小学数学教学中渗透模型思想的思考
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二、 “ 模”
花， 走 了２ 个， 还剩 ３ 个； 从５ 个 圆片 中拿走２ 个， 还剩３ 个， 都可 以用 同一个算 式（ 学 生齐接话 ： ５ — ２ ＝ ３ ） 来表 示 。（ 在 圆片 下 板 书 ： ． ５ － ２ ： ３ ） 生齐读 ： ５ 减２ 等于３ 。 师： 谁来说一说这里的５ 表 示 什 么？ ２ ， ３ 又 表 示 什
学科建设
囝
葶数 教学ｌ ｛ ７ 违摸型迢想曲
ｏ ＿ 毕 薇 薇
数学模型是指为解决现 实生活 中的问题而建立 的数学概念 、 公式 、 定义 、 定理 、 法则 、 体 系等等 。 数学 模 型一般是用数学语言 、 符号 、 数量关系或图形来 呈 现的 ， 具有精确性 、 直观性 、 简洁性等特点 。 如加法的 交换律这 一数学模 型 ， 可用 多种形式 来呈 现 “ 两 个 加 数 交 换 位 置 和 不 变 ” 这 是 用 数 学 语 言 来 描 述 的； “ ▲＋ ★＝ ★＋ ▲ ”这 是 转 化 为 了 符 号 模 型 ； “ ０ ＋ ６ ＝ ６ ＋ ｎ ” 是字 母 模 型 。 用数学建模的思想来指导小学数学教学 ，不同 的年级 、 内容 、 学 习对 象 应 该 体 现 出 一 定 的差 异 ， 但 也存在着很大的关联性 。就教学实施的一般程序来 看， 可以归结 到三个字—— “ 磨” “ 模” “ 魔” 。
ｏ
教 学 片段 １ ： 出示 情 境 图 。（ 此略 ）
师： 请同学们认真观察这两幅图 ， 说一说从图上 你看 到 了什 么 ？ 生： 有５ 个小朋友在浇花 ， 走了２ 个， 剩下３ 个。 师： 你真棒！ 谁再来说一说？ 生： 原来有５ 个小朋友在 浇花 ， 走 了２ 个小 朋友 ， 还剩 下３ 个小朋友。 师： 很好 ！你知道 怎样列式吗？ 生： ５ — ２ ＝ ３ 。 教师听了满意地点点头 ， 板书５ — ２ ＝ ３ 。 接着教学减号及其读法。 教学 片段 ２ ： ｍ示 情 境 图 。 （ 同上 ） 师： 谁来说一说第一 幅图， 你 看到 了什么？ 生： 从 图 中 我 看 到 了有 ５ 个小 朋 友 在 浇 花 。 师： 第二幅图呢？ 生： 第二幅图中有２ 个小朋友 去提水 了， 剩 下３ 个 小朋友。 师： 你能把两幅图的意思连起来说吗？ 生： 有５ 个小朋友在浇花 ， 走 了２ 个， 还 剩 下３ 个。
一
思
义。 三 “ 魔”
所谓 “ 模” ， 即“ 建模 ” ， 也就是在教学 中要帮助学 生不 断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解 释 和运用 。对小学数学而言 ， “ 建模 ” 的过程 ， 实际上就 是“ 数学 化” 的过程 ， 是学生在 数学学习 中获得某 种 带有 “ 模型” 意义的数学结构 的过程 。以下是两位老 师利 用同一素材教学“ 减法” 的片段 ：
、
“ 磨”
所谓 “ 磨” ， 即“ 琢磨 ” ， 也就是教师首先要反复琢 磨每一具体 的教学 内容中隐藏着怎样 的“ 模” ？需要 帮助学生建立怎样的“ 模” ？如何来建 “ 模” ？所建的 “ 模” 和建模 的过程对于儿童 的数学学习具有怎样的 影响？ ……在基于建模思想 的数学教学中 ， 这些问题 都是一些本原性的问题 。一个老师如果从来不曾在 这些 方 面 加 以思 考 的话 ， 可 以肯 定 的 是 ， 他 的 数 学课 堂上数学知识概念 、命 题 、问题 和方法等很难见到 “ 数学模型” 的影子 ， 他 的学生也可能从未感受过“ 数 学模 型” 的力量。 比如 ， “ 确定位置” 的数 学 模 型 是 立体 坐标 系 。 学 生 在 一 年 级 接 触 到 的一 列 队 伍 中 “ 老爷爷排 在第３ 个” ， 其实就是一维 空间上的确定位置 ； 在二年级 接 触到的“ 小 明坐在第３ 排第４ 个” ， 其实就是二维 空间 上的确定位置 ； 五年级学 习的“ 数对 ” 则 是 初 步 抽 象 的二维坐标模型。如果在教学 中能将这一层意义渗 透进 去 ，一定能为学生将来学 习立体坐标系提供很 好 的 支持 。 眼界决定境界。一个老师是 否具有“ 模型 ” 眼光 和“ 模 型” 意识 ， 往往会决定着 他的教学深刻性 和数 学课堂 的品质 。
