2020版高中数学总复习教案及练习讲义归纳整理56巩固练习直线平面平行的判定和性质(提高)
2019-2020年高三数学总复习 直线与平面平行教案 理
2019-2020年高三数学总复习直线与平面平行教案理教材分析直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的,它是直线与直线平行的拓广,也是为今后学习平面与平面平行作准备.在直线与平面的三种位置关系中,平行关系占有重要地位,是今后学习的必备知识.所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点,难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题.突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化.教学目标1. 了解空间直线和平面的位置关系,理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤.2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用,进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力.3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力,进而使其养成实事求是的学习态度.任务分析这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳,证明与应用.学习时,要引导学生观察实物模型,分析生活中的实例,进而发现、归纳出数学事实,并在此基础上分析和探索定理的论证过程,区分判定定理和性质定理的条件和结论,理解定理的实质和直线与平面平行的判定.在运用性质时,要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握.教学设计一、问题情境教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄,都可以看作直线的一部分,这些直线与地平面有何位置关系?二、建立模型[问题一]1. 空间中的直线与平面有几种位置关系?学生讨论,得出结论:直线与平面平行、直线与平面相交(学生可能说出直线与平面垂直的情况,教师可作解释)及直线在平面内.2. 在上述三种位置中,直线与平面的公共点的个数各是多少?学生讨论,得出相关定义:若直线a与平面α没有公共点,则称直线与平面α平行,记作a∥α.若直线a与平面α有且只有一个公共点,则称直线a与平面α相交.当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内(或称直线a在平面α外).若直线a与平面α有两个公共点,依据公理1,知直线a上所有点都在平面α内,此时称直线a在平面α内.3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类?学生讨论,得出结论:方法1:按直线与平面公共点的个数分:[探索]直线与平面平行、相交的画法.教师用直尺、纸板演示,引导学生说明画法.1. 画直线在平面内时,要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部,如图16-1.2. 画直线与平面相交时要画出交点,如图16-2.3. 画直线与平面平行时,一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外,并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行,如图16-3.[问题二]1. 如何判定直线与平面平行?教师演示:(1)教师先将直尺放在黑板内,然后慢慢平移到平面外.(2)观察教室的门,然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉.学生讨论,归纳和总结,形成判定定理.定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.已知:aα,bα,a∥b.求证:a∥α.分析:要证明直线与平面平行,根据定义,只要证明直线与平面没有公共点,这时可考虑使用反证法.证明:假设a不平行于α,由aα,得a∩α=A.若A∈b,则与已知a∥b矛盾;若Ab,则a与b是异面直线,与a∥b矛盾.所以假设不成立,故a∥α.总结:此定理有三个条件,(1)aα,(2)bα,(3)a∥b.三个条件缺少一个就不能推出a∥α这一结论.此定理可归纳为“若线线平行,则线面平行”.2. 当直线与平面平行时,直线与平面内的直线有什么位置关系?是否平行?教师演示:教师先让直尺平行于讲桌面,再将纸板经过直尺,慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交.学生讨论得出:直尺平行于纸板与桌面的交线.师生共同归纳和总结,形成性质定理.定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.已知:l∥a,lβ,α∩β=m.求证:l∥m.证明:因为l∥α,所以l∩α=,又因为mα,所以l∩m=,由于l,m都在β内,且没有公共点,所以l∥m.总结:此定理的条件有三个:(1)l∥α,即线面平行.(2)lβ,即过线作面.(3)β∩α=m,即面面相交.三个条件缺一不可,此定理可简记为“若线面平行,则线与交线平行”.三、解释应用[例题]1. 已知:如图16-5,空间四边形ABCD,E,F分别是AB,AD的中点.求证:EF∥平面BCD.证明:连接BD,在△ABD中,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线,EF∥平面BCD,所以EF∥平面BCD.2. 求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,则这条直线在这个平面内.已知:l∥α,点P∈α,P∈m,m∥l(如图16-6).求证;mα.证明:设l与P确定的平面为β,且α∩β=m′,则l∥m′.又知l∥m,m∩m′=P,由平行公理可知,m与m′重合.所以mα.[练习]1. 已知:如图16-7,长方体AC′.求证:B′D′∥平面ABCD.2. 如图16-8,一个长方体木块ABCD-A1B1C1D1,如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,那么应该怎样画线?四、拓展延伸1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面,也平行于教室的一墙面,试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系?2. 已知:如图16-9,正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内,点M,N分别是对角线AC,BF上的点.问:当M,N 满足什么条件时,MN∥平面BCE.3. 如果三个平面两两相交于三条直线,那么这三条直线有怎样的位置关系.点评这篇案例从学生身边的实例出发,引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义,又通过演示,总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理,整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来,使学生能较好地理解和把握学科知识.同时,培养了学生的探索创新能力和实践能力,激发了学生的学习兴趣.2019-2020年高三数学总复习直线方程的几种形式教案理教材分析这节内容介绍了直线方程的几种主要形式:点斜式、两点式和一般式,并简单介绍了斜截式和截距式.直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础,因此它是本节学习的重点.在推导直线方程的点斜式时,要使学生理解:(1)建立点斜式的主要依据是,经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的,其斜率等于k.(2)在得出方程后,要把它变成方程y-y1=k(x-x1).因为前者表示的直线缺少一个点P1(x1,y1),而后者才是这条直线的方程.(3)当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为x=x1.在学习了点斜式的基础上,进一步介绍直线方程的其他几种形式:斜截式、两点式、截距式和一般式,并探索它们的适用范围和相互联系与区别.通过研究直线方程的几种形式,指出它们都是关于x,y的二元一次方程,然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系,使学生明确一个重要事实:在平面直角坐标系中,任何一条直线的方程,都可以写成关于x,y的一次方程;反过来,任何一个关于x,y的一次方程都表示一条直线,为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.因为这部分内容较为抽象,所以它是本节学习的难点.教学目标1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上,引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程,初步体会直线方程建立的方法.2. 理解和掌握直线方程的点斜式,并在此基础上研究直线方程的其他几种形式,掌握它们之间的联系与区别,并能根据条件熟练地求出直线方程.3. 理解直线和二元一次方程的关系,并能用直线方程解决和研究有关问题.4. 通过直线方程几种形式的学习,初步体会知识发生、发展和运用的过程,培养学生多向思维的能力.任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上,具体地研究直线方程的几种形式,而这几种形式的关键是推导点斜式方程.因此,在推导点斜式方程时,要使学生理解:已知直线的斜率和直线上的一个点,这条直线就确定了,进而直线方程也就确定了.求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示,这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程.在直线的点斜式方程基础上,由学生推出直线方程的其他几种形式,并使学生明确直线方程各种形式的使用范围,以及它们之间的联系与区别.对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点,在论证直线和方程的关系时,一方面分斜率存在与斜率不存在两类,另一方面又分B≠0与B=0两类.这种“两分法”的分类,科学严密,可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力.教学设计一、问题情境飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合.在平面直角坐标系中,直线也可以看作满足某种条件的点的集合.为研究直线问题,须要建立直线的方程.直线可由两点唯一确定,也可由一个点和一个方向来确定.如果已知直线上一个点的坐标和斜率,那么如何建立这条直线的方程呢?二、建立模型1. 教师提出一个具体的问题若直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线l上运动,那么点P的坐标满足什么条件?设点P的坐标为(x,y),那么当P在直线l上运动时(除点A外),点P与定点A确定的直线就是l,它的斜率恒为-2,所以=-2,即2x+y-1=0.显然,点A(-1,3)满足此方程,因此,当点P在直线l上运动时,其坐标(x,y)满足方程2x+y-1=0.2. 教师明晰一般地,设直线l经过点P1(x1,y1),且斜率为k,对于直线l上任意一点P (x,y)(不同于点P1),当点P在直线l上运动时,PP1的斜率始终为k,则,即y-y1=k(x-x1).可以验证:直线l上的每个点(包括点P1)的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,这个方程就是过点P1、斜率为k的方程,我们把这个方程叫作直线的点斜式方程.当直线l与x轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示,但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.思考:(1)方程与方程y-y1=k(x-x1)表示同一图形吗?(2)每一条直线都可用点斜式方程表示吗?[例题]求满足下列条件的直线方程.(1)直线l1:过点(2,5),k=-1.(2)直线l2:过点(0,1),k=-.(3)直线l3:过点(2,1)和点(3,4).(4)直线l4:过点(2,3)平行于y轴.(5)直线l5:过点(2,3)平行于x轴.参考答案:(1)x+y-7=0.(2)y=-x+1.(3)3x-y-5=0.(4)x=2.(5)y =3.[练习]求下列直线方程.(1)已知直线l的斜率为k,与y轴的交点P(0,b).(如果直线l的方程为y=kx+b,则称b是直线l在y轴上的截距,这个方程叫直线的斜截式方程)(2)已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).(如果直线l的方程为y-y1=(x-x1),(x1≠x2),则这个方程叫直线的两点式方程)(3)已知直线l经过两点A(a,0),B(0,b),其中ab≠0.