2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布 理
高三第一轮复习 两点分布,二项分布及超几何分布
两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试 验“成功”的 概 率 均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝ ，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列； 第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤： 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值． 【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元 答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率． 【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立， 所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ． 答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164， 所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ． 二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05， 所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343， 所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。
10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
高中数学超几何分布知识点总结
高中数学超几何分布知识点总结:
超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件N产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则
P(X=k)=？，此时我们称随机变量X服从超几何分布。
高中数学二项分布知识点总结:
二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
高中数学离散型随机变量的方差知识点总结:
离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。
高中数学正态分布知识点总结:
正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:
平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
高中数学数学期望知识点总结:
数学期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望。
《二项分布与超几何分布》知识讲解
二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
高考数学总复习 基础知识 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布 理
高考数学总复习基础知识第十章第十节二项分布、超几何分布、正态分布理1、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用、2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题、3、利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、知识梳理一、独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验、二、二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1，…，n，q＝1－p、于是得到随机变量ξ的概率分布列为ξ01…k…nPCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，p叫成功概率、令k＝0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为P(ξ＝0)＝Cp0(1－p)n＝(1－p)n、令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ＝n)＝Cpn(1－p)0＝pn、,三、超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件“X＝k”发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列X012…mP…为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量X服从超几何分布、四、正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－，σ＞0，x∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e是自然对数的底，x是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差、正态分布一般记为N(μ，σ2)、五、正态曲线函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ(σ>0)为参数，其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线、标准正态曲线：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)其相应的曲线称为标准正态曲线、六、正态分布如果对于任何实数a<b，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布，参数μ表示随机变量X的均值，参数σ表示随机变量X的标准差，记作X～N(μ，σ2)，其中N(0,1)称为标准正态分布、正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布、标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位、七、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0、6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0、9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0、9974、八、3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则、正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0、0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想、九、几个重要分布的期望和方差1、若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－ p)、2、若X～B(n, p), 则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)、3、若X服从超几何分布P(X＝k)＝，则E(X)＝n, D(X)＝、基础自测1、(xx惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为()A、B、C、5D、3解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以2a－3与a＋2关于x＝3对称，所以2a－3＋a＋2＝6，所以3a＝7，所以a＝，故选A、答案：A2、正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则()A、P1＞P2B、P1＜P2C、P1＝P2D、不确定解析：根据正态曲线的特点知，关于x＝0对称，即在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等、故选C、答案：C3、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X的分布列为________________、解析：X服从超几何分布、答案：P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)4、从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：ξ012P__________________解析：由题意可知：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝、答案：1、(xx新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作、设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________、解析：(法一)设该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为P(A)、因