6.图论
6图论PPT课件
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条 链，称为连通图。否则称为不连通图。
• 连通分图(分图) 若G是不连通图，则它的每个连通的部 分称为连通分图。
v4
e3
v1
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
v5
e7
v6
如左图就是个不 连通图，它是由 两个连通分图构 成的。
• 支撑子图
给定一个图G=(V,E)，如果图G’=(V’,E’)，使 V’=V及E’E，则称G’是G的一个支撑子图。
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
在上,(图 v3,a3,中 v2,a5,v4,a6,v5,a8,v3)是一个回路 (v1,a2,v3,a4,v4,a7,v6)是从 v1到v6的路。也是一。 条初
• 简单有向图 • 多重有向图
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
C1 根
C2
C3
C4
叶
二、性质
定理1 设图G=(V,E) 是一个树，p(G)≥2，
则G中至少有两个悬挂点。
证明 反证法 设(v1,v2,,vk )为G中边数最多的一条链。 当n 2时,即p(G) 2时, 命题成立. 当p(G) 2时, 设v1不是悬挂点,即d(v1) 2, 则存在vs , 使得(vs ,v1)为G中的一条边. 若vs在上述链中,则G含圈,与条件矛盾; 若vs不在上述链中,则存在链(vs ,v1,v2,,vk ),与假设矛盾. 所以v1为悬挂点。同理，vs也是悬挂点。
v3
图论讲义第6章-图的着色问题
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ ] 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
数学与数学家的故事
数学与数学家的故事1. 引言数学是一门古老而神奇的学科，它被广泛认为是科学中最纯粹、最精确的一部分。
数学的发展与众多杰出的数学家们密不可分。
本文将带您探索数学与数学家之间的故事，揭示数学家们的贡献和成就。
2. 古代数学的奠基者——毕达哥拉斯与欧几里得古希腊时期，毕达哥拉斯学派为数学的发展奠定了基础。
毕达哥拉斯提出了诸多数学理论和定理，其中最为著名的莫过于毕达哥拉斯定理。
他的贡献为几何学的建立铺平了道路。
而欧几里得则在《几何原本》中系统总结了他所了解的几何理论，为后世的数学家提供了重要的参考。
3. 牛顿与莱布尼茨的微积分之争在数学史上，牛顿与莱布尼茨素有“微积分之父”的美称。
然而，两人的微积分发展过程中却爆发了一场激烈的争论。
牛顿主张通过“法则”来解决问题，而莱布尼茨则提出了“极限”概念。
最终，微积分的发展离不开两位数学家的共同努力，无论是“牛顿的法则”还是“莱布尼茨的极限”，都为后世的数学家提供了宝贵的工具。
4. 黎曼与初等函数的拓展黎曼是19世纪最重要的数学家之一，他为数学家们拓展了初等函数的概念。
在黎曼的基础上，数学家们发展出了复数、复变函数等重要领域的研究方法。
黎曼不仅在数学理论上取得了突破，还为实际应用提供了诸多工具，为科学技术的进步做出了杰出的贡献。
5. 庞加莱与拓扑学的开创庞加莱是20世纪初最为杰出的数学家之一，他的研究领域主要集中在拓扑学上。
他引入了拓扑学的基本概念，从而奠定了拓扑学的基础。
庞加莱还通过对三体问题的研究，提出了著名的“庞加莱猜想”，这个猜想成为数学领域中一个重要的挑战，直到现在仍未得到解决。
6. 图论与哈密顿的贡献图论是数学中一门重要的分支，而哈密顿则是图论的奠基者之一。
哈密顿提出了著名的“哈密顿图”概念，证明了对于任意的n，都存在哈密顿图。
此外，哈密顿还对三色问题进行了深入的研究，为图论的发展做出了重要贡献。
7. 丘奇与计算机科学的诞生丘奇是20世纪最具影响力的数学家和逻辑学家之一，他的工作对于现代计算机科学的发展起到了关键作用。
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
图论第6章
面的连通平面图，则有
n – m + ф =2
（1.2）
证明 对ф 用归纳法。
当ф =1时 ，G 无圈又连通，从而是树，有
于是
n =m+1 n -m+ф =（m+1）- m + 1= 2
设 ф = k 时，（1.2）式成立。
9
当 ф = k+1 时，此时 G 至少两个面，从而有 圈 C。删去 C 中一条边，记所得之图为 G ’ 。并 设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 ф ’, 易知 G ’ 仍连通，但只有 k 个面，由归纳假设有
