一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用
D．{a|a>4}
CD 解析：若命题为真命题，由于 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4，所以 x2
－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，只需 a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中 a
可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．
3.若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋
2x＋1
>0，即
<0，
x＋3
x＋3
1
1
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－2.∴原不等式的解集为 x－3<x<－2
.
变式训练1 解下列不等式：
1－x
(1)
≥0；
3x＋5
解
x－1
(2)
＞1.
x＋2
5
－
≤x≤1，
3
（x－1）（3x＋5）≤0，
x－1
(1)原不等式可化为
例 2 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数 x，f(x)＜0 恒成立，求 m 的取值范围；
(2)对于 x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围.
解
(1)若 m＝0，显然－1＜0 恒成立；
m＜0，
若 m≠0，则
⇒－4＜m＜0. ∴m 的取值范围为(－4，0].
不等关系再求解．
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|－1：原不等式⇔
x－1≠0，
∴－1≤x＜1.
2. (多选题)若“不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立”为假命题，则
第2课时 一元二次不等式的实际应用 高一数学
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【变式训练1】 已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,x2+x-6<0的
解集为B,x2+ax+b<0的解集为C,若C=A∩B,求a,b的值.
解:x2-2x-3<0的解集A为{x|-1<x<3},
x2+x-6<0的解集B为{x|-3<x<2}.
x1+x2=- ,x1·x2= ,
其中
=
=-2×3,-
- ×
=
-
=
- +
=1=-2+3,则
- ×
故不等式 cx2+bx+a<0 的解集为{x|-2<x<3}.
x1=-2,x2=3.
反思感悟
1.本题是二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间关
围是
.
解析:(1)因为不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集为⌀,所以二次函
数y=ax2+bx+c的图象全在x轴上方,即a>0,Δ<0.
(2)由题意知,Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0.
答案:(1)D (2)-4<a<0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
= -,
解得
= -.
则 2x2+bx+a<0 可化为 2x2-2x-12<0,
即 x2-x-6<0,∵(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,
一元二次不等式的解法和应用
一元二次不等式的解法和应用一元二次不等式是高中数学中一个重要的知识点，在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法和一元二次方程的解法有相似之处，都可以通过变形和解析法来求解。
下面将详细讲解两种解法。
1. 变形法对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，首先要将其变形为一个解析式，然后通过求解这个解析式的值域来确定不等式的解集。
步骤如下：a. 将不等式移项，使得一元二次不等式的右边为零。
b. 判断系数a的符号，若a > 0，则可将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集。
若a < 0，则需要将不等式的符号反转。
c. 根据解析式的值域，确定不等式的解集。
若解析式的取值范围大于零，则原不等式的解集为实数集；若解析式的取值范围等于零，则原不等式的解集为空集；若解析式的取值范围小于零，则原不等式的解集为空集。
