圆锥曲线中的易错题型剖析

圆锥曲线中的易错题型剖析
江苏省沛县中学 郭雯雯
我们在高三复习中，经常精选解法有误的题目让学生辨析，也经常故意设计解法的典型错误进行“错在哪里？”的训练．下面是圆锥曲线的错解辨析题组，从中可见其教法． 一．发下讲义，在讲义中精选了五个题目及解答． 例1.设一动点到点(1,0)F 和它到直线5x =的距离之比为33
，求动点的
轨迹方程．
解法1：由圆锥曲线的统一定义知，此动点的轨迹为椭圆，直线5x =是准线，(1,0)F 为焦点．故有2
5,a
c
=1c =,2222
5,4,a b a c ∴==-=从而所求
轨迹方程为
2
2
1.5
4
x
y
+
=
解法2：有题设条件知，所求轨迹为椭圆．
33
就是离心率e 的值．即
3,3
e =
又2
2
2
3,,1,3, 2.3
c c e c a b a c a
a
=
∴
=
=∴=
=-= 故所求轨迹方程为
2
2
1.3
2
x
y
+
=
例2.过点()0,B b -作椭圆222
2
1(0)
x y a b a
b
+
=>>的弦，求弦长的最大值．
解：设
()
,M x y 使椭圆上任一点，则弦
B M
长的平方为
()2
2
2
2
2
2
2.BM
x x b x y by b =++=+++由
222
2
1x y a
b
+
=，得()22
2
2
2
,a x b
y
b
=
-代入
上式得2222
2
2
222
222
12,10,a a b a BM
y by a b BM b b b ⎛⎫-=-+++-=<∴ ⎪⎝⎭
有最大
值．
2max
BM
()2
22224
42
2
2
2
241441a a b b
b a
a a b
c
a b ⎛⎫-+- ⎪⎝
⎭=
=
=
-⎛⎫- ⎪
⎝
⎭
()2
22
,c
a b
BM
=-∴
的最大值为
2
a
c
()22
.c a b
=
-
例3.过定点()2,0A 的直线与抛物线2
y x
=
交与不同的两点,M N ,求线段
M N
中点的轨迹方程．
解：由题意，列方程组
2
(2)
y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去y 得：220x kx k -+=
设(,)p x y 是轨迹上任意一点，,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则有
12
2
2
x x k x +=
=，即2k x =，
又p 在直线(2)y k x =-上，∴
2
24y x x
=-
故所求的轨迹方程为224y x x =- 例4.试求出过点()0,1A 且和抛物线24y x =仅有一个交点的直线方程？
解：设所求直线方程为1y kx =+
由题意有方程组21
4y kx y x
=+⎧⎨=⎩消去x 整理得2440ky y -+=
()2
41616(1)
k k ∆=--=-，令0∆=，则1k =
所以所求直线方程为1y x =+
例5.求底边和顶角大小均为定值的三角形的定点的轨迹． 解：设A B C 的底边2B C
a
=，顶角为α，以B C 所在边为x 轴，以B C 的
垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则(,0),(,0)B a C a -设(,)A x y 为轨迹上任意一点． （1）当0
90
α
=时，.1AB AC
K K =-
.1y
y
x a x a
∴
=-+-即得2
2
2
x y a +=所求的轨迹是以原点为圆心，以a 为半
径的圆． （2）当0
90
α
≠时，tan α存在，设tan m
α
=（定值）
tan ,1.AC AB AC AB
K K K K α-=
+
1.
y
y
x a x a m y y x a x a
-
-+∴=+-+，
整理得22221
()(1)a x y a m m
+-=+．
故所求轨迹是以(0,
)a m
为圆心，以2
11a m
+
为半径的圆．
二、针对所发讲义，引导学生进行错解辨析，总结所犯错误的原因和类型．
学生阅读讲义之后，教师提问：讲义上五个题目的解法中，哪些是正确的？哪些是错误的？错在哪里？然后让学生各抒己见，充分调动其积极性和创造性，最后由教师总结并概述错误类型．
讲义上五个题目的解法都是错误的．
例1中两种解法都不正确，错就错在对定义缺乏理解．从题意中并不知道椭圆的中心在原点，而圆锥曲线的统一定义是普遍适用的．所以不能从特殊方面去考虑．事实上，应由求轨迹方程的一般步骤，列出方程
22
(1)3|5|
3
x y x -+=
-，
化简得所求轨迹方程为
2
2
(1)112
8
x y
++
=．
例2解法中的错误在于忽视了自变量（即y ）的取值范围，机械地套用二次函数求极值的公式．事实上，2||BM 可整理为
23
4
2
2
2
2
2
2
2
||(1)()a b
a
BM y b
a b
a b
=-
-
+
--．
当3
2
2
b
y a b
=
-时，2
||BM 才能达到最大值3
2
2
b
a b -．但是y 的取值范围是b y b -≤≤，故y
不一定等于
3
2
2
b
a b -．令
3
2
2
b
b a b
≤-，则2a b
≥．所以
（1）当2a b ≥
，3
2
2
b
y a b
=
-时，2
max ||a
BM
c
=
；
（2）当02a b <<
，y b =时，m ax ||2BM b
=．
例3中的错误是没有考虑未知数的隐含限制条件．既然直线
(2)y k x =-与抛物线2
y x
=交于不同两点M 、N ，那么方程220
x kx k
-+=的判别式∆应该大于零．而题解中恰恰忽视了这一点，也就是忽视了
2
80k k ->，即8k >或0
k <这一隐含条件．事实上，
由8k >或0k <，而2
k x =
，得
4x >或0x <．
故所求的方程为224(4y x x x =->或0)x <．
例4中的错误在于忽视了对特殊情况的考虑．我们知道，直线和圆锥曲线相切时，只有一个交点，但对直线和抛物线来说，除掉相切
时只有一个交点，这时直线方程为1y =，另外，y 轴过点(0,1)A ，与抛物线也只有一个交点（相切）．但y 轴的斜率不存在，它的方程在例4的解法中是求不出来的，故所求的方程除1y x =+外，还有1y =和0x =．
例5的错误在于分类讨论不够详细．在解法中，当90
α≠
时，还
可以分为090
α
<<
和90180
α
<<
，此时t a n m α=就分别是正的和负
的．另外，A 点在x 轴上方和x 轴下方时所列出的方程是不同的，得到的轨迹也就是不同的．解法中也忽视了这一点．事实上，当90
α≠
时，应讨论如下：
A ）当A 点在x 轴上方时
tan 1y
y
x a x a
m y y x a x a
α-
-+==
+⋅
-+
化简得2
2
2
2
1()(1)(0)a x
y a y m
m
+-
=+
>；
B ）当A 点在x 轴下方时
tan 1y
y
x a x a m y y x a x a
α-
+-==
+⋅
+- 化简得22221
()(1)(0)a x y a y m m
++=+<
故当090
α
<<
时，所求轨迹是分别以(0,
)a m
，(0,)a m
-
为圆心，以2
11a m
+
为半径的，不包括端点B 、C 的两个优弧；当90180
α
<<
时，所求轨
迹与上述共轭的两个劣弧，不包括B 、C ．这样讨论过后，是否就完美了呢？（提问）学生很容易看出，当90
α=
，所得到的圆222
x y a
+
=也应除去端点B 、C ．
最后，教师引导学生总结所犯错误的类型如下：I）对定义缺乏深刻理解；
II）忽视了自变量的取值范围；
III）忽视了未知数的取值范围；
IV) 忽视了对特殊情况的考虑；
V）分类讨论不够详细，界限不清．。