误差方差及圆形区域极点约束下状态估计问题的研究连续时间情形
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
状态反馈中圆形极点与状态方差约束的相容性
状态反馈中圆形极点与状态方差约束的相容性的报告，800字
状态反馈中圆形极点与状态变化方差约束的相容性报告
本文旨在分析状态反馈中圆形极点与状态变化方差之间的相容性，其中将讨论圆形极点的计算方法，并分析其在状态变化方差约束情况下的表现。
圆形极点和状态变化方差约束之间的相容性是构建高效状态反馈系统所必备的组成部分。
首先，我们介绍了计算圆形极点的基本方法。
具体来说，要计算圆形极点，需要求解一系列等式，例如圆形极点的圆心、圆半径等参数作为输入，而要构建出一个圆形极点，则必须找出能使上述等式满足关系的参数集合。
在此过程中，一般采用数值方法来求解最优解，如梯度下降、Newton迭代等方法等。
其次，我们研究了圆形极点在状态变化方差约束下的表现。
我们首先讨论了状态变化方差约束的含义：即系统的状态不应与预定的限度范围存在偏差，以避免造成系统损失的情况。
在此限定条件下，圆形极点可用于表示抑制变化的范围，有助于保证系统的状态稳定，同时节省成本。
综上所述，圆形极点和状态变化方差约束之间存在着明显的相容性，可以有效地抑制系统状态的变化，从而构建高效的状态反馈系统。
当圆形极点计算精度满足状态变化方差约束要求时，其在状态反馈中的效果会明显提升。
因此，正确的计算方法对于构建高效的状态反馈系统至关重要。
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
Delta算子系统简述
Delta算子系统简述杨洪玖;夏元清;李惠光【摘要】本文围绕Delta算子系统基本理论,对Delta算子系统的最新进展做了简要的综述.首先,本文介绍Delta算子系统的研究背景.其次,给出Delta算子系统的基本性能,并与传统移位算子离散系统进行性能对比.再次,阐述了Delta算子系统在鲁棒控制、滤波器设计、时滞系统、故障诊断及滑模控制上的研究进展.然后,对Delta算子系统在有限频域和网络化控制两个方向上的未来研究工作做出了展望.最后,通过一个仿真表明Delta算子系统在快速采样条件下具有数值优势.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】10页(P569-578)【关键词】Delta算子系统;鲁棒控制;故障诊断;滑模控制;网络化控制【作者】杨洪玖;夏元清;李惠光【作者单位】燕山大学电气工程学院,河北秦皇岛066004;北京理工大学自动化学院,北京100084;燕山大学电气工程学院,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TP273据现有文献可知,国内最早关于Delta算子系统综述的文章在1998年发表[1],国内第1本关于Delta算子系统的专著于2005年出版[2].近10年来,控制理论的研究在国内得到了迅猛的发展.与此同时,对各类Delta算子系统的研究也取得了大量的成果.本文除了对Delta算子系统研究内容作基本的介绍外,主要对近年来关于Delta算子系统的最新进展做简要综述.Delta算子定义为其中:q是移位算子表示为qx(k)=x(k+1),T表示采样周期.进一步地,s平面、z平面和δ平面之间的系如下:令s=σ+jw,则可以得到其中:|z|=eσT,∠z=wT,并且进一步可得由以上结果可得,当σ=0时,s=jw为虚轴,s平面虚轴映射到z平面以原点为圆心,以1为半径的单位圆.而在δ平面,s平面的虚轴映射到δ平面以(−1/T,j0)为圆心,1/T 为半径的左复半平面的圆.当σ<0时,s <jw为s平面的左半平面,相应地对应关系为|z|<1和|δ+1/T|<1/T.这说明s平面的左平面映射到z平面是以原点为圆心,以1为半径的单位圆内,映射到δ平面是以(−1/T,j0)为圆心,1/T为半径的圆内.3个平面的稳定区域如图1所示阴影部分.Delta算子的概念早期是在进行算法的数值特性分析时以Euler逼近方式或z变换的改进形式提出的,并被应用于数字滤波领域[1].但是,Delta算子离散方法的研究当时没有在控制领域引起足够重视.众所周知,在要求快速采样的条件下,有限字长的计算机中实现对连续的控制系统进行离散化时,采用传统的移位算子将导致采样系统的所有极点位于稳定边界上,将引起量化误差、极限环振荡等数值不稳定问题,且易引入非最小相位零点,使离散化后的系统稳定性变差.为此,著名学者Goodwin教授等建议采用Delta算子来离散化连续系统,在快速采样情形下使其离散模型趋近于原来的连续模型[3].Delta算子离散方法现己成为连续时间模型和离散时间模型的统一描述方法.它既避免了z变换引起的数值不稳定问题,又使得传统的用于连续域的各类设计方法可直接用于离散域设计.此外,Delta算子方法还克服了移位算子方法高速采样时引发的一系列难题,在高速信号处理、宽带通讯与数字采样控制方面等众多领域获得成功.Middleton和Goodwin的研究论文[4]发表之后,特别是他们合著的《Digital Control and Estimation–a Unified Approach》一书出版以后[5],Delta算子作为一种快速采样条件下的离散化方法引起了从事控制理论和信号处理方面研究人员的普遍关注和研究兴趣,得到较为系统的研究并取得了许多研究成果,如在最优滤波、信号处理、滑模控制、网络控制等控制领域取得一系列的新进展和新成果.近几年的IEEE自动控制汇刊和信号处理汇刊、国际控制杂志、美国控制会议(ACC)以及IEEE控制与决策会议(CDC)均有多篇关于Delta算子的研究论文发表.关于Delta算子系统的研究在国内也取得了丰富的研究成果.特别地,国内第1部关于Delta算子系统的专著《Delta算子控制及其鲁棒控制理论基础:统一连续域、离散域的控制理论》介绍了Delta算子的定义和性质,s域、z 域和Delta域的根轨迹,以及Delta算子系统的多项式稳定性理论、状态空间分析与设计和最优控制等内容.2012年4月Springer出版的《Analysis and Synthesis of Delta Operator Systems》一书详细地介绍了Delta算子系统与滑模控制方法、时滞系统、卡尔曼滤波理论、马尔科夫跳变系统、有限频域理论及网络化控制系统相结合的最新成果[6].Delta算子系统理论在许多控制与估计领域获得成功,如信号处理[7–9]、系统辨识[10]、2D系统[11]、执行器饱和控制[12]、自适应控制[13]、容错控制[14–15]、感应电机模型参数估计[16–17]和电力系统[18–20]等.综上所述,利用Delta算子描述离散采样系统的优点可总结如下:1)在采样周期趋近于零时,Delta算子系统模型参数趋近于相应的连续时间模型参数;2)Delta算子算法的数字特性优于传统移位算子,如有限字长特性和系数灵敏度等;3)Delta算子模型中的采样周期作为显式参数,便于观察和分析不同采样周期下系统的性能.近年来,关于Delta算子系统的研究成果有很多,其中有研究Delta算子和移位算子的性能比较的文献.