华师版九年级上册数学同步练习课件-第23章 图形的相似-专项训练3相似三角形的判定与性质
九年级数学上册第23章图形的相似23-3相似三角形23-3-3相似三角形的性质同步练习新版华东师大版
九年级数学上册第23章图形的相似23-3相似三角形23-3-3相似三角形的性质同步练习新版华东师大版知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( )A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.∶32．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC 边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且＝，所以＝＝________，则＝________，所以△ABC 与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________。
图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( )A．2∶3 B.∶C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911. 如图23－3－40所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝________．图23－3－4012．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积为64 cm2，求：(1)A′B′边上的中线C′D′的长；(2)△A′B′C′的周长；(3)△ABC的面积．13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD ＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ACD的面积为1，则△BCD的面积为( ) A．1 B．2 C．3 D．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△BAF＝4∶25，则DE∶EC等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. D ．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD ，BE 分别是△ABC 的角平分线和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的角平分线和中线，已知∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD.求证：AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE.图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于点D ，交EH 于点P.若矩形EFGH 的周长为24，BC ＝10，AP ＝16，求S △BPC 的值．图23－3－461．A2．A3．解：由题意知＝，∴＝，解得B ′D ′＝1.2.4．EFDFDEEFDF 12125．26．157．解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以＝＝.又因为AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，所以＝＝，所以A′B′＝18(cm)，BC＝20(cm)，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B11. [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE＝S四边形BCED，∴＝，∴＝＝.12．解：(1)∵＝，∴＝，∴C′D′＝8(cm)．(2)∵＝，∴＝，∴C△A′B′C′＝40(cm)．(3)∵＝，∴＝，∴S△ABC＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝()2＝.∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF.∵S△DEF∶S△BAF＝4∶25，∴＝.∵AB＝CD，∴DE∶EC＝2∶3.故选A.15．D16．因为AE∶EC＝2∶1，所以AE∶AC＝2∶3，CE∶AC＝1∶3.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE∶S△ABC＝＝4∶9.因为DE∥BC，所以＝＝.设△ABC中BA边上的高为h，则△BDC中BD边上的高也为h，所以S△BDC＝BD·h，S△ABC＝AB·h，所以S△BDC∶S△ABC＝BD∶AB＝1∶3，所以S△ADE∶S△BDC＝S△ABC∶S△ABC＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，BE，B′E′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴∠BAD＝∠B′A′D′，AC＝2AE，A′C′＝2A′E′.又∵AB·A′D′＝A′B′·A D，∴＝，∴△BAD∽△B′A′D′，∴∠ABC＝∠A′B′C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝，∴△ABE∽△A′B′E′，∴＝.又∵＝，∴＝，∴AD·B′E′＝A′D′·BE.18．解：设PD＝x，则EF＝x.∵矩形EFGH的周长为24，∴EF＋EH＝12，∴EH＝12－x.又∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴＝，即＝，解得x1＝4，x2＝－8(不合题意，舍去)，∴x＝4，即PD＝4，∴S△BPC＝BC·PD＝×10×4＝20.。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 23.3.1 相似三角形同步练习 (新版)华东师大版
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________． 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边 B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD（ ）＝（ ）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ADAB的值； (2)求BC 的长．图23－3－712．已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为________．13．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和 3.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3， ∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32. 4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.(2)AOA ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴BC AC ＝AC CD.又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴△ADE ∽△EFC ，共3对． 故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个． 11．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8， ∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13.(2)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB. ∵DE ＝3， ∴3BC ＝13， ∴BC ＝9. 12 2∶5 [解析] ∵△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，∴AB ∶A 1B 1＝2∶3，A 1B 1∶A 2B 2＝3∶5.设AB ＝2x ，则A 1B 1＝3x ，A 2B 2＝5x ， ∴AB ∶A 2B 2＝2∶5，∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为2∶5.13． 2 14． 2∶515．∵AB ∥GH ∥DC ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC ， ∴GH AB ＝CH CB ，GH DC ＝BHBC ，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BHBC＝1.∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论． 设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得 5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215.故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质同步练习(新版)华东师大版
23.3.3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.5∶ 32．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且ABDE＝12，所以BC（）＝AC（）＝________，则AB＋BC＋AC（）＋（）＋（）＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE ∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________。