(1.7）
证明 只需在定理4的证明中将所有不等号改为等号即可得 (1.7)式。
例3 在右图所示的图中， m=12，n = 8，l = 4
有 12×(4-2) = 4×(8-2)， 满足（1.7）式。
例4 证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。
16
证明 若 K5 是可平面图，则因 K5 是至少三个点的简单图， 由推论1，K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10， n = 5，代
例1
=
平面图
可平面图
3
不可平面图
=
可平面图
不可平面图
4
= 可平面图
= 可平面图
5
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平 面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界 称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。 每个平面图有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一 个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称 为 f 的次数，记为 deg(f )。
y1
y2
y3
但如果在 x3 与y1 之间也要修一条铁路，则 可验证满足要求的方案不存在。
《图论》第6章-图的着色
6.1 色数
[定理6-1-1] k-临界图 G=(V, E), =min{deg(vi)|viV}, 则
k-1。
[证明]反证法：设 G 是一个 k-临界图且 <k-1。又设v0V， deg(v0)= 。由 k-临界图的定义，Gv0 是 (k1)可着色的， 在一种 k1着色方案下，Gv0 的顶点可按照颜色划分 成 V1,V2, …, Vk-1 共 k1块，块 Vi 中的顶点被涂以颜色 ci。由于deg(v0)< k1，v0 至少与其中一块 Vj 不邻接即与 Vj 中的任何顶点不邻接。此时可将 v0 涂以颜色 cj，
12
第十二页，编辑于星期六：八点 一分。
6.1 色数
[五色定理] (1890, Heaword) 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]设简单平面图 G=(V, E)，对 n=|V| 作归纳。
n 5时容易讨论结论成立。
设 n = k1时，结论成立。 当 n = k 时，由[定理5-1-8]简单平面图 G 至少有一个顶点的度 小于6。故可设 v0V，deg(v0) 5。设 G=Gv0，由归纳假设
何顶点的度不小于 k-1。又 G 为 k 色图，其中至少有 k 个顶点。
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第九页，编辑于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期六：八点 一分。
6.1 色数
[推论2] 对 G=(V, E)， =max{deg(vi)|viV}，有 (G) +1。
[证明] 设 (G)=k，由推论1，有 vV，使得 deg(v) k-1
又： deg(v) 故： k-1 或 (G)-1 即： (G) +1
图所示。
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第十三页，编辑于星期六：八点 一分。
2020年csp-j信息学竞赛普及组试题
2020年csp-j信息学竞赛普及组试题2020年CSP-J（信息学竞赛普及组）试题涵盖了计算机科学与编程的多个方面，旨在测试参赛者在算法设计、数据结构、编程语言等方面的能力。
以下是一些可能的题目类型和示例题目：1. 算法设计题：- 题目描述：给定一个序列，找出序列中最长的连续子序列，使得该子序列中所有元素的和不超过给定的数值K。
- 要求：编写一个函数，输入为序列和数值K，输出为最长子序列的长度。
2. 数据结构应用题：- 题目描述：实现一个队列，支持以下操作：入队、出队、查看队首元素、判断队列是否为空。
- 要求：使用数组或链表实现队列，并提供相应的操作函数。
3. 编程语言特性题：- 题目描述：使用C++编写一个程序，实现字符串的反转。
- 要求：编写一个函数，接受一个字符串参数，返回其反转后的字符串。
4. 数学问题编程题：- 题目描述：计算一个数的阶乘，但要求使用递归方法实现。
- 要求：编写一个递归函数，输入为一个正整数，输出为其阶乘的结果。
