（下）三角行列式
主对角线以上（以下）的元素全为零的行列式，其值等于主对角线上的元素相乘。

行列式的性质及应用知识点总结

行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方

程组等问题具有重要的应用价值。本文将对行列式的性质及其在实际

问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、行列式的定义和性质

1. 行列式的定义

行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中

a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。

2. 行列式的性质

（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。

（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘

以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。

（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是

其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，

即|A+B|=|A'|+|B|。

（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *

a_nn。

二、行列式的应用

1. 矩阵的逆

行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。

2. 线性方程组的求解

行列式也可以应用于求解线性方程组。对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中

行列式性质详解及应用

行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。

一、行列式的定义与基本性质

行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：

|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n

其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

行列式具有以下基本性质：

1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|

2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|

3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。

二、行列式的求解方法

1. 拉普拉斯展开法

拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。

2. 三角矩阵法

三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。

三、行列式的性质及应用

行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。

线性代数 1-4 第1章4讲-行列式的性质及其应用(2)

线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4

线性代数第一章PPT讲解1-4

自考线性代数(经管类)-考点

线性代数第1章第4节行列式按行展开

线性代数第一章：行列式的性质

线性代数-行列式(完整版)

线性代数及其应用-课件-第1.4节

线性代数总结【含1-4章】

理学-线性代数行列式的计算与性质

高等数学线性代数矩阵的性质与计算教学ppt(2)

线性代数知识点总结

行列式及其性质

线性代数第1章行列式n阶行列式的定义

行列式的性质及应用知识点总结

行列式性质详解及应用

线性代数与空间解析几何01-第4节利用性质计算行列式_4