2直线与双曲线的位置关系(好)

• 答案：C
课堂练习
x y 1、过双曲线 2 2 1 a 0, b 0 的右 a b
2
2
焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与
双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线 y 离心率的取值范围.
b tan 60 3 a b 2 2 e 1 ( ) 1 3 4 a
y - 8 = k x -1 由 2 ,得 2 y - 4x = 4
k
2
- 4 x + 2k k - 8 x + 8 - k - 4 = 0
2 2
典型例题:
k
2
- 4 x + 2k k - 8 x + 8 - k - 4 = 0
2 2
2 2 （6） 4 (15)
2
2
8 3
三.弦的中点问题(韦达定理与点差法）
解 : 假设存在P(x1 ,y1 ),Q(x 2 ,y 2 )为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
2 y12 1 x1 2 2 x 2 y2 1 2 2
点差法
Y
相交:1、两个交点
2、一个交点
O
X
总结
方程组解的个数
交点个数
两个交点
一个交点
0 个交点
相 交
相 切
相 交
相 离
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 何时相交 何时相切 ?
实践一下 !
练习题:
练习题 :已知双曲线C : 2x - y = 2与点P 1,2 .
2 2
1 求过点P 1,2 的直线l的斜率k的取值范围,
使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?
2 是否存在过P的弦AB, 使AB的中点为P? 3 若Q 1,1 , 试判断以点Q为中点的弦是否存在?
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1]
x y l : x 3 ,c : 1 9 16
2 2
2
2
相
切
[2]
4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16
回顾一下:判别式情况如何?
相
交
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1 ,y1 ),Q(x 2 ,y 2 )为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k ( x 1) 2 y2 1 x 2
2 k2 0 8 （3 - 2k） 0 x x 2 1 2
双曲线的性质(2)
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离判断方法（1）源自立方程组相切相交（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点 相切:一个交点
O X
相离:0个交点
3 1 k 2或k ; 2 2 存在直线y=x+1;
3 k 且k 2 2 3 k 2
3 不存在.
二、相交弦长问题
x y F2 , 倾斜角为45 0 1 的右焦点 例2、过双曲线 3 6
的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
解：由题意知：直线方程为：y x 3, y x 3 2 分析:求弦长问题有两种方法: 15 0 2 联立：x 得，x 2 6 x y 1 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 6 3 式代入求弦长; 设交点A（x1 , y1）B( x2 , y2 ) , 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 2 定理来处理. 则 AB 2 （x1 x2） 4 x1 x2
）与双曲
线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。 结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
1
2
设A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则x1 , x2是方程 1的两个不等实根.
∴Δ = 4k 8 - k -4 k 2 -4 8 - k 2 -4 > 0
2 2
弦AB的中点是P 1,8 ,
∵中点坐标公式与韦达定理,得 - 2 =1 k -4 1 由 2 3 得k = 2 1 直线AB的方程为y-8 = x 1 2
两式相减得： x1 x2）（x1 x2）（y1 y2）（y1 y2） （ 2
y1 - y 2 ∴ = 2，即k = 2 \ L方程为 : y - 1 = 2(x - 1) x1 - x2
2 y2 1 x 又： 消去y，得：x 2 4 x 3 0, 0, 2 2 y 1 2( x 1)
b x y l : y x m ,c : 2 2 1 a a b
根本就没有判别式 !
2
2
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
理论分析：
b 1.二次项系数为0时，直线L（K= a
2 2 2 2
相交(一个交点)
相离
练习:
1、已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ±
l
o
F
x
e∈[2，＋∞）
典型例题:
2 2
x y 例2 过双曲线 1的右焦点作 3 6 倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、B两点， y 求|AB|.
16 3 | A B |= 5
F1
o
A
B F2
x
典型例题: 例3.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的 一条弦AB，求直线AB的方程。 解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线 被双曲线截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设 其斜率为k。则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
②相切：一个交点:
③相离: 无交点
△=0
△＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法
判断下列直线与双曲线的位置关系
4 x y [1] l : y x 1 , c : 1 5 25 16 x y [2] l : y 2 x 1 , c : 1 5 4
３ １ 即：ｎ＝－ ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝ ｘ上，那么 ２ ２ １ ｎ＝ ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。 ２
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称
方法：设而不求(韦达定理、点差法)
(2009· 福建)已知双曲线
x2
12
－ ＝1 的右焦点为 F， 若过点 F 的直线 4
k 8- k
3
即直线AB的方程为x-2y+15 = 0
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
5 2
；
5 k 1 (5)与左支交于两点.2
y = kx - 1 2 解：由 2 2 得，x（ - k 2） 2k x 5 0 1 x - y = 4
y2 过点P(0,3)的直线l与双曲线C：x 2 1仅有 4 一个公共点，求直线l的方程。
无解，故满足条件的L不存在。
韦达定理
消y得 (2 k 2 ) x 2 2k (1 k ) x k 2 2k 3 0
问题四：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于 若存在，求a； 若不存在，说明理由.
y
1 x 对称， 2
（1）解：将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 3 - a 2 0 它有两个实根，必须, , 解得：a ( 6 , 6 )且a 3 △> 0 又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上， ∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,
判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）