(如果直线l的方程为,(ab≠0),则a,b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距,这个方程叫直线的截距式方程)进一步思考讨论:前面所学的直线方程的几种形式都是关于x,y的二元一次方程,那么任何一条直线的方程是否为关于x,y的二元一次方程?反过来,关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗?通过学生讨论后,师生共同明晰:在平面直角坐标系中,每一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程.事实上,当直线斜率存在时,它的方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,若设A =k,B=-1,C=b,它的方程可化为Ax+By+C=0;当直线斜率不存在时,它的方程可写成x=x1,即x-x1=0,设A=1,B=0,C=-x1,它的方程可化为Ax+By+C=0.即任何一条直线的方程都可以表示为Ax+By+C=0;反过来,关于x,y的二元一次方程Ax+By +C=0,(A,B不全为0)的图像是一条直线.事实上,对于方程Ax+By+C=0,(A,B不全为0),当B≠0时,方程可化为y=-x-,它表示斜率为-,在y轴上截距为-的直线;当B=0时,A≠0,方程可化为x=-,它表示一条与y轴平行或重合的直线.综上可知:在平面直角坐标系中,直线与关于x,y的二元一次方程是一一对应的.我们把方程Ax+By+C=0,(A,B不全为0)叫作直线的一般式方程.三、解释应用[例题]1. 已知直线l通过点(-2,5),且斜率为-.(1)求直线的一般式方程.(2)求直线在x轴、y轴上的截距.(3)试画出直线l.解答过程由学生讨论回答,教师适时点拨.2. 求直线l:2x-3y+6=0的斜率及在x轴与y轴上的截距.解:已知直线方程可化为y=x+2,所以直线l的斜率为,在y轴上的截距为2.在方程2x -3y+6=0中,令y=0,得x=-3,即直线在x轴上的截距为-3.[练习]1. 求满足下列条件的直线方程,并画出图形.(1)过原点,斜率为-2.(2)过点(0,3),(2,1).(3)过点(-2,1),平行于x轴.(4)斜率为-1,在y轴上的截距为5.(5)在x轴、y轴上的截距分别为3,-5.2. 求过点(3,-4),且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程.3. 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3.(2)直线l的斜率为1.(3)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10.四、拓展延伸1. 在直线方程y-1=k(x-1)中,k取所有实数,可得到无数条直线,这无数条直线具有什么共同特点?2. 在直线方程Ax+By+C=0中,当A,B,C分别满足什么条件时,直线有如下性质:(1)过坐标原点.(2)与两坐标轴都相交.(3)只与x轴相交.(4)只与y轴相交.(5)与x轴重合.(6)与y轴重合.3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系?你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗?参考答案:1. 直线过点(1,1),它不包括直线x=1.2. (1)C=0.A,B不全为0;(2)A,B都不为0.(3)A≠0,B=0,C≠0.(4)A=0,B≠0,C≠0.(5)A=0,B≠0,C=0.(6)A≠0,B=0,C=0.3. 略.点评这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上,通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程,然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程,在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式,并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围.在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程.在例题与练习的设计上,注意了层次性和知识的完整性的结合,在培养学生的能力上,注意了数学的本质是数学思维过程的教学,体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想.在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面,做了一些尝试,体现了新课程的教学理念,能够较好地完成本节的教育教学任务.。
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线、平面平行的判定及性质教案理(含解析)新人教A版
第4讲直线、平面平行的判定及性质基础知识整合1.直线与平面平行(1)判定定理(2)性质定理2.平面与平面平行(1)判定定理(2)性质定理1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.1.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线( ) A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,且在平面α内C.有无数条,一定在平面α内D.有无数条,不一定在平面α内答案B解析过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.2.(2019·吉林普通中学模拟)已知α,β表示两个不同的平面,直线m是α内一条直线,则“α∥β "是“m∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由α∥β,m⊂α,可得m∥β;反过来,由m∥β,m⊂α,不能推出α∥β。
综上,“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.3.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为()A.10 B.20C.8 D.4答案B解析设截面四边形为EFGH,F,G,H分别是BC,CD,DA的中点,∴EF=GH=4,FG=HE =6.∴周长为2×(4+6)=20.4.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论:①PD∥平面AMC;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC。
其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3 D.4答案C解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是△PBD的中位线,OM∥PD,则PD∥平面AMC,OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA,平面PBC相交.5.(2019·南通模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为________.答案平行解析取PD的中点F,连接EF,AF,在△PCD中,EF綊错误!CD。
(浙江专用)2020版高考数学直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)
§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?提示不都平行.该平面内的直线有两类,一类与该直线平行,一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.,基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行,则a// a .( x )⑹若 a //。
,直线all a,贝U a//。
.( X )题组二教材改编2.[P58练习T3]平面a //平面。
的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。
B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也,b? (3 , a//。
,b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。
,b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。
,则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。
,故排除 B.若 a n 3 = l,a?济,all l , b?。
2020版高中数学高一必修2教案及练习归纳整理14巩固练习直线平面平行的判定提高
【巩固练习及参考答案与解析】1.下列命题(其中a 、b 表示直线,α表示平面)中,正确的个数是( ).①若a ∥b,b α⊂,则a ∥α;②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ;③若a ∥b,b ∥α,则a ∥α;④若a ∥α,b α⊂,则a ∥b.A.0B.1C.2D.32.下列命题中,正确的个数是( ).①若两个平面没有公共点,则这两个平面平行;②垂直于同一直线的两个平面平行;③平行于同一直线的两个平面平行;④平行于同一平面的两个平面平行. A.1 B.2 C.3 D.43.已知平面α,β和直线,,a b c ,给出下列条件: ①//,//a c b c ; ②//,//,//a b αβαβ; ③,,//a b αβαβ⊂⊂。
其中可以使结论//a b 成立的条件有( ) A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①4.过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线,其中与平面11DBB D 平行的直线共有( )A.4条B.6条C.8条D.12条 5.已知m,n 是两条直线,α、β是两个平面.有以下命题:①m,n 相交且都在平面α、β外,m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,则α∥β;②若m ∥α,m ∥β,则α∥β;③若m ∥α,n ∥β,m ∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.36.(2016 北京)在正方体ABCD —1111A B C D 中,E ,F ,G 分别是11A B ,11B C ,1BB 的中点,给出下列四个推断:①FG ∥平面11AA D D ;②EF ∥平面11BC D ; ③FG ∥平面11BC D ;④平面EFG ∥平面11BC D其中推断正确的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④7.过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条;过平面外一点与已知平面平行的直线有 条,与已知平面平行的平面有 个。
8.当//,//αβγβ,则α与γ的关系是 。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂:直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明:PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一:如图,取 B1B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE、QF、EF, 因为在三角形 A1B1B 中,P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点,
举一反三: 【变式】(2015 春 澄城县期末)如图所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形, ED⊥面 ABCD,连结 AC,AC∩BD=O, (Ⅰ)求证:面 BCF∥面 AED; (Ⅱ)求证:AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高.
【证明】(Ⅰ)在矩形 BDEF 中,FB∥ED, ∵FB 不包含于平面 AED,ED 平面 AED, ∴FB∥平面 AED, 同理,BC∥平面 AED, 又 FB∩BC=B, ∴平面 FBC∥平面 EDA. (Ⅱ)解:∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, ∵ED⊥面 ABCD,AC 面 ABCD,
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
2、 符号语言: 3、 面面平行的另一性质: 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
符号语言:
.
