6历届高等数学竞赛真题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析
x −1= y +1= z .
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x −1 = y +1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0)
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姓名：
为 L0 上的点. ………………………………………………………………. （12 分)
G JJJG G JJJG
对圆柱面上任意一点 S(x, y, z) ， 有 | n ×GP0S | = | n ×GP0O | ， 即
分)
专业：
年级： 线
封
所在院校：
得分 评阅人
∫ ∑ 五、（10 分）设 an =
π
2t
sin nt
3
dt ，
0 sin t
∞
证明
1发
a n=1 n
散.
∫ ∫ ∫ 解：
π
2t
sin nt
3
dt
=
0 sin t
π
nt
sin nt
3
dt
+
0 sin t
π
2 π
t
n
sin nt sin t
3
dt
=
I1
+ I2
0，且 f , g 有公共特征向量.
证 明 ： 假 设 λ0 是 f 的 特 征 值 ， W 是 相 应 的 特 征 子 空 间 ， 即
W = {η ∈V | f (η) = λ0η} .于是，W 在 f 下是不变的. …………………………（1 分)
下面先证明， λ0 =0.任取非零η ∈W ，记 m 为使得η, g(η), g 2 (η),", g m (η) 线性相关的 最小的非负整数，于是，当 0 ≤ i ≤ m −1 时，η, g(η), g 2 (η),", gi (η) 线性无关…..（2 分)
大连市第3-6届高等数学竞赛试题
大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。
3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。
5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。
7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。
大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。
2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。
3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。
4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。
6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。
7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。
因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
在故知在2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'''+'--=''= 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因xenx x x x x e nx x x x nn e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故nxn e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lime n n n e n ne e e e nx x x x 21212lim 20+=+++=+++=→)x2202000200x x x x x x x x →→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxy x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=-y x e ex y d d )(sin sin ⎰⎰+=-200sin sin 2d 2d )(πππππ=≥+=⎰⎰-x x e e x x即 2sin sin 25d d π⎰≥--L yy x yey xe 五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则x xe ey y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x xx x e xe e e xe e e xe +-++-++=x即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ， 得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.∑∑====11)()(n n n n x u x S 则x e x S e x x S n e x e xx S x n xn n x n xn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111即xe x S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x xC e x S x ⎰-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n nx u的和)1ln()(x e x S x --=八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故t 1ln22-及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
1
1 2 4 2 3 1 5 16
2 (12t t )dt 2 t t t
令t 1u ，则u 1t2 ，du 2tdt ，u2 12t2 t4 ，u(1u) t2 (1t)(1t) ，
0
(*) 2 (12t2 t4 )dt
1
2
d y
则 2 ________________.
dx
f (y ) y
x
解方程xe e ln 29 的两边对 求导，得
y
(x y ) ln(1 ) u ln u u ln v
1x y
坐标轴所围成三角形区域.
0 1
解令 ，则 ， ，
x y u,x v x v,y u v dxdy det dudv dudv
1 1
2 ．设f (x) 是连续函数，且满足f (x) 3x 2 f (x)dx 2 , 则f (x) ____________.
