圆锥曲线中的易错题型剖析
高中数学错题精选圆锥曲线部分
圆锥曲线易错点分析
圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，下面摘取一些常见的错误展示出来，希同学们在学习时要引起重视。
例1、双曲线x 29 - y 216 =1上有一点P 到左准线的距离为16
5,则P 到右焦点的距离为 。
错解：设F 1、F 2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x 29 - y 2
16
=1，易求得a=3,c=5,
从而离心率e ＝5
3 ,再由第二定义，易求|PF 1|=ed 1＝
161635=⨯，于是又由第一定义
6212==-a PF PF ，得|PF 2|=3
16
6±
。 剖析：以上出现两解的原因是考虑到P 而事实上P 若在右支上，则其到F 1的最短距离应为右顶点A 2到F 1的距离| A 2 F 1|＝a+c ＝8，而83
16
<，故点P 于是|PF 2|=3
343166=+
。 小结：一般地，若|PF 1| ≥ a+c,则P 可能在两支上，若|PF 1| < a+c,
则P 只能在一支上。 例2、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)离心率为3
2
，求双曲线的方程。
错解：由48,16:,8,2222
=∴===b a c c
a 得,于是可求得双曲线的方程为 148
162
2=-y x 。 点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心
率为3
2 。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们
把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此看来，判断准方程的类型是个关键。
圆锥曲线中易错点剖析
，
圆 锥 曲 线 是 平 面 解 析 几 何 的 重 点 内 容 ， 是 高 中 也
数 学 的重 点 内 容 ． 锥 曲线 问 题 往 往 涉 及 代 数 、 何 、 圆 几
三 角 等 相 关 知 识 ， 盖 面 广 、 合 性 较 强 、 法 灵 活 多 覆 综 解
于定 长 ｆ ＡＢｆ Ｊ（ — ３ 。 （ — ５ ￣１ ． — ４ ） ＋ ２ ）一 ／０
故动 点 ｃ的轨迹 方程 是 （ ｚ一 ４ （ ） ＋ 一 ２ １ ． ） 一 ０ 错 解 ２ 动 点 ｃ 的 轨 迹 方 程 是 一 ４ （ ） ＋ 一 ２ ） 一
ｌ ｘ： ３ 且 ｘｖ ） Ｏ（ Ｚ ￣ ￣５ ．
式 在 头脑 中产 生 的 思 维 定 式 ， 于非 标 准 形 式 的方 对
它 们 在坐标 系 中 的位置 ．
发 就 容 易 得 出 本 解 法 ， 常 规 的 由 弦 长 公 式 求 ａ 、 要 比 ６
简便 得多．
由义 三 定得
一 ，简 理 到 圆 专化 整 得 椭
（ 者 单 位 ： 北 蒙 中） 作 河
方 程 为 ３ ４ 一 ８ ＝０ 显 然 不 是 标 准 形 式 ． ｘ＋ ｚ＝ ． ＝
例 ２
Fra Baidu bibliotek
圆锥曲线问题常见错误剖析
圆锥曲线问题常见错误剖析
郭秋华
圆锥曲线是历届高考命题的热点，求解圆锥曲线问题时，同学们应注意避免以下常见错误。
一、概念不清
例1 已知圆1y x C 221=+：，圆09x 10y x C 222=+-+：都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解：圆C 2：09x 10y x 22=+-+，即为16y )5x (22=+-
所以圆C 2的圆心为O 2（5，0），半径r 2=4
而圆C 1：1y x 22=+的圆心为C 1（0，0），半径1r 1=
设所求动圆圆心M 的坐标为（x,y ），圆的半径为r ，则1|M O |r 1+=且4|M O |r 2+= 所以3|M O ||M O |21=-，即3y )5x (y x 2222=+--+
化简得064y 9x 80x 1622=+-- 即14
y 4
9)25x (22
=--为所求动圆圆心的轨迹方程。 剖析：上述解法将3||M O ||M O ||3|M O ||M O |2121=-=-看成，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这与题意不符。
事实上，3|M O ||M O |21=-表示动点M 到定点21O O 及的距离差为常数3 且35|O O |21>=，点M 的轨迹为双曲线右支，方程为：
)4x (14
y 4
9)25x (22≥=--
二、忽视隐含条件
例2 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3，求动点P 与定点)34
5(P 1，距离的最大值。 错解：设动点P （x ，y ）到直线x=8的距离为d ，则3
