高考数学二轮专题复习知能专练六三角函数的图象与性质5

知能专练（六） 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3C ．πD ．2π解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 错误．3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：选 C 令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．(2017·嘉兴模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2k π(k∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.二、填空题7．(2017·金华一中模拟)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为________．解析：由x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π－π3(k ∈Z)，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π3(k ∈Z)；因为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－2,2]，所以2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3,1]，所以函数f (x )的最小值为－3.答案：x ＝k π－π3(k ∈Z) －38．(2017·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝k π(k ∈Z)，∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z)． 又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π49．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，可得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 3三、解答题10．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.11．(2018届高三·浙江名校联盟联考)已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ的值及图中x 0的值；(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cosπx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ2－1－sin πx ·sin φ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)．由题图可知，cos φ＝32，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，所以x 0＝53.(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3.所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.12．(2017·东阳市调研)已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π.又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1.∵对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1. ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32，∴－32≤ 32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤34，即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1－32.。