要点诠释:
平面与平面平行的判定与性质,同直线与平面平行的判定与性质一样,体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图:
性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行,注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
2020年人教版高考数学 复习重点--第7篇 第4讲 直线、平面平行的判定与性质
第4讲直线、平面平行的判定与性质[最新考纲]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质学生用书第114页辨析感悟1.对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(×)(4)若直线a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)2.对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(×)(6)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)(7)(教材练习改编)设l为直线,α,β是两个不同的平面,若l∥α,l∥β,则α∥β.(×) [感悟·提升]三个防范一是推证线面平行时,一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内,如(1)、(3).二是推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面,如(5).三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时,必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行,如(2)、(4).考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】(1)(2013·广东卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是().A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β(2)设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列结论中正确的是().A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥βD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β解析(1)A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中m与n可平行、可异面;C中,若α∥β,仍然满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误;故D正确.(2)A错误,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面β相交;C错误,n也有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,∴n∥β,若m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,∴n∥l,又n⊄β,l⊂β,∴n∥β.答案(1)D(2)D规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是().A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥α(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为().A.3 B.2 C.1 D.0解析(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与α相交或b⊂α或b ∥α时,均满足直线a⊥b,且直线a∥平面α的情况,故选D.(2)①中,当α与β相交时,也能存在符合题意的l,m;②中,l与m也可能异面;③中,l∥γ,l⊂β,β∩γ=m⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.答案(1)D(2)C考点二线面平行的判定与性质【例2】如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′-MNC的体积.(1)证明法一连接AB′,AC′,如图,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图,而M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′,所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′.(2)解法一连接BN,如图,由题意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=12B′C′=1,规律方法判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义,一般用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【训练2】如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,G为DE的中点.证明:直线HG∥平面CEF.证明法一如图1,连接BH,BH与CF交于K,连接EK.∵F,H分别是AB,AC的中点,∴K是△ABC的重心,∴BKBH=2 3.又据题设条件知,BEBG=2 3,∴BKBH=BEBG,∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF,GH⊄平面CEF,∴直线HG∥平面CEF.图1图2法二如图2,取CD的中点N,连接GN、HN. ∵G为DE的中点,∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF,GN⊄平面CEF,∴GN∥平面CEF.连接FH,EN∵F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,∴FH綉12BC,EN綉12BC,∴FH綉EN,∴四边形FHNE为平行四边形,∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF,HN⊄平面CEF,∴HN∥平面CEF.HN∩GN=N,∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN,∴直线HG∥平面CEF.考点三面面平行的判定与性质【例3】(2013·陕西卷)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1= 2.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.审题路线 (1)判定四边形BB 1D 1D 是平行四边形⇒BD ∥B 1D 1⇒BD ∥平面CD 1B 1⇒同理推出A 1B ∥平面CD 1B 1⇒面A 1BD ∥面CD 1B 1.(2)断定A 1O 为三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高⇒用勾股定理求A 1O ⇒求S △ABD ⇒求.(1)证明 由题设知,BB 1綉DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1, ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綉B 1C 1綉BC ,∴四边形A 1BCD 1是平行四边形, ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1, ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B =B , ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD , ∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高. 又∵AO =12AC =1,AA 1=2,∴A 1O =AA 21-OA 2=1.又∵S △ABD =12×2×2=1,规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明;②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; ④借助“传递性”来完成.(2)面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又可转化为线线平行,需要注意转化思想的应用.【训练3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面PMN∥平面A1BD.证明法一如图,连接B1D1,B1C.∵P,N分别是D1C1,B1C1的中点,∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD,∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,∴平面PMN∥平面A1BD.法二如图,连接AC1,AC,且AC∩BD=O,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴AC⊥BD,CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,又AC∩CC1=C,∴BD⊥平面AC1C,∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B,∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN,∴平面PMN∥平面A1BD.1.平行关系的转化方向如图所示:2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.学生用书第116页答题模板8——如何作答平行关系证明题【典例】(12分)(2012·山东卷,文)如图1,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.图1图2[规范解答] (1)如图2,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD,又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO,又O为BD的中点,所以BE=DE.图3(2)法一如图3,取AB的中点N,连接DM,DN,MN,因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,∴MN∥平面BEC.(7分) 又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°,所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.图4法二如图4,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=12AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点.连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DM∥EF.(11分)又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.[反思感悟] 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求,每步推理要有理有据,不可跨度太大,以免漏掉得分点.本题易忽视DM⊄平面EBC,造成步骤不完整而失分.答题模板证明线面平行问题的答题模板(一)第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;第二步:证明线线平行;第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行;第四步:反思回顾.检查关键点及答题规范.证明线面平行问题的答题模板(二)第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面;第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行;第三步:证明所作平面与所证平面平行;第四步:转化为线面平行;第五步:反思回顾.检查答题规范.【自主体验】(2013·福建卷改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,AB =6,DC =3,若M 为P A 的中点,求证:DM ∥平面PBC .证明 法一 取PB 中点N ,连接MN ,CN .在△P AB 中,∵M 是P A 的中点,∴MN ∥AB ,且MN =12AB =3,又CD ∥AB ,CD =3,∴MN 綉CD ,∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ,CN ⊂平面PBC ,∴DM ∥平面PBC .法二 取AB 的中点E ,连接ME ,DE .在梯形ABCD 中,BE ∥CD ,且BE =CD ,∴四边形BCDE 为平行四边形,∴DE ∥BC ,又DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中,ME ∥PB ,ME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ,∴ME ∥平面PBC ,又DE ∩ME =E ,∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ,∴DM ∥平面PBC .对应学生用书P313基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知直线a,b,c及平面α,β,下列条件中,能使a∥b成立的是().A.a∥α,b⊂αB.a∥α,b∥αC.a∥c,b∥c D.a∥α,α∩β=b解析由平行公理知C正确,A中a与b可能异面.B中a,b可能相交或异面,D中a,b可能异面.答案 C2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是().A.平行B.平行和异面C.平行和相交D.异面和相交解析∵AB∥CD,AB⊂α,CD⊄α⇒CD∥α,∴CD和平面α内的直线没有公共点.答案 B3.(2014·陕西五校一模)已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是().A.存在一条直线b,a∥b且b⊂αB.存在一条直线b,a⊥b且b⊥αC.存在一个平面β,a⊂β且α∥βD.存在一个平面β,a∥β且α∥β解析在A,B,D中,均有可能a⊂α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面,故C正确.答案 C4.(2014·汕头质检)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是().A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线B.若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线C.已知α,β互相平行,m,n互相平行,若m∥α,则n∥βD.若m,n在平面α内的射影互相平行,则m,n互相平行解析A中,m,n可为相交直线;B正确;C中,n可以平行β,也可以在β内;D中,m,n也可能异面.答案 B5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则().A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形解析如图,由题意知EF∥BD,且EF=15BD.HG∥BD,且HG=12BD.∴EF∥HG,且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形.又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行.故选B. 答案 B二、填空题6.(2014·南京一模)下列四个命题:①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;③如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行;④如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.其中所有真命题的序号是________.解析根据空间点、线、面间的位置关系,过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直,故①正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故②不正确;根据平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行,故③正确;根据两个平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内,故④正确.从而正确的命题有①③④.答案①③④7.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.解析如图.连接AC,BD交于O点,连接OE,因为OE∥BD1,而OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案平行8.(2014·金丽衢十二校联考)设α,β,γ是三个平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上).解析由面面平行的性质定理可知,①正确;当b∥β,a⊂γ时,a和b在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.答案①或③三、解答题9.(2014·青岛一模)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,N是PB中点,过A,N,D三点的平面交PC于M.(1)求证:PD∥平面ANC;(2)求证:M是PC中点.证明(1)连接BD,AC,设BD∩AC=O,连接NO,∵ABCD是平行四边形,∴O是BD中点,在△PBD中,又N是PB中点,∴PD∥NO,又NO⊂平面ANC,PD⊄平面ANC,∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,又∵BC⊄平面ADMN,AD⊂平面ADMN,∴BC∥平面ADMN,因平面PBC∩平面ADMN=MN,∴BC∥MN,又N是PB中点,∴M是PC中点.10.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,∴BG綉A1E,∴A1G綉BE.又同理,C1F綉B1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形,∴FG綉C1B1綉D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.∴A1G綉D1F,∴D1F綉EB,故E、B、F、D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点,∴B1H=3 2.又B1G=1,∴B1GB1H=23.又FCBC=23,且∠FCB=∠GB1H=90°,∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,∴平面A1GH∥平面BED1F.能力提升题组(建议用时:25分钟)一、选择题1.(2014·蚌埠模拟)设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是().A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2解析对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α,又l1与l2相交,故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由n∥l2可转化为n∥β,同选项C,故不符合题意.答案 B2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是().A.①③B.②③C.①④D.②④解析对于图形①:平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP,对于图形④:AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP,图形②,③都不可以,故选C.答案 C二、填空题3.(2014·陕西师大附中模拟)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是棱CC 1,C 1D 1,D 1D ,DC 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 满足条件________时,有MN ∥平面B 1BDD 1.解析 如图,连接FH ,HN ,FN ,由题意知HN ∥面B 1BDD 1,FH ∥面B 1BDD 1.且HN ∩FH =H ,∴面NHF ∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时,有MN ∥面B 1BDD 1.答案 M ∈线段HF三、解答题4.(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ,N 分别是AF ,BC 的中点).(1)求证:MN ∥平面CDEF ;(2)求多面体A -CDEF 的体积.解 由三视图可知:AB =BC =BF =2,DE =CF =22,∠CBF =π2.(1)证明:取BF 的中点G ,连接MG ,NG ,由M ,N 分别为AF ,BC的中点可得,NG ∥CF ,MG ∥EF ,且NG ∩MG =G ,CF ∩EF =F ,∴平面MNG∥平面CDEF,又MN⊂平面MNG,∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH= 2.S矩形CDEF=DE·EF=42,∴棱锥A-CDEF的体积为V=13·S矩形CDEF·AH=13×42×2=83.学生用书第117页。
2020年高三数学第一轮复习教案-立体几何-第三节 直线、平面平行的判定及其性质
第三节 直线、平面平行的判定及其性质
【知识必备】
知识点一 直线与平面平行的判Fra bibliotek定理和性质定理
【知识必备】
知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
【知识必备】
知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
1.平面与平面平行还有如下判定: 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么 这两个平面互相平行.