5. 搜索与排序算法题：- 题目描述：给定一个未排序的整数数组，找到数组中第k大的元素。
- 要求：使用快速排序算法的思想，找到第k大的元素，无需完全排序整个数组。
6. 图论问题题：- 题目描述：在一个无向图中，找到从顶点A到顶点B的最短路径。
- 要求：使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法实现，并输出最短路径的长度。
7. 动态规划题：- 题目描述：给定一个整数序列，找到子序列的最大和，子序列中的元素可以不连续。
- 要求：使用动态规划方法解决该问题，并给出算法的时间复杂度分析。
8. 贪心算法题：- 题目描述：给定一系列活动，每个活动有开始和结束时间，请你打印出最大数量的不重叠活动。
- 要求：使用贪心算法选择活动，确保选择的活动数量最多。
9. 字符串处理题：- 题目描述：实现一个函数，用于检测一个字符串是否是另一个字符串的子串。
- 要求：考虑时间复杂度，实现高效的子串检测算法。
运筹学-第六章 图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
图论第6章-平面图
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
图论的名词解释
图论的名词解释图论是数学中的一个重要分支，研究从图的角度描述和解决问题的理论和方法。
图论的基本概念和名词非常重要，它们是理解和应用图论的关键。
本文将从不同的角度解释图论中的一些重要名词。
1. 图（Graph）图是图论的核心概念，它由节点和边组成。
节点代表对象或事件，边代表节点之间的联系或关系。
图可以分为有向图和无向图。
无向图的边没有方向，表示节点之间的无序关系；有向图的边有方向，表示节点之间的有序关系。
图在各个领域都有广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、交通规划等。
2. 节点（Vertex）节点是图中的基本元素，也称为顶点。
节点可以代表具体对象，如人物、城市、物品等，也可以代表抽象概念，如事件、状态、因素等。
在图中，节点用符号来表示，通常是用数字、字母或图形等表示。
3. 边（Edge）边是连接节点的线段或箭头，表示节点之间的关联关系。
边可以有权重，用于表示边的强度、距离或费用等。
边的类型包括直接边和间接边。
直接边直接连接两个节点，间接边通过其他节点连接两个节点。
边的属性是图论中的重要概念，它可以用来分析网络的特征和性质。
4. 路径（Path）路径是指从一个节点到另一个节点的一组边的序列。
路径可以是有向图中的有向路径，也可以是无向图中的无向路径。
路径的长度用边的数量来表示，路径的权重用边的权重之和来表示。
寻找最短路径和最优路径是图论中的重要问题，有助于解决一些实际的路径规划和优化问题。
5. 连通图（Connected Graph）连通图是指无向图中任意两个节点之间都存在路径的图。
连通图中不存在孤立节点，所有节点都可以通过路径相互连通。
连通图可以进一步分为强连通图和弱连通图。
强连通图是有向图中任意两个节点都存在有向路径的图，弱连通图通过去掉图中所有边的方向得到。
连通图的连通性是图论中的核心概念，与网络传播、信息传递等问题密切相关。
6. 图的度数（Degree）图的度数是指节点的边的数量，也称为节点的度。
图论 第6章 树和割集
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
离散数学第6章 图论
New York
San Francisco
Denver
Chicago
Washington
Los Angeles
50
(2) 完全无向图
定义 设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中任意 节点都与其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶完全 无向图, 记为Kn.
K1 K4
K2 K5
K3
|
E(Kn)
成子图记为G – F.
G[a, b, c]? a v1
v2
v2
b
a b
v1
f g
e G {a,b, c}? v1
d v5 v2
f g
e d v5
v3 c v4
v3 c v4
v3
v4
63
2. 图的运算
定义
(1)并
G1 (V1, E1 ),G2 (V2 , E2 ). G1 G2 . V1∪V2 E1∪E2
|
n(n 2
1) .
51
(3) 补图 定义 设G = (V, E)是n阶简单无向图,由G的所有节
点以及由能使G成为Kn需要添加的边构成的图称 为G的补图, 记为 G.