么呢？
师： 同学们说得真好 ！ 在生活中存在 着许许多多 这 样 的数 学 问题ຫໍສະໝຸດ Baidu， ５ — ２ ＝ ３ 还 可 以表 示 什 么 呢 ？请 同桌 互相说一说 。 生１ ： 有５ 瓶牛奶 ， 喝掉 ２ 瓶， 还剩３ 瓶。
生２ ： 树上有５ 只小鸟 ， 飞走２ 只， 还剩３ 只。
上述两段教学 ，所体 现 来 的教学着力点是不 样 的。 第一个片段 ， 教师对教学的定位 完全停 留在 知识传授的层面上 ， 第二个片段 ， 除 了教学充分展开 外， 更 主要 的是 渗 透 了初 步 的 数 学 建模 思想 ， 训 练 的 是学生抽象 、 概括 、 举 一反三的学 习能力 。这种训练 并不是简单 、 生硬地进行 ， 而是 和低 年 级 学 生 数 学 学 习的特点相贴切—— 由具体 、 形象的实例开始 ， 借助 于操作予 以内化和强化 ，最后通过思维发散 和联想 加 以扩展 和推广 ， 赋 予“ ５ — ２ ＝ ３ ” 以更 多 的“ 模型” 意
一
师： 同学们观察得很仔细 ， 也说得很好 。你们能 根据这两幅图的意思 提一个数学 问题吗？ 生： 有５ 个 小 朋 友 在浇 花 ， 走了２ 个， 还剩 几个 ？
生（ 齐） ： ３ 个。 师： 对， 大 家 能 不 能 用 圆 片代 替 小 朋 友 ， 将 这 一 过程摆一摆呢？ （ 教师指导学生摆圆片 ， 并 请 一 生 将 圆 片 摆 在 情 境 图的 下 面 ） 师： （ 结 合情境 图和圆片说 明 ） ５ 个 小 朋 友 在 浇
花， 走 了２ 个， 还剩 ３ 个； 从５ 个 圆片 中拿走２ 个， 还剩３ 个， 都可 以用 同一个算 式（ 学 生齐接话 ： ５ — ２ ＝ ３ ） 来表 示 。（ 在 圆片 下 板 书 ： ． ５ － ２ ： ３ ） 生齐读 ： ５ 减２ 等于３ 。 师： 谁来说一说这里的５ 表 示 什 么？ ２ ， ３ 又 表 示 什
学科建设
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葶数 教学ｌ ｛ ７ 违摸型迢想曲
ｏ ＿ 毕 薇 薇
数学模型是指为解决现 实生活 中的问题而建立 的数学概念 、 公式 、 定义 、 定理 、 法则 、 体 系等等 。 数学 模 型一般是用数学语言 、 符号 、 数量关系或图形来 呈 现的 ， 具有精确性 、 直观性 、 简洁性等特点 。 如加法的 交换律这 一数学模 型 ， 可用 多种形式 来呈 现 “ 两 个 加 数 交 换 位 置 和 不 变 ” 这 是 用 数 学 语 言 来 描 述 的； “ ▲＋ ★＝ ★＋ ▲ ”这 是 转 化 为 了 符 号 模 型 ； “ ０ ＋ ６ ＝ ６ ＋ ｎ ” 是字 母 模 型 。 用数学建模的思想来指导小学数学教学 ，不同 的年级 、 内容 、 学 习对 象 应 该 体 现 出 一 定 的差 异 ， 但 也存在着很大的关联性 。就教学实施的一般程序来 看， 可以归结 到三个字—— “ 磨” “ 模” “ 魔” 。
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教 学 片段 １ ： 出示 情 境 图 。（ 此略 ）