此外,Delta算子系统在鲁棒控制、滤波器设计、时滞系统及故障检测等方面也有深入研究.2.1 与移位算子的性能对比(Performance comparison with shift operator) 随着工业自动化等领域实际需要的迅猛增加和计算机技术的飞速发展,离散控制理论越来越重要. Delta算子和移位算子作为两种采样连续时间系统的方法分别具有各自的特点.通过传统的移位算子得到的离散系统在采样周期较小的时候具有其不可避免的缺陷.Delta算子方法避免了高速采样时传统的移位算子方法引起的数值不稳定问题,且当采样周期趋近于零时,Delta算子模型趋近于离散化前的连续模型.众多文献资料从不同的角度对比了Delta算子和传统的移位算子性能.文献[21]研究了Delta算子系统的输出反馈H2最优控制,分析证明存在输出反馈控制器使闭环系统内稳定且满足从w到z的传递矩阵Tzw的H2-范数最小的充要条件,得到两个Delta算子的Riccati方程,并给出了连续系统、z变换所得到的离散系统和Delta算子所描述系统三者的H2控制问题的比较.文献[22]在双闭环直流调速系统中应用了Delta算子方法.文献[23]利用线性矩阵不等式的方法在Delta域内研究了H∞状态反馈问题,并给出了连续系统、z变换所得到的离散系统和Delta算子所描述系统中H∞控制性能的比较.在应用方面,文献[24]研究了Delta算子的视觉伺服机器人最优控制方法.文献[25]在快速热处理中的应用了一个带分布时滞的多变量随机Delta算子系统.文献[26]介绍了在动态物理系统中Delta算子和移位算子之间根据二项式系数的直接转换.文献[27]系统地分析比较了Delta算子和移位算子的状态空间参数的有限字长误差对实际传递函数的影响.文献[28]详细介绍了使用Delta算子方法和移位算子方法考虑有限字长时的控制参数实现闭环系统稳定性的灵敏度,所得结果证明考虑有限字长影响数字控制器在Delta域内有更好的闭环系统鲁棒稳定性.文献[29]研究了有限精度数字控制器的执行问题,提出了控制器结构在移位算子和Delta算子的参数化设计.文献[30]从离散时间控制的角度分析了较小采样周期下的Delta算子和移位算子的数字特性.线性时不变连续时间系统状态空间模型给出如下:其中:状态变量x(t)∈Rn,控制向量u(t)∈Rm,输出向量y(t)∈Rp,A,B和C为相应维数的常值矩阵.相对应的z域离散时间系统模型为其中:对应的离散系统在Delta域内的状态空间模型为其中:笔者知道,s域、z域和Delta域中的Lyapunov方程与Riccati方程是不同的.假设则下面关于的矩阵方程称为s域的Lyapunov方程:上述方程存在惟一解的充要条件是假设则下面关于Pz∈Rn×n的矩阵方程称为z域的Lyapunov方程:上述方程存在惟一解的充要条件是假设则下面关于的矩阵方程称为Delta域的Lyapunov方程有两种表达形式:上述方程存在惟一解的充要条件是其中i,j=1,2,…,n.除此之外,文献[2]中还给出了s域的Riccati方程z域的Riccati方程Delta域的Riccati方程可见,在Delta域的Lyapunov方程与Riccati方程中采样周期均为显示参数,而s 域与z域中方程不具备这样的特点.2.2 鲁棒控制研究(Study of robust control)控制系统鲁棒性是指系统在一定的参数摄动下,维持某些性能的特性.H∞控制方法是鲁棒控制理论发展的最突出标志之一,分析和设计鲁棒控制问题使用较多的方法是线性矩阵不等式方法.因为这种方法克服了解Riccati方程方法的缺陷.同时H∞鲁棒控制理论的实际应用研究也很广泛,如对航天飞机重返大气层的侧轴飞行控制系统的设计[31]等等.连续系统和传统的离散系统鲁棒性能的研究已经取得了大量的成果,其理论研究也有了很大的进展.但是,有关离散时间系统和采样数据系统的研究相对比较薄弱.而Delta算子描述的系统的鲁棒控制与H∞控制的研究虽然不是很多,但也取得了新的进展.文献[32]讨论了Delta算子描述的离散系统鲁棒稳定性,给出了保证系统稳定的特征方程系数的最大摄动区间.文献[33]研究了Delta算子描述的离散系统鲁棒稳定性,给出了保证系统稳定的特征方程系数的最大摄动区间.文献[34]研究了Delta算子离散系统的控制器的设计方法,并用例子证明了当采样周期T趋于零时,离散控制器趋于连续控制器.文献[35]研究了Delta算子的不确定奇异系统的鲁棒容许性分析和鲁棒容许控制.Delta算子系统与D稳定性方面也有很多结合点.文献[36]研究了具有执行器故障的Delta算子线性不确定系统鲁棒D稳定可靠控制问题,即设计控制器消除系统不确定性和执行器故障的影响,并且保证闭环系统极点落在复平面指定圆盘区域内.文献[37]在Delta域内研究了非线性系统的建模与辨识问题.文献[38–39]同时研究了一类具有变时滞切换Delta算子系统的l1--增益控制问题,针对这类系统的鲁棒H∞状态反馈问题在文献[40]中给出.文献[41]利用T--S模糊方法研究了一类带执行器饱和条件的非线性Delta算子系统鲁棒控制问题.考虑一组带不确定参数的Delta算子系统,描述为其中:为状态变量,为控制输入.另外,∆A(tk)可以为常用的范数有界不确定参数矩阵,描述如下:其中D,G与E为已知合适维数的常值矩阵.除此之外,∆A(tk)还可以描述为线性分式不确定参数,定义如下:其中:D,G与E为已知合适维数的常值矩阵,F(tk)为未知的时变矩阵且满足FT(tk)F(tk)≤I.对于任何的F(tk)与I−GTG>0,假设[I−GF(tk)]−1是可逆的.可以看出这类线性参数不确定是一类比范数有界不确定更广泛的参数不确定,因为只要令线性分式不确定参数中的G=0,上面两类参数不确定表达式是等价的.由此可见,Delta 算子系统鲁棒性的研究空间还很大,需要大家的共同努力探究.2.3 滤波器设计(Design for filter)滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件,将输入或输出经过过滤而得到纯净的直流电,其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率.近年来,很多学者致力于研究滤波问题.连续系统和离散系统的滤波理论经过了最优滤波和鲁棒滤波两个阶段.将含有不确定性和未建模动态的系统滤波问题统称为鲁棒滤波.在滤波器的设计中,卡尔曼滤波和H∞滤波取得了一定的成果.文献[42]设计了Delta域中的卡尔曼滤波器,并对所设计的卡尔曼滤波器的收敛性进行了分析.近年来,Delta算子系统的鲁棒滤波取得了一系列进展,鲁棒控制理论最突出的标志之一就是H∞控制.如果系统不存在干扰影响,这是一个状态观测器设计问题;如果系统受到干扰,且仅知道干扰的统计特性,则可以利用随机估计理论得到最小方差准则下的最优状态估计,这是一个随机滤波问题.文献[43]利用线性矩阵不等式的方法在Delta域内设计了H∞滤波器.在线性分式参数不确定和时变时滞情况下,文献[44]考虑了Delta算子系统的鲁棒H∞滤波器的问题.文献[45]提出了圆形区域极点配置约束下的Delta算子系统非脆弱滤波器的设计.