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝、因为P()＝12P3＋3＝＋＝，所以P(A)＝1－P()＝、(法二)设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(A)、因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝、故P(A)＝P12P3＋1P2P3＋P1P2P3＝＋＋＝、答案：2、(xx辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答、(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题、设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立、用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望、解析：(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”、因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝、(2)X所有的可能取值为0,1,2,3、P(X＝0)＝C02＝；P(X＝1)＝C11＋C02＝；P(X＝2)＝C20＋C11＝；P(X＝3)＝C20＝、所以X的分布列为：X0123P所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝2、1、若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为 ( )A、32－2B、32－10C、2－4D、2－8解析：因ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝np＝6，D(ξ)＝n p(1－p)＝3，解得p＝，n＝12、∴P(ξ＝1)＝C12＝32－10、故选B、答案：B2、(xx江门一模)春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动、(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金、假设顾客每次抽奖中获得的概率都是，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？解析：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C种、所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)＝1－＝、(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m,3m,6m、(单元：元)ξ＝0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ＝0)＝3＝，同理，P(ξ＝m)＝C2＝，P(ξ＝3m)＝C12＝，P(ξ＝6m)＝C3＝，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)＝0＋m＋3m＋6m＝m、由m≤100，解得m≤75，所以故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利、。
二项分布与超几何分布-讲义(学生版)
二项分布与超几何分布一、课堂目标1．理解次独立重复试验的概念．2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．二、知识讲解1. 次独立重复实验与二项分布知识精讲（一）伯努利试验与重伯努利试验（或次独立重复实验）（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.（2）重伯努利试验（或次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验（或次独立重复实验）.（3）重伯努利试验具有如下两个特征：①同一个伯努利试验重复做次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；②各次试验的结果相互独立.（4）独立重复试验中事件发生次的概率①公式：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.②明确该公式中各量表示的意义：为重复试验的次数；是在一次试验中事件发生的概率；是一次试验中事件不发生的概率；是在次独立重复试验中事件发生的次数.（二）二项分布（1）二项分布的概念一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率，．此时，称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功的概率.（2）二项分布的分布列…………（3）二项分布的特点①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.（4）二项分布的数学期望与方差①若，则．②若，则．知识点睛独立重复试验与二项分布的判断（1）独立重复试验满足两个条件：①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.（2）二项分布满足四个条件：①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数.经典例题A. B. C.D.1.已知，且，，则等于（）．巩固练习2.已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望．3.已知随机变量服从二项分布，若，，则．经典例题4.盒中有大小相同的个红球，个白球，现从盒中任取球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取次．设表示连续摸取次中取得红球的次数，则，的数学期望．A.和 B.和C.和D.和5.在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为（）．巩固练习A.B.C.D.6.同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的数学方差是（ ）．7.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记分，没有击中记分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．经典例题（1）（2）8.年月日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：垃圾分类厨余垃圾可回收物有害垃圾其他垃圾垃圾种类辨识率辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．从社区调查的种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中辨识度高的垃圾种数，求的分布列和数学期望．巩固练习9.每年月日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取名，用“分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“很幸福”．幸福度（1）（2）求从这人中随机选取人，至少有人是“很幸福”的概率．以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“很幸福”的人数，求的分布列及．经典例题（1）（2）10.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）.将统计数据按，，，,分组，制成频率分布直方图：频率组距乘车等待时间（分钟）甲站频率组距（分钟）乘车等待时间乙站假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．巩固练习11.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）（2）频率组距月平均月电量度根据频率分布直方图的数据，求出的值并估计该市每户居民月平均用电量的值．现从该市所有居民中随机抽取户，其中月平均用电量介于的户数为，用频率估计概率，求的分布列及数学期望．2. 超几何分布知识精讲（1）定义一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，若其中恰有件次品，则，即其中，且.如果随机变量的分布列具有上表的形式，那么称随机变量服从超几何分布.（2）超几何分布的判断①若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽取到的次品件数.则该随机变量服从超几何分布.②一般地，设有件产品，其中次品和正品分别为件，从中任取件产品，用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数，则随机变量服从参数为的超几何分布，随机变量服从参数为的超几何分布.（3）超几何分布的数学期望和方差若离散型随机变量服从参数为，，的超几何分布，则；.知识点睛二项分布与超几何分布的区别：①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.经典例题A.B.C.D.12.口袋中有相同的黑色小球个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取个小球．表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）．，，，，巩固练习13.