(u和v在G中不邻接 u和v在 G中邻接)
定义 设 G (V , E) 为 n 阶简单图,从完全图 Kn 中 删去 G 中的所有边而得到的图称为 G 的补图，记为 G .
所有边都是无向边的图称为无向图, 所有边都是有向边的图称
为有向图.
46
(c) 我们讨论的图不但与节点位置无关, 而且与边的形状和长 短也无关.
有n个节点的图称为n阶图, 有n个节点m条边的图称为(n, m)图.
在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为, 若 V 但 E = 的图称为零图, n 阶零图可记为Nn, 仅一个节点的零图称为平凡图.
十大经典数学模型
十大经典数学模型十大经典数学模型是指在数学领域中具有重要意义和广泛应用的数学模型。
这些模型涵盖了不同的数学分支和应用领域，包括统计学、微积分、线性代数等。
下面将介绍十大经典数学模型。
1. 线性回归模型线性回归模型用于描述两个变量之间的线性关系。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来拟合一条直线，并用该直线来预测未知的观测值。
线性回归模型在统计学和经济学等领域有广泛应用。
2. 概率模型概率模型用于描述随机事件发生的可能性。
它通过定义事件的概率分布来描述事件之间的关系，包括离散型和连续型概率分布。
概率模型在统计学、金融学、生物学等领域中被广泛应用。
3. 微分方程模型微分方程模型用于描述物理系统、生物系统和工程系统中的变化过程。
它通过描述系统中各个变量之间的关系来解释系统的动态行为。
微分方程模型在物理学、生物学、经济学等领域中具有重要应用。
4. 矩阵模型矩阵模型用于表示线性关系和变换。
它通过矩阵和向量的乘法来描述线性变换，并用于解决线性方程组和特征值问题。
矩阵模型在线性代数、网络分析、图像处理等领域中广泛应用。
5. 图论模型图论模型用于描述物体之间的关系和连接方式。
它通过节点和边的组合来表示图形，并用于解决最短路径、网络流和图着色等问题。
图论模型在计算机科学、电信网络等领域中有广泛应用。
6. 最优化模型最优化模型用于寻找最佳解决方案。
它通过定义目标函数和约束条件来描述问题，并通过优化算法来找到使目标函数最优的变量取值。
最优化模型在运筹学、经济学、工程优化等领域中被广泛应用。
7. 离散事件模型离散事件模型用于描述在离散时间点上发生的事件和状态变化。
它通过定义事件的发生规则和状态转移规则来模拟系统的动态行为。
离散事件模型在排队论、供应链管理等领域中有重要应用。
8. 数理统计模型数理统计模型用于从样本数据中推断总体特征和进行决策。
它通过概率分布和统计推断方法来描述数据的分布和抽样误差，包括参数估计和假设检验等方法。
6.图论基本概念(new)
a c
1 3
两个图同构的必要条件: 1.结点个数相等. 2.边 数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的 结点的度数相等.
a b e 3 1 4 b a f e 1 2 3 5 4 6
c
d
5
2
八. 完全图 定义:G是个简单图, 如果每对不同结点之间都有边相连 则称G是个无向完全图. 如果G有n个结点, 则记作Kn.
K2 K3
K4
K5
定理4 完全图Kn, 有边数 1 n(n 1) 2 证明: 因为Kn中每个结点都与其余n-1个结点关联, 即每 个结点的度均为n-1, 所以Kn的所有结点度数总和为 n(n-1), 设边数为|E|, 于是n(n-1)=2|E| 所以|E|= 1 n(n 1) 2
vi
…... v
i+1
vs-1 v = v s t
vt+1
…..
vj-1
vj
从图看出,此路中有一个从vs到vt的回路, 此回路中,有t-s 条边( t-s>1), 如果删去这个回路, 就得到一条vi到vj更 短的路.如果新的路长度还大于n-1, 说明此路中还有回路, 再删去回路, 如此进行下去. 最后必可找到长度小于n-1 的路.
v∈V1 v∈V2
v∈V2
所以 ∑d(v) v∈V
1
也是偶数, 于是奇数度的结点数是偶数.