文献[46]提出了前向差分Delta算子方法所描述的最小均方自适应滤波,该算法有效地加快了系统的收敛速度,并有效地改善了系统的跟踪性能.文献[47]在Delta算子系统中研究了低灵敏度与系数变化条件下的滤波器设计问题.文献[48]研究了多面体Delta算子系统的H∞滤波问题,主要目的是获得一个稳定的线性滤波器,使得滤波误差系统保持稳定.文献[49]提出了Delta算子高性能的数字滤波器变频器应用,给出了Delta算子较移位算子数字实现无限脉冲响应滤波器的优势,同时讨论了移位算子滤波器如何转到以Delta算子滤波器的方法.文献[50]研究了在Delta算子区域内采用最小二乘误差准则为基础的条件下设计2-D数字滤波器.在众多文献资料中笔者仍了解到,格型滤波器结构在离散时间信号的滤波和预测中有着深入的研究,探讨了连续和离散格子滤波之间的联系后发现,在采样连续时间信号过程中离散滤波问题产生,当采样周期趋于零时,离散格型滤波器收敛到适当的连续时间滤波器.由上述的各类文献了解到,Delta域内滤波器的研究已经取得了一定成果,在Delta算子域内对滤波器的继续深入研究探讨是非常有意义的.Delta域中的系统方程描述为其中:A,B,C和D是常数矩阵,w(tk)∈Rn,v(tk)∈Rm为不相关的高斯白噪声且满足其中Q与R为协方差矩阵,初始条件为Delta域中设计的卡尔曼滤波公式为2.4 时滞系统研究(Study of delay systems)时滞出现在很多动态系统中,例如生物系统、化学系统、冶炼加工系统、核反应堆、液压系统和电网等.在近些年来,对存在于网络控制中复杂时滞问题的研究进入了一个新的领域.时滞是震荡、不稳定和性能差的根源,很多探索研究已被应用到线性时滞系统的不同方面.在时滞控制系统中除了不确定性或扰动所造成的困难外,延迟的引进使得系统的分析更加复杂.因此,稳定分析和时滞控制系统受到了越来越多的关注.文献[51]受到Delta算子的启发,在线性控制法中提出了使用合理传递函数实现分布式延迟.对于网络控制中的随机长时间延迟这种情况,文献[52]建立了鲁棒模糊控制和Delta算子系统框架的桥梁,通过Delta算子的方法解决了具有时滞的T--S模糊系统的H∞控制.在一类不确定系统状态和输入均有时滞的情况下,文献[53]研究了Delta算子方法最优保持成本控制.文献[54]研究了不确定Delta算子系统时滞依赖鲁棒滤波器的设计.文献[55]考虑Delta算子的不确定时延交换系统鲁棒控制问题,提出带有时延交换的系统稳定充分条件.文献[56]研究了Delta算子方法带有时延和不确定的离散系统鲁棒H∞滤波问题.也有一些文献考虑了Delta域中时变时滞的问题,如文献[57]研究了Delta域中带有时变时延的神经网络的时滞依赖稳定性判据问题.文献[58]提出用Delta算子方法设计时变时滞离散系统的状态反馈控制器,该文献所提出方法可以结合连续和离散系统时滞问题统一到Delta算子系统体系框架中.文献[59]研究Delta算子的带有时变时延的线性局部跳变系统鲁棒H∞状态反馈控制.文献[60]研究Delta算子的不确定时滞系统鲁棒控制问题,通过模型变换,将带有时变时延的Delta算子系统转换成内部相关联的系统,这样方便处理不确定项.文献[61]给出了Delta算子的带有时变时滞的双向联想记忆神经网络系统渐近稳定性分析.文献[62]考虑Delta算子的带有时变时滞的不确定线性系统渐近稳定与镇定问题,在Delta域内在对时滞系统的研究主要难点在于考虑设计符合各种时滞情况的Lyapunov函数并减小保守性.下面给出如下带有时变时延的Delta算子系统模型:其中:x(tk)∈Rq是状态变量,时间延时d(k)为一个时变函数,满足0≤dm≤d(k)≤dm,dm=nmT, dM=nMT,nm,nM是两个已知的正整数.对系统进行了鲁棒稳定性分析,选择如下Lyapunov函数:其中:e(j)=x(j)−x(j+T),并且P,P,R和S为正定矩阵.2.5 故障诊断研究(Study of fault detection)控制系统的故障检测与诊断技术为提高实际系统的可靠性、可维修性和安全性提供了一项重要途径,由于其在各种控制系统中保证更高的安全性和可靠性,故障检测在研究领域中显得越发重要,取得了许多成果.近年来学者对观测器故障检测的基本方法是通过对输出估计误差进行适当转换生成残差信号来构建不同类型的观测器.文献[63]研究具有执行器故障的Delta算子线性不确定系统的可靠鲁棒H∞问题,设计控制器确保在执行器发生故障时闭环系统仍能保持鲁棒稳定,且满足给定的H∞指标.Delta算子方法在故障检测与容错控制中的应用也取得了一些研究成果[64]. 目前,滤波器的鲁棒故障检测备受关注,而延时又广泛存在于实际控制系统中.文献[65]提出了随着控制延迟下Delta算子的鲁棒故障检测滤波器的设计.文献[66]利用传统鲁棒故障检测滤波器和线性矩阵不等式的方法,研究了带有不确定时延的网络化控制系统的故障诊断问题.文献[67]研究Delta算子的T--S模糊系统容错控制问题,首先设计模糊故障检测观测器在非线性系统中建立了一种新的故障估计的方法,然后设计控制器保证在系统发生故障时候能够实现有效地容错控制.文献[68]考虑Delta算子的有限频域的故障检测,在外界扰动和故障同时存在的情况下保证设计的故障检测滤波器对故障的灵敏度最大,对扰动的灵敏度最小.文献[69]利用T--S模糊Delta算子系统描述一类非线性系统,并在此基础上研究故障诊断与容错控制方法.考虑存在故障的Delta算子系统为其中:d(tk)∈Rnd表示扰动向量,表示故障输入向量.设计的故障检测滤波器为其中r(tk)∈Rny为残差信号.Delta域中选择的残差估计函数Jr(n)为其中Jth表示阈值.当满足以下条件时可以检测出故障:2.6 滑模控制研究(Study of sliding mode control)滑模控制本质上属于一类特殊的非线性控制,且非线性表现为控制的不连续性.与其他控制的不同之处在于系统的结构并不固定,而是可以在动态过程中根据系统当前的状态有目的地不断变化,迫使系统按预定的“滑动模态”的状态轨迹运动.变结构滑模控制中抖震的存在是一个不可克服的缺点.当采样周期比较小时可以有效地控制抖震对系统性能的影响.因此,适用于快速采样的Delta算子离散方法在研究滑模控制中具有天然的优势.文献[70]研究了Delta算子的一类不确定参数的时滞鲁棒滑模控制面.文献[71]则在一类不确定非线性扰动Delta算子系统下研究了滑模控制的观测器问题.在较早文献[72]中Delta算子方法已经被用于一类离散系统的自适应滑模控制.文献[73]在不确定Delta算子系统框架下提出了离散鲁棒自适应滑模控制器,自适应控制与滑模的有效结合减小了扰动,使控制器具有良好的性能.文献[74]研究了Delta算子系统最优滑模控制的综合问题,设计了Delta算子系统的最优滑模控制器,不仅保证了系统在有限时间内趋近最优滑模面,而且有效地消弱了系统的抖振.考虑下面的线性Delta算子系统:其中:x(tk)∈Rn是状态变量,u(tk)∈Rm是控制输入,w(tk)∈Rm是不确定扰动项.