1d |PF |=，即31|8x |y )2x (22=-+-
圆锥曲线易错题辨析
Ａ． 直线 Ｂ． 抛 物线 ｃ ． 椭 圆 Ｄ． 圆 错解 ： 由抛物线 的定 义知 点 的轨迹 图
形 为抛 物线 － ． ． ． 选 Ｂ 错解 剖析 ： 易验证 Ａ在 直 线 ＋２ ｖ一３
＝
０ 上， 所 以 轨迹 为过 Ｏ且 与 已知直 线垂
， 一Ｙ ）・（ ３一 ，一 ）＝
２ ０ １ ３年 第 ４期
河 北理科 教 学研 究
短 文集锦
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２ 忽视 隐含条件
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轨迹方 程 ．
实 际上却 犯 了一个 错误 ． 由于是 选择 题 ， 放 松 了警 惕 ， 否则 运 算 后 可 以发 现 问题 的核 心 所 在： 点 Ｆ（ ０ ， １ ） 在 直线 Ｚ ： ＝ｌ 上， 而 圆锥 曲 线 的统 一 定 义 中 ， 要 求 焦 点 不 在 对 应 的 准
高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结
一.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习：
1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10
21=+PF PF D ．122
2
2
1=+PF PF
2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
3.已知点)0,22(Q 及抛物线4
x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
[圆锥曲线的易错类型题剖析] 圆锥曲线点差法
![[圆锥曲线的易错类型题剖析] 圆锥曲线点差法](https://img.taocdn.com/s3/m/8b7ee0909b6648d7c0c746a7.png)
[圆锥曲线的易错类型题剖析] 圆锥曲线点差
法
圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点.圆锥曲线题目涉及的知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误.下面以双曲线为例将最常见的错误解法举例说明，并进行错因剖析.
一、在涉及直线与圆锥曲线位置关系时，忽略联立后所得方程的判别式的情况.
1.中点弦问题使用“点差法”不注意直线存在的条件.
例1：已知双曲线x-=1，问过点A（1，1）是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由.
错解：设符合题意的直线l存在，并设P（x，y），Q（x，y），
x-=1x-=1？圯（x-x）（x+x）=（y-y）（y+y）.
由A（1，1）为PQ的中点，∴x+x=2，y+y=2，∴直线l的斜率k==2，
∴符合条件的l直线存在，其方程为：2x-y-1=0.
错解分析：以上解法中忽略了直线的存在性，故必须结合
题意进行验证.
正解：在上述解题的基础上，由y=2x-1x-=1得2x-
4x+3=0，再由Δ=-80，b>0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，直线y=kx+m（k≠0，
m≠0）与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m的取值范围.
错解：由已知，有e=1+==
解之得：a=3，b=1
所以双曲线方程为-y=1.
把直线y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：（1-3k）x-
6kmx-3m-3=0
由题意得△=m+1-3k>0（1）
圆锥曲线问题的三个易错点
圆锥曲线问题的三个易错点
解决圆锥曲线的有关问题是高考的重要内容之一，在平时的学习中只有加深对概念、公式和方法的理解，才能自觉地辨析正误，增强了防错的能力，提高解题的效率.现举例供大
家参考.
易错点一：忽视定义中的隐含条件致误
例1.已知动点(,)P x y
满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）.
A.直线
B.抛物线
C.双曲线
D.椭圆
错解辨析：
由已知条件|3411|x y =+-
可得15=表示(,)P x y 到定点为（1,2）的距离等于到直线3411x y +-＝0的距离，故表示抛物线，选B.
策略：以上解法利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上，故正确选项应为A.我们在利用圆锥曲线的统一定义解题时，一定要避免忽视定义中的隐含条件致误.
