有限长单位脉冲响应

j
j ( )
7
第14讲 有限长单位脉冲响应
于是有
N 1 H ( ) h(n ) cos n n 0 2
N 1
N 1 ( ) 2
• •
幅度函数H(ω)是标量函数，且是ω的偶对称函数和周期函数; 相位函数θ(ω)具有严格的线性相位
N 1 a(n) 2h n 2
n=1,2,3,…,(N-1)/2
•
H(ω)对ω=0,π,2π呈偶对称（cos(ωn)对ω=0,π,2π为偶对称）
15
第14讲 有限长单位脉冲响应
16
第14讲 有限长单位脉冲响应 h(n)偶对称的幅度函数式
N 1 H ( ) h( n ) cos n n 0 2
N 1 N 1 j 2
N 1 h (n )sin n n 0 2
e
N 1 N 1 j j / 2 2
N 1 h(n)sin 2 n n 0
N 1
由于h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时，
N 1 N 1 N 1 h h N 1 h 0 2 2 2
即h(n)奇对称时，中间项一定为零
N 1 sin n 也对(N-1)/2 呈奇对称 此外， 2
N 1
2. 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数 推导过程与N为奇数相似
N 1 H ( ) 2h(n) cos n n 0 2
N / 21
N 令 n m ，代入上式可得 2 N /2 N /2 1 1 N H ( ) 2h m cos m b( n ) cos n 2 2 2 n 1 m1
N 1 n N21 n N 1 N 1 2 z z 2 z h(n) 2 n 0
将z=e jω代入上式，即得到滤波器的频率响应
6
第14讲 有限长单位脉冲响应 N 1 n N21 n N 1 N 1 2 z z 2 H ( z) z h(n ) 2 n 0
o
( )

2
－ (N－1 )
h(n)偶对称时线性相位特性
8
第14讲 有限长单位脉冲响应 2. 当h(n)为奇对称: h(n)的系统函数为
H ( z ) h(n) z n h( N 1 n) z n h(m) z ( N 1m)
n 0 n 0 m 0 N 1 N 1 N 1 N 1
第14讲 有限长单位脉冲响应
第7章 有限长单位脉冲响应
7.1 线性相位FIR滤波器的特点
7.2 用窗函数法设计FIR滤波器
7.3 用频率采样法设计FIR滤波器
7.4 等波纹线性相位滤波器
7.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较
7.6 数字滤波器的应用
1
第14讲 有限长单位脉冲响应

IIR数字滤波器在设计中只考虑了幅度特性，而相位特性一般
h(n)=h(N-1-n) 0≤n≤N-1
N 1 n 0
N 1 n 0
将m=N-1-n代入上式，进行整理
H ( z ) h(m) z ( N 1m ) z ( N 1) h(m) z m z ( N 1) H ( z 1 )
m0 m0
5
N 1
N 1
N b(n) 2h n n=1,2, 3, …, N/2 2
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第14讲 有限长单位脉冲响应
1 N / 2 1 N H ( ) 2h m cos m b( n ) cos n 2 2 n 1 2 m1
7.1 线性相位FIR滤波器的特点

线性相位的条件
长度为N的线性相位FIR滤波器, 系统频响可表示为
H ( e ) h ( n )e
j n 0
N 1
j n
H ( )e
j ( )
H(ω)为幅度特性 θ(ω)为相位特性
H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，满足
d ( ) grd [ H (e )] [ ( )] C d
函数H(ω)对于ω=0, 2π也呈偶对称
•
此类数字滤波器不能用来设计高通、带阻滤波器
18
第14讲 有限长单位脉冲响应
19
第14讲 有限长单位脉冲响应 3. 第三种类型： h(n)为奇对称，N为奇数
N 1 H ( ) h(n) sin n h(n)奇对称的幅度函数式为 n 0 2
•
满足第二个公式的条件为： FIR滤波器单位脉冲响应
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-1-n)
4
第14讲 有限长单位脉冲响应
7.1.1 线性相位特性
1. 当h(n)为偶对称: h(n)的系统函数为
n H ( z ) h(n) z n h( N 1 n) z
是非线性的，为得到线性相位特性，需要增相位校正网络，从
而使滤波器设计变得复杂，成本增高

FIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严
格的线性相位特性。且为稳定滤波器，因此得到了广泛应用

FIR滤波器的设计任务是选择有限长度的h(n)，使系统频响
H(ejω)满足技术要求
2
第14讲 有限长单位脉冲响应
N /2
1 cos n 0 ，余弦项对ω=π呈奇对称，因此 • 当ω=π时， 2
H(π)=0，且H(ω)对ω=π呈奇对称
•
当ω=0或2π时，
1 cos n ，余弦项对ω=0, 1 2
2π为偶对称 ，幅度
N 1 H ( ) h( n ) cos n n 0 2
N 1
N 1 cos n 对(N-1)/2 呈偶对称 式中h(n)与 2
h(n ) h( N 1 n )
N 1 N 1 N 1 cos ( N 1 n ) cos n cos n 2 2 2
将Σ内相等项合并，即 n=0 项与n=N-1项，n=1 项与n=N-2 项等
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第14讲 有限长单位脉冲响应 h(n)偶对称的幅度函数式
N 1 H ( ) h( n ) cos n n 0 2
N 1
由于N是奇数，因此n=(N-1)/2项是单项，幅度函数表示为
h(n)=-h(N-1-n)
0≤n≤N-1
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( N 1)
m 0
h(m) z m
z ( N 1) H ( z 1 )
1 ( N 1) H ( z 1 )] 上式同样改写成 H ( z ) [ H ( z ) z 2
9
第14讲 有限长单位脉冲响应
1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] 2
滤波器的频率响应为
H (e j ) H ( z ) |z e j e
N 1 N 1 j 2
N 1 h(n ) cos n n 0 2
将上式频率响应用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示
H (e ) H ( )e
于是相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)为
N 1 H ( ) h(n ) sin n n 0 2
N 1
N 1 ( ) 2 2
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第14讲 有限长单位脉冲响应
N 1 H ( ) h(n ) sin n n 0 2
N 1 H ( ) h 2
再进行一次换元，令
( N 3) / 2

n 0
N 1 2h(n) cos n 2
N 1 n m 2
N 1 ( N 1) / 2 N 1 H ( ) h m cos(m) 2h 2 2 m 1
第14讲 有限长单位脉冲响应
H ( z ) z ( N 1) h(m) z m z ( N 1) H ( z 1 )
m 0
N 1
将上式改写为
1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] 2
1 N 1 h(n)[ z n z ( N 1) z n ] 2 n 0
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第14讲 有限长单位脉冲响应
N 1 H ( ) h 2
可表示为
( N 1) / 2

m 1
N 1 2h m cos(m) 2
H ( )
( N 1) / 2 n 0
a(n) cos(n)
式中:
N 1 a(0) h 2
j
群延迟函数
即
θ(ω)= -Cω
,
C为常数 θ0是起始相位
3
θ(ω)=θ0 - Cω,
第14讲 有限长单位脉冲响应 θ(ω)= -Cω ,
C为常数 θ0是起始相位
θ(ω)=θ0 - Cω,
•
满足第一个公式的条件为：FIR滤波器单位脉冲响应
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-1-n)
N 1 N 1 N 1 sin ( N 1 n ) sin n sin n 2 2 2
将z=e jω代入上式，得到滤波器的频率响应
H (e ) H ( z) |z e j je
j
N 1 N 1 j 2
N 1 h(n )sin n n 0 2
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第14讲 有限长单位脉冲响应
H (e j ) je
1 N-1 h(n) z n z ( N 1) z n 2 n 0
n N21 n N21 N 1 N 1 z z 2 z h(n ) 2 n 0
N 1
N 1 ( ) 2 2
• •
幅度函数H(ω)是ω的奇对称函数和周期函数 相位函数既是线性相位，又包括π/2的相移
( )
π 2 o

2

3 －πN － 2
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第14讲 有限长单位脉冲响应 7.1.2 幅度响应特性 1. 第一种类型： h(n)为偶对称，N为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式