D
【典题演练】
A
【典题演练】 ①②④ B
【典题演练】
【作 业】
完成课时作业(三十八)
再见
【知识必备】
知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理 2.平面与平面平行还有如下性质: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 直线、平面平行的判定及其性质教案(理)(含解析)苏教版
第三节直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定定理和性质定理2.平面与平面平行的判定定理和性质定理[小题体验]1.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,有下列命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.答案:②2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________.解析:因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,所以CD∥平面α,所以CD与平面α内的直线可能平行,也可能异面.答案:平行或异面3.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论:①PD∥平面AMC;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有________.解析:因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在△PBD中,M 是PB的中点,所以OM是△PBD的中位线,OM∥PD,则PD∥平面AMC,OM∥平面PCD,且OM ∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交,故正确的个数为3.答案:31.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.[小题纠偏]1.在长方体的各面中,和其中一条棱平行的平面有______个.解析:借助长方体的直观图易知,在长方体的六个面中,和其中一条棱平行的平面有2个.答案:22.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析:当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/ α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案:必要不充分考点一直线与平面平行的判定与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线面平行是高考热点,多出现在解答题中.常见的命题角度有:(1)证明直线与平面平行;(2)线面平行性质定理的应用.[题点全练]角度一:证明直线与平面平行1.如图,在正方体ABCDA 1B1C1D1中,点M,N,P分别为棱AB,BC,C1D1的中点.求证:AP∥平面C1MN.证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为点M,P分别为棱AB,C1D1的中点,所以AM=PC1.又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1,所以四边形AMC1P为平行四边形,所以AP∥C1M.又AP⊄平面C1MN,C1M⊂平面C1MN,所以AP∥平面C1MN.角度二:线面平行性质定理的应用2.如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,四条侧棱均相等.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH .求证:GH∥EF.证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.[通法在握]证明直线与平面平行的3种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面[演练冲关]如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1=4,M是棱CC1上的一点.若点N是AB的中点,且CN∥平面AB1M,求CM的长.解:法一:如图,取AB1的中点P,连结NP,PM.又因为点N是AB的中点,所以NP∥BB1.因为CM∥BB1,所以NP 与CM 共面.因为CN ∥平面AB 1M ,平面CNPM ∩平面AB 1M =PM ,所以CN ∥PM . 所以四边形CNPM 为平行四边形, 所以CM =NP =12CC 1=2.法二:如图,取BB 1的中点Q ,连结N Q ,C Q. 因为点N 是AB 的中点, 所以N Q ∥AB 1.因为N Q ⊄平面AB 1M ,AB 1⊂平面AB 1M , 所以N Q ∥平面AB 1M .因为CN ∥平面AB 1M ,N Q ∩CN =N ,N Q ⊂平面N Q C ,CN ⊂平面N Q C , 所以平面N Q C ∥平面AB 1M .又因为平面BCC 1B 1∩平面N Q C =C Q ,平面BCC 1B 1∩平面AB 1M =MB 1, 所以C Q ∥MB 1.因为BB 1∥CC 1,所以四边形C Q B 1M 是平行四边形, 所以CM =B 1Q =12CC 1=2.考点二 平面与平面平行的判定与性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证:(1)B ,C ,H ,G 四点共面; (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明:(1)因为GH 是△A 1B 1C 1的中位线, 所以GH ∥B 1C 1. 又因为B 1C 1∥BC , 所以GH ∥BC ,所以B ,C ,H ,G 四点共面. (2)因为E ,F 分别为AB ,AC 的中点, 所以EF ∥BC ,因为EF ⊄平面BCHG ,BC ⊂平面BCHG , 所以EF ∥平面BCHG .因为A 1G 綊EB ,所以四边形A 1EBG 是平行四边形,因为A 1E ⊄平面BCHG ,GB ⊂平面BCHG , 所以A 1E ∥平面BCHG . 因为A 1E ∩EF =E , 所以平面EFA 1∥平面BCHG .[由题悟法]判定平面与平面平行的4种方法(1)面面平行的定义,即证两个平面没有公共点; (2)面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)利用平面平行的传递性,两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.[即时应用]1.如图,平面α内有△ABC ,AB =5,BC =8,AC =7,梯形BCDE 的底DE =2,过EB 的中点B 1的平面β∥α,若β分别交EA ,DC 于点A 1,C 1,求△A 1B 1C 1的面积.解:因为α∥β, 所以A 1B 1∥AB ,B 1C 1∥BC , 又因为∠A 1B 1C 1与∠ABC 同向. 所以∠A 1B 1C 1=∠ABC .又因为cos ∠ABC =52+82-722×5×8=12,所以∠ABC =∠A 1B 1C 1=60°. 又因为B 1为EB 的中点, 所以B 1A 1是△EAB 的中位线,所以B 1A 1=12AB =52,同理知B 1C 1为梯形BCDE 的中位线, 所以B 1C 1=12(BC +DE )=5.则S 111A B C V =12A 1B 1×B 1C 1×sin 60°=12×52×5×32=2538. 故△A 1B 1C 1的面积为2538.2.如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形,M ,N ,G 分别是AB ,AD ,EF 的中点,求证:(1)BE ∥平面DMF ; (2)平面BDE ∥平面MNG .证明:(1)如图,连结AE ,设DF 与GN 的交点为O , 则AE 必过DF 与GN 的交点O , 连结MO ,则MO 为△ABE 的中位线,所以BE ∥MO ,又BE ⊄平面DMF ,MO ⊂平面DMF , 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,DE∩BD=D,所以平面BDE∥平面MNG.考点三立体几何中的探索性问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.解:法一:假设在棱AB上存在点E,使得DE∥平面AB1C1,如图,取BB1的中点F,连结DF,EF,ED,则DF∥B1C1,又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1,又DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面AB1C1,因为EF⊂平面DEF,所以EF∥平面AB1C1,又因为EF⊂平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,所以EF∥AB1,因为点F是BB1的中点,所以点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.法二:存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图,取BB1的中点F,连结DF,则DF∥B1C1.因为DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.因为AB的中点为E,连结EF,ED,则EF∥AB1.因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.[由题悟法]探索性问题的一般解题方法先假设其存在,然后把这个假设作为已知条件,和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算.在推理论证和计算无误的前提下,如果得到了一个合理的结论,则说明存在;如果得到了一个不合理的结论,则说明不存在.[即时应用]1.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,点P为DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1B Q∥平面PAO.解析:点Q 为CC 1的中点时,平面D 1B Q ∥平面PAO . 因为点P 为DD 1的中点,所以Q B ∥PA .又Q B ⊄平面PAO ,PA ⊂平面PAO ,所以Q B ∥平面PAO . 连结DB ,因为点P ,O 分别是DD 1,DB 的中点, 所以D 1B ∥PO .又D 1B ⊄平面PAO ,OP ⊂平面PAO ,所以D 1B ∥平面PAO . 又D 1B ∩Q B =B ,D 1B ⊂平面D 1B Q , Q B ⊂平面D 1B Q , 所以平面D 1B Q ∥平面PAO .故点Q 满足条件Q 为CC 1的中点时,有平面D 1B Q ∥平面PAO . 答案:Q 为CC 1的中点2.如图,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AD ∥BC ,AD =6,BC =4,E ,F 分别在BC ,AD 上,EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE =1,在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ,且AP ―→=λPD ―→,使得CP ∥平面ABEF ?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.解:AD 上存在一点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时λ=32.理由如下:当λ=32时,AP ―→=32PD ―→,可知AP AD =35,如图,过点P 作MP∥FD 交AF 于点M ,连结EM ,PC ,则有MP FD =AP AD =35, 又BE =1,可得FD =5,故MP =3, 又EC =3,MP ∥FD ∥EC ,故有MP 綊EC ,故四边形MPCE 为平行四边形, 所以CP ∥ME ,又ME ⊂平面ABEF ,CP ⊄平面ABEF , 故有CP ∥平面ABEF .