甘肃省民乐县高三数学9月诊断考试试题 理

甘肃省民乐县2018届高三数学9月诊断考试试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1．已知集合(){,|,,}xA x y y e x N y N ==∈∈， ()2{,|1,,}B x y y x x N y N ==-+∈∈，则A B ⋂=（ ）A. ()0,1B. {}0,1C. (){}0,1D. φ2．已知i 是虚数单位，若172ia bi i+=+-（a ， b R ∈），则ab =（ ） A. 15- B. 3 C. 15 D. 3- 3．下列四个命题: 其中正确命题的个数是（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件； ③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<.则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥； A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4．已知,x y 满足221{1 0x y x y y +≤+≥-≤，则z x y =-的取值范围是 （ ）A. -2,1⎡⎤⎣⎦B. []-1,1 C. -2,2⎡⎤⎣⎦ D. -1,2⎡⎤⎣⎦5．已知0>x ，0>y ，且xy y x =+4，则y x +的最小值为( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 166．设n S 等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ） A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A.43 B. 23 C. 83D. 4 8．曲线y ＝1＋24x +与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A. (0，125) B. (125，＋∞) C. (125，143] D. (31，43] 9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()2log 4.1b f =， ()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<10．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则在下列区间中使()y g x =是减函数的是（ ） A. ,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， D. ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =， 60PQF ∠=o，则该双曲线的离心率为（ ）B. 1+C. 2D. 4+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]3,5x ∈时， ()24f x x =--，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. cossin 66f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()()sin1cos1f f < C. 22cos sin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()sin2cos2f f <二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算20sin x dx π=⎰__________．14．已知平面内三个不共线的向量，，两两夹角相等，且1==，3=，则=++b __________．15．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为直角三角形，90,30PAC PCA ∠=︒∠=︒，平面PAC ⊥平面ABC .若3AB =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________．16．已知数列{}n a 满足()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅，且113a =，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 三、解答题（共70分）17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-. （1）求角B 的大小； （2）若4b =， ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长.18．已知数列{}n a 中， 15a =且1221(2nn n a a n -=+-≥且*)n N ∈.（1）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}1n a -的前n 项和n S .19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===，160B BC ∠=o .（1）证明: 1B C AB ⊥； （2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45o ，求1BEBB 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点13,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为3.（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点A ， B ，求AB 的最大值.21．设函数()ln mf x x x=+， m R ∈. (1)当m e = (e 为自然对数的底数)时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()()'3xg x f x =-的零点的个数；(3)若对任意0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答。

若多做，按第一题给分22．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为12{312x ty t==+ (t 为参数），曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，与y 轴交于点P . （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()11(,0)f x m n m n≥+>对任意x R ∈恒成立，求m n +的最小值。

