a质点运动学_2014

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5. 应用微积分解决的两类问题
(求导) (1) r (t ) v(t ) a (t ) v(0) r (0) (2) a (t ) v(t ) r (t ) (积分) t r (t ) r0 vdt r t t r0 t0 0 t v(t ) v0 adt v t t v0 t0 0 及 称为初始条件 Notes r0 v0
Z
r
X
P(x,y,z) Y
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
—— 运动函数 （运动方程 轨道方程）
r —— 位矢
O
2 e.g. 抛体运动：r (t ) v0 xti (v0 yt 1 2 gt ) j
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（轨道方程） 运动函数 描述了质点的状态
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拓展
x t
Mathematica is a computational software 7.0 program used in scientific, engineering, and mathematical fields and other areas of technical computing. It was originally conceived by Stephen Wolfram and is developed by Wolfram 24 4.0 Research of Champaign, Illinois.
r
v
r
P
v
ˆn e
ˆt e
d v v2 a et en dt r
S r
r (t )
O
P2
r r (t t ) r (t )
—— t 至 t + t 内的位移
Y
r (t t )
S —— 路程
国际单位制
X
2 e.g. 设 r (t ) i t j t k (SI)
则在 t =0 至 t =1s 内的位移
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x
X
且
dl / dt v0
2l dl dx h v0 1 于是 v dt 2 l 2 h 2 dt x
2
h h 2 2 2 2 dv h v0 x x dx v0 3 a 2 d t dt x h 2 1 x
I-1
1
一、课程内容 力学、热学、振动与波动
二、数学工具 矢量运算、微积分 三、教学要求 基本概念：矢量与标量…… 基本理论：三大守恒定律…… 基本方法：微元分析……
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力学 Mechanics
质点 力学
（宏观低速）
质点运动学 牛顿运动定律 动量与角动量 功和能
经典力学
力学 狭vmax
a v x
v =dx/dt = 5+12t−3t2 =0 t =4.49 s x =3+5t +6t 2 –t 3 =55.875m ——位移最大值
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[例1-2]
v0
h
O
l
求：在任意位臵x处，船的速度和加速度
解：设在任意位臵x处，绳长为l 则有 x l 2 h 2 ——约束条件
2
2
v v0 at v0 k v t v

t
0
adt k v dt
2 0
t
v v0 v


t
k v dt
2 0 2
32
t
0
k v dt
[例1-3] 某物体的运动规律为 dv / dt k v 2 t （k为常量），t =0 时, v=v0，求v与t 的函数关系。


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[例1-1] 质点的运动函数为x=3+5t+6t2–t3(SI)， 则① t=0 时，速度 v0= ；②加 速度为零时，速度v =。 解： ①v =dx/dt = 5+12t−3t2 v0=5 m/s 令 ②a =dv/dt =12−6t = 0 t =2s v =17 m/s [思考] 加速度为零时，速度值是否极大？ [思考] 位移极大值发生在什么时间？
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本章核心内容
位矢、位移、速度、加速度、质点运动函数、 切向加速度、法向加速度、相对运动
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§1.1 质点与参考系
Material Particles and Reference Frames
1. 质点——object with no size ——理想模型 思想：化繁为简、突出主要矛盾 适用情形：物体尺寸 << 运动范围 自转 公转
dr v dt
2
dr v dt
dx dy dz v dt dt dt
2 2 2 2 2
2
2
2
2 dr dr a 2 a 2 dt dt
d x d y d z a 2 2 2 dt dt dt
太阳 1.5108km 地球 R=6.4103km
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2. 参考系——建立在参照物上的坐标系
运动具有相对性 物体运动形式随参考系 —— 刻舟求剑 陈与义诗 不同而不同
z
地面系 太阳系
y x 地心系
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§1.2 运动的描述 Description of Motion 1. 位矢 Position vector
r ? r ? S ?
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可以直观地看到： t0时，dr =dS and dr // et
位移微元等于路程微元.SWF
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3. 速度 velocity
Z P1
S r
r (t )
O
P2
r r (t t ) r (t )
dr (C ) dt
( D) dx dy dt dt
2 2
[D]
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一些速度值(m/s)
真空中光速 太阳在银河系中的运动 地球的公转 人造地球卫星 现代歼击机 空气中声速 猎豹 载流导线中自由电子的漂移 大陆板块运动 3.0108 3.0105 3.0104 7.9103 9 102 3.3102 2.8 10 10– 4 10– 9
解：
>0 , 结果？ [思考] 若 dv/dt =a（常量） 若t =0 时, v0 =0, 结果？
dv / dt k v t 分离变量方法 dv 2 ktdt v v t 2v0 dv 2 ktdt v 2 v0 0 k v0t 2 v
2
33
[例1-4] 电艇在关机后, 有dv/dt = kv2（k为常 量）试证：电艇此后行驶距离 x 时的 速度为 v v0e - kx, 其中v0是电艇关机时 的速度。 证：
2
x0 2.80m
dx v (4.20t ) m s dt
v0 0m s
dv 2 a 4.20m s dt
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[例1-3] 某物体的运动规律为 dv / dt k v 2 t （k为常量），t =0 时, v=v0，求v与t 的函数关系。
解：
a =dv / dt k v t
0 t
d dv v 22 kdt v0 v 0 v
k 1 t kt 0 t v0 v v0
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0
小结
1. 求 v(t)、 v(x)的方法不同
2. 注意积分上、下限
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§1.3 曲线运动 Curvilinear Motion 分解成一系列圆周运动：
r r (1) r (0) j k m
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Notes: ① r ? S but dr ? dS ② r r and dr dr
[例题]
r (t )
O
r
Δ S
r r (t t )
r (t ) r ( t t ) O
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牛顿力学研究弱引力场中物体的低速机械运动 ——整个物理学的基础 ——广泛应用于工程技术
运动学 (kinematics)
只描述物体的运动，不涉及引起运动和改 变运动的原因
动力学 (dynamics) 静力学 (statics)
——动力学方程 研究运动与相互作用之间的关系 研究物体在相互作用下的平衡问题
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一些加速度值(m/s2)
子弹在枪膛中的加速度 5105
车祸瞬间的加速度
致人晕眩的加速度
1103
710
地球表面的重力加速度
月球表面的重力加速度
9.8
1.7
地球自转引起赤道上的加速度
地球公转的加速度 太阳绕银河系中心转动的加速度
3.410–2
610–3 310–10 20
问题——辨析
状态：体系的全部物理量的取值情况
2 …… d r (t ) , (t ) , a d r (t ) v(t ) p mv 2 dt dt
因此，质点的状态可用轨道来描述。
[思考] 氢原子中电子的状态能用轨道描述吗？
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2. 位移 Displacement
Z P1
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4. 加速度 Acceleration
v 平均加速度：a t 2 v dv d r 瞬时加速度：a lim 2 t 0 t d t dt 2 e.g. 设 r (t ) i t j t k (SI)
dr 则 v(t ) j 2tk (SI) dt dv 2 a (t ) 2k (m/s ) dt