一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·汇龙中学测试)已知直线a 与直线b 平行,直线a 与平面α平行,则直线b 与α的位置关系为________.解析:依题意,直线a 必与平面α内的某直线平行,又a ∥b ,因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内. 答案:平行或直线b 在平面α内2.(2018·南京模拟)在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB =CF ∶FB =1∶2,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________.解析:如图,由AE EB =CF FB得AC ∥EF . 又因为EF ⊂平面DEF ,AC ⊄平面DEF , 所以AC ∥平面DEF . 答案:AC ∥平面DEF3.(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,下列四对截面中彼此平行的是________(填序号).①平面A 1BC 1和平面ACD 1; ②平面BDC 1和平面B 1D 1A ; ③平面B 1D 1D 和平面BDA 1; ④平面ADC 1和平面A 1D 1C .解析:如图,结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A 1BC 1∥平面ACD 1,平面BDC 1∥平面B 1D 1A .答案:①②4.如图,α∥β,△PAB 所在的平面与α,β分别交于CD ,AB ,若PC =2,CA =3,CD =1,则AB =________.解析:因为α∥β,所以CD ∥AB , 则PC PA =CD AB ,所以AB =PA ×CD PC =5×12=52. 答案:525.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MN Q 平行的是________.(填序号)解析:因为点M,N,Q分别为所在棱的中点,所以在①中AB与平面MN Q相交,在②③中均有AB∥M Q,在④中,有AB∥N Q,所以在②③④中均有AB与平面MN Q平行.答案:②③④二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·滨海期末)已知m,n是不重合的直线,α,β,γ是不重合的平面,已知α∩β=m,n⊂γ,若增加一个条件就能得出m∥n,则下列条件中能成为增加条件的序号是________.①m∥γ,n∥β;②α∥γ,n⊂β;③n∥β,m⊂γ.解析:对于①,若β∥γ,由m⊂β,满足m∥γ,由n⊂γ,满足n∥β,但m,n可为异面直线,则不成立;对于②,由α∥γ,且α∩β=m,β∩γ=n,由面面平行的性质定理可得m∥n,则成立;对于③,n∥β,m⊂γ,则γ∩β=m,由线面平行的性质定理可得n∥m,则成立.答案:②或③2.(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角,且被两平面所截得的线段长为2,那么这两个平行平面间的距离是________.解析:由题意知,两个平行平面间的距离d=2sin 30°=1.答案:13.(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCDA1B1C1D1,下列结论中,正确的是________(填序号).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.解析:如图,因为AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD 1∥BC 1,从而①正确;易证AB 1∥DC 1,BD ∥B 1D 1,又AB 1∩B 1D 1=B 1,BD ∩DC 1=D ,故平面AB 1D 1∥平面BDC 1,从而②正确;由图易知AD 1与DC 1异面,故③错误;因为AD 1∥BC 1,AD 1⊄平面BDC 1,BC 1⊂平面BDC 1,所以AD 1∥平面BDC 1,故④正确.答案:①②④4.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形; ②水面EFGH 所在四边形的面积为定值; ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行; ④当容器倾斜如图所示时,BE ·BF 是定值. 其中正确命题的个数是________.解析:由题图,显然①是正确的,②是错误的; 对于③,因为A 1D 1∥BC ,BC ∥FG , 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH , 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面). 所以③是正确的;对于④,因为水是定量的(定体积V ), 所以S △BEF ·BC =V ,即12BE ·BF ·BC =V .所以BE ·BF =2VBC(定值),即④是正确的.答案:35.在三棱锥P ABC 中,PB =6,AC =3,G 为△PAC 的重心,过点G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC ,则截面的周长为________.解析:如图,过点G 作EF ∥AC ,分别交PA ,PC 于点E ,F ,过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ,过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ,连接MN ,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面),且EF =MN =23AC =2,FM =EN =13PB=2,所以截面的周长为2×4=8.答案:86.设α,β,γ是三个平面,a ,b 是两条不同直线,有下列三个条件: ①a ∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上).解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当b ∥β,a ⊂γ时,a 和b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.答案:①或③7.(2018·盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1,E 为棱AD 的中点,现有一只蚂蚁从点B 1出发,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1表面上行走一周后再回到点B 1,这只蚂蚁在行走过程中与平面A 1EB 的距离保持不变,则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________.解析:要满足题意,则需在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上过B 1作与平面A 1EB 平行的平面.取A 1D 1和BC 的中点分别为F ,G ,连结B 1F ,FD ,DG ,GB 1,则A 1F 綊ED ,所以四边形A 1FDE 是平行四边形,所以A 1E ∥FD .因为FD ⊄平面A 1EB ,A 1E ⊂平面A 1EB ,所以FD ∥平面A 1EB .同理:DG ∥平面A 1EB .又FD ∩DG =D ,所以平面DFB 1G ∥平面A 1EB ,则四边形DFB 1G 所围成图形的面积即为所求.易知四边形DFB 1G 为菱形,由正方体的棱长为2,得菱形DFB 1G 的边长为5,cos ∠A 1EB =15,∴sin ∠A 1EB =265,∵∠A 1EB =∠FDG ,∴S 菱形DFB 1G =5×5×sin∠FDG =2 6. 答案:2 68.(2019·海安中学检测)如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱BC ,CC 1的中点,P 是侧面BCC 1B 1内一点,若A 1P ∥平面AEF ,则线段A 1P 长度的取值范围是________.解析:取B 1C 1的中点M ,BB 1的中点N ,连结A 1M ,A 1N ,MN ,可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ,所以点P 位于线段MN 上, 因为A 1M =A 1N =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=52,MN = ⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=22, 所以当点P 位于M ,N 处时,A 1P 的长度最长,取MN 的中点O ,连结A 1O ,当P 位于MN 的中点O 时,A 1P 的长度最短, 此时A 1O =⎝ ⎛⎭⎪⎫522-⎝ ⎛⎭⎪⎫242=324, 所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ,即324≤A 1P ≤52,所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324,52. 答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤324,52 9.如图,在四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC ,AB =BC =12AD ,E ,F ,H 分别为线段AD ,PC ,CD 的中点,AC 与BE 交于O 点,G 是线段OF 上一点.求证:(1)AP ∥平面BEF ; (2)GH ∥平面PAD . 证明:(1)连结EC , 因为AD ∥BC ,BC =12AD ,所以BC 綊AE ,所以四边形ABCE 是平行四边形, 所以O 为AC 的中点.又因为F 是PC 的中点,所以FO ∥AP , 因为FO ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF , 所以AP ∥平面BEF .(2)连结FH ,OH ,因为F ,H 分别是PC ,CD 的中点, 所以FH ∥PD ,因为PD ⊂平面PAD ,FH ⊄平面PAD , 所以FH ∥平面PAD .又因为O 是AC 的中点,H 是CD 的中点, 所以OH ∥AD ,因为AD ⊂平面PAD ,OH ⊄平面PAD , 所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH =H ,所以平面OHF ∥平面PAD . 因为GH ⊂平面OHF ,所以GH ∥平面PAD .10.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是BC ,CC 1,C 1D 1,A 1A 的中点.求证:(1)BF ∥HD 1; (2)EG ∥平面BB 1D 1D ; (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)如图所示,取BB 1的中点M ,连结MH ,MC 1, 易证四边形HMC 1D 1是平行四边形, 所以HD 1∥MC 1.又因为MC 1∥BF ,所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ,连结EO ,D 1O ,则OE 綊12DC ,又D 1G 綊12DC ,所以OE 綊D 1G ,所以四边形OEGD 1是平行四边形, 所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ,D 1O ⊂平面BB 1D 1D , 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (3)由(1)知BF ∥HD 1,又BD ∥B 1D 1,B 1D 1,HD 1⊂平面B 1D 1H ,BF ,BD ⊂平面BDF ,且B 1D 1∩HD 1=D 1,DB ∩BF =B , 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·扬州期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4,则这两个平面之间的距离为________.