六. k-正则图:一个无向简单图G中,如果Δ(G)=δ(G)=k 则称G为k-正则图. 课堂练习: 1.下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列? 如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图? a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5) 2.已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点 的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么?
图论第6章 平面图
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
图论教案
第六章图论(Graph Theory)◎知识目标：掌握图的方法与原理；图的基本概念；最小树、最短路、最大流的概念、计算与应用；了解中国邮路问题与解法。
◎能力目标：通过学习，使学生掌握图的方法与原理，提高分析问题和解决问题的能力。
◎本章重点：最小树、最短路、最大流的计算与应用◎本章难点：最短路的应用、最大流的计算引例：哥尼斯堡七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是哥尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Preg el的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
图论第六章
B
A E B F A E C A F C D
D B
D
C
E
3
Graph Theory
Proposition 6.1.2: K5 and K3,3 cannot be drawn without crossings
– It is a polygonal u, v-curve when it starts at u and ends at v.
A drawing of a graph G is a function f defined on V(G)∪E(G) that assigns each vertex v a point f(v) in the plane and assigns each edge with endpoints u, v a polygonal f(u), f(v)-curve.
12
Graph Theory
Theorem6.1.14 continued
If D is the edge set of a cycle in G,
– then the corresponding edge set D* E(G*) contains all dual edges joining faces inside D to faces outside D. – Thus D* contains an edge cut.
Proposition 6.1.13: If l(Fi) denotes the length of face Fi in a plane graph G, then 2e(G)= l(Fi).
第六章 图论
第六章图论§8.1 图论发展史第一阶段：瑞士数学家欧拉（E. Euler）在1736年发表了一篇题为“依据几何位置的解题方法”的论文，有效地解决了哥尼斯城堡“七桥难题”，从此开创了图论的历史新纪元；所谓“七桥难题”是指：18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河，河上有七座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛，如图8-1所示：一个游者怎样才能一次连续走过这七座桥而每座桥只走一次，回到原出发点；没有人想出这种走法，又无法说明走法不存在。
欧拉将这个问题归结为如图8-2 所示的问题。
他用A,B,C,D四点表示河的两岸和小岛，用两点间的连线表示桥。
七桥问题变为：从A,B,C,D任意点出发，能否通过每条边一次且仅一次，再回到原点？欧拉证明了这样的走法不存在，并给出了这类问题的一般结论。
图8-1 图8-2第二阶段：1847年，数学家基尔霍夫（Kirchhoff）运用图论解决了电路理论中的求解联立方程的问题，他引入了“树”的概念，可惜由于他的思想超出了时代的发展而长期未被重视；到1857年，英国数学家凯莱（Cayley）又从化学的角度进一步扩展了“树”的概念，从此图论又有了新的发展。
第三阶段：1857年，英国数学家哈密尔顿（Hamilton）发明了一种游戏，他用一个实心正12面体象征地球，正12面体的20个顶点分别表示世界上20座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次且仅一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。