选择一个非奇异矩阵Ψ,满足其中:B2∈Rm×n是非奇异矩阵,Ψ=[U2U1]T,并且U1∈Rn×m与U2∈Rn×(n−m)满足上式中,Σ∈Rm×m是对角线正定矩阵,V∈Rm×m是酉矩阵,通过状态转换z(tk)=Ψx(tk),Delta域中的状态方程变为其中上述系统可以写成以下形式:上述第1个系统代表系滑动模态.因此,选择如下的滑动面:其中是滑模面参数矩阵,将式子与前面系统相结合,则得到以下动态滑模系统:在此基础上,设计了具有自适应的控制器使Delta域中的系统能够在有限时间内达到滑模面并保持在滑模面上运动[73].但在Delta算子系统中对滑模控制的研究还不是很成熟,Delta域内滑模面的选取和Delta算子逆算子的应用是一个难点,还有很大的发展空间.Delta算子系统可以和控制领域中的诸多内容有结合点,值得进行深入研究.以下探讨Delta算子系统与控制领域中的有限频域和网络化控制结合的创新点和难点. 3.1 有限频域(Finite frequency)在控制系统的设计中,每个设计规范并不是被赋予整个频率范围内,而通常是在一个有限频域范围内.在频域稳定区域图1中可以清楚地看出,快速采样时使用传统移位算子极点会位于稳定的边界,而且离散系统在计算机有限字长时会失去稳定性.文献[75]利用频域不等式在有限和半无限频率范围内研究了开环鲁棒PID控制,在这篇文献中给出了Delta域内的扩展的Kalman-Yakubovi˘c-Popov(KYP)引理.文献[76]研究了在Delta域内的一个低频范围内的正实控制问题,并进一步推广了Delta 域内的KYP引理.文献[77]分析了Delta域内高频网络控制系统的稳定性,并在反馈通道中设计了网络预测控制方案来弥补网络引起的延迟和数据丢包.针对线性Delta算子系统分别给出满足高中低频条件下的KYP引理,即下面两个条件等价:1)有限频域不等式LF,HF与MF分别代表低频(|θ|≤ϑl),中频(ϑ1≤θ≤ϑ2)和高频(|θ|≥ϑh).可见,在Delta算子系统中对限频的研究还很少,主要难点在于加权函数和频域网格方法具有各自的缺点,目前Delta域内广义KYP引理还不成熟只能适用于简单的线性Delta算子系统并不能适用于复杂的非线性控制系统.3.2 网络化控制(Networked control)当今时代,网络已经逐渐进入人们的视野,并引领控制系统的结构发生着变化.而由通信引起的有限带宽、数据包丢失、数据包延迟等实际问题使得网络控制系统的分析设计有些困难.近年来,网络化控制被广泛的应用到各个领域,对网络化控制系统的关注也越来越多.从众多有关网络控制的文献中可知,网络引起的延迟和丢包是网络系统中关键的两个问题,而采样周期越短,网络控制系统的性能就越好,但采样周期短会增加网络拥塞的可能性.而在Delta算子系统中采样周期是明确的参数,它可以根据网络负载的条件选择一个适当的值.因此,在采样网络控制系统中应用Delta算子方法比移位算子的方法可以获得更好的控制结果.文献[78]详细介绍了通过Delta算子系统对依赖模式下的时滞Markovian跳变系。
航天器姿态确定(研究现状)
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法优于TRIAD法[3]。此后，Shuster又基于QUEST测量模型证明了：1) Wahba问题 等价于最大似然估计问题[18]，并进一步提出了广义Wahba问题[19]；2) TRIAD法是 一个最大似然估计器[20]； 3)该测量模型的方差阵在EKF公式中可以等效地用非奇异 阵 2 I 33 代替[16]， 该模型也是Shuster教授一生中最引以为自豪的[21]。 针对大视场敏 感器情形，Cheng利用一阶泰勒近似进一步扩展了QUEST测量模型[22]。对于连续 旋转理论， Shuster在文献[23]中正式提出并将该方法应用于解决一般性的姿态奇异 问题，该方法后来在FOAM法[4]、ESOQ2 法[8]中均得到应用。 近年来，虽然没有新的确定性算法出现，但随着Wahba问题本质的探索[19]， 现有算法与最大似然估计关系的揭示[19,20,24]以及方差分析的完善[13]等文献出现， 让 科研工作者对确定性算法有了更深刻的了解，并可进一步掌握方差分析这一有力 工具[25]。 (2) 状态估计法 单纯依靠矢量观测进行姿态解算的确定性方法要求参考矢量足够精确，且易 受敏感器的失准误差、测量误差等因素影响，往往难以满足高精度的定姿要求。 与这类方法相反，状态估计法中的状态量并不仅限于姿态参数，还包括矢量观测 中的一些不确定性参数；另外，现代航天器上的姿态确定系统往往采用多个姿态 敏感器进行组合测量，由于不同敏感器在测量精度、数据更新率上具有较大差异， 一般也需要采用状态估计法进行信息融合。根据姿态角速度信息的获取方式可将 姿态确定方案分为有陀螺方案和无陀螺方案，前者的姿态角速度由速率积分陀螺 测量得到，而后者的姿态角速度一般通过姿态动力学传播得到。 常用的姿态描述参数有方向余弦阵(Direction Cosine Matrix, DCM)、欧拉角 (Euler Angles)、旋转矢量(Rotation Vector)、姿态四元数(Quaternion)或欧拉对称参 数(Euler Symmetric Parameters)、罗德里格参数(Rodrigues Parameters)或吉布斯向量 (Gibbs Vector)、修正罗德里格参数(Modified Rodrigues Parameters, MRPs)、凯莱克莱参数(Cayley-Klein Parameters)等，目前航天器上最常用的姿态参数是四元数， 其优点主要在于用其表示的姿态运动学方程为线性形式，计算量小，且不存在奇 异性。在 1964 年，Stuelpnagel从数学上证明了三维参数用来表示姿态不可能是全 局且非奇异的[26]，因此，虽然旋转矢量[27]、MRPs[28]作为姿态描述参数也有一定应 用，但就描述航天器姿态而言始终不如四元数流行。不过，在航姿系统中常采用 旋转矢量进行快速姿态解算[29]，而欧拉角由于其明显的物理意义也常被用于描述 火箭或导弹的姿态，至于欧拉运动学方程中的奇异问题，可采用双欧拉角法进行 有效解决。另外，文献[30]对姿态描述参数及其运动学方程进行了系统的综述。 扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter, EKF)技术[31-34]常被用于航天器实时姿 态确定，根据姿态参数的选取不同和观测量的不同形式，常见的实现方式有乘性 扩展卡尔曼滤波[34,35](multiplicative ex-tended Kalman filter, MEKF)和加性扩展卡尔
圆度误差的二分法逼近搜索评定
摘要 ： 结 合 度 误 差 的 定 义 及 其几 何 特 征 ， 提 出了 一 种 新 的 圆 度 误 差 评 定 算 法 —— 圆度 误 差 的 二分 法 逼 近 搜
索 评 定 。 首先 ， 将 被 测 圆 轮廓 上测 量点 的直 角坐 标 数 据 转 化 为 极 坐 标 数 据 ， 分别以极角和极径为横 、 纵 坐 标 轴 建 立 新 的坐 标 系 ， 实 现 被 测 点 的线 性化 处 理 ， 将圆度误差的求解问题转化为直线度误差的求解问题。然后 ， 用 二 分 法 逼 近 搜 索 的方 法 ， 对转 化后 的 直 线 度 误 差 进 行 最 小 区域 评 定 ， 从 而 实 现 了 圆度 误 差 的 最 小 区 域 评 定 。