解析:∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4,∴圆心到两个平面的距离分别为: 52-32=4,52-42=3,∴当两个平面位于球心同侧时,两平面间的距离为4-3=1,当两个平面位于球心异侧时,两平面间的距离为4+3=7.答案:1或72.如图所示,设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且AP =a3,过B 1,D 1,P 的平面交平面ABCD 于P Q ,Q在直线CD 上,则P Q =________.解析:因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,而平面B 1D 1P ∩平面ABCD =P Q ,平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1=B 1D 1,所以B 1D 1∥P Q. 又因为B 1D 1∥BD , 所以BD ∥P Q , 设P Q ∩AB =M , 因为AB ∥CD , 所以△APM ∽△DP Q.所以P Q PM =PDAP=2,即P Q =2PM . 又知△APM ∽△ADB ,所以PM BD =AP AD =13,所以PM =13BD ,又BD =2a ,所以P Q =223a .答案:223a3.(2019·南通调研)如图,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,E ,F 分别为CC 1,BB 1上的点,且EC =B 1F ,过点B 做截面BMN ,使得截面交线段AC于点M ,交线段CC 1于点N .(1)若EC =3BF ,试确定M ,N 的位置,使平面BMN ∥平面AEF ,并说明理由;(2)若K ,R 分别为AA 1,C 1B 1的中点,求证:KR ∥平面AEF .解:(1)当AM AC =EN EC =13时,平面BMN ∥平面AEF .理由如下:∵EN =13EC ,BF =13EC ,∴EN 綊BF ,∴四边形BFEN 是平行四边形, ∴BN ∥EF .∵AM AC =ENEC,∴MN ∥AE ,∵MN ⊂平面BMN ,BN ⊂平面BMN ,且MN ∩BN =N ,AE ⊂平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,且AE ∩EF =E ,∴当AM AC =EN EC =13时,平面BMN ∥平面AEF .(2)证明:连结BC 1,交FE 于点Q ,连结Q R . ∵△B Q F ≌△C 1Q E ,∴B Q =C 1Q , ∴Q R ∥BB 1,且Q R =12BB 1,∴Q R 綊AK .∴四边形AKR Q 为平行四边形. 连结A Q ,则A Q ∥KR ,∵A Q ⊂平面AEF ,KR ⊄平面AEF , ∴KR ∥平面AEF .。
(浙江专用)2020版高考数学 直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)
§8.4直线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析理解空间线面平行、面面平行的判定定理和性质定理.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想.1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)错误!⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)错误!⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行错误!⇒a∥b概念方法微思考1.一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?提示不都平行.该平面内的直线有两类,一类与该直线平行,一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( ×)(2)平行于同一条直线的两个平面平行.( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ×)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ×)(6)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( ×)题组二教材改编2.[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α答案 D解析若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.3.[P62A组T3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.答案平行解析连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD1∥平面ACE.题组三易错自纠4.对于空间中的两条直线m,n和一个平面α,下列命题是真命题的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥n D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n答案 D解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.5.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.6.设α,β,γ为三个不同的平面,a ,b 为直线,给出下列条件: ①a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α;②α∥γ,β∥γ; ③α⊥γ,β⊥γ;④a ⊥α,b ⊥β,a ∥b .其中能推出α∥β的条件是______.(填上所有正确的序号) 答案 ②④解析 在条件①或条件③中,α∥β或α与β相交; 由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,条件②满足;在④中,a ⊥α,a ∥b ⇒b ⊥α,又b ⊥β,从而α∥β,④满足.题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 (2018·绍兴模拟)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,点M ,N 分别为A 1C 1,AB 1的中点.(1)证明:MN ∥平面BB 1C 1C ;(2)若CM ⊥MN ,求三棱锥M —NAC 的体积.(1)证明 连接A 1B ,BC 1,点M ,N 分别为A 1C 1,A 1B 的中点,所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线,所以MN ∥BC 1,又MN ⊄平面BB 1C 1C ,BC 1⊂平面BB 1C 1C , 所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 设点D ,E 分别为AB ,AA 1的中点,AA 1=a ,连接ND ,CD ,则CM 2=a 2+1,MN 2=1+a 2+44=a 2+84,CN 2=a 24+5=a 2+204,由CM ⊥MN ,得CM 2+MN 2=CN 2, 解得a =2,又NE ⊥平面AA 1C 1C ,NE =1,V 三棱锥M —NAC =V 三棱锥N —AMC =13S △AMC ·NE=13×12×2×2×1=23. 所以三棱锥M —NAC 的体积为23. 命题点2 直线与平面平行的性质例2在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是线段AD ,PB 的中点,PA =AB =1.(1)证明:EF ∥平面PDC ; (2)求点F 到平面PDC 的距离.(1)证明 取PC 的中点M ,连接DM ,MF ,∵M ,F 分别是PC ,PB 的中点, ∴MF ∥CB ,MF =12CB ,∵E 为DA 的中点,四边形ABCD 为正方形, ∴DE ∥CB ,DE =12CB ,∴MF ∥DE ,MF =DE ,∴四边形DEFM 为平行四边形, ∴EF ∥DM ,∵EF ⊄平面PDC ,DM ⊂平面PDC , ∴EF ∥平面PDC .(2)解 ∵EF ∥平面PDC ,∴点F 到平面PDC 的距离等于点E 到平面PDC 的距离. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴PA ⊥DA ,在Rt△PAD 中,PA =AD =1, ∴DP =2, ∵PA ⊥平面ABCD , ∴PA ⊥CB ,∵CB ⊥AB ,PA ∩AB =A ,PA ,AB ⊂平面PAB , ∴CB ⊥平面PAB , ∴CB ⊥PB ,则PC =3, ∴PD 2+DC 2=PC 2,∴△PDC 为直角三角形,其中PD ⊥CD , ∴S △PDC =12×1×2=22,连接EP ,EC ,易知V E -PDC =V C -PDE , 设E 到平面PDC 的距离为h , ∵CD ⊥AD ,CD ⊥PA ,AD ∩PA =A ,AD ,PA ⊂平面PAD ,∴CD ⊥平面PAD ,则13×h ×22=13×1×12×12×1, ∴h =24, ∴F 到平面PDC 的距离为24. 思维升华判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α,b ⊂α,a ∥b ⇒a ∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a ⊂α⇒a ∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a ⊄β,a ∥α⇒a ∥β).跟踪训练1(2019·崇左联考)如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PAC ⊥平面ABCD ,且PA ⊥AC ,PA =AD =2,四边形ABCD 满足BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1.点E ,F 分别为侧棱PB ,PC 上的点,且PE PB =PF PC=λ(λ≠0).(1)求证:EF ∥平面PAD ;(2)当λ=12时,求点D 到平面AFB 的距离.(1)证明 ∵PE PB =PFPC=λ(λ≠0),∴EF ∥BC .∵BC ∥AD ,∴EF ∥AD .又EF ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .(2)解 ∵λ=12,∴F 是PC 的中点,在Rt△PAC 中,PA =2,AC =2, ∴PC =PA 2+AC 2=6, ∴PF =12PC =62.∵平面PAC ⊥平面ABCD ,且平面PAC ∩平面ABCD =AC ,PA ⊥AC ,PA ⊂平面PAC , ∴PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BC . 又AB ⊥AD ,BC ∥AD ,∴BC ⊥AB , 又PA ∩AB =A ,PA ,AB ⊂平面PAB , ∴BC ⊥平面PAB ,∴BC ⊥PB ,∴在Rt△PBC 中,BF =12PC =62.连接BD ,DF ,设点D 到平面AFB 的距离为d , 在等腰三角形BAF 中,BF =AF =62,AB =1, ∴S △ABF =54, 又S △ABD =1,点F 到平面ABD 的距离为1,∴由V F -ABD =V D -AFB ,得13×1×1=13×d ×54,解得d =455,即点D 到平面AFB 的距离为455.题型二 平面与平面平行的判定与性质例3如图所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证:(1)B ,C ,H ,G 四点共面; (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ,H 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点, ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线, ∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC , ∴GH ∥BC ,∴B ,C ,H ,G 四点共面.(2)∵E ,F 分别是AB ,AC 的中点,∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ,BC ⊂平面BCHG , ∴EF ∥平面BCHG .