要在图中找一条经过每个点一次且仅一次的路，能成为哈密尔顿回路。
第四个阶段：20世纪以后，随着计算机的不断发展，图论也有了突飞猛进的进展，广泛应用于各科领域：如物理、化学、信息论，博弈论，计算机网络，等等；目前图论已经发展成完整的一个数学分支，并且越来越多的数学爱好者倾向于研究图论。
§8.2 图与网络的基本概念一、图与网络的基本概念1、图的相关概念及其分类引例：在一次聚会中有五位代表其中与，与，与，与，与是朋友，则我们可以用一个带有五个顶点、五条边的图形来表示这五位代表之间的朋友关系（图8-3）：图8-3定义1、设是一个非空有限集合，是与不相交的有限集合，一个图是指一个有序二元组，其中称为图的顶点集，称为的边集；，.如引例中五位代表之间的朋友关系可以用图来表示，，，其中：，，，，.定义2、两个端点重合的边称为环；两点之间多于一条边的，称为多重边；不含有环和多重边的图称为简单图。
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支撑树的求解方法
• 破圈法
例 用破圈法求解图的一个支撑树
v2 e1 v1 e2 v3 这就得到了该图的一个支撑树。 e3
e4
v4 e5
e8 e7 v5
e6
• 避圈法
v3
e1 v1 e2 e3
e4
v5
e8 e7 e9 v6
e5
v2
e6
v4
这就得到了该图的一个支撑树。
四、最小支撑树
1. 定义
定义1 给图G=(V,E) ，对G中的每一条边[vi,vj]，相应地有一个 数wij，则称这样的图G为赋权图，wij称为边[vi,vj]上的权。 定义2 如果T=(V,E’) 是G的一个支撑树，称E’中所有边的权之和为 支撑树T的权，记为w(T)，即 w(T ) w ij
6
1
v5
2 6
(0,0) v1
1
2 (v ,3) 6 1 3 v3 2 v4 (v1,1) 10 4
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条 链，称为连通图。否则称为不连通图。 • 连通分图(分图) 若G是不连通图，则它的每个连通的部 分称为连通分图。
v4 e3 v1 e2 e4 e7 v2
e5
v3
e6
e1
如左图就是个不 连通图，它是由 两个连通分图构 成的。
v5
v6
• 支撑子图 给定一个图G=(V,E)，如果图G’=(V’,E’)，使 V’=V及E’E，则称G’是G的一个支撑子图。 v4 v1 v4 (G) (G’)
再证充分性。只要证 中不含圈。用数学归纳 G 法。 当p(G ) 1,2时，结论显然成立。 设p(G ) n（n 2 ）时，结论也成立。 则当p(G ) n 1时，G必有悬挂点。 否则，对每个点 i , 有d (v i ) 2, 从而有 v 1 q(G ) 2
p(G ) i 1
二、性质
定理1 设图G=(V,E) 是一个树，p(G)≥2， 则G中至少有两个悬挂点。 证明 反证法
设(v1 , v 2 , , v k )为G中边数最多的一条链。 当n 2时, 即p(G ) 2时, 命题成立. 当p(G ) 2时, 设v1不是悬挂点 即d (v1 ) 2, , 则存在v s , 使得(v s , v1 )为G中的一条边. 若v s 在上述链中 则G含圈, 与条件矛盾 , ; 若v s不在上述链中则存在链(v s , v1 , v 2 , , v k ), 与假设矛盾 , . 所以v1为悬挂点。同理， s 也是悬挂点。 v
e7 v4
e5 v3 e6
e3
e2 e4
v1
e1 v2
• 环 若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。如 e7 • 多重边 若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。如 e1,e2 • 简单图 一个无环，无多重边的图。
• 多重图 一个无环、但允许有多重边的图。
e7 v4
e5 v3 e6
a3
a2 a4
v1
a1 v2
e3
e6 e4 e2
v1
e1 v2
• 边 两点之间不带箭头的联线。 v4 如 e3 • 弧 两点之间带箭头的联线。 e3 v1
如 a3
• 端点及关联边
v4
a3
v1
若边e =[u,v]∈E，则称u,v 为e的端点， 也称u,v是相邻的，称e是点u(及点v) 的关联边。
如：v1,v4为e3的端 点，v1,v4是相邻的， e3 是v1（v4 ）的关 联边。
d (v ) p(G ), 这与q(G ) p(G ) 1矛盾。
i
设v1 是G的一个悬挂点，则图 v1也是连通的。 G 由于q(G v1 ) q(G ) 1 p(G ) 2 p(G v1 ) 1, 因此由归纳假设知 v1不含圈，于是 也不含圈。 G G
第一节
图的基本概念
一、几个例子 北京 例1 是北京、上海等 十个城市间的铁路交 通图。与此类似的还 有电话线分布图、煤 气管道图、航空路线 图等。 济南 徐州 青岛 天津
郑州
连云港
武汉
南京
上海