中 图分 类号 ： Ｔ Ｈ１ ６ ４ ； Ｔ Ｈ １ ６ １ 文 献标 志 码 ： Ａ本 的几 何要 素之一 ， 它 反 映 的是 实 际 圆相 对 于 理想 圆的 变动 量 。 圆度 误 差值 的大小 是 以包容 实际 轮廓 的两个 同心 圆 的半 径差 来衡量 的。其评 定方 法 的核心是 根据 被测 圆轮 廓 上 的点 找 出理想 的评定 圆心 。是 否 能准 确 有 效 地评 定 圆度 误差 ， 直接 影 响到 机 械 产 品 的性 能 和 寿命 。 国标规 定 的评定 方法有 最小 二乘 法 、 最 小 区域法 、 最 大 内接 圆法 和最 小 外 接 圆法 。其 中 ， 最小 二 乘 法 是
最常用 的评 定方 法 ， 其算法计算简便且有唯一解 ， 但 其 评 定 原 理 不 符 合 形 状 误 差 评 定 的 最 小 条件 准
则 。最小 区域 法是符 合 国标准则 的误 差评 定方 法 ， 但 实 现最 小 区域 的过 程 是解 决 多极 值 的非 线 性 最 优化 问题 ， 因此 不易 直接求 解 。国 内外学者 利用 多种 数学 方法 对 圆度 误 差 的最 小 区 域评 定 算法 进 行 了 研究 ， 比较 有代 表性 的算法 有 ： 仿 增量 算法 、 刚体 坐标 变 换算 法 、 搜 索 算法 。 、 遗 传 算 法 一 、 计
2015级硕士研究生计量经济学复习题及参考答案
t n t n
(ut ut 1 )2
1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki 0, i 1, 2,..., n
则称解释变量 X 2 , X 3 ,..., X k 之间存在着完全的多重共线性。 （参考课件） 5. 异方差： 当误差向量的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时， 称该随机误差系列存在异方 差。 异方差包括递增型异方差和递减型异方差， 递增型异方差的来源主要是因为随着解 释变量值的增大， 被解释变量取值的差异性增大； 递减型异方差的来源主要是因为随着 解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性减小。 （真正考试时的解答还需参考教材 或参考书具体发挥） 6．广义最小二乘法： 先将原始变量转换成满足经典模型假设的转换变量，然后对它们使用 OLS 程序估计，叫 做广义最小二乘法。 （真正考试时的解答还需参考教材或参考书具体发挥） 7．白噪声序列: 若一个随机过程误差项的均值为 0，不变方差为 2 ，而且不存在序列相关，我们就称 这个随机序列过程为白噪声序列。 （真正考试时的解答还需参考教材或参考书具体发挥）
证明： d
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u
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u t 1 2 ut ut 1
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时间序列的协整检验与误差修正模型讲义
时间序列的协整检验与误差修正模型讲义时间序列的协整检验与误差修正模型是在经济学和金融学中广泛使用的方法，用于分析两个或多个变量之间的长期稳定关系。
本讲义将介绍协整检验的基本概念和步骤，并讨论误差修正模型的理论背景和实际应用。
一、协整检验1. 概念与原理协整是指两个或多个变量之间存在长期稳定的关系，即它们的线性组合是平稳的。
协整关系可以用来解释一个变量对另一个变量的影响，并提供长期均衡关系的信息。
协整检验的基本原理是利用单位根检验方法，测试变量是否存在单位根（非平稳性）。
如果变量存在单位根，则它们是非平稳的；如果变量不存在单位根，则它们是平稳的。
如果变量之间存在协整关系，它们的线性组合将是平稳的。
2. 协整检验的步骤协整检验的一般步骤如下：- 收集数据并绘制时间序列图，观察变量之间的趋势和关系；- 进行单位根检验，常用的方法包括ADF检验、Phillips-Perron检验等；- 如果变量存在单位根，则进行差分，直到变量变为平稳的；- 应用最小二乘法等方法，估计协整关系方程；- 进行残差平稳性检验，确保协整关系的合理性；- 如果协整关系存在，可以进行模型的进一步分析与应用。
二、误差修正模型（Error Correction Model, ECM）1. 概念与原理误差修正模型是一种动态模型，用于解释协整关系的调整速度和误差纠正机制。
在误差修正模型中，除了协整关系的线性组合外，还引入了误差修正项，用于捕捉变量之间的短期非平衡关系。
误差修正项反映了系统离开长期均衡后的调整速度，通过估计误差修正项的系数，可以判断系统是否有趋向于均衡的能力。
当误差修正项的系数为负数且显著时，表示系统具有自我修复的能力；当系数为零时，表示系统处于长期均衡状态；当系数为正数时，表示系统趋向于进一步偏离均衡。
2. ECM模型的应用误差修正模型可以用于解释和预测时间序列数据的长期和短期动态变化。
它在经济学和金融学中有广泛的应用，如货币供给与通货膨胀、利率与消费支出、汇率与经济增长等领域。
电力系统状态估计
量测与量测冗余度
量测冗余度是指量测量个数m与待估计的状态量个数n 之间的比值m/n。
冗余量测的存在是状态估计可以实现提高数据精度的 基础。
总的来说，m/n越大，系统冗余度越高，对状态估计采 用一定的估计方法排除不良数据以及消除误差影响就 越好。
在冗余度高的情况下，如果局部区域的量测数量偏 低，也会造成系统总体不可观测。
量测不足之处可以使用预测及计划型数据做伪量测量。
另外，根据基尔霍夫定律可得到部分必须满足的伪量
测量。
量测量：
Pij
Qij
z
Pi
Qi
Vi
式中，z为量测向量，假设维数为m；Pij为支路ij有功潮 流量测量；Qij为支路ij无功潮流量测量；Pi为母线i有功 注入功率量测量；Qi为母线i无功注入功率量测量；Vi为 母线i的电压幅值量测量。
状态估计
在实际应用中，可以获取其它一些量测量，譬如线路 上的功率潮流值P、Q等，这样，量测量z的维数m总大 于未知状态量x的维数n。
而且，由于量测量存在误差，（1）式将变成
z =h（x）+ v
（2）
z是观测到的量测值， v是量测误差。
状态估计
上式可以理解成：如果以真实的状态向量x构成测量函 数h（x），则量测真值还要考虑加上量测噪音v的影响 后，才是观测到的量测值z。
z V1 P1 Q1 P12 Q21 P13 Q13 P31 Q31 P32 Q32 P3 Q3 P34 Q34 V3 T
x [v1 2 v2 3 v3 4 v4 ]T
一、概述
SCADA装置采集电网中的信息，并通过信息网络 将采集数据传送至能量控制中心的计算机监控系统。
中南大学《误差理论与测量平差基础》考研复习重点笔记