2. 解析法解析法是一种通过图像和函数变化趋势来解决一元二次不等式的解法。
步骤如下：a. 将一元二次不等式化为对应的一元二次方程，然后求出方程的根。
b. 根据一元二次函数的图像和函数变化趋势，确定函数的非负区间和非正区间。
c. 根据函数的非负区间和非正区间，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 优化问题：通过建立一元二次不等式模型，可以求解最大值或最小值。
对于给定资源和约束条件的情况下，可以用一元二次不等式来描述并求解最优解。
2. 区间划分问题：通过一元二次不等式的解集，可以将数轴划分成若干个区间，从而对解集进行分类和讨论。
3. 几何问题：一元二次不等式可以用来解决几何相关的问题，如求解面积最大或最小、求解两条直线的位置关系等。
4. 经济问题：一元二次不等式在经济学中有着广泛的应用，如利润最大化、成本最小化等问题的求解。
一元二次不等式的应用
.一元二次不等式的应用在列方程解应用问题时，首先要认真分析题意，找出等量关系；其次是列出方程；最后，在解方程求出方程的解之后，一定要对所求的根加以判断，确定出正确答案。
例1 已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。
分析：（1）直角三角形三边长的关系，可以根据勾股定理这一等量关系列出方程式。
（2）由于三边长为连续整数，故可设中间长度的一条边为x，则其余两条边的长分别为x-1和x+1。
解：设这个直角三角形的三条边长分别为x-1，x，x+1。
根据题意，得：(x-1)2+x2=(x+1)2解方程，得x1=0，x2=4∵三角形的边长不可能为0，∴x1=0舍去且x=4是整数，符合题意。
其余两边分别为：x-1=4-1=3，x+1=4+1=5答：这个直角三角形的三边长分别为3、4、5。
若设这个直角三角形的最短边为x也可以，则其余两边分别为x+1和x+2。
所列方程为：x2+(x+1)2=(x+2)2解方程时，比原解法中所列方程稍麻烦一些。
注：列方程的关键在于找到包含x在内的量的关系用等式表达出来。
2.多数可以用一元一次方程解的应用问题，都可以用算术方法来解。
所以习惯用算术方法解应用题的学生，往往体会不到列方程解应用题的优越性。
而需要用一元二次方程解的应用题，不易或不能用算术方法解，这时列方程的优越性和必要性就很明显了。
例2用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用18cm长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，求矩形的边长。
分析：先看弯成等腰三角形的一段铁丝。
若以5cm为等腰三角形的底边，则腰长为6.5cm。
可根据等腰三角形的性质及勾股定理，计算出底边上的高为6cm。
则此三角形的面积为15cm2。
若以5cm为等腰三角形的腰，则底边长为8cm。
同理计算出面积为12cm2。
这时问题转化为周长为16cm的矩形，面积分别为15cm2和12cm2时的边长。
用算术解法不易求出，若用代数解法，可设矩形一边为xcm，则另一直角边为(8-x)cm，据题意：x(8-x)=15或x(8-x)=12，解此关于x的方程即可求出矩形边长。
一元二次不等式的应用 课件
[解] (1)∵32xx＋－11≥0⇔2x－13x＋1≥
x＋1≠0
⇔x≤－13或x≥12 x≠－13 ⇔x<－13或x≥12， ∴原不等式的解集为{x|x<－13，或x≥12}．
(2)方法一：原不等式可化为x2＋－3x>>0x＋3，
或x2＋－3x<<0x＋3
(2)由(1)，得y＝－mx2＋100(1－m)x＋10 000(0<x≤80)．
如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多， 那么有当0<x≤80时，y>10×1 000. 即－mx2＋100(1－m)x＋10 000>10 000,0<x≤80. ∴－mx＋100(1－m)>0,0<x≤80恒成立．
[点评] 对于比较简单的分式不等式，可直接等价转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组即可，要注意分 母不为零．
类型二 不等式的恒成立问题 [例2] 关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集 为R，求实数a的取值范围． [分析] a2－1＝0时转化不等式求解 → a2－1≠0时数形结合转化 → 解不等式组 → 得解
(1)
[错因分析] 忽略了函数图象开口向下的情形．
Hale Waihona Puke [正解]当k>0时，由图象知，只需f(1)<0即可.
k>0
f1<0
⇒0<k<1(k>0为前提务必考虑)．
当k<0时，由图(2)知，只需f(1)>0，
即k<0 f1>0
⇒k<－4.
(2) 综上，知k的取值范围为0<k<1或k<－4.
