2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布 理

第十节 二项分布、超几何分布、正态分布

知识梳理

一、独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发

生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k

，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p .

为参数，p 叫成功概率．

令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p )

n

＝(1－p )n

.

令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0

＝p n

.,

三、超几何分布

在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生

的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －M

C n

N

，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

X 服从超几何分布．

四、正态分布密度函数

φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ2

2σ2

，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2

)．

1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

五、正态曲线

函数φ

μ，σ

(x )＝

1

2πσ

e －

x －μ

2

2σ

2

，x ∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ(σ>0)为参

数，其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

标准正态曲线：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示

式是f (x )＝12π

e －x 2

2，x ∈(－∞，＋∞)其相应的曲线称为标准正态曲线．

六、正态分布

如果对于任何实数a

b

a

φ

μ，σ

(x )d x ，则称X 的分布

为正态分布，参数μ表示随机变量X 的均值，参数σ表示随机变量X 的标准差，记作X ～N (μ，σ2)，其中N (0,1)称为标准正态分布．

正态分布N (μ，σ2

)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布． 标准正态总体N (0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位．

七、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值) P (μ－σ

八、3σ原则

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2

)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0. 002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想．

九、几个重要分布的期望和方差

1．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－ p )． 2．若X ～B (n, p ), 则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．

3．若X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ，则E (X )＝M N n, D (X )＝nM N ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N N －n

N －1

.

基础自测

1．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )

A.73

B.5

3 C ．5 D ．3

解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)， 所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，

所以3a ＝7，所以a ＝7

3

，故选A.

答案：A

2．正态总体N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则( ) A ．P 1＞P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＝P 2 D ．不确定

解析：根据正态曲线的特点知，关于x ＝0对称，即在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等．故选C.

答案：C

3．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为________________．

解析：X 服从超几何分布．

答案：P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 95

C 3100

(k ＝0,1,2,3)

4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ

解析：由题意可知：P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝3

10

.

答案：110 35 3

10

1．(2012·新课标全国卷)某

一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1

000,502

)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．

解析：(法一)设该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为P (A )．因为三个元件的使

用寿命均服从正态分布N (1 000,502

)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分

别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A )＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝5

8

，所以P (A )＝1－

P (A －)＝38

.

(法二)设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命