易错点二：忽视直线存在性的检验致误
例2.已知双曲线2
2
12y x -=,过(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？
错解辨析：设能作直线l 满足条件，设A （11y x ，），B （22y x ，），则有22
11
12y x -=，22
2212y x -=，化简得()212121212y y x x x x y y ++=--，P AB 的中点为 （1，1）222121=+=+∴y y x x ，，，得1212
2AB y y k x x -==-，直线l 的方程为12(1)y x -=-，即存在直线l ，其方程为12-=x y .以上解法忽视了对直线l 的存在性的检验，把直线12-=x y 代入双曲线方程中得03422=+-x x ，其判别式()032442
圆锥曲线易错点剖析
圆锥曲线易错点剖析
圆锥曲线是几何学中的基本解析形式，属于曲线与曲面的统一体。它具有极其优美的几何外观，在工程设计中有着广泛的应用。由于圆锥曲线的特殊性，其中有许多易错点，必须避免出现绘制错误的情况。
首先，圆锥曲线的定义非常抽象，要求两个圆锥曲面在中心由固定半径的圆连接，其轨迹就是圆锥曲线。但是，由于圆锥曲线在多维空间中的存在，需要满足多个条件才能定义出它，而在定义过程中很容易出错，造成后续计算错误。
其次，圆锥曲线的绘制也会存在一些问题。绘制圆锥曲线的起点和终点是正确设置的关键，如果这一步出错，那么整个图形将会出现偏离，无法精确绘制。另外，圆锥曲线的宽度也是需要仔细核算的，它们是取决于人们选择的圆锥曲面半径大小，只有精确计算，才能正确绘制出曲线。
最后，圆锥曲线的空间复杂性是一个需要注意的问题。由于圆锥曲线体积的大小取决于圆锥曲面半径的大小，因此在多维空间中的面积会有很大的变化，而这些变量计算起来会非常麻烦，如果没有做好充分的准备工作，很容易出现空间复杂度的错误。
要正确绘制出圆锥曲线，就必须注意以上几点。首先，在定义圆锥曲线时，要慎重核算每一步，以防出现定义错误的情况；其次，在绘制圆锥曲线时，要注意起点和终点的设置，以及曲线的宽度；最后，在考虑圆锥曲线空间复杂性时，一定要充分准备，以避免出现计算错误的情况。只有做到这几点，才能正确绘制出圆锥曲线。
易错点10 圆锥曲线(解析版)
易错点10 圆锥曲线
易错点1：椭圆及其方程
1、焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道
,,a b c 之间的大小关系和等量关系：
2、椭圆的几何性质
3、直线与椭圆的位置关系
（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况
（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
4、求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。 易错点2：双曲线及其方程
1、焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道
,,a b c 之间的大小关系和等量关系：
2、双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；
3、直线与双曲线的位置关系
（3）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；
（4）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
易错点3：抛物线及其方程 1、主观认为抛物线的顶点就是原点;
2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论; 3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标; 4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论; 5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题 必记结论
直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：
（1）y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
圆锥曲线题常见错解类型及剖析
圆锥曲线题常见错解类型及剖析
圆锥曲线是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。解析几何解题中由于审题不严，考虑不周，忽视甚至挖掘不出题目的隐含条件，常会使解题感觉困难或产生错 误。下面对圆锥曲线题常见错解类型作剖析，以引起注意。
一、概念不清
例1 已知圆2211C x y +=：，圆2221090C x y x +-+=：都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解：圆C 2：221090x y x +-+=，即为22(5)16x y -+=
而圆C 1：221x y +=的圆心为C 1（0，0），半径11r =
设所求动圆圆心M 的坐标为（x,y ），圆的半径为r ，则1||1r O M =+且2||4r O M =+ 所以12||3O M O M -=
3
化简得2216809640x x y --+=。即225()2194
4
x y --=为所求动圆圆心的轨迹方程。 剖析：上述解法将1212|||3||||||3O M O M O M O M -=-=看成，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这与题意不符。 事实上，12||3O M O M -=表示动点M 到定点12O O 及的距离差为常数3
且12|53O O =>，点M 的轨迹为双曲线右支，方程为：225()21(4)94
4
x y x --=≥ 二、盲目运用圆锥曲线定义致错
例2、双曲线22
1169
x y -=上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(5,0-)的距离_______。
错解：设双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F -,由双曲线定义知128PF PF -= 所以1216.50.5PF PF ==或，故点P 到点(5,0-)的距离为16.5或0.5.