考试复习重点资料（最新版）资料见第二页封面第1页第一章测量误差理论§1-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§1-2偶然误差的规律性2.直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3.误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4.偶然误差的特性第2章协方差传播律在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§2—1数学期望的传播数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。
其定义是：§2—2协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。
第3章最小二乘平差§3-1条件平差原理以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例计算步骤：1.列出r=n-t个条件方程；2.组成并解算法方程；3.计算V和的值；4.检核。
周期序列k-错线性复杂度的期望与方差
南京航空航天大学硕士学位论文周期序列k--错线性复杂度的期望与方差姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***201012周期序列k-错线性复杂度的期望与方差作者：吴成文学位授予单位：南京航空航天大学引用本文格式：吴成文周期序列k-错线性复杂度的期望与方差[学位论文]硕士 2010华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。
本研究最终将这一逻辑用“体制性造假”来概括。
体制性造假是受到体制逼迫的产物，是地方政府在面临体制的困境时不得不为的选择，而为了达到体制性造假的目的，地方政府又充分利用其所掌握的体制资源和力量来造假，“华南虎事件”讲述的也就是地方政府在体制困境之下如何“趋利避害”的故事。
体制性造假受到网络、媒体、公众等的制约，造假将使政府公信力受损，但造假又不得不为，因此地方政府凭借体制对专家的控制来造假。
为了掩盖造假行为，地方政府对信息加以严格控制。
但对信息的控制遭遇到网络、媒体和专家的挑战，他们既是体制性造假的障碍，又刺激地方政府不断动用体制维护造假。
而意在对造假进行惩处的制度又被体制歪曲，从而变相加剧了体制性造假，这更是一种吊诡。
关键词：体制性造假信息控制行政问责I。
许宝騄 方差σ2的最优估计问题
许宝騄方差σ2的最优估计问题方差是统计学中常用的一个概念，它用于衡量数据离散程度的大小。
在实际应用中，我们需要对数据进行分析和处理，因此需要对方差进行估计。
本文将探讨如何寻找方差σ2的最优估计问题。
首先，我们需要了解什么是方差。
方差是指一组数据与其平均值之间的差异程度，它可以通过以下公式来计算：σ2 = Σ(xi - μ)2 / n其中，xi表示第i个数据点，μ表示这组数据的平均值，n表示这组数据的数量。
为了寻找方差σ2的最优估计问题，我们需要从以下两个角度来考虑：1. 无偏估计无偏估计是指在样本数量趋近于无限大时，样本均值能够无限接近总体均值。
在这种情况下，我们可以使用样本方差s2作为总体方差σ2的无偏估计：s2 = Σ(xi - x̄)2 / (n-1)其中x̄表示样本平均值。
当n趋近于无穷大时，s2会收敛到σ2。
2. 最小均方误差估计最小均方误差估计是指选择一个能够使得预测值与真实值之间的均方误差最小的估计方法。
在这种情况下，我们可以使用样本方差s2作为总体方差σ2的最小均方误差估计：s2 = Σ(xi - x̄)2 / n这个公式与无偏估计的公式非常相似，唯一的区别是分母不同。
在这种情况下，我们可以证明当样本数量趋近于无限大时，s2会收敛到σ2。
综上所述，对于方差σ2的最优估计问题，我们可以选择使用无偏估计或者最小均方误差估计。
无偏估计能够保证样本均值能够无限接近总体均值，在实际应用中比较常用；而最小均方误差估计能够使得预测值与真实值之间的均方误差最小，在理论研究中比较常用。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的估计方法。
如果我们需要对数据进行统计分析或者建模预测等操作，可以选择使用无偏估计；如果我们需要对数据进行理论研究或者推导证明等操作，可以选择使用最小均方误差估计。
因此，在寻找方差σ2的最优估计问题时，我们需要根据具体情况来选择合适的估计方法，以便更好地应用于实际问题中。
莫尔圆极点法原理及应用
莫尔圆极点法原理及应用莫尔圆极点法是一种地理信息系统(GIS)中常用的空间分析技术。
它由英国地理学家亨利莫尔发明，于1959年在《英国地图学杂志》上发表。
莫尔圆极点法是一种分析方法，用来统计某一区域内的某种特征，如绿色植物或数字地形图（ DTM）。
它使用一系列的圆形距离来确定某一点的状态或分布，该点叫做最大发生率点或莫尔极点（MP）。
然后，根据计算出的MP值，可以找出一个区域内的特征分布。
莫尔圆极点法是一种有助于更好理解特征分布的工具，这也是它被广泛使用的原因。
相比之下，传统的统计方法（例如排序、均值-方差分析）可以用来推断特征的有效分布，但它不能捕捉到数据中的真实分布情况。
莫尔圆极点法可以用来计算数据的真实分布，这使得研究者可以对这种复杂的特征分布有更深入的了解。
莫尔圆极点法原理概述莫尔圆极点法的原理是基于每一个圆的半径来计算数据的MP值。
研究者首先将选定的研究区域划分为一系列圆形区域，每个圆的半径是一定的。
然后，根据被研究区域内每个圆形区域的指定特征分布来计算MP值。
MP值越大，表明圆内和圆周的指定特征分布越集中，也就是说被认为是更有代表性的点。
莫尔圆极点法的应用莫尔圆极点法可以用于多种空间分析应用，包括社会科学、人口统计、地图分析、环境研究等领域。
在社会科学领域，莫尔圆极点法可以用于研究社区结构，对比不同社区的实践情况及其影响，并评估它们之间的关系。
在人口统计学领域，莫尔圆极点法可以用于研究人口分布，帮助了解人口的分布特征及不同地区的人口变化情况。
它也可以用于估算人口的分布趋势，从而帮助政府有效管理人口资源。
在地图分析领域，莫尔圆极点法可以用于研究地形分布、地貌特征和自然资源分布。
例如，它可以用来研究地形的海拔变化，以及山脉、河流、湖泊等地貌特征的分布情况。
此外，莫尔圆极点法也可以应用于环境研究领域。
环境研究者可以利用莫尔圆极点法对森林、湿地特征等分布情况进行研究，从而更好地管理可持续发展。
不确定系统具有圆形极点与方差约束的输出反馈鲁棒控制
不确定系统具有圆形极点与方差约束的输出反馈鲁棒控制李德权;崔莉莉
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(027)009
【摘要】对一类具有范数有界不确定性的线性连续随机系统,研究了使闭环系统所有极点位于一给定圆盘,且系统稳态状态方差不超过给定上界性能指标约束的静态输出反馈控制器设计问题.利用矩阵变量变换得到关于静态输出反馈控制律存在且可解的充分条件,给出基于线性矩阵不等式(LMI)组约束下的输出反馈控制器的设计方法.