0
处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ，即曲面z y 2 平行平面
2
2x 2y z 0 的切平面方程是2x 2y z 1 0 。
4 ．设函数y y (x) 由方程 f (y ) y 确定，其中 具有二阶导数，且 ，
xe e ln 29 f f 1
处的法向量为(z (x , y ), z (x , y ),1) ，故(z (x , y ), z (x , y ),1) 与(2,2,1) 平行，
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0
D x dxdy D dudv
1x y 1u
1 u ln u u u u
4 2 10
解得A 。因此f (x) 3x 。
(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档
而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算yx y xx yy xDd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v xu yx,，则v uyv x,，v u vu yx d d d d 1110detd d ，102d 1u uu（*）令ut1，则21t u dt 2d t u，42221ttu，)1)(1()1(2t t t u u ，2．设)(x f 是连续函数，且满足2022d )(3)(xx f xx f ,则)(x f ____________.解:令20d )(x x f A，则23)(2Axx f ，A Ax A xA24)2(28d )23(202,解得34A。
因此3103)(2xx f 。
3．曲面2222yxz 平行平面022z y x 的切平面方程是__________.解:因平面022z y x 的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000y x z y x z y x 与)1,2,2(平行，因此，由xz x，yz y 2知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ，即1,200y x ，又5)1,2(),(00z y x z ，于是曲面022zyx在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zy x ，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122z yx。
4．设函数)(x y y由方程29ln )(yy f e xe 确定，其中f 具有二阶导数，且1f ，则22d d xy ________________.解:方程29ln )(yy f e xe 的两边对x 求导，得因)(29ln y f yxee ，故yyy f x)(1，即))(1(1y f x y，因此二、（5分）求极限xenxxxx neee)(lim 20，其中n 是给定的正整数.解:因故因此三、（15分）设函数)(x f 连续，10d )()(t xt f x g ，且A xx f x )(lim，A 为常数，求)(x g 并讨论)(x g 在0x 处的连续性.解:由A x x f x)(lim和函数)(x f 连续知，)(lim lim )(lim )0(000xx f x x f f x x x 因10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10f t fg ，因此，当0x 时，x u u f xx g 0d )(1)(，故当0x时，xx f uu f xx g x )(d )(1)(02，这表明)(x g 在0x 处连续.四、（15分）已知平面区域},0|),{(yxy x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）LxyLxyx yey xexyeyxe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d Lyy xyeyxe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）yx yeyxexxyey xe DxyLxyd d )()(d d sin sin sin sin 而D 关于x 和y 是对称的，即知因此（2）因故由知即2sin sin 25d d Lyyxyey xe五、（10分）已知xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则xxeey y 212和xey y 13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0cyyb y的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyb y的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111x f y y y 和xxxexeey 212，xxxe xe e y 2142知，1112)(y y y x f )(2)2(42222xxxxxxx x e xee exeeexe二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bxaxyln 22过原点.当10x 时,0y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bxaxyln 22过原点，故1c，于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(a a aa V ，得即因此45a,23b,1c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1ne xx u x u xn n n ,且ne u n )1(,求函数项级数1)(n n x u 之和.解xn n n exx u x u 1)()(，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nCe u nen 知，0C ，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0x，得CS )0(0，因此级数1)(n n x u 的和八、（10分）求1x时,与2n nx等价的无穷大量.解令2)(tx t f ，则因当10x，(0,)t时，2()2ln 0tf t tx x，故xt text f 1ln22)(在(0,)上严格单调减。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。
自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。
竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。
每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。
二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。
试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。
三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。
2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。
3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。