又G ,E 分别为A 1B 1,AB 的中点,A 1B 1∥AB 且A 1B 1=AB , ∴A 1G ∥EB ,A 1G =EB ,∴四边形A 1EBG 是平行四边形, ∴A 1E ∥GB .又∵A 1E ⊄平面BCHG ,GB ⊂平面BCHG , ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF =E ,A 1E ,EF ⊂平面EFA 1, ∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究1.在本例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“D 1,D 分别为B 1C 1,BC 的中点”,求证:平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明 如图所示,连接A 1C ,AC 1,交于点M ,∵四边形A 1ACC 1是平行四边形, ∴M 是A 1C 的中点,连接MD , ∵D 为BC 的中点, ∴A 1B ∥DM .∵A 1B ⊂平面A 1BD 1,DM ⊄平面A 1BD 1, ∴DM ∥平面A 1BD 1,又由三棱柱的性质知,D 1C 1∥BD 且D 1C 1=BD , ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形, ∴DC 1∥BD 1.又DC 1⊄平面A 1BD 1,BD 1⊂平面A 1BD 1, ∴DC 1∥平面A 1BD 1,又DC 1∩DM =D ,DC 1,DM ⊂平面AC 1D , 因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .2.在本例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“点D ,D 1分别是AC ,A 1C 1上的点,且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”,试求AD DC的值. 解 连接A 1B ,AB 1,交于点O ,连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D =BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1=D 1O , 所以BC 1∥D 1O , 则A 1D 1D 1C 1=A 1OOB=1.同理,AD 1∥C 1D , 又AD ∥C 1D 1,所以四边形ADC 1D 1是平行四边形, 所以AD =D 1C 1, 又AC =A 1C 1, 所以A 1D 1D 1C 1=DC AD, 所以DCAD=1,即AD DC=1. 思维升华证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.跟踪训练2如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF =DE ,M 为棱AE 的中点.(1)求证:平面BDM ∥平面EFC ;(2)若AB =1,BF =2,求三棱锥A -CEF 的体积. (1)证明 如图,设AC 与BD 交于点N ,则N 为AC 的中点,连接MN , 又M 为棱AE 的中点, ∴MN ∥EC .∵MN ⊄平面EFC ,EC ⊂平面EFC , ∴MN ∥平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,且BF =DE , ∴BF ∥DE 且BF =DE ,∴四边形BDEF 为平行四边形, ∴BD ∥EF .∵BD ⊄平面EFC ,EF ⊂平面EFC , ∴BD ∥平面EFC .又MN ∩BD =N ,MN ,BD ⊂平面BDM , ∴平面BDM ∥平面EFC . (2)解 连接EN ,FN .在正方形ABCD 中,AC ⊥BD , 又BF ⊥平面ABCD ,∴BF ⊥AC . 又BF ∩BD =B ,BF ,BD ⊂平面BDEF , ∴AC ⊥平面BDEF , 又N 是AC 的中点, ∴V 三棱锥A -NEF =V 三棱锥C -NEF , ∴V 三棱锥A -CEF =2V 三棱锥A -NEF =2×13×AN ×S △NEF=2×13×22×12×2×2=23,∴三棱锥A -CEF 的体积为23.题型三 平行关系的综合应用例4如图所示,四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB ∥平面EFGH ,CD ∥平面EFGH ;(2)若AB =4,CD =6,求四边形EFGH 周长的取值范围. (1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形, ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .又∵EF ⊂平面ABC ,平面ABD ∩平面ABC =AB , ∴EF ∥AB ,又∵AB ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH , ∴AB ∥平面EFGH .同理可证,CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF =x (0<x <4), ∵EF ∥AB ,FG ∥CD ,∴CF CB =x 4,则FG 6=BF BC =BC -CF BC =1-x 4. ∴FG =6-32x .∵四边形EFGH 为平行四边形,∴四边形EFGH 的周长l =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +6-32x =12-x . 又∵0<x <4, ∴8<l <12,即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12).思维升华利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.跟踪训练3如图,E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点,过A ,C ,E 三点作平面α与正方体的面相交.(1)画出平面α与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1各面的交线; (2)求证:BD 1∥平面α.(1)解 如图,交线即为EC ,AC ,AE ,平面α即为平面AEC .(2)证明 连接AC ,BD ,设BD 与AC 交于点O ,连接EO , ∵四边形ABCD 为正方形, ∴O 是BD 的中点, 又E 为DD 1的中点.∴OE∥BD1,又OE⊂平面α,BD1⊄平面α.∴BD1∥平面α.1.(2018·温州模拟)已知α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,那么“l∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析若l∥β,且l⊂α,则α,β相交或平行,故l∥β且l⊂αD⇒/α∥β,而α∥β且l⊂α⇒l∥β,所以“l∥β”是“α∥β”的必要不充分条件,故选B.2.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.∵平面A1B1EC∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.4.(2019·台州模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A.0条B.1条C.2条D.0条或2条答案 C解析如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形,则EF∥GH,EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,则EF∥CD,EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,则CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条,故选C.5.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A.α⊥β且m⊂αB.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β答案 C解析由线面垂直的判定定理,可知C正确.6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A解析A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,∴直线AB与平面MNQ相交;B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,∴AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ;D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,∴AB∥NQ,又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故选A.7.(2018·杭州模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;④若m ∥α,n ∥β,m ∥n ,则α∥β. 其中是真命题的是________.(填序号) 答案 ②解析 ①m ∥n 或m ,n 异面,故①错误;易知②正确;③m ∥β或m ⊂β,故③错误;④α∥β或α与β相交,故④错误.8.棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是棱AA 1的中点,过C ,M ,D 1作正方体的截面,则截面的面积是________. 答案 92解析 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,易求其面积为92.9.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ,则线段EF 的长度为________.答案2解析 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,∴AC =2 2.又E 为AD 中点,EF ∥平面AB 1C ,EF ⊂平面ADC ,平面ADC ∩平面AB 1C =AC , ∴EF ∥AC ,∴F 为DC 中点, ∴EF =12AC = 2.10.(2018·金华模拟)如图所示,在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是棱CC 1,C 1D 1,D 1D ,DC 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 只需满足条件______时,就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)解析连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.11.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明:B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以直线l∥直线BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.12.(2018·绍兴模拟)如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2DC=23,且△PAD与△ABD均为正三角形,E为AD的中点,G为△PAD的重心.(1)求证:GF ∥平面PDC ; (2)求三棱锥G —PCD 的体积.(1)证明 连接AG 并延长交PD 于点H ,连接CH .由梯形ABCD 中,AB ∥CD 且AB =2DC 知,AF FC =21.又E 为AD 的中点,G 为△PAD 的重心,∴AG GH =21. 在△AHC 中,AG GH =AF FC =21,故GF ∥HC .又HC ⊂平面PCD ,GF ⊄平面PCD , ∴GF ∥平面PDC .