【精练】2020中考数学专题复习分项提升第18讲 锐角三角函数及其应用(教师版)

第18讲 锐角三角函数及其应用

1．锐角三角函数：如图，在Rt △ABC 中，设∠C＝90°，

∠A 、∠B、∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，则：∠a 的正弦sinA ＝a

c ；

∠a 的余弦cosA ＝_b c _；∠a 的正切tanA ＝a

b

.

2．特殊角的三角函数值

30°，45°，60°的三角函数值，如下表：

正弦 余弦 正切 30°

1

2

32

33

45°

22 22

1

60°

32 12

3

3.已知条件

图形

解法

4

(1)铅垂线：重力线方向的直线；

(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；

(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；

(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；

(5)坡角：坡面与水平面的夹角；

(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝h

l ＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；

(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.

考点1：直角三角形的边角关系

【例题1】如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝2

2，AC ＝ 2.求：

(1)BC 的长；

(2)sin ∠ADC 的值．

【解析】：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝

2

2

，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.

在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝1

3，

∴BE ＝3AE ＝3. ∴BC ＝BE ＋CE ＝4.

(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝1

2BC ＝2.

∴DE ＝CD －CE ＝1.

∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝

22

. 归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角． 2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．

3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解．

4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具． 考点2：锐角三角函数的实际应用

【例题2】（2019•甘肃省庆阳市•8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC ＝40cm ，灯罩CD ＝30cm ，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为49.6cm 3取1.73）．

【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．

∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，

∴四边形CEHF是矩形，

∴CE＝FH，

在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，

∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），

∴FH＝CE＝34.6（cm）

∵DH＝49.6cm，

∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），

在Rt△CDF中，sin∠DCF＝DF

CD

＝

15

30

＝

1

2

，

∴∠DCF＝30°，

∴此时台灯光线为最佳．

归纳：解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形”，进而利用直角三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示：

(1)构造一个直角三角形：

(2)构造两个直角三角形：

①不同地点测量：

②同一地点测量：

一、选择题：

1. （2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）

A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米

【答案】C

【解答】解：∵PA ⊥PB ，PC=100米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=100tan35°米． 故选：C ．

2. (2019湖北宜昌3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）

A ．

43

B ．

34

C ．

35

D ．

45

【答案】D ．

【解答】解：如图，过C 作CD⊥AB 于D ，则∠ADC＝90°， ∴AC＝

22AD CD +＝2234+＝5．

∴sin∠BAC＝＝

45

． 故选：D ．

3. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）

A.

12 B. 13 C. 142 【答案】：B

【解析】：解答：过C 点作CD⊥AB，垂足为D ．根据旋转性质可知，∠B′=∠B． 在Rt△BCD 中，tanB=

1

3

CD BD =