圆锥曲线＂易错题＂归类剖析
警示 ： 平 面 内 与 一 个 定 点 Ｆ 和 一 条 定 直
线 （ Ｆ
） 的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 叫 作 抛 物
值 问题 ， 用 圆或椭 圆 的参数 方 程 ， 点 参 式 代 入
构 建 目标 函 数 ， 利用 ＿ 二 角 变 换 化 为 角 函 数
线 。当 定 点 在 定 直 线 上 时 ， 轨 迹 为 过 定 点 Ｆ 与 定 直 线 ｚ垂 直 的 一 条 直 线 ． 而非 抛物线 。 双 曲线 的定 义 中 易 忽 视 ２ ａ＜ ｌ Ｆ． Ｆ Ｉ 这
不存 在 ； 若去 掉定 义 中的绝 对 值 ， 则 轨 迹 仅 表
示 双 曲线 的一 支 。 易错 类 型 ２ — — 忽 略 椭 圆 或 双 曲 线 焦 点
倒
已知点 Ｍ（ 一２ ， ０ ） ， Ｎ（ ２ ， ０ ） ， 动
， 记 动 点
点 Ｐ 满 足条件 Ｉ Ｐ Ｍ ｌ 一 ｛ Ｐ， 、 ， ｌ ＝ ＝ ＝ ２
鬯鬯壁
鳘 薹 兰 三 萋 要 鐾
——…
杨 薇
圆 锥 曲 线 ‘ ‘ ｌ 易错题’ ’归 类 剖 析
■ 甘 肃 省 礼 县 第 一 中 学
在 圆锥 Ｆ 忖 １ 线 的 学 习 巾 ， 同 学 们 由 于 未 从 根本 上 理 解 曲 线 与方 程 之 间 的 一 一 对 应 关 系 ． 故 而 在 数 形 结 合 与 转 化 时 常 出 现 偏 差 和 漏解
圆锥曲线易错题小结
圆锥曲线易错题小结
1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+b
y
a x 。
∵（2，1）在直线上，∴11
2=+b
a ， ①
又4ab 2
1
＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法
中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是2
1
ab 。
故所求直线方程应为：
x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
2 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k
2
，
0），
∴512
4=--
-k
，解得k = -51。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂
直于x 轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 3 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解：设所求方程为1=+a
y
a x ，将（1，1）代入得a = 2，
从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。
剖析：上述错解所设方程为1=+a
y
a x ，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事
圆锥曲线易错题归类分析
≠ ． ・ ． 旦 ＝ ２ 于 是 直线 Ｚ 的 方 程 为ｙ － １ ＝ ２ （ 一 １ ） ， 即
ｙ＝ ２ ｘ－１
０ ） ， 则 有
≥ ｃ ３ 撤得 ， 解 之 得 ｛ ． ＿ － ： ． ・ ． …标 椭 圆 的 标 准
。
【 剖析】 初看起来 ， 似乎没有错误。其实用“ 点差 法” 并不能保证直线 与双曲线有两个交点Ｊ ｐ Ｉ ， Ｐ ’ 。将 ｖ ＝ ２ ｘ 一 １ 代人 ２ 一 ＝ ｌ ￣２ ｘ ： 一 ４ ｘ ＋ ３ ＝ ０ ， 其根的判别式△ ＝
Ａ． 椭 圆 Ｂ ． 圆
６ ： 一 ｃ
・ ．
．
Ｃ ． 直 线 Ｄ ． 线 段 【 错解 】 根据椭 圆的定义 ， 的轨迹为椭 圆， 故 选』 ４ 。 【 剖析 】 在椭 圆的定义 中， 点 到两定 点 、 的 距离之和必须 大于两定点的距离 ， Ｉ ＭＦ ￣ Ｉ ＋ ＭＦ Ｉ ２ １ ＞ Ｉ Ｉ ， 亦Ｉ ￣ Ｐ ２ ａ ＞ ２ ｃ ． 而本题 中Ｉ ＭＦ ｊ Ｉ ＋ Ｉ ＭＦ ￣ Ｉ ＝ ｌ Ｉ ， 所 以， 点 的 轨迹 不 为 椭 圆 ， 而 是 线 段 。 【 解】 因为 点懈 ０ 两定 点 ， Ｉ 、 的距 离 之 和 为 ｌ ｌ ， 所 以点 的轨迹是线段 ， 故选Ｄ。
二、 对 范 围 的判 断 不 准 确
圆锥曲线问题常见错误归类剖析
圆锥曲线问题常见错误归类剖析
■湖南省道县第一中学陈珠
在圆锥曲线的学习中,同学们由于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系,故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏,在繁杂的运算中,忽视等价性,导致“失根”或“增根“的现象。本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示,希望引起同学们的高度重视。