【总页数】4页(P1103-1106)
【作者】李德权;崔莉莉
【作者单位】安徽理工大学,数理系,安徽,淮南,232001;上海第二工业大学,计算机学院,上海,201209
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.具有圆形极点和方差约束的不确定离散系统鲁棒控制 [J], 朱永红;姜长生
2.具有方差和极点约束的不确定系统鲁棒H∞输出反馈控制 [J], 周武能;苏宏业;褚健
3.具有闭环区域极点和方差约束的鲁棒输出反馈控制 [J], 俞立;陈国定
4.不确定系统具有圆盘区域极点约束的鲁棒控制 [J], 俞立;陈国定;杨马英
5.具有区域极点约束的不确定系统输出反馈控制 [J], 秦岭;王耀青
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时间测度上具有时滞的互惠系统的周期解
时间测度上具有时滞的互惠系统的周期解鲁红英【摘要】互惠相互作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一,是生态学、生物数学的研究热点.2种群互惠系统是指每一种群的存在对另一种群的增长都会起促进作用的系统.由于时滞对一系统所带来的影响,在自然现象中是屡见不鲜的.因此,生态系统中,为了更真实的反应自然,时滞是一种不应忽略的因素.时标理论的提出,整合和统一了连续与离散的分析.因此时标上的动力系统更为一般,包含微分方程与差分方程作为它的特例.在时间测度上研究了具有时滞的两种群互惠系统,利用重合度理论中的延拓定理讨论此系统周期解的存在性问题,从而使这一类系统的连续时间情形与离散时间情形的周期解存在性问题得到了统一研究.并且所获得的周期解存在性定理,推广了文献[15]的主要结果.%Mutual interaction, which is one of the basic relationships between populations, has long been dominant themes in both ecology and mathematical ecology. Mutualism, an interaction of two-species of organisms that benefits both, is found in many type of communities. Since time delays occur so often in nature, a number of models in ecology can be formulated as systems of differential equations with time delays. So, time delay is a factor that should not be ignored. The theory on time scales unified analysis of continuous process and discrete process. Therefore, the dynamic equations on time scales are more general, including differential equations and difference equations as special cases. In this paper, the existence of periodic solutions for a delayed mutualism system on time scales is considered. By using the continuation theorem of coincidence degree,a set of sufficient conditionswhich ensure the existence of periodic solutions of the system are obtained. So, the study of existence of periodic solutions for the continuous differential equations and discrete difference equations are unified. In addition,The existence theorem of periodic solutions generalized the main results in [15].【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(029)002【总页数】5页(P165-169)【关键词】时间测度;互惠;时滞;周期解【作者】鲁红英【作者单位】东北财经大学,数学与数量经济学院,辽宁,大连,116025【正文语种】中文【中图分类】O175.1生态系统的动力学行为一直是生态数学的一个重要的研究问题,许多现象可以表达为微分方程或差分方程,近年来有许多作者对此进行了深入的研究,获得了很好的结果[1-18]。
概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第9章_方差分析
概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。
【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。
为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。
三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。
（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。
信号检测与估计知识点总结(2)
第三章 估计理论1. 估计的分类矩估计：直接对观测样本的统计特征作出估计。
参数估计：对观测样本中的信号的未知参数作出估计。
待定参数可以是未知的确定量，也可以是随机量。
点估计：对待定参量只给出单个估计值。
区间估计：给出待定参数的可能取值范围及置信度。
(置信度、置信区间) 波形估计：根据观测样本对被噪声污染的信号波形进行估计。
预测、滤波、平滑三种基本方式。
✓ 已知分布的估计✓ 分布未知或不需要分布的估计。
✓ 估计方法取决于采用的估计准则。
2. 估计器的性能评价✧ 无偏性：估计的统计均值等于真值。
✧ 渐进无偏性：随着样本量的增大估计值收敛于真值。
✧ 有效性：最小方差与实际估计方差的比值。
✧ 有效估计：最小方差无偏估计。
达到方差下限。
✧ 渐进有效估计：样本量趋近于无穷大时方差趋近于最小方差的无偏估计。
✧ 一致性：随着样本量的增大依概率收敛于真值。
✧ Cramer-Rao 界： 其中为Fisher 信息量。
3. 最小均方误差准则模型：假定： 是观测样本，它包含了有用信号 及干扰信号 ，其中 是待估计的信号随机参数。
根据观测样本对待测参数作出估计。
最小均方误差准则：估计的误差平方在统计平均的意义上是最小的。
即使达到最小值。
此时 从而得到的最小均方误差估计为： 即最小均方误差准则应是观测样本Y 一定前提下的条件均值。
需借助于条)()(1αα-≥F V ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=2212122);,(ln );,(ln )(αααααm m y y y p E y y y p E F )(),()(t n t s t y +=θ)(t n T N ),,,(21θθθθ=),(θts {}{})ˆ()ˆ()ˆ,(2θθθθθθ--=T E e E {}0)ˆ,(ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=MSE e E d d θθθθθθθθθd Y f Y MSE )|()(ˆ⎰=件概率密度求解，是无偏估计。
圆阵的DOA估计方法研究
圆阵的DOA估计方法研究作者：邓磊磊冷开静来源：《声学与电子工程》2022年第01期摘要以波束形成方法為理论基础，对圆阵采集到的实验数据进行DOA估计分析。
文章研究了圆阵接收信号模型以及CBF算法、MuSIc算法和SBF算法等；依托湖上实验数据，分析了不同方法下的波束响应特点、连续时间下的来波信号DOA估计结果、以及SBF算法的测向分辨力。
通过数据分析可知，几种方法都能够实现DOA估计的目标，但SBF算法的测向稳定性更好，且具有更高的测向分辨力。
关键词 DOA；波束响应；分辨力；CBF；music ；SBF阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支，同时也是水声工程领域的一个研究重点。
阵列信号处理的基本原理：在空间中布置很多阵元传感器形成一个传感器阵列，通过各个阵元采集信号的空间信息，在空域上对信号进行增强和估计。
空间谱是阵列信号处理中的一个重要概念，表示信号在空间各个方向上的能量分布。
通过计算信号的空间谱分布，就可以得到信号的波达方向（Direction OfArrival，DOA）。
因此，空间谱估计又经常被称为DOA估计。
DOA估计经过长期的发展，已经较为成熟，如常规波束形成（Conventional Beamforming ，CBF）算法、最小方差无失真响应（Minimum Variance Distortion Response， MVDR）算法、多重信号分类（Multiple Signal Classification ，MUSIC ）算法、最大似然法等，还有一些近年提出的算法，包括分裂波束形成（Split Beamforming ，SBF）算法、超波束形成（Hyper Beamforming ，HBF）算法等。
DOA估计技术是一种以工程需求为基础而发展起来的应用技术。
本文依托工程实验数据，对不同DOA估计方法的测向能力和稳定性进行了分析。
1圆阵信号接收模型图1给出了圆阵的示意图。
假设坐标原点位于阵列中心，N个阵元均匀分布在半径为R的圆周上，那么在球坐标系下，任意阵元i与x轴的夹角0＝2πi／N，因此阵元的坐标可以表示为（RcosO，Rsin o，，0）。
应用回归分析试题(2套)