师： 请同学们认真观察这两幅图 ， 说一说从图上 你看 到 了什 么 ？ 生： 有５ 个小朋友在浇花 ， 走了２ 个， 剩下３ 个。 师： 你真棒！ 谁再来说一说？ 生： 原来有５ 个小朋友在 浇花 ， 走 了２ 个小 朋友 ， 还剩 下３ 个小朋友。 师： 很好 ！你知道 怎样列式吗？ 生： ５ — ２ ＝ ３ 。 教师听了满意地点点头 ， 板书５ — ２ ＝ ３ 。 接着教学减号及其读法。 教学 片段 ２ ： ｍ示 情 境 图 。 （ 同上 ） 师： 谁来说一说第一 幅图， 你 看到 了什么？ 生： 从 图 中 我 看 到 了有 ５ 个小 朋 友 在 浇 花 。 师： 第二幅图呢？ 生： 第二幅图中有２ 个小朋友 去提水 了， 剩 下３ 个 小朋友。 师： 你能把两幅图的意思连起来说吗？ 生： 有５ 个小朋友在浇花 ， 走 了２ 个， 还 剩 下３ 个。
一
思
义。 三 “ 魔”
所谓 “ 模” ， 即“ 建模 ” ， 也就是在教学 中要帮助学 生不 断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解 释 和运用 。对小学数学而言 ， “ 建模 ” 的过程 ， 实际上就 是“ 数学 化” 的过程 ， 是学生在 数学学习 中获得某 种 带有 “ 模型” 意义的数学结构 的过程 。以下是两位老 师利 用同一素材教学“ 减法” 的片段 ：
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“ 磨”
所谓 “ 磨” ， 即“ 琢磨 ” ， 也就是教师首先要反复琢 磨每一具体 的教学 内容中隐藏着怎样 的“ 模” ？需要 帮助学生建立怎样的“ 模” ？如何来建 “ 模” ？所建的 “ 模” 和建模 的过程对于儿童 的数学学习具有怎样的 影响？ ……在基于建模思想 的数学教学中 ， 这些问题 都是一些本原性的问题 。一个老师如果从来不曾在 这些 方 面 加 以思 考 的话 ， 可 以肯 定 的 是 ， 他 的 数 学课 堂上数学知识概念 、命 题 、问题 和方法等很难见到 “ 数学模型” 的影子 ， 他 的学生也可能从未感受过“ 数 学模 型” 的力量。 比如 ， “ 确定位置” 的数 学 模 型 是 立体 坐标 系 。 学 生 在 一 年 级 接 触 到 的一 列 队 伍 中 “ 老爷爷排 在第３ 个” ， 其实就是一维 空间上的确定位置 ； 在二年级 接 触到的“ 小 明坐在第３ 排第４ 个” ， 其实就是二维 空间 上的确定位置 ； 五年级学 习的“ 数对 ” 则 是 初 步 抽 象 的二维坐标模型。如果在教学 中能将这一层意义渗 透进 去 ，一定能为学生将来学 习立体坐标系提供很 好 的 支持 。 眼界决定境界。一个老师是 否具有“ 模型 ” 眼光 和“ 模 型” 意识 ， 往往会决定着 他的教学深刻性 和数 学课堂 的品质 。
么呢？
师： 同学们说得真好 ！ 在生活中存在 着许许多多 这 样 的数 学 问题ຫໍສະໝຸດ Baidu， ５ — ２ ＝ ３ 还 可 以表 示 什 么 呢 ？请 同桌 互相说一说 。 生１ ： 有５ 瓶牛奶 ， 喝掉 ２ 瓶， 还剩３ 瓶。
生２ ： 树上有５ 只小鸟 ， 飞走２ 只， 还剩３ 只。
上述两段教学 ，所体 现 来 的教学着力点是不 样 的。 第一个片段 ， 教师对教学的定位 完全停 留在 知识传授的层面上 ， 第二个片段 ， 除 了教学充分展开 外， 更 主要 的是 渗 透 了初 步 的 数 学 建模 思想 ， 训 练 的 是学生抽象 、 概括 、 举 一反三的学 习能力 。这种训练 并不是简单 、 生硬地进行 ， 而是 和低 年 级 学 生 数 学 学 习的特点相贴切—— 由具体 、 形象的实例开始 ， 借助 于操作予 以内化和强化 ，最后通过思维发散 和联想 加 以扩展 和推广 ， 赋 予“ ５ — ２ ＝ ３ ” 以更 多 的“ 模型” 意
一
师： 同学们观察得很仔细 ， 也说得很好 。你们能 根据这两幅图的意思 提一个数学 问题吗？ 生： 有５ 个 小 朋 友 在浇 花 ， 走了２ 个， 还剩 几个 ？
生（ 齐） ： ３ 个。 师： 对， 大 家 能 不 能 用 圆 片代 替 小 朋 友 ， 将 这 一 过程摆一摆呢？ （ 教师指导学生摆圆片 ， 并 请 一 生 将 圆 片 摆 在 情 境 图的 下 面 ） 师： （ 结 合情境 图和圆片说 明 ） ５ 个 小 朋 友 在 浇