2017—2018学年高三9月诊断考试试题数学(理) 参考答案1-12 CDBD BABC CDBA13. 4 14. 2 15. 15π 16.12n + 17．解析：（1）∵()()cos 2cos b A c a B π=+-， ∴()()cos 2cos b A c a B =+-，由正弦定理可得： ()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--， ∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=. 又角C 为ΔABC 内角， sin 0C >，∴1cos 2B =- 又()0,πB ∈，∴2π3B = （2）有Δ1sin 32ABC S ac B ==，得4ac = 又()222216b a c ac a c ac =++=+-=，∴25a c +=， 所以ΔABC 的周长为425+． 18．解析：（1）设1151,222n n n a b b --=== ()1111111121222n n n n n n n n n a a b b a a +++++--⎡⎤-=-=-+⎣⎦=()11121112n n ++⎡⎤-+=⎣⎦ 所以数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2公差是1的等差数列.（2）由（1）知，()11111,22n na a n --=+-⨯ ()121nn a n ∴=+⋅+① ②②-①，得.19解：(1)证明：在1BCB∆中，111,2,60BC BB B BC==∠=o，则22112212?cos603B C=+-⨯⨯=o，于是22211BC B C BB+=，故1B C BC⊥.所以AC⊥平面11BCC B，于是1AC B C⊥，又BC AC C⋂=，故1B C⊥平面ABC，所以1B C AB⊥.(2)如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C xyz-，则()()()()10,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1C B B A，由11BB CC=u u u r u u u u r，得()13,1,0C-，设()101BE BBλλ=≤≤u u u r u u u r，则()3,1,0Eλλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE ACλλ=--=--u u u r u u u u r，求得平面1AEC的一个法向量为()2,33,3nλλ=---r，取平面1EC C的一个法向量为()0,0,1m=r，又二面角1A EC C--为45o，则()()222·33cos45·410102313m nm nλλλλ===-+-+-+or rr r，解得12λ=或2λ=（舍），所以1BEBB的值为12.20．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知列式223114a b+=，2232a ba-=，可得椭圆方程. （Ⅱ）由直线l与圆22:1O x y+=相切，得211mk=+，即221m k=+，再由y kx m =+代入2214x y +=，联立结合韦达定理可得2222144114k m AB k k +-=++ 2243114kk k+=+利用均值不等式求最值即可.试题解析：（Ⅰ）由已知可得223114a b +=， 2232a b a -=，解得2a =， 1b =， 所以椭圆Γ的方程为2214x y +=．（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ： 221x y +=相切， 可知直线l 的方程为1x =±，易求3AB =.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆22:1O x y +=相切，得211m k =+，即221m k =+，将y kx m =+代入2214x y +=，整理得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122814kmx x k-+=+， 21224414m x x k -=+， ()222121212114AB k x x k x x x x =+-=++-2222222228161614141141414km m k m k k k k k --+-⎛⎫=+-=+ ⎪+++⎝⎭， 又因为221m k =+， 所以()2222223143121414k k kk AB k k +++=≤=++，当且仅当231k k =+，即22k =±时等号成立， 综上所述， AB 的最大值为2.21解析：(1)当m e =时， ()ln e f x x x =+，所以()221e x ef x x x x='-=-， ()11k f e ='=- ，切点坐标为()1,e 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()121e x y e --+-=(2)因为函数()(2133x m x g x f x x x -=--=()3103m x x x =-+>，设()(313h x x x =-+x =-，当()0,1x ∈时， ()0h x '>，此时()h x 在()0,1上为增函数；当()1,x ∈+∞时， ()0h x '<，此时()h x 在()1,+∞()x 1233+=， 令()0h x =，即13x -0或3=，由函数 当23m >时，函数)x 当23m =时，函数)x 当203m <<时，函数(h x ④当0m ≤时，函数y )x 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点； 当23m =或0m ≤当203m <<时，函数（3）对任意0,b a b a>>-()f a a -恒成立，设()()ln x f x x xϕ=-=+-(ϕ调递减，所以()211m x x x ϕ=-'-≤21124⎫-+⎪⎭在()0,+∞上恒成立，因为0,4x >-≤，所以14≥，当且仅当2=时，14m =， 所以实数22．解：（1))化为普通方程得310x y -+=，曲线C 的极坐标方程=22sin 4πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭可化为22sin 2cos ρρθρθ++，∴曲线C 的直角坐标方程是2222x y y x +=+， 即()()22112x y -+-=.（2）∵直线l 与曲线C 交于,A B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程12{ 312x ty t==+ (t 为参数)代入曲线C 的()()22112x y -+-=，得210t t --=， ∴12121,1t t t t +==-. 依据参数t的几何意义得()121212121211114t t t t t t PA PB t t t t -+=+==+-()21415=-⨯-=.23．（试题解析：（1）()13321{1(2) 233(2)x x f x x x x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭=+<≤->， Q ()3f x ≥ ∴12{ 213x x <≤+≥或2{ 333x x >-≥解得|0x ≤或2x ≥()3f x ≥的解集为{|0x x ≤或2}x ≥.（2）由图知()min 3113,22f x m n =∴+≤.32m n mn +∴≤， 即233222m n m n mn +⎛⎫+≤≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =时等号成立，,0m n >Q ，解得83m n +≥，当且仅当m n =时等号成立故m n的最小值为。