一袋中装有个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出个球，则摸到白球的个数的数学期望为 ．经典例题（1）（2）14.某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．求的分布列．求去执行任务的同学中有男有女的概率．巩固练习15.安康市某中学在月日举行元旦歌咏比赛，参赛的名选手得分的茎叶图如图所示．（1）（2）写出这名选手得分的众数和中位数．若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放元、元元的奖品，从该名选手中随机选取人，设这人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望．经典例题（1）（2）16.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数人数以这人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取个人，求恰好有个人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的概率．依据统计表，用分层抽样的方法从这个人中抽取个，再从抽取的个人中随机抽取个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于天”的人数，求的分布列及数学期望．巩固练习17.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在的脐橙是“普通果”，重量在的脐橙是“精品果”，重量在的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取个脐橙进行检测，其重量分别在，，，，，中，经统计得到如图所示频率分布直方图．（1）（2）频率/组距重量千克将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取个脐橙，求恰有个是“精品果”的概率．现从摘取的个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为，的脐橙中随机抽取个，再从这个抽取个，记随机变量表示重量在内的脐橙个数，求的分布列及数学期望．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A. B. C. D.18.某班有数学成绩优秀的学生数，则等于（）．（1）（2）19.年月日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满分者为“安全食堂”，评分分以下的为“待改革食堂”．评分在分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数现从所大学食堂中随机抽取个，求至多有个评分不低于分的概率．以这所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选个，记表示抽到评分不低于分的食堂个数，求的分布列及数学期望．（1）（2）20.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生人，女生人；文科班有男生人，女生人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取人，组成环境保护兴趣小组，再从这人的兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛．设事件为“选出的这个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率．用表示抽取的人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望．。
2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练：第10章 第10节 二项分布、超几何分布、正态分布]
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第十节 二项分布、超几何分布、正态分布1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14C ．50，34D ．50，14解析：由ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，所以p ＝14，n ＝60. 答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A.答案：A3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235B.1235C.335D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B. 答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123 D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 5解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－123.故选B.答案：B5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A 2m A 3n的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)解析：P (ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n. 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x 28()x ∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124－k ，得k ＝2.答案：28．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．解析：A 至少发生一次的概率为6581，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1－6581＝1681＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：139．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12， 则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p )2＝34. 答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．(2013·汕头一模改编)广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；解析：(1)记E (x )表示这50位市民幸福指数的数学期望，所以E (x )＝150(90×19＋60×21＋30×7＋0×3)＝63.6 (2)ξ的可能取值为0、1、2、3P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫153＝1125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫451⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152＝12125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫151＝48125， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫453⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150＝64125， ξ分布列为12．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。
4.2.3二项分布和超几何分布课件-高二上学期数学人教B版选择性
P(Y
0)
C20C83 C130
7 , P(Y 15
1)
C21C82 C130
7 , P(Y 15
2)
C22C81 C130
1. 15
Y的分布列为
Y
0
1
2
7
P
15
7 15
1 15
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
若N件产品中共有M件次品，当从这些产品中每次抽取一件，共抽取n次 进行检查时，
N
1 1
、M
N 1
与M
N
大小关系如何？由此可得二项分布和超
几何分布之间有什么联系？
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
当N相对于M很大时， M 1 与 M 都可以近似为 M ，那么不放回抽
N 1 N 1
N
样与放回抽样是差不多的，因此可以将①作为②的近似值，这样可以大大
节省计算量.所以当一批产品数量很大的时候，可以把取得某类样本的频率
①若是有放回地抽样，则抽取的次品数X服从的是二项分布.
P( X
k)
Cnk
(
M N
)k (1
M N
)nk (k
0,1, 2,..., M )
①
②若是不放回地抽样，且n≤N时，则抽到的次品数X服从的是超几何分布.
P( X
k)
C C nk k NM M CNn
(k
t,t 1,t
2,..., s)
②
学习目标
学习活动
学习总结
练一练
盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒子中随机抽取4个，设 取出的螺丝钉中有X个是好的，求X的分布列.