图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.2∶ 3 C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911. 如图23－3－40所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB＝________．图23－3－4012．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积为64 cm 2，求：(1)A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； (2)△A ′B ′C ′的周长； (3)△ABC 的面积． 13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ACD 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，则DE ∶EC 等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. 152 D ．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD ，BE 分别是△ABC 的角平分线和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的角平分线和中线，已知∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD .求证：AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE .图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH 的周长为24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．图23－3－461．A 2．A 3．解：由题意知AB A ′B ′＝BD B ′D ′，∴102＝6B ′D ′，解得B ′D ′＝1.2.4．EF DF 12 DE EF DF 12 125．26．157．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以6072＝AB A ′B ′＝BCB ′C ′.又因为AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以56＝15A ′B ′＝BC24，所以A ′B ′＝18(cm)，BC ＝20(cm)，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B11. 22[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵S △ADE ＝S 四边形BCED ， ∴S △ADE S △ABC ＝12， ∴AD AB＝12＝22. 12．解：(1)∵CD C ′D ′＝AB A ′B ′，∴4C ′D ′＝12， ∴C ′D ′＝8(cm)． (2)∵C △ABCC △A ′B ′C ′＝AB A ′B ′，∴12＝20C △A ′B ′C ′，∴C △A ′B ′C ′＝40(cm)．(3)∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB A ′B ′2，∴14＝S △ABC 64，∴S △ABC ＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14. ∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3. 故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，∴DE AB ＝25. ∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3. 故选A. 15．D16．因为AE ∶EC ＝2∶1，所以AE ∶AC ＝2∶3，CE ∶AC ＝1∶3. 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝4∶9. 因为DE ∥BC ，所以BD AB ＝CE AC ＝13.设△ABC 中BA 边上的高为h ，则△BDC 中BD 边上的高也为h ， 所以S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，所以S △BDC ∶S △ABC ＝BD ∶AB ＝1∶3， 所以S △ADE ∶S △BDC ＝49S △ABC ∶13S △ABC ＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，BE ，B ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，AC ＝2AE ，A ′C ′＝2A ′E ′. 又∵AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD ，∴AB A ′B ′＝ADA ′D ′， ∴△BAD ∽△B ′A ′D ′， ∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 又∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝2AE 2A ′E ′＝AEA ′E ′， ∴△ABE ∽△A ′B ′E ′， ∴BE B ′E ′＝ABA ′B ′. 又∵AD A ′D ′＝AB A ′B ′，∴AD A ′D ′＝BEB ′E ′，∴AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE . 18．解：设PD ＝x ，则EF ＝x . ∵矩形EFGH 的周长为24， ∴EF ＋EH ＝12， ∴EH ＝12－x . 又∵EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AP AD，即12－x 10＝1616＋x， 解得x 1＝4，x 2＝－8(不合题意，舍去)， ∴x ＝4，即PD ＝4，∴S △BPC ＝12BC ·PD ＝12×10×4＝20.。
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第23章 图形的相似 相似三角形 相似三角形判定定理 1
9．(2020·贵港)如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，若 BC＝3，BD＝2，
且∠BCD＝∠A，则线段 AD 的长为( B )
13．(杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E. (1)求证：△BDE∽△长． 解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B ＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD (2)∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2 ＝ 132－52 ＝12，∵21 AD·BD＝12 AB·DE
16 BC＝3，则 AD＝__5__．
7．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC ＝8，AD＝6，当AP的长为__4_或__9__时，△ADP和△ABC相似.
8．(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且 ∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
∴DE＝6103
14．(2020·苏州)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F. (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA (2)∵E 是 BC 的中 点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝ AB2＋BE2 ＝ 62＋22 ＝2 10 ，
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用练习华东师大版(20
2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.4 相似三角形的应用同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.4 相似三角形的应用同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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23.3.4 相似三角形的应用知识点 1 利用三角形相似测量宽度1．如图23－3－47，为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A,E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m图23－3－472。
如图23－3－48是一个折叠小板凳的左视图，图中有两个等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为4，底边长为6，另一个三角形框架的腰长为2，则相应的底边长为________．图23－3－483。
如图23－3－49,测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份．如果小管口中DE正好对着量具上30份处(DE∥AB），那么小管口径DE的长是__________毫米．图23－3－494．如图23－3－50，小明设计了两个直角三角形来测量河宽DE，他量得AD＝20 m，BD＝15 m,CE＝45 m，求河宽DE。
2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用习题课件新版华东师大版2019
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华师版九年级上册数学同步练习课件-第23章 图形的相似-23.3.3相似三角形的性质(第四课时)
6
▪ 7．【2018·四川资阳中考】已知：如图， △ABC的面积为12，点D9、E分别是边AB、 AC的中点，则四边形BCED的面积为_____.