[解] (1)p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两根， ∴xx11＋·x2x＝2＝－m2. ∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝ m2＋8. 又m∈[－1,1]， ∴|x1－x2|∈[2 2，3]． ∵不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒 成立，
一元二次不等式的解法的综合应用题
一元二次不等式的解法的综合应用题一元二次不等式是指一个包含未知数的二次函数不等式，它的解可以通过图像、因式分解、配方法等不同的方法进行求解。
本文将通过综合应用题的方式，探讨一元二次不等式的解法及其应用。
1.电影票问题某电影院的电影票售价为x元，根据市场需求和收益最大化的原则，电影院决定制定不等式来限制票价。
已知场内座位数为500个，观众的平均消费能力为500元，为了提高入场率和营业额，电影院制定了如下不等式：x^2 - 500x < 0解法：首先，将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 500x < 0，然后求解二次函数的零点：x(x - 500) < 0根据零点法则，我们可以得到两个重要的点：x = 0和x = 500。
接下来，通过判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 0), (0, 500)和(500, +∞)。
然后，选择这些区间中的任意一个点，代入原不等式进行判断。
例如，选择x = 100，代入原不等式得到：100(100 - 500) < 0-40000 < 0由于不等式成立，我们可以得出结论，电影票的价格在(0, 500)的区间内满足需求。
2.优惠活动问题某百货公司决定举办促销活动，现假设购物金额为x元，百货公司依据不同购物金额设置不等式：x^2 - 3000x + 200000 < 0解法：将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 3000x + 200000 < 0。
然后通过因式分解的方法来解决：(x - 200)(x - 1000) < 0由此可得两个关键点：x = 200和x = 1000。
利用判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 200), (200, 1000)和(1000, +∞)。
选择其中一个区间的点，例如x = 300，代入原不等式进行判断：(300 - 200)(300 - 1000) < 0-200000 < 0结合不等式的前提条件，我们可以得出结论，在(200, 1000)的范围内购物金额可以享受促销优惠。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是代数学中的重要内容，它与一元二次方程相似，但存在着一定差异。
在本文中，我们将深入探讨一元二次不等式的性质、解法以及其在实际问题中的应用。
1. 一元二次不等式的性质一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c < 0（或 > 0）。
其中，a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与二次方程类似，一元二次不等式也可以表示为图像形状不同的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要有两种：图像法和代数法。
2.1 图像法通过绘制一元二次不等式对应的二次函数图像，可以直观地获取不等式的解集。
首先，根据a的正负确定抛物线的开口方向。
然后，通过求解抛物线与x轴的交点，即解出方程 ax^2 + bx + c = 0 。
最后，根据抛物线的位置与x轴的交点确定不等式的解集。
2.2 代数法通过代数方法解一元二次不等式，可以利用求解二次方程的方法，或者根据不等式性质进行变形和分类讨论。
对于形如 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，可以首先求解对应的二次方程 ax^2 + bx + c = 0 。
根据一元二次方程求解公式，可以得到方程的两个根 x1 和 x2 。
然后，根据二次函数的凹凸性，结合不等式的符号要求，可以将解集分为3种情况，即 x < x1，x1 < x < x2，x >x2。
3. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活中有着广泛的应用。
以某企业的生产问题为例，假设x表示产品的销量，其成本函数为 C(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
为了使企业利润最大化，我们可以通过解一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0 来确定销量x的取值范围。
此外，一元二次不等式还可以应用于优化问题、几何问题等各个领域。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。
具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。
然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。
举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。
通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。
除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。
例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。
接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。
1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。
为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。
2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。
我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。
3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。
可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。
这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。
一元二次不等式的实际应用