二项分布与超几何分布的区别
超几何分布与二项分布[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==（0,1,2,,k m = ）进行处理就可以了.二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A…………………………1分事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ)由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===.………………8分故X 的分布列为……………9分X 0123P3011032161(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=.……………13分2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。
它们在许多实际问题中都有着广泛的应用，理解和掌握这两种分布对于解决概率相关的问题至关重要。
一、二项分布1、定义二项分布是 n 个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布。
假设每次试验成功的概率为 p ，失败的概率则为 1 p 。
2、概率质量函数如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p) ，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。
3、期望和方差二项分布的期望 E(X) ＝ np ，方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。
4、应用场景例如，抛硬币多次，计算正面朝上的次数；进行多次独立的产品质量检测，计算合格产品的数量等。
二、超几何分布1、定义超几何分布描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数的概率分布。
2、概率质量函数设随机变量 X 服从参数为 N, M, n 的超几何分布，记为 X ～ H(N, M, n) ，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,，min{M, n} 。
3、期望和方差超几何分布的期望 E(X) ＝ n M ／ N ，方差 Var(X) ＝ n M ／ N（1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。
4、应用场景比如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，计算其中次品的数量；从一群学生中抽取若干人，计算其中男生的人数等。
三、二项分布与超几何分布的区别1、试验类型二项分布是独立重复试验，每次试验的结果只有成功和失败两种，且每次试验成功的概率相同。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。
它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。
理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。
二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
2、每次试验的成功概率 p 保持不变。
3、各次试验相互独立。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。
解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。
P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、总体分为两类。
2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。
3、抽样方式为不放回抽样。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。
二项分布与超几何分布区别
二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；80,150上的频率分布直方图;（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学体中任意抽取3个个体,成绩落在[]期望．分组频数频率[)80,90①②练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示（Ⅰ）从平均成绩与发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适? （Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列与数学期望E ξ。
例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ； （II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动甲 乙5 32 58 0 3 5 5 4 1 9 8 7 9次数恰好相等的概率；（III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．（要求：答案用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80]的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第十章 二项分布、超几何分布与正态分布
跟踪训练2 (2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、 亲近自然、寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的 普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿， 统计得到各家的房间数如下表：
民宿点
甲乙丙丁戊己庚辛
普通型民宿
16 8 12 14 13 18 9 20
对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙
三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理
这个问题. 其概率为 P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－1－1163＝4702916. 对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为 P2＝1－346－ C16·14×345－C26·142×344＝1－36＋6×43059＋615×34＝2304478，
第十章
§10.6 二项分布、超 几何分布与正态分布
课标要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项分布 (1)伯努利试验 只包含 两个 可能结果的试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立 地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 . (2)二项分布 若随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝Cknpkqn－k ，其中0＜p＜1，p＋q＝1， k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
设甲3次点球射进的次数为Y， 则 Y～B3，23， Y的可能取值为0,1,2,3，且X＝50Y， 则X的所有可能的取值为0,50,100,150. P(X＝0)＝P(Y＝0)＝1－233＝217， P(X＝50)＝P(Y＝1)＝C132311－232＝29，
高考数学知识点复习：二项分布与超几何分布 课件
2. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的 方向为向上或5向右，若向上、向右移动的概率都是12，则质点 P 移动五次后位于点(2,3) 的概率是___1_6____.
【解析】 因为质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位 于点(2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C35123·122＝C3512 5＝156.
答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答
对两道题的概率为( A )
112 A. 125
80 B. 125
113 C. 125
124 D. 125
【解析】 该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为 P＝453＋C2345215＝111225.
(1) 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的 值，再准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键 是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率．
2. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝__p_，D(X)＝______p_(_1_－__p_)______. (2) 若 X～B(n，p)，则 E(X)＝___n_p__，D(X)＝_______n_p_(_1_－__p_) _______.
3. 超几何分布
4. 在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，则 P(X＝2) 3
＝_____1_0_______.
【解析】 由题意，X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝3，n＝4，故 P(X＝2)＝CC23C14027 ＝130.