一、忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错
例1已知动点P(x,y)满足则P点的轨迹是()。
A.直线
B.抛物线
C.双曲线
D.椭圆
错解:将4y-11|变形为即动点P(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y-11=0的距离,利用抛物线的定义,得点P(x,y)的轨迹是抛物线。故选B。
剖析:错解中忽略了定点(1,2)就在直线3x+4y-11=0上这个隐含条件,应选A。
警示:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线。双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a＞|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。
二、忽略椭圆标准方程中的隐含条件a2≠b2
致错
例2 直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则m 的取值范围是____。
错解:因为直线y-kx-1=0 过定点(0,1),根据椭圆方程可知m＞0,所以椭圆与y 轴正半轴的交点为若直线与椭圆恒有公共点,只要点(0,1)在椭圆内部或椭圆上即可,所以解得m≥1。
高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结
一.圆锥曲线的两个定义
：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，
且此常数
2a 一定要大于21F F ，当常数等于
21F F 时，轨迹是线段
12
，当常数小于
21F F 时，无轨迹；
双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数
2a ，且此常数2a 一定要小于
12
，定义中的
“绝对值”与
2a ＜12不可忽视。若2a ＝12，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥12，则
轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线
是相应的焦点和准线
，且“点点距为分子、点线距为分母
”，其商即是离心率
e 。圆锥曲线的第二定义，
给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相
互转化。练习：
1.已知定点)0,3(),0,3(21F F ，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）；
A ．4
2
1PF PF B ．6
2
1PF PF C ．10
2
1PF PF D ．12
2
2
2
1
PF PF 2.方程
2
2
2
2
(6)(6)
8x y x y
表示的曲线是（答：双曲线的左支）
3.已知点)0,22
(Q 及抛物线4
2
x
y
上一动点P （）,则的最小值是（答：2）
二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）
：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时
12
22
2b
y a
x （0a b ）
2023届高考数学复习专题 圆锥曲线易错题辨析
2023届高考数学复习专题 ★★
圆锥曲线易错题辨析
圆锥曲线是解析几何的重要内容，这部分内容的特点是综合性强。这类试题几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角与直线等内容，体现了它对各种能力的要求。它要求同学们有较高的计算能力，但很多同学基础知识掌握欠佳，运算能力差，做这部分试题时经常出现错误。下面举例说明，希望引起同学们的重视。
1、 忽视前提条件
例1：已知动点P 到点F （0,1）的距离是到直线l ：y=1距离的2倍，则点P 的轨迹为（ ）
A 、直线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
错解：设d 表示点P 到直线l 的距离，由已知条件得离心率21PF e d
=
=>，故点P 的轨迹为双曲线，选C 错解分析：上述解法看上去“天衣无缝”，实际上却犯了一个错误。可能因为是选择题，同学们解题时放松了警惕，若认真分析题意就发现问题的核心所在：点
F （0,1）在直线:y 1l =上，而圆锥曲线的统一定义中，焦点不会在对应的准线上。 正解：P 点的轨迹是过F （0,1）且和直线y 1=夹角为6
π的两条直线
1y x =±+，故选A 。 2、
忽视隐含条件 例2：已知2226x y x +=，求22x y +的取值范围。