4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。
四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。
竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。
五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。
竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。
通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。
六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。
参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。
随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。
最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)
目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
大学数学比赛试题及答案
大学数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = x^2 + 2x + 1 \)C. \( y = \ln(x) \)D. \( y = \sin(x) \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极大值点是：A. \( x = -1 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)答案：B3. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. 4C. -2D. -4答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 圆的方程 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 中，半径 \( r \) 为 5，则圆的面积是 ________。
答案：78.546. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是 ________。
答案：27. 矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。
答案：\( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)8. 给定函数 \( g(x) = 2x^2 - 5x + 3 \)，其在 \( x = 2 \) 处的导数值是 ________。
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115历届高等数学竞赛真题一、极限1、n n n n n !2lim ⋅∞→2、)2cos 2cos 2(cos lim 2nn xx x ⋅⋅∞→3、)sin ln arctan(lim x x x x ⋅-+∞→ 4、520)sin(limxdt xt x x ⎰→5、 1101lim21arctantt t tete tπ→+- 6、0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →-- 7、))1()1(1221111(lim 22222--+-++-++-+∞→n n n n n n8、设10tan(tan )sin(sin )tan (sin )lim 0a a x x x b z x x -→⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦，且0b ≠，求常数,a b 9、设)(1lim )(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，求a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.10、n →∞a 为常数。
11、()()200cos 2lim tan 1x tx x e tdt x x x →----⎰ 12、∑=∞→++n k n k n kn 12lim13、设0,0>>b a ，求xx x x ba b a 1110)(lim ++++→ 14、⎰+∞→n n dx xn1)11ln(1lim15、x e e x x x 3sin )1()1sin(lim 4sin 0---+→ 16、)1221212(lim 21nn n n nnnnn ++++++∞→ 17、0)1(lim 33=---∞→b ax x x ，求b a ,18、设)(x f 在12=x 邻域内可导，0)(lim 12=→x f x ，998)(lim /12=→x f x ，求1163121212)12(])([limx dtdu u f t x tx -⎰⎰→19、设b a <<0，求ttx dx x a bx 1100))]1([(lim ⎰-+→20、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠≠+-++=122,1)2)(1()(4x x x x x b ax x x f 在1=x 处连续，求b a ,21、设n n n x x x x x ⋅===++1221,2,1，求n n x ∞→lim22、xx x x )21(lim 1+∞→ 23、 n n n n1)!(1lim ∞→24、设0)()1(lim 3210≠=++-+→d xcx bx a x xx ，求d c b a ,,, 25、设01>x ，nnn x x a x ++=+11，求n n x ∞→lim26、nnn nn n n ln )ln ln (lim -+∞→ 27、))ln(11(lim 3234234xe x x x x x x x x x x +⋅+++-+++++∞→ 28、已知数列{}n x ，满足1lim()0n n n x x +→∞-=，证明：lim0nn x n→∞=29、已知10=x ，13014x x =+，41312+=x x ，…，4131+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根 二、导数和微分1、求x x y +-=11的n 阶导数2、11arccos 22+-=x x y ，求/y3、)1()1)(1)(1(2842nx x x x y ++++= ，求1/|=x y1174、设x y y x arctan ln22=+，当0,1==y x 时，求dxdy5、设dt t y x x ⎰=sec csc 2arctan ，求dxdy6、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⎰⎰--t t u duu y du e x 02140)1(2，求22,dx y d dx dy 7、)(x f 和)(x g 互为连续的反函数，32)0(,1)0(/-==g f ，求)1(/g 8、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且0)()(==b f a f ，证明 （1）存在),(b a ∈ξ，使0)()(/=+ξξξf f （2）存在),(b a ∈η，使0)()(/=+ηηηf f9、设函数)(x f 在),0[+∞上可导，且21)(0xxx f +≤≤，证明存在0>ξ，使222/)1(1)(ξξξ+-=f10、求点（0，4）到抛物线102x y =的最短距离11、设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π上可导，证明至少存在一点),0(πξ∈使得ξξξcot )()(/⋅-=f f12、设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →13、设()f x 在()1,1-内有()0f x ''<，且0()sin lim2x f x xx→-=，证明在()1,1-内有()3f x x ≤.11814、试问：方程22(3)x e x x -=-总共有几个实根.15、()[])1()(lim lim --=-+∞→∞→x f x f ax a x x x x ，则=a 。
