第二章 索洛模型的背后(修改)

k (v )
lim e
− R (v ) ( n + g )v
e
k (v ) ≥ 0
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5．家庭的最优化问题
• 根据前面的推导已知 • a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：
U = B ∫t = o e
∞ − βt
• b．跨期预算约束：
c (t ) 1−θ
∞
1−θ
dt
∫t = 0 e
∞
− R (t )
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2．考虑有效劳动的家庭效用函数和 即期效用函数
• 考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效 劳动的平均消费为c(t)，有： gt
A(t ) = A(0)e
C (t ) = A(t )c(t )
• [注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] • 代入即期效用函数得：
• 将积分改写成为极限形式，有：
K ( 0) ∞ − R ( t ) L(t ) + ∫t = 0 e [ w(t ) − c(t )]A(t ) dt ≥ 0 H H
K ( 0) v − R ( t ) L(t ) lim { + ∫t = 0 e [ w(t ) − c(t )]A(t ) dt} ≥ 0 v →∞ H H
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四、家庭行为
• 1. 家庭效用函数和即期效用函数 • （1）定义家庭效用函数（“幸福函数”）： “幸福函数”
U = ∫t = o e
∞ − ρt ∞ L(t ) L ( 0) − ( ρ − n )t u[C (t )] dt = ∫t = o e u[C (t )] dt H H
• 其中，
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B ≡ [ A(0)]
1 −θ
• （收敛条件 ）
L ( 0) H
β ≡ ρ − n − (1 − θ ) g > 0
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3．家庭的跨期预算约束
• 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超 过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w， 均为外生变量）。 • 考虑到r可能随时间而变动 t • 定义 R = ∫τ = o r (τ )dτ ，因此在0期投资的1单位产品 =o 在t期产生eR(t) 单位的产品，它是在期间[0,t]上连 续以复利计算利息的结果。于是，t期1单位产品 在0期的价值为e-R(t) 。 • 可见 ) 现值因子。当r不变为 时，则 R = r t • e − R (t为现值因子 。 现值因子 r
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• 家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是 C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为：
∫t = 0 e
∞
− R (t )
L(t ) K (0) ∞ − R (t ) L(t ) C (t ) dt ≤ A(t ) w(t ) + ∫t = 0 e dt H H H
1 −θ 1− θ
[ A(0)e gt ]1−θ c(t )1−θ c(t )1−θ = = [ A(0)]1−θ e(1−θ ) gt 1−θ 1 − θ 15 2012-3-26
C (t ) u[C (t )] = 1−θ
[ A(t )c(t )] = 1−θ
• 再代入家庭效用函数，得：
∞ L(t ) L(0) − ( ρ −n )t U = ∫ e u[C (t )] dt = ∫ e u[C (t )] dt t =o t =o H H ∞ c(t )1−θ L(0) − ( ρ −n )t =∫ e {[ A(0)]1−θ e(1−θ ) gt } dt t =o H 1−θ L(0) ∞ − ( ρ − n )t (1−θ ) gt c(t )1−θ = [ A(0)]1−θ dt ∫t =o e e H 1−θ L(0) ∞ −[( ρ − n ) −(1−θ )] gt c(t )1−θ = [ A(0)]1−θ dt ∫t =o e H 1−θ 1−θ ∞ − β t c (t ) = B∫ e dt t =o 1−θ − ρt ∞
• 已知，C(t)=c(t)A(t)，则
• •
c(t ) c(t ) A(t ) r (t ) − ρ +g= + = c(t ) θ c(t ) A(t )
=
1 C
θ
θ
C
θ + 1
− C U ′′ ( C ) / U ′ ( C ) =
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C θ C θ + 1 C风险的态度没有直接意义。但是θ决定了 家庭在不同时期转换消费的愿望。 θ越小，边际效用下降越慢，因此家庭愿意允许 其消费随着时间波动。 如果θ接近于0，则效用函数几乎是C的线性函数， 因此家庭也就愿意接受较大的消费波动，以利用贴 现率与储蓄率报酬率之间小的差异。 从经济直觉来说，在边际效用递减速度较快时， 如果消费波动，消费增加所带来的效用增加远小于 消费减少所带来的效用减少，福利水平下降显著。 因此， θ较大时（边际效用下降快），消费者更不愿 意接受消费波动。 反之则愿意接受较大的消费 波动。