一元次不等式的实际应用
最大限速：40km/h. 例3：已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(m)与 速度(km/h)的平方及汽车总质量成正比，设某辆卡 车不装货物以59km/h的速度行驶时，从刹车到停 车走了20m。如果这辆卡车装着等于车重的货物行 驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离 障碍物5m以外处停车，最大限制速度应是多少（结 果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经 过1s）？ 分析：由已知得：滑行的距离 S=k×v2×m; 20 由已知得： 解得 km = 2 59 20=k×592×m 1000 5v ( m) 刹车1s行驶的距离为 s1 =v
一元二次不等式的实际应用
3600
由已知得20-s12
5 2 v 化简得 2 v 3 0 59 18
18
作业：
P87
B组 3、4题
一元二次不等式的实际应用
例1、甲乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇， 弯道限制车速在40km/h以内，又遇突发情况，两车 相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未 超过12m，，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又 知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有以下函数关系：
2 2
s甲 0.01x 0.1x， s乙 0.005x 0.05x，
谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。 试问：哪一辆车违章行驶？
例2、国家计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt。 按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元 （称作税率为8个百分点，即8％）。为了减轻农民负 担，制定积极的的收购政策。根据市场规律，税率降 低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低 于原计划的78％。 分析: 调整后税率：（8-x）％ 调整后收购量：m（1+2x％） 调整后纳税：2400m（1+2x％）x（8-x）％ 调整前纳税：2400mx8％ 依题意得： 调整后纳税≥调整前纳税x78％
一元二次不等式高中知识点
一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。
以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。
一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。
一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。
一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。
以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用一元二次不等式是数学中常见的一种不等式形式，它可以通过解析法或图像法来求解。
解一元二次不等式的过程是将不等式转化为方程式的过程，通过判别式和求根公式求得方程的解，再通过代入法验证解的范围，最终得到不等式的解集。
一元二次不等式在实际生活和数学中有很多应用，本文将探讨一些常见的应用。
1. 最值问题一元二次不等式可以用来求解最值问题。
最值问题是寻找函数的最大值或最小值。
我们以一个实际问题为例，假设某电商公司生产某款产品，成本是固定的，售价是固定的，而销售量是不断变化的。
我们可以设销售量为x，利润为y，利润与销售量之间的关系可以表示为一元二次函数。
设定利润函数为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在这个问题中，我们可以通过求解一元二次不等式找到利润函数的最大值或最小值，从而得到销售量对应的最大利润或最小利润。
2. 区间问题一元二次不等式也可以用来解决区间问题。
在某些情况下，我们需要确定不等式中的未知数在何种范围内满足条件。
以求解一个线性函数与一个二次函数的交点为例，假设线性函数为y = kx + m，二次函数为y = ax^2 + bx + c。
我们可以通过求解一元二次不等式，找到线性函数与二次函数的交点的x值范围，从而确定两个函数在何种区间内有交点。
3. 不等式约束问题一元二次不等式还可以用来解决约束问题。
约束问题是指在一定条件下，寻找满足条件的解集。
假设我们有一个长方形，其中宽为x，长度为y，我们要求满足约束条件的长方形面积不小于某个值S。
根据长方形的面积公式S = xy，我们可以建立一个不等式约束问题，即xy ≥ S。
通过解一元二次不等式，我们可以求得长方形宽度x的约束范围，从而满足面积条件。
总结：一元二次不等式在实际生活和数学中有着广泛的应用。
本文讨论了一元二次不等式的最值问题、区间问题和约束问题的应用，但实际应用中还有许多其他问题。
通过灵活运用数学知识，我们可以将一元二次不等式应用于各种实际场景，并通过求解不等式来解决问题。
2.3.2 一元二次不等式的应用-(新教材人教版必修第一册)(45张PPT)
一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按 规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律， 税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R， ∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方， ∴Δ＝4－4(a2－3)<0， 解得a>2或a<－2. 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a 满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当 然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简 单结论：
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集 不是空集，则实数a的取值范围是 ________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜ 0的解集不是空集，即不等式x2＋ax ＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，
解得，a＞4或a＜－4.]