16、设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞→xyx lim 。
17、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==； （4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-. 18、设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=19、设()1tan1x f x arc x-=+，求()0nf 。
20、已知函数()f x 在[]0,1上三阶可导，且()01f =-，()10f =，()00f '=，试证至少存在一点()0,1ξ∈，使()()()22113!x x f x x f ξ-'''=-++，()0,1x ∈21、已知)x (f 在],[20上二次连续可微,01=)(f ,证明M )x (f 3120≤⎰其中],[x m a x M 20∈=)x (f ''.22、求证方程0=++x cos q p x 有且只有一个实数根,其中常数q ,p 满足10<<q .23、设a 为实数，⎪⎩⎪⎨⎧≤>-⋅-=10111cos )1(1)(x x x x x f a，在1=x 处可导，求a 的范围24、设nnm n dxx d x f )1()(-=，n m ,是正整数，求)1(f 25、设x xx f tan )(1997=，求)0()1997(f11926、求方程2ax e x =有几个实根 27、设xx x x y +=，求/y三、积分 1、⎰230)arcsin(cos πdx x 2、⎰+)1(28x x dx3、⎰-+a x a x dx22 （0>a ） 4、dx x x x ⎰+-212)1sin()11(5、⎰++dx d cx b ax n)()(（1,0,-≠≠c b a ）6、dx xx ⎰sec7、dx x x f x aa)1()11(12+-⎰ 8、dx xe x xx x ⎰++)1(cos 1sin 9、dx x x x ⎰++--42)3ln()9ln()9ln( 10、0ln(sin )x x dx π⎰11、⎰--eee e dx x x x ||ln ||ln ln ln 12、2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰13、⎰+dx xx 66cos sin 114、⎰-422|9|dx x x 15、dx x x e x ⎰+103)(215、⎰+dx xx x cos sin )4cos(π16、dx xx x x ⎰+π4sin 1|cos sin | 17、dx x x ⎰∞+++022)1)(1(118、)(/x f 连续，求dx x xf x f ⎰+)]()([/19、设)(x f y =，且⎰+=y dt t x 02411，证明0433=-dx dydx y d12020、当b a ,满足什么条件时，dx x x bax x ⎰++++)1()1(222（1）无反正切函数（2）无对数函数 21、设)(x f 为连续函数，且⎰+=b atdt t x f x g cos )()(，求)(/x g22、求证⎰<+-<10326421πx x dx 23、设⎰+=101)(21)(x f dt tx f ，求)(x f 24、设)(x f 为连续函数，证明dx x b a f dx x b x a f )sin (2)sin cos (202222⎰⎰-+=+πππ25设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =.⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？26、设函数()f x 在[]0,1连续且非负，证明01max ()n x f x ≤≤=.27、设D 是曲线22y x x =-与x 轴围成的平面图形，直线1y x =<把D 分成1D 和2D 两部分，若1D 的面积1S 与2D 的面积2S 之比1217S S ===，求平面图形1D 的周长以及1D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 28、设1shx shy ⋅=，计算积分ydx +∞⎰.29、以yoz 坐标上的平面曲线段()y f z =（0z h ≤≤）绕z 轴旋转所构成的旋转曲面和xoy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为316()cm π，如果以33(/)cm s 的速度把水注入容器内，水表面的面积的2(/)cm s π增大，试求曲线()y f x =的方程. 30、设0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有2()sec 2sin 3sin (1)sin n n du x x x x n x dx ⋅=++++ . 31、设2)1arcsin()(-='x x f 及0)0(=f ，求⎰1)(dx x f .12132、求曲线xxey -=（0≥x ）绕x 轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积33、设函数)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，在0=x 可导，且0)0(≠'f . （1）求证：) ,0(a x ∈∀，)1 ,0(∈θ，等式)] () ( [ )( )( 0x f x f x dt t f dt t f xx θθ--=+⎰⎰-成立.（2）求极限θ+→0lim x .34、设][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数），求极限⎰+∞→xx dx x f x 0)(1lim35、求c ，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >36、设函数)(x f 在b x a ≤≤上连续，且0)(>x f ，设dt t f dt t f x g x bx a⎰⎰+=1)(1)()( （1）2)(/≥x g （2）)(x g 在],[b a 内恰有一根37、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求dx x f ⎰π|)(|.38、设x y x y =-2)(，求⎰-dx y x 3139、设)(x f 在],[ππ-上连续，且⎰-++=ππxdx x f x xx f sin )(cos 1)(2，求)(x f40、设⎰20sin ln πxdx 41、⎰+=11)(21)(x f dx ax f ，求)(x f 42、设函数)(x f 满足1)1(=f ，且对1≥x 时，有)(1)(22x f x x f +='，证明： （1）)(lim x f x ∞→存在，（2）4π1)(lim +≤∞→x f x 。