1、对于一元线性回归01(1,2,...,)i i i y x i n ββε=++=,()0i E ε=，2var()i εσ=，cov(,)0()i j i j εε=≠，下列说法错误的是(A)0β，1β的最小二乘估计0ˆβ，1ˆβ 都是无偏估计； (B)0β，1β的最小二乘估计0ˆβ，1ˆβ对1y ，2y ，...，n y 是线性的；2、在回归分析中若诊断出异方差，常通过方差稳定化变化对因变量进行变换. 如果误差方差与因变量y 的期望成正比，则可通过下列哪种变换将方差常数化 (A) 1y；(C) ln(1)y +；(D)ln y .3、下列说法错误的是(A)强影响点不一定是异常值；(B)在多元回归中，回归系数显著性的t 检验与回归方程显著性的F 检验是等价的； (C)一般情况下，一个定性变量有k 类可能的取值时，需要引入k-1个0-1型自变量； (D)异常值的识别与特定的模型有关.4、下面给出了4个残差图，哪个图形表示误差序列是自相关的应用回归分析试题（一）一、选择题.（每题3分，共15分）(C)0β，1β的最小二乘估计0ˆβ，1ˆβ之间是相关的； (D)若误差服从正态分布，0β，1β的最小二乘估计和极大似然估计是不一样的.(A)(C) (D)5、下列哪个岭迹图表示在某一具体实例中最小二乘估计是适用的(A) (B)(C) (D)二、填空题（每空2分，共20分）1、考虑模型y Xβε=+，2var()nIεσ=，其中:X n p'⨯，秩为p'，20σ>不一定已知，则ˆβ=__________________，ˆvar()β=___________，若ε服从正态分布，则22ˆ()n p σσ'-:___________，其中2ˆσ是2σ的无偏估计. 2、下表给出了四变量模型的回归结果：则残差平方和=_________，总的观察值个数=_________，回归平方和的自由度=________. 3、已知因变量y 与自变量1x ，2x ，3x ，4x ，下表给出了所有可能回归模型的AIC 值，则最优子集是_____________________.4、在诊断自相关现象时，若0.66DW =，则误差序列的自相关系数ρ的估计值=_____ ，若存在自相关现象，常用的处理方法有迭代法、_____________、科克伦-奥克特迭代法.5、设因变量y 与自变量x 的观察值分别为12,,...,n y y y 和12,,...,n x x x ，则以*x 为折点的折线模型可表示为_____________________.三、（共45分）研究货运总量y （万吨）与工业总产值1x （亿元）、农业总产值2x （亿元）、居民非商品支出3x （亿元）的线性回归关系.观察数据及残差值i e 、学生化残差i SRE 、删除学生化残差()i SRE 、库克距离i D 、杠杆值ii ch 见表一表一表二 参数估计表已知0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，0.05(3,6) 4.76F =，0.05(4,7) 4.12F =，根据上述结果，解答如下问题：1、计算误差方差2σ的无偏估计及判定系数2R .（8分）2、对1x ，2x ，3x 的回归系数进行显著性检验.（显著性水平0.05α=）（12分）3、对回归方程进行显著性检验.（显著性水平0.05α=）（8分）4、诊断数据是否存在异常值，若存在，是关于自变量还是关于因变量的异常值？（10分）5、写出y 关于1x ，2x ，3x 的回归方程，并结合实际对问题作一些基本分析（7分）四、（共8分）某种合金中的主要成分为金属A 与金属B ，研究者经过13次试验，发现这两种金属成分之和x 与膨胀系数y 之间有一定的数量关系，但对这两种金属成分之和x 是否对膨胀系数y 有二次效应没有把握，经计算得y 与x 的回归的残差平方和为3.7，y 与x 、2x 的回归的残差平方和为0.252，试在0.05的显著性水平下检验x 对y 是否有二次效应？（参考数据0.050.05(1,10) 4.96,(2,10) 4.1F F ==）五、（共12分）（1）简单描述一下自变量12,,...,p x x x 之间存在多重共线性的定义；（2分） （2）多重共线性的诊断方法主要有哪两种？（4分） （3）消除多重共线性的方法主要有哪几种？（6分）应用回归分析试题（二）一、选择题 1. 某同学由x 与y 之间的一组数据求得两个变量间的线性回归方程为y bx a =+，已知：数据x 的平均值为2，数据y 的平均值为3，则 ( A )A ．回归直线必过点（2，3）B ．回归直线一定不过点（2，3）C ．点（2，3）在回归直线上方D ．点（2，3）在回归直线下方2. 在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5)，则Y 与X 之间的回归直线方程为（ A ）A ．$yx 1=+B ．$y x 2=+C ．$y 2x 1=+ Ｄ．$yx 1=-3. 在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(i x 、i y ），1,2i =，…，n ；③求线性回归方程； ④求未知参数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量,x y 具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ D ） A ．①②⑤③④ B ．③②④⑤① C ．②④③①⑤ D ．②⑤④③①4. 下列说法中正确的是（B ）A ．任何两个变量都具有相关关系B ．人的知识与其年龄具有相关关系C ．散点图中的各点是分散的没有规律D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的5. 给出下列结论：（1）在回归分析中，可用指数系数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）在回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越小，模型的拟合效果越好；（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的有（B ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 6. 已知直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（C）A.y 平均增加1.5个单位B.y 平均增加2个单位C.y 平均减少1.5个单位D.y 平均减少2个单位7. 下面的各图中，散点图与相关系数r 不符合的是（B ）8. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为ˆ7.1973.93yx =+，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ D ）A ．身高一定是145.83cmB ．身高超过146.00cmC ．身高低于145.00cmD ．身高在145.83cm 左右9. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( B )(A)预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 (B)解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 (C)可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 (D)可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上10. 两个变量y 与x 的回归模型中，通常用2R 来刻画回归的效果，则正确的叙述是（ D ）A. 2R 越小，残差平方和小B. 2R 越大，残差平方和大C. 2R 于残差平方和无关 D. 2R 越小，残差平方和大 11. 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( A )A.模型1的相关指数2R 为0.98B.模型2的相关指数2R 为0.80C.模型3的相关指数2R 为0.50 D.模型4的相关指数2R 为0.2512. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( B ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数R 213.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ6090y x =+，下列判断正确的是（C ） A.劳动生产率为1000元时，工资为50元 B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D.劳动生产率为1000元时，工资为90元14. 下列结论正确的是（C ）①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． Ａ．①② Ｂ．①②③Ｃ．①②④Ｄ．①②③④15. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ C ）Ａ．$ 1.234y x =+Ｂ．$1.235y x =+ Ｃ．$1.230.08y x =+ Ｄ．$0.08 1.23y x =+ 二、填空题16. 在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数2R 的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是 甲 ． 17. 在回归分析中残差的计算公式为列联表、三维柱形图、二维条形图．18. 线性回归模型y bx a e =++（a 和b 为模型的未知参数）中，e 称为 随机误差 ．19. 若一组观测值（x 1,y 1）（x 2,y 2）…（x n ,y n ）之间满足y i =bx i +a+e i (i=1、2.…n)若e i 恒为0，则R 2为___ e i恒为0，说明随机误差对y i 贡献为0.三、解答题20. 调查某市出租车使用年限x 和该年支出维修费用y （万元），得到数据如下： 使用年限x 2 3 4 56 维修费用y2．23．85．56．57．0（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．（121()()()ni i i ni i x x y y b x x a y bx==⎧-⋅-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑） 20. 解析： （1）列表如下：i1 2 3 4 5 i x2 3 4 5 6 i y 2238556570i i y x441142203254202i x4 91625 364=x ， 5=y ， 90512=∑=i ix ， 3.11251=∑=i i i y x于是23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==xx yx yx b i i i ii ， 08.0423.15=⨯-=-=bx y a∴线性回归方程为：08.023.1^+=+=x a bx y （2）当x=10时，38.1208.01023.1^=+⨯=y （万元）即估计使用10年时维修费用是1238万元 回归方程为： 1.230.08y x =+(2) 预计第10年需要支出维修费用12．38 万元．21. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； （3）据（2）的结果估计当房屋面积为2150m 时的销售价格. （4）求第2个点的残差。