24.1.2_垂直于弦的直径(第1课时)

O A B
D
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半 径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两 个量，就可以求出另外两个量，如图有：

a 2
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
2 2
课 堂 小 结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
A C O
F E G
B D
挑战自我
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? • 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直 线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角 形。
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

AB=2AD=32cm
变式提高
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接ΔABC 中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD 的长。 （2）若D是BC的中点，AD ⊥BC,BC=24, AD=9,求⊙O的半径。 A B D O C
A B
D
O
C
(1)解：连结OB,延长AD，则必过圆心O。
O E A P
B D
2.P为⊙O内一点,且OP=2cm, 若⊙O的半径为3cm,则过P 点的最短弦长等于( ) C A.1cm B.2cm C. 5cm D.2 5cm
一题多变
B
A E
.O
C G
E
.O
F B
D
A
D F C
G
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AE⊥CD,垂足为E. BF ⊥CD垂足为F.
E
O A O A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
B
a c
∵ a = b ，c = d ∴a–c=b-d
b d
线段加减
O A C D B
∵ AG
⌒ = BG ⌒ ⌒ CG = DG
⌒
圆弧加减
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AG - CG = BG - DG ⌒ ⌒ 即 AC = BD
EAD 90

ODA 90
C E A

O · D B
如图：在直径是20cm的 O 中， 两条半径的 夹角是 60 ，那么弦AB= ，点O到弦AB 的距离OD= 。
O D A B
如图：在直径是20cm的 O 中， 两条半径的 夹角是 120，那么弦AB= ，点O到弦AB 的距离OD= 。

M
A A
P
O
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
证明： ∵ OE AC OD AB AB AC
OEA 90

1 1 AE AC，AD AB 2 2 ∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C


O B
(1) B
(2) D
(3) D

OAB+ AOC=90 OAB=90-35=55

例一 、 如图所示， C是AB的中点， OC交AB于点D ，AOC=35 , AD=16cm 求（1） OAB的度数（2）AB的长
C
A D 解： （2） AC=CB ，CD经过圆心O（已知） B

DB=AD=16cm
(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分 O 这条弧所对的弦)

由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
②CD⊥AB,
⌒ ⑤AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
⌒
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
D
推论：

由
CD是直径 AM=BM
可推得
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
O
E
C
A
B
D
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的 大小有什么关系？为什么？
O A C
G
D B
• 2、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦心距，这 是一条非常重要的辅助 线。 弦心距、半径、半弦长 构成直角三角形，便将 问题转化为直角三角形 的问题。
G
1、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD. ⌒ ⌒ 求证：AC = BD。 解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E 交⊙O于点G 交AB于点F， 在⊙O中，OF⊥弦AB ⌒ ⌒ ∴ AG = BG ∵ OE⊥弦CD ⌒ ⌒ ∴ CG = DG ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AG - CG = BG - DG ⌒ ⌒ 即 AC = BD
若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x 在RtΔABD和RtΔOBD中， BD2=AB2－AD2=OB2－OD2 即（10－x）2－x2 =4.52－（4.5－x）2
解得x=4 即AD=4
已知P为 O内一点，且OP＝2cm，如果
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
求证：EC=DF
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE ⊥ CD,DF ⊥ CD 求证：AE=BF
.
D
B
A
. O
B A C
O E
.
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。
练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A O
E
B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
∵ OE AB
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中
2 2
A
E
B
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +4 2 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
A
P
O
B
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm 。 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 O ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD A C E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
圆的轴对称性； 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦对的两条弧。
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
探索垂径定理的逆定理
– 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条 平分AB的直径CD，交AB于点M． – 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是 轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
C
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
·
E
A B
O
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ
⌒
及
ＡＣＢ
⌒
C
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
⌒
⌒
E A
·
B D
O
条件 CD为⊙O的直径
结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
②④
②⑤
①③⑤
①③④
③④ ③⑤
④⑤
①②⑤ ①②④
①②③
挑战自我填一填
• 1、判断：
驶向胜利 的彼岸
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） • ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（

）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （ ）
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。