错解：由已知得2262y x x =-，故22226(3)9x y x x x +=-+=--+
当3x =时，22x y +有最大值9，即22x y +的取值范围是(,9]-∞
错解分析：题中条件包含两个意思：一是2262y x x =-，即2y 可以用x 的代数式表示；二是22620y x x =-≥，即03x ≤≤，这个条件往往被忽略，产生错解。
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圆锥曲线中的易错题型剖析
江苏省沛县中学 郭雯雯
我们在高三复习中，经常精选解法有误的题目让学生辨析，也经常故意设计解法的典型错误进行“错在哪里？”的训练．下面是圆锥曲线的错解辨析题组，从中可见其教法． 一．发下讲义，在讲义中精选了五个题目及解答． 例1.设一动点到点(1,0)F 和它到直线5x =的距离之比为33
，求动点的
轨迹方程．
解法1：由圆锥曲线的统一定义知，此动点的轨迹为椭圆，直线5x =是准线，(1,0)F 为焦点．故有2
5,a
c
=1c =,2222
5,4,a b a c ∴==-=从而所求
轨迹方程为
2
2
1.5
4
x
y
+
=
解法2：有题设条件知，所求轨迹为椭圆．
33
就是离心率e 的值．即
3,3
e =
又2
2
2
3,,1,3, 2.3
c c e c a b a c a
a
=
∴
=
=∴=
=-= 故所求轨迹方程为
2
2
1.3
2
x
y
+
=
例2.过点()0,B b -作椭圆222
2
1(0)
x y a b a
b
+
=>>的弦，求弦长的最大值．
解：设
()
,M x y 使椭圆上任一点，则弦
B M
长的平方为
()2
2
2
2
2
2
2.BM
x x b x y by b =++=+++由
222
2
1x y a
b
+
=，得()22
2
2
2
,a x b
y
b
=
-代入
上式得2222
2
2
222
222
12,10,a a b a BM
y by a b BM b b b ⎛⎫-=-+++-=<∴ ⎪⎝⎭
有最大
值．
2max
BM
()2
22224
42
2
2
2
241441a a b b
b a
a a b
c
a b ⎛⎫-+- ⎪⎝
⎭=
=
=
-⎛⎫- ⎪
⎝
⎭
()2
22
,c
a b
BM
=-∴
的最大值为
2
a
c
()22
.c a b
=
-
例3.过定点()2,0A 的直线与抛物线2
y x
=
交与不同的两点,M N ,求线段
M N
中点的轨迹方程．
解：由题意，列方程组
2
(2)
y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去y 得：220x kx k -+=
设(,)p x y 是轨迹上任意一点，,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则有
12
2
2
x x k x +=
=，即2k x =，
又p 在直线(2)y k x =-上，∴
2
24y x x
=-
故所求的轨迹方程为224y x x =- 例4.试求出过点()0,1A 且和抛物线24y x =仅有一个交点的直线方程？
解：设所求直线方程为1y kx =+
由题意有方程组21
4y kx y x
=+⎧⎨=⎩消去x 整理得2440ky y -+=
()2
41616(1)
k k ∆=--=-，令0∆=，则1k =
所以所求直线方程为1y x =+
例5.求底边和顶角大小均为定值的三角形的定点的轨迹． 解：设A B C 的底边2B C
a
=，顶角为α，以B C 所在边为x 轴，以B C 的
垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则(,0),(,0)B a C a -设(,)A x y 为轨迹上任意一点． （1）当0
90
α
=时，.1AB AC
K K =-
.1y
y
x a x a
∴
=-+-即得2
2
2
x y a +=所求的轨迹是以原点为圆心，以a 为半
径的圆． （2）当0
90
α
≠时，tan α存在，设tan m
α
=（定值）
tan ,1.AC AB AC AB
K K K K α-=
+
1.
y
y
x a x a m y y x a x a
-
-+∴=+-+，
整理得22221
()(1)a x y a m m
+-=+．
故所求轨迹是以(0,
)a m
为圆心，以2
11a m
+
为半径的圆．
二、针对所发讲义，引导学生进行错解辨析，总结所犯错误的原因和类型．
学生阅读讲义之后，教师提问：讲义上五个题目的解法中，哪些是正确的？哪些是错误的？错在哪里？然后让学生各抒己见，充分调动其积极性和创造性，最后由教师总结并概述错误类型．
讲义上五个题目的解法都是错误的．
例1中两种解法都不正确，错就错在对定义缺乏理解．从题意中并不知道椭圆的中心在原点，而圆锥曲线的统一定义是普遍适用的．所以不能从特殊方面去考虑．事实上，应由求轨迹方程的一般步骤，列出方程