7
▪ 8．如图，在正方形ABCD中，AB ＝2，E是BC的中点，DF⊥ AE， 点F是垂足．
▪ ((11)证)求明：证∵四：边形△AABCBD E为正∽方△形，D∴FAAD∥；BE，∴∠1＝∠2. ▪ (2)求S 和S . 又∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA．
(C )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
4
▪ 3．已知两个三角形相似，它们对应中线之比
为1∶4，那么它们对应周长之比为
C
()
▪ A．1∶2B．1∶16
▪ C．1∶4 D．无法确定
D
▪ 4．【2018·黑龙江绥化中考】两个相似三角
形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长 之差为12 cm，那么大三角形的周长为 ( )
的周长比为 1∶4.∵BC＝8 cm，且△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的周长为 3×8＝ 24(cm)，∴△ADE 的周长为 24×14＝6(cm)．
3
课时即练
1．若两个相似三角形的对应中线的比为 3∶4，则它们对应角平分线的比是
A．1∶16
B．16∶9
(D )
C．4∶3
D．3∶4
2．已知△ABC∽△A′B′C′且A′ABB′＝12，则 S△ABC∶S△A′B′C′＝
比的平方； 2
▪ 【典例】如图，在等边三角形ABC 中，点D、E分别在边AB、AC上，
且DE∥BC，如果BC＝8 cm，
AD∶AB＝1∶4，求△ADE的周长． 分 析 ： 先 由 DE∥BC 证 明 △ADE 与 △ABC 相 似 ， 从 而 得 到 周 长 比 等 于 相 似
九年级数学上册第23章图形的相似23-3相似三角形23-3-1相似三角形同步练习新版华东师大版
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________．2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD（ ）＝（ ）BC. 7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个。
华东师大版数学九年级上第23章图形的相似 23.3.2相似三角形的判定 课件 (21张PPT)
D 1
E
4C O
3
A
F
2 B
证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED
课堂总结
相似三角形4种判定方法的综合应用。 （1）先看题中是否有平行条件，如果有平行，就去找“A”型
或“X”型相似。 （2）找是否有两角对应相等。 （3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例。 （4）识别掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径。
证明：∵
AB 6 1 , BC 8 1 , AC 10 1 , AB 18 3 BC 24 3 AC 30 3
∴ AB BC AC AB BC AC
∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似)
新知讲解
识别相似
看已知条件
选方法
找出识别方法中所 需的条件
相似三角形的判定定理2： 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
如果相等的角不 是成比例的两边 的夹角，那么这 两个三角形还相 似吗？画画看， 看看是不是不一
定相似？
新知讲解
A
D
A'
B
C
B'
C'
已知：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于D， 连结BD，则BD＝BA.求证△A’B’C’ 和△BCD是否相似
那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定 两个三角形相似呢？
新知讲解
观察，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与
△ABC相似呢？
C
华师版九年级上册数学同步练习课件-第23章 图形的相似-23.3 一节一练 1相似三角形
23.3 相似三角形Ⅰ
基础过关
1．△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，其中不能使△ABC 和△A′B′C′相
似的是
(D )
A．∠A＝∠A′＝45°，∠B＝26°，∠B′＝109°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝4，A′C′＝2，B′C′＝3
C．∠A＝∠B′，AB＝2，AC＝2.4，A′B′＝3.6，B′C′＝3
(2)在△ABC 中，∠A＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角 形，求∠ACB 的度数；
(3)如图 2，△ABC 中，AC＝2，BC＝ 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长.
19
(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形. ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴ △ACD 为等腰三角形.∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC， ∴CD 是△ABC 的完美分割线. (2)解：①当 AD＝CD 时，如图 3，∠ACD＝∠A＝ 48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当 AD＝AC 时，如图 4，∠ACD＝∠ADC＝180°－ 2 48°＝66°.∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°.③当 AC＝CD 时，如图 5， ∠ADC＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC＞∠BCD，∴ 不符合题意，舍去.综上，∠ACB＝96°或 114°.
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步练习新版华东师大版
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________． 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边 B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD（ ）＝（ ）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ADAB的值； (2)求BC 的长．图23－3－712．已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为________．13．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和 3.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3， ∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32. 4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.(2)AOA ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴BC AC ＝AC CD.又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴△ADE ∽△EFC ，共3对． 故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个． 11．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8， ∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13.(2)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB. ∵DE ＝3， ∴3BC ＝13， ∴BC ＝9. 12 2∶5 [解析] ∵△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，∴AB ∶A 1B 1＝2∶3，A 1B 1∶A 2B 2＝3∶5.设AB ＝2x ，则A 1B 1＝3x ，A 2B 2＝5x ， ∴AB ∶A 2B 2＝2∶5，∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为2∶5.13． 2 14． 2∶515．∵AB ∥GH ∥DC ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC ， ∴GH AB ＝CH CB ，GH DC ＝BHBC ，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BHBC＝1.∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论． 设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得 5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215.故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
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CKD ，
∴ DAEC
＝ AKKC ＝
1 2
.∵
AQ
∥ PC ，
∴
∠ KAQ
＝∠
PCK. 又
∠ AKQ ＝
∠CKP，∴△AKQ∽△CKP，∴APQC＝ACKK，∵AKKC＝12，∴APQC＝12.
9
▪ 类型3 求角度 ▪ 8．如图，3个正方形拼成1个矩形4，5°则∠EAD
＋∠EBD＝________.