例2 分别用点v1,v2,v3,v4,v5分别代表甲、乙、 丙、丁、戊五支球队。若有两支球队之间 比赛过，就在相应的点之间联一条线，且 这条线不过其他点。如下图所示：
第十章
图与网络分析
绪论：图论的起源和发展 • 1736年，Euler 哥尼斯堡七桥问题 (Kö nigsberg Bridge Problem)
A D C
B
• 1847年，kirchhoff，电网络，“树”； • 1852年，《四色猜想》； • 1857年，Cogley，同分异构，“树”； • 1956年，杜邦公司，CPM，关键路线法； • 1958年，美国海军部，PERT，计划评审技术； • 1962年，管梅谷，《中国邮路问题》； • 1964年，华罗庚，《统筹方法平话》。
• 简单有向图
• 多重有向图
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
第二节
树
一、定义 ： 一个无圈的连通图 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 v1 v5 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如左图所示。
( v i ,v j )T
最小支撑树 如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最小者， w(T * ) min w(T ) 则称T*是G的最小支撑树(简称最小树),即
T
2. 最小支撑树的求法： 方法一 避圈法 开始选一条权最小的边，以后每一步 中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈。
a8
a6 a5
v5
a10 a9 v4 v6 a11
v7
•路 • 初等路 • 回路
a1
v2
a7
在上图中 (v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。 ,
(v1 , a2 , v 3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路 。
v1
v3
v2
v1 a1 v2
v3 v4 e5 v3 e6
v2 e3 e2 e4 G(D) v2 v1 e1
• 基础图 v4 a3 给定一个有向图 D=(V,A) ，从D a2 a5 a6 中去掉所有弧上 的箭头，所得到 v3 的无向图称为基 a4 础图。记之为 D=(V,A) G(D)。
v3
a2 v1 a3 a4
三、图的支撑树 定义 设图T=(V,E’) 是图的支撑子图，如果图T=(V, E’) 是一个树，则称T是G的一个支撑树。 定理 图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
证明 必要性显然。 再证充分性。 设图G是连通图，若G不含圈，则G本身 是一个树，从而G是它自身的一个支撑树。
如果G含圈，任取一个圈，从圈中任意地去掉一条边，得 到图G的一个支撑子图G1。如果G1不含圈，那么G1是G的一 个支撑树；如果G1仍含圈，那么从G1中任取一个圈，从圈中 再任意去掉一条边，得到图G的一个支撑子图G2，如此重复， 最终可以得到G的一个支撑子图Gk,它不含圈，于是Gk是G的 一个支撑树。
v5
v1 v4
可知各队之间的比赛情况如下：
甲—— 乙、丙、丁、戊 乙—— 甲、丙 丙—— 甲、乙、丁 丁—— 甲、丙、戊
v2
v3
戊—— 甲、丁
例3 “染色问题”
储存8种化学药品，其中某些药品不能 存放在同一个库房里。 用v1,v2,…,v8分别代 表这8种药品。规定若两种药品不能存放在 一起，则其相应的点之间联一条线。如下 图所示： v1 v2
v2
v4
v3
例2 某工厂的组织机构如下图所示 行 政 办 公 室 生 产 办 公 室 生产计划科 技术科 供销科
设计组
工艺组
厂
长
财务科 行政科 车间 二车间 三车间
四车间
铸造工段 锻压工段
该厂的组织机构图就是一个树。
例3 树图 倒臵的树，根(root)在上，叶(leaf)在下
C1
根
C2
C3
C4
叶
e3
e2 e4
v1
e8
e1
v5
v2 如 d(v4)=5 d(v2)=4
• 点v的次 以点vi为端点边的个数，记为dG(vi)或d(vi)。 • 悬挂点 • 悬挂边 • 孤立点 • 偶点 • 奇点 次为1的点，如 v5 悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
第一步：
v2 6 (0,0) v1 1 1 v5 2 6 10 4 10 2 3 v7 v9
2 3
2 v3
6
3
v8
4
v4
(v1,1)
v6
第二步：
v2 6
1
v5
2 6
(0,0) v1
1
2 (v ,3) 6 1 3 v3 2 v4 (v1,1) 10 4
v9 3 v8
10
2
3
v7 4
v6
第三步：
(v3,5) v2
v1
e4 e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
e6
e7 e8