c (t ) − β − θ = − r (t ) + (n + g ) c (t )
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• 因此，
c(t ) − r (t ) − n − g − β − r (t ) − n − g − [ ρ − n − (1 − θ ) g ] = = c(t ) θ θ
•
=
r (t ) − ρ − θg
• 求解最优的c(t)使 Ω 最大，对c(t)求导数， 得到一阶条件为：
Be
− βt
c(t )
−θ
= λe
− R (t ) ( n + g )t
e
• 两边取对数得：
ln B − βt − θ ln c(t ) = ln λ − R(t ) + (n + g )t
•
• 两边再对 t求导数，有：
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∞ ∞
∫t =0 e
− R (t )
c(t )e
( n + g )t
dt ≤ k (0) + ∫t = 0 e
− R (t ) ( n + g )t
e
w(t )dt
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4．横截面条件
• 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算 约束（等价命题）。已知： • 所以，有
∞ K ( 0) ∞ − R ( t ) L(t ) L (t ) − R (t ) + ∫t = 0 e A(t ) w(t ) dt − ∫t = 0 e C (t ) dt ≥ 0 H H H
• 定义第v期的家庭资本持有量的总和为：
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v K (v ) L(t ) R ( v ) K ( 0) R ( v ) − R (t ) [ w(t ) − c(t )]A(t ) =e + ∫t = 0 e dt H H H
• 右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡 献（非负），第二项表示两期之间的储蓄 贡献（可正可负）。整理有：
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三、厂商行为
• 沿用新古典生产函数： = F ( K , AL ) Y
• 其中，资本的边际产品为： • • 有效劳动的边际产品为： •
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∂Y = f ' (k ) = r （真实利率） ∂K
∂Y = f ( k ) − kf ' ( k ) = w （工资率） ∂ ( AL)
v K (v ) L(t ) R ( v ) K ( 0) − R (t ) =e { + ∫t = 0 e [ w(t ) − c(t )]A(t ) dt} H H H
可得
K ( 0) v − R ( t ) L(t ) − R ( v ) K (v ) [ w(t ) − c(t )]A(t ) dt = e + ∫t = 0 e H H H
• 这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它 “欧拉方程” 表明家庭可以在不改变一生支出的现值的 情况下通过调整其消费增加一生的效用。 • 对欧拉方程的理解：
θ
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c(t ) r (t ) − ρ − θg r (t ) − ρ = = −g c(t ) θ θ
•
对欧拉方程的理解
• •
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∂Y ∂Y Y= K+ AL ∂K ∂( AL)
• 欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完 全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么 在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得 的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定 理又叫做边际生产力分配理论 边际生产力分配理论，还被称为产品分 边际生产力分配理论 产品分 配净尽定理。 如何证明？ 配净尽定理
− R(v)
• 代入极限形式的预算约束得：
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v →∞
lim e
K (v ) ≥0 H
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v→∞
lim e
− R (v)
K (v ) ≥0 H
• 该式表示家庭持有资产的现值的极限为非 负。 • 由于
K (v ) = A(0) L (0)e
• 因此，
v →∞
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(n+ g )v
索洛模型的背后： 第二章 索洛模型的背后：无 限期界与世代交叠模型
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上篇 拉姆齐-卡库-库普曼斯模型
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一、问题
• 储蓄率的高低会影响消费（福利）水平， 那么，储蓄率是如何决定的？ • 必须引入消费者（家庭）行为来分析跨 期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即 储蓄率的“内生化”。