第一讲3绝对值三角不等式

探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？ 例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b| 与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
小结
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
练习：课本P19第1、2题
1 .求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明
法二：把函数看成是分段函数，用图像法。 例2：求函数f(x)=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值；
法一：
|| x 3 | | x 1 ||| ( x 3) ( x 1) | 4 4 | x 3 | | x 1 | 4 ymax 4, ymin 4
工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题:
当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.
解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60
B
) B. x y 2 D. x y
A. x-y C. x y 2
例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施 工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处. 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施
工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施
绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐
标为a的点A到原点的距离：
|a| O A a x
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，
那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 A a |a-b| B b x
联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究
|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：
法二：把函数看成是分段函数，用图像法。
例3:已知>0 |x-a|< |y-b|<, 求证:
|2x+3y-2a-3b|<5
证明:
|2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)|
|2(x-a)|+|3(y- b)|
=2|x-a|+3|y-b| <2+3=5 故 |2x+3y-2a-3b|<5

2.如果实数x , y满足 cos x cos y cos x cos y , 且x ( , ), 2 则 (cos x cos y )2 可写成( C ) A.cosx - cosy C . cos y cos x B. cosx cos y D. cos y cos x
（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|
定理1
如果a, b是实数，则|a+b|≤|a|+|b| 这个不等式称为绝 对值三角不等式。 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b,
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ y 探究 当向量a, b b共线时，有怎 样的结论？ O
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
0<x10 10<x20 x>20
20 4x-60
40 20 x O 10 20 30
S S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 60
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| 40 |(x-10)+(20-x)|=10 20 当且仅当(x-10)(20-x)0 时取等号. 又解不等式: O 10 20 30
3.若r1 , r2是方程x px 8 0的两个不等实根, 则
(4 2, ) r1 r2 的取值范围________
2
4.若关于x的不等式 x 2 x 1 a的解集为则a
a3 的取值范围是_________
5.若不等式 x 4 x 3 a的解集为非空集合, 则实数a的取值范围是( C ) A.a 7 B.1 a 7 C.a 1 D.a 1
6．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|
(1)画出函数y＝f(x)的图像；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，(a≠0，a，b∈R) 恒成立，求实数x的范围． x≥2 2x－3， 解：(1)f(x)＝1， 1<x<2 3－2x， x≤1
(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x) |a＋b|＋|a－b| |a＋b＋a－b| 得 ≥ ＝2 |a| |a| 则有 2≥f(x)． 1 5 解不等式 2≥|x－1|＋|x－2|得 ≤x≤ . 2 2
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b a b a b
ab 0 时，右边等号成立。 当且仅当_________
当且仅当
ab 0
ab
时，左边等号成立；
小 结
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即
| a | | b | | a b || a | | b |
法一： | x 1 | | x 1 || 1 x | | x 1 || 1 x x 1 | 2
当且仅当 (1 x )( x 1） 0即- 1 x 1时 取 等 号 。 当- 1 x 1时 ， 函 数 f ( x ) | x 1 | | x 1 | 取得最小值 2.
ab
a
x
定理1的代数证明
证明：当ab 0时，ab | ab |,| a b | (a b)2 a 2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2 (| a | | b |) 2 | a | | b |
当ab 0时，ab ab,| a b | (a b) 2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a |2 2 | ab | | b |2 (| a | | b |) 2 | a | | b |, 所以 | a b || a | | b |, 当且仅当ab 0时，等号成立。
设f(x)=x2-x+b,|x-a|<1,求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)
| f ( x ) f (a ) || x 2 x a 2 a || ( x a )( x a 1) | | ( x a ) | | ( x a 1) || x a 1 | | ( x a ) 2a 1) || x a | | 2a 1 | | x a | 2 | a | 1 1 2 | a | 1 2(| a | 1)
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3 a, b 同号时右边取“=”; a, b异号时左边取“=”
推论1： | a1 a2 a3 | | a1 | | a2 | | a3 |
a1 a2 an a1 a2 an nn N
分ab>0和ab<0两种情形讨论： （1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b| O a a+b b b a+b a O x x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
b
a+b O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b| a O a+b b x
推论2： | a | | b || a b || a | | b |
| a | | b | | a (b) | | a | | b | 证明：在定理中以b 代b, 得：
即： | a | | b || a b || a | | b |
பைடு நூலகம்
绝对值三角不等式的应用： 例1：求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值；
定理2 如果a, b, c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
练习 : 若 x m , y m , 下列不等式中一定成立的 是(
2012江苏：已知实数x,y满足|x+y|<1/3,|2xy|<1/6,求证3|y|<5/18.
3 | y || 3 y || 2( x y ) ( 2 x y ) | 2 | x y | | 2x y | 1 1 由题意知： | x y | , | 2 x y | 3 6 2 1 5 3 | y | 3 6 18
1 |x | 2( x 0) x
x
(x-10)(20-x)0 得: 10x20
故当10x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.
补充练习: ab ab 1.已知 a b , m ,n , 则m , n之间的 ab ab 大小关系是( D ) A.m n B.m n C.m n D.m n