第23章 图形的相似
专项训练三 相似三角形的判定与性质
重难突破
▪ 类型1 求线段长 ▪ 1．【2018·湖北恩施中考】如图，在正方形
ABCD中，G为CD边中点，连结AG并延长交D BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点. 已知FG＝2，则线段AE的长度为
()
2
2．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点连结 DE，F 为线段 DE 上 一点，且∠AFE＝∠B．若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，则 DE＝___1_2__.
12
▪ 类型4 证明比例式或等积式 ▪ 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平
分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F.求证： AD2＝DE·DF.
证明：∵∠BAC＝90°，DF 垂线平分 BC，∴∠B＋∠C＝90°，∠F＋∠C＝90°， ∴∠B＝∠F.∵BC 的垂直平分线交 BC 于点 F，∠BAC＝90°.∴DA＝BD，∴∠B＝ ∠BAD，∴∠F＝∠BAD．∵∠EDA＝∠ADF，∴△ADE∽△FDA，∴ADDE＝FADD，∴ AD2＝DE·DF.
10
▪ 9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， D、E分别在底边CB、BC的延长线上，当 AB2＝DB·CE时，求∠DAE的度数.
11
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB2＝DB·CE，∴ACBE ＝DABB，∴ACBE＝DACB，∴△ADB∽△EAC．∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE.∵∠DAE ＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.∵∠BAC＝α，AB ＝AC，∴∠ABC＝12(180°－α)，∴∠D＋∠BAD＝12(180°－α)，∴∠DAE＝∠D＋ ∠BAD＋∠BAC＝12(180°－α)＋α＝90°＋α2.
BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则 BP∶PQ∶QR＝___________.
6
6．【2018·广西梧州中考】如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ACB ＝∠DCE＝90°，连结 AD、BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G. 若 AC＝BC＝25，CE＝15，DC＝20，则EBGG的值为___34___.
8
7．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，F 是 BC 边上一动点，线段 DE 和 AF 相交于点 P，连结 PC，过点 A 作 AQ∥PC 交 PD 于 Q.求APQC的值.
解：连结 AC 交 DE 于点 K.∵AE∥DC，∴∠AEP＝∠CDP.又∠AKE＝∠CKD，
∴△
AKE ∽ △
15
(2)∵∠ADE＝∠CDA，∠DAE＝∠DCA，∴△DAE∽△DCA，∴AAEC＝DADE.∵DE ＝ EC， ∴ ACEE ＝ AADC ， ∴ ACEE22 ＝ AADC22 . ∵ ∠ DAC ＝ ∠ BAC ， ∠ ACD ＝ ∠ B， ∴ △ ACD∽ △ABC，∴AACB＝AADC，即 AC2＝AD·AB，∴ACEE22＝AADD·A2B＝AADB.
4
类型 2 求比值 4．如图，在矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点，BF⊥AC，垂足为 E，AADB＝12，
1 △CEF 的面积为 S1，△AEB 的面积为 S2，则SS12的值等于__1_6___.
5
▪ 5．如图，将△ABC沿BC平移得△DCE，连 2∶结1∶1AD，R是DE上的一点，且DR∶RE＝1∶2，
13
11．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在线段 CD 上，且∠ACD＝ ∠B＝∠BAE.
(1)求证：ABDC＝DACE； (2)当点 E 为 CD 中点时，求证：ACEE22＝AADB.
14
证明：(1)∵∠ACD＝∠B＝∠BAE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAE，∠AED＝∠ACD ＋∠CAE，∴∠AED＝∠BAC．∵∠DAE＝∠B，∴△AED∽△BAC，∴ABDC＝DA于点 H，过点 B 作 BP⊥GF 于点 P，则∠EHG＝ ∠BPG＝90°.又∵∠EGH＝∠BGP，∴△EHG∽△BPG，∴EBGG＝EBHP .∵CF⊥AD，∴ ∠DFC＝∠AFC＝90°，∴∠DFC＝∠CHE，∠AFC＝∠CPB．又∵∠ACB＝∠DCE ＝90°，∴∠CDF＝∠ECH，∠FAC＝∠PCB，∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP， ∴ECHF ＝DCEC＝34，CBFP＝BCCA＝1，∴EH＝34CF，BP＝CF，∴EBHP ＝34，∴EBGG＝34.
3
▪ 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF 垂直平分AD交BC的延长线于点F，连结AF. 若BC＝7，CF＝5，求DF的值.
解：∵EF 垂直平分 AD，∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＝∠B＋∠BAD， ∠DAF＝∠CAF＋∠CAD．又∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAF＝ ∠B．∵∠AFB＝∠BFA，∴△CAF∽△ABF，∴BAFF＝ACFF，∴7A＋F5＝A5F，∴AF＝2 15， ∴DF＝AF＝2 15.