一元二次不等式的实际问题
一元二次不等式的实际问题引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过一系列实际问题，帮助读者加深对一元二次不等式的理解，并学会在实际问题中正确应用它们。
1.水平抛体运动问题小明在体育课上进行了一次水平抛体运动实验，他从地面上抛出一个小球，小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)。
根据物理学知识，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
求得角度θ的取值范围。
2.物体自由落体问题小红在城市的高楼上面观看烟花，她把一颗小石子自由落体地投掷出去。
已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)，求得高楼的高度h的取值范围。
3.小汽车行驶问题小明乘坐一辆小汽车驶出城市，已知小汽车的时速为v(k m/h)，那么行驶s(km)需要的时间为t(小时)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小汽车的时速为v(k m/h)，行驶s(km)需要的时间为t(小时)，求得速度v的取值范围。
4.水果价格问题在某个水果市场上，根据经济学的分析结果，当某种水果的价格为p(元/斤)时，消费者的需求量为q(斤)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知某种水果的价格为p(元/斤)，消费者的需求量为q(斤)，求得价格p的取值范围。
结论。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式。
它是由一个二次项、一个一次项和一个常数项构成的方程，并要求方程中的未知数满足不等式关系。
解决一元二次不等式的方法包括图像法、代入法和分析法等。
本文将通过示例和讲解，详细介绍一元二次不等式的求解过程和应用。
1. 图像法图像法是解决一元二次不等式的常用方法之一。
首先，我们可以将一元二次不等式转化为一元二次方程，并求得其解析式。
然后，利用解析式绘制二次函数的图像，并分析函数在坐标轴上的位置。
根据图像的形状，我们可以确定不等式的解集。
例如，我们来解决不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。
首先，将不等式转化为方程 x^2 - 4x + 3 = 0，并求得其解析式 x = 1 或 x = 3。
然后，绘制函数y = x^2 - 4x + 3 的图像。
根据图像，我们可以看出当 x 在区间 (1, 3) 时，函数值大于零，满足不等式要求。
因此，不等式的解集为 (1, 3)。
2. 代入法代入法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。
它利用代入具体的数值来判断不等式是否成立。
通过不断尝试不同的数值，我们可以逐步缩小不等式的解集范围，最终确定满足不等式的解集。
举例来说，我们尝试解决不等式 x^2 + 2x - 8 < 0。
首先，我们可以将不等式转化为方程 x^2 + 2x - 8 = 0，并求得其解析式 x = -4 或 x = 2。
然后，通过代入不同的数值来观察不等式的成立情况。
我们可以尝试代入 x = -5、x = -3、x = 0 和 x = 3 等不同的数值，并观察对应的不等式是否成立。
通过比较不等式成立的情况，我们可以确定解集为 (-4, 2)。
3. 分析法分析法是解决一元二次不等式的一种思维方法。
通过对一元二次不等式中各项和系数的正负关系进行分析，我们可以确定不等式的解集范围。
举个例子，我们考虑不等式 2x^2 - 5x + 2 ≥ 0。
首先，我们可以观察到不等式中二次项的系数为正，即 2 > 0，说明二次函数为开口向上的抛物线。
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§ 2.2一元二次不等式的应用
学习目标：1、归纳分式、高次不等式的解法。
2、体会数形结合的思想在解题中的应用。
重点难点：1、重点：熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法。
2、难点：一元二次不等式的应用。
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
自学探究：
一、预习解决问题
1、简单的分式不等式的几组同解不等式
2、解简单的一元高次不等式的常用方法有哪些?其步骤分别有哪些？ ①利用实数运算的符号法则：
②穿针引线法（序轴标根法）：
典型例题：
分式、简单高次不等式的解法
例1、解不等式 （1）23
25
32≥-+-x x x ；
（2）0
4)
2)(1()1(2<+-+-x x x x ；
（3）)1(12
)
1(≠>--a x x a ．
2.解不等式(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
例3.求m 的取值范围, 使方程x 2－mx －m+3=0 的两根都大于－5。
变式：方程x 2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m 的取值范围．
目标检测：
1、不等式x －1
x 2－4
>0的解集为( )
A ．(－2,0)
B ．(2，＋∞)
C ．(－2,1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 2、不等式|2x 2－1|≤1的解集为( )
A ．{x |－1≤x ≤1}
B ．{x |－2≤x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤2}
D ．{x |－2≤x ≤0}
3、不等式2x －1
x ＋3>1的解集是________．
4、不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集为( )
A ．{x |－2≤x ≤2}
B ．{x |x ≥2或x ≤－2}
C ．{x |－2≤x ≤2或x ＝6}
D ．{x |x ≥2} 5、关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b
x －2
>0的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 6、设函数f (x )的定义域是[－4,4]，其图像如图，那么等式f (x )
sin x
≤0的解集为( )
A ．[－2,1]
B ．[－4,2]∪[1,4]
C ．[－4，－π)∪[－2,0)∪[1，π)
D ．不同于A 、B 、C 7、若a >1，则不等式(x －a )(x －1
a
)>0的解集为________．
8、若关于x 的方程28(1)70x m x m --+-=的两根一个在区间（1，2）内，另一个在区间（2，3）内，则m 的取值范围是 .
总结提升：
作业布置：
自我评价：
我的疑惑：。