2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第10章 第10节 二项分布、超几何分布、正态分布
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比 值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中 有6人．
(3)ξ可取3,4,5，
则有P(ξ＝3)＝233＋313＝31， P(ξ＝4)＝C23×232×31×23＋C23×312×32×13＝1207， P(ξ＝5)＝C24×232×312×32＋C24132×232×31＝287， 因此ξ的分布列为：
依题意知，随机变量X服从超几何分布，且x＝0,1,2,3.则
P(X＝0)＝CC01231C8 36＝2504， P(X＝1)＝CC11231C8 26＝1658， P(X＝2)＝CC21231C8 16＝3638， P(X＝3)＝CC31231C8 06＝25054.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
5
15
33
55
P 204
68
68
204
数学期望E(X)＝0×2054＋1×1658＋2×3638＋3×25054＝2.
点评：对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公 式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个 体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.
变式探究
160＋140×32＝1135.
测”P(A)＝160＋140×23＝1135. (2)由题可知：X可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝CC34C31006＝310，P(X＝1)＝CC24C31061＝130， P(X＝2)＝CC14C31026＝21，P(X＝3)＝CC04C31036＝61.
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为51，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．331464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量, （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
17.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:22353(3)10373087*********3087.10000设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则YB(5,),从而P(Y=2)=C ()()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为超几何分布与二项分布特点(A)判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个Y 012P228240C C 112812240C C C ⋅ 212240C CA .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例1与例2中的EX=EY=二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( )2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫5824．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[,1)B ．(0,]C ．(0,]D ．[,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ＜0)＝( ) A ． B ．0.32 C ． D ． 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核 辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布 列，并求出均值E (X ).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁” 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．频率组距20 25 30 35 40 45 年11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
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第十节 二项分布、超几何分布、正态分布知识梳理一、独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p .为参数，p 叫成功概率．令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p )n＝(1－p )n.令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0＝p n.,三、超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *X 服从超几何分布．四、正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2)．1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.五、正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ(σ>0)为参数，其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．标准正态曲线：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f (x )＝12πe －x 22，x ∈(－∞，＋∞)其相应的曲线称为标准正态曲线．六、正态分布如果对于任何实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝baφμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布，参数μ表示随机变量X 的均值，参数σ表示随机变量X 的标准差，记作X ～N (μ，σ2)，其中N (0,1)称为标准正态分布．正态分布N (μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布． 标准正态总体N (0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位．七、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值) P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.八、3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0. 002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想．九、几个重要分布的期望和方差1．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－ p )． 2．若X ～B (n, p ), 则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．若X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ，则E (X )＝M N n, D (X )＝nM N ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N N －nN －1.基础自测1．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53 C ．5 D ．3解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)， 所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73，故选A.答案：A2．正态总体N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则( ) A ．P 1＞P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＝P 2 D ．不确定解析：根据正态曲线的特点知，关于x ＝0对称，即在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等．故选C.答案：C3．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为________________．解析：X 服从超几何分布．答案：P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 95C 3100(k ＝0,1,2,3)4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ解析：由题意可知：P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310.答案：110 35 3101．(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．解析：(法一)设该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A )＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38.(法二)设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 答案：382．(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫350×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×15＝4125；P (X ＝1)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫351×⎝ ⎛⎭⎪⎫251×15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×45＝28125；P (X ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351×⎝ ⎛⎭⎪⎫251×45＝57125；P (X ＝3)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×45＝36125.所以X所以E (X )＝0×4125＋1×125＋2×125＋3×125＝2.1．若 ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为 ( )A ．3×2－2B ．3×2－10C ．2－4D ．2－8解析：因ξ服从二项分布，所以E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝n p (1－p )＝3，解得p ＝12，n＝12.∴P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3×2－10.故选B.答案：B2．(2013·江门一模)春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金．假设顾客每次抽奖中获得的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？解析：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C 38种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种．所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P (A )＝1－C 36C 38＝914.(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m,3m,6m .(单元：元)ξ＝0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，同理，P (ξ＝m )＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝49，P (ξ＝3m )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (ξ＝6m )＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E (ξ)＝0×827＋m ×49＋3m ×29＋6m ×127＝43m .由43m ≤100，解得m ≤75，所以故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利．。