(2)解 方法一 由平面PAD ⊥平面ABCD ,△PAD 与△ABD 均为正三角形,E 为AD 的中点, 知PE ⊥AD ,BE ⊥AD ,又∵平面PAD ∩平面ABCD =AD ,PE ⊂平面PAD , ∴PE ⊥平面ABCD ,且PE =3, 由(1)知GF ∥平面PDC ,∴V 三棱锥G —PCD =V 三棱锥F —PCD =V 三棱锥P —CDF =13×PE ×S △CDF . 又由梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =2DC =23, 知DF =13BD =233,又△ABD 为正三角形,得∠CDF =∠ABD =60°,∴S △CDF =12×CD ×DF ×sin∠BDC =32,得V 三棱锥P —CDF =13×PE ×S △CDF =32,∴三棱锥G —PCD 的体积为32. 方法二 由平面PAD ⊥平面ABCD ,△PAD 与△ABD 均为正三角形,E 为AD 的中点,知PE ⊥AD ,BE ⊥AD ,又∵平面PAD ∩平面ABCD =AD ,PE ⊂平面PAD , ∴PE ⊥平面ABCD ,且PE =3,连接CE , ∵PG =23PE ,∴V 三棱锥G —PCD =23V 三棱锥E —PCD =23V 三棱锥P —CDE=23×13×PE ×S △CDE , 又△ABD 为正三角形,得∠EDC =120°, 得S △CDE =12×CD ×DE ×sin∠EDC =334.∴V 三棱锥G —PCD =23×13×PE ×S △CDE=23×13×3×334=32, ∴三棱锥G —PCD 的体积为32.13.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 是线段B 1D 1上的两个动点,且EF =22,则下列结论中错误的是( )A .AC ⊥BFB .三棱锥A -BEF 的体积为定值C.EF∥平面ABCDD.异面直线AE,BF所成的角为定值答案 D解析∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,易证AC⊥平面BDD1B1,∵BF⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BF,故A正确;对于选项B,∵E,F,B在平面BDD1B1上,∴A到平面BEF的距离为定值,∵EF=22,B到直线EF的距离为1,∴△BEF的面积为定值,∴三棱锥A-BEF的体积为定值,故B正确;对于选项C,∵EF∥BD,BD⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,故C正确;对于选项D,异面直线AE,BF所成的角不为定值,令上底面中心为O,当F与B1重合时,E 与O重合,易知两异面直线所成的角是∠A1AO,当E与D1重合时,点F与O重合,连接BC1,易知两异面直线所成的角是∠OBC1,可知这两个角不相等,故异面直线AE,BF所成的角不为定值,故D错误.14.如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )答案 C解析过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.∵MQ⊄平面DCC1D1,DD1⊂平面DCC1D1,∴MQ∥平面DCC1D1,∵MN∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x,∵MQAQ=DD1AD=2,∴MQ=2x.在Rt△MQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,∴y2-4x2=1(x≥0,y≥1),∴函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.15.如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=10,平面DEFH 分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( )A.452B.4532C.15 D.45 3 答案 C解析取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG ⊥AC ,BG ⊥AC ,SG ∩BG =G ,SG ,BG ⊂平面SGB ,故AC ⊥平面SGB ,所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ,SB ⊂平面SAB ,平面SAB ∩平面DEFH =HD ,则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则H ,F 也为AS ,SC 的中点,从而得HF ∥AC 且HF =12AC ,DE ∥AC 且DE =12AC , 所以HF ∥DE 且HF =DE ,所以四边形DEFH 为平行四边形.因为AC ⊥SB ,SB ∥HD ,DE ∥AC ,所以DE ⊥HD ,所以四边形DEFH 为矩形,其面积S =HF ·HD =⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB =15. 16.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 为直角梯形,AC 与BD 相交于点O ,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AB =BC =AP =3,三棱锥P -ACD 的体积为9.(1)求AD 的值;(2)过点O 的平面α平行于平面PAB ,平面α与棱BC ,AD ,PD ,PC 分别相交于点E ,F ,G ,H ,求截面EFGH 的周长.解 (1)在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AB =BC =AP =3,所以V 三棱锥P -ACD =13×S △ACD ×AP =13×AB ×AD 2×AP =3AD 2=9,解得AD =6. (2)方法一 由题意知平面α∥平面PAB ,平面α∩平面ABCD =EF ,点O 在EF 上,平面PAB ∩平面ABCD =AB ,根据面面平行的性质定理,得EF ∥AB ,同理EH ∥BP ,FG ∥AP .因为BC ∥AD ,所以△BOC ∽△DOA ,且BC AD =CO OA =36=12.因为EF ∥AB ,所以CE BC =OC AC =13. 又易知BE =AF ,AD =2BC ,所以FD =2AF .因为FG ∥AP ,所以FG AP =FD AD =23,FG =23AP =2. 因为EH ∥BP ,所以EH PB =EC BC =13, 所以EH =13PB = 2. 如图,作HN ∥BC ,GM ∥AD ,HN ∩PB =N ,GM ∩PA =M ,则HN ∥GM ,HN =GM ,所以四边形GMNH 为平行四边形,所以GH =MN ,在△PMN 中,MN =PN 2+PM 2-2×PN ×PM ×cos∠MPN=8+1-2×22cos45°=5,又EF =AB =3, 所以截面EFGH 的周长为EF +FG +GH +EH =3+2+5+2=5+5+ 2.方法二 因为平面α∥平面PAB ,平面α∩平面ABCD =EF ,点O 在EF 上,平面PAB ∩平面ABCD =AB ,所以EF ∥AB ,同理EH ∥BP ,FG ∥AP .因为BC ∥AD ,AD =6,BC =3,所以△BOC ∽△DOA ,且BC AD =CO AO =12, 所以EO OF =12,CE =13CB =1,BE =AF =2, 同理CH PC =EH PB =CO CA =13, 如图,连接HO ,则HO ∥PA ,所以HO ⊥EO ,HO =1,所以EH =13PB =2,因为AD ∥BC ,所以OC AO =OB DO =12.因为EF ∥AB ,所以FD DA =OD BD =23.因为FG ∥AP ,所以FG AP =FD DA =23,所以FG =23PA =2,过点H 作HN ∥EF 交FG 于点N ,则GH =HN 2+GN 2=5,又EF =AB =3,所以截面EFGH 的周长为EF +FG +GH +EH =3+2+5+2=5+5+ 2.。
2020届高中数学分册同步讲义(必修2) 第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.3直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想.知识点直线与平面平行的性质定理1.若直线l∥平面α,且b⊂α,则l∥b.(×)2.若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(×)3.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.(×)4.若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则b∥α.(×)题型一线面平行性质的直接应用例1已知直线a∥平面α,a⊂平面β,α∩β=b,b∥平面γ,α∩γ=c.求证:a∥c.证明∵a∥α,a⊂β,β∩α=b,∴a∥b,又∵b∥γ,b⊂α,α∩γ=c,∴b∥c,∴a∥c.反思感悟直接应用线面平行的性质定理,关键是摆全定理中有三个条件:①直线a和平面α平行,即a∥α;②直线a在平面β内,即a⊂β;③平面α,β相交,即α∩β=b.三个条件缺一不可.跟踪训练1如图所示,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面P AD,则()A.MN∥PDB.MN∥P AC.MN∥ADD.以上均有可能答案 B解析四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面P AD,因为MN⊂平面P AC,平面P AC∩平面P AD=P A,所以由直线与平面平行的性质定理可得,MN∥P A.题型二线面平行的判定与性质的交替应用例2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点,∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,∴AP∥GH.引申探究本例条件不变,求证:GH ∥平面P AD . 证明 由例2证得AP ∥GH . 又AP ⊂平面P AD ,GH ⊄平面P AD , ∴GH ∥平面P AD .反思感悟 线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.跟踪训练2 如图,在五面体EF -ABCD 中,已知四边形ABCD 为梯形,AD ∥BC ,求证:AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ,AD ⊄平面BCEF ,BC ⊂平面BCEF , ∴AD ∥平面BCEF ,∵AD ⊂平面ADEF ,平面ADEF ∩平面BCEF =EF , ∴AD ∥EF .线面平行性质的综合应用典例 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若EF ∥平面AB 1C ,求线段FE 的长度.考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 解 ∵EF ∥平面AB 1C ,又平面ADC ∩平面AB 1C =AC ,EF ⊂平面ADC , ∴EF ∥AC , ∵E 是AD 的中点, ∴EF =12AC =12×22= 2.[素养评析] (1)利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点①根据已知线面平行关系推出线线平行关系.②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.③利用所得关系计算求值.(2)逻辑推理是数学核心素养之一.1.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案 A2.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能答案 B3.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥…,故选A.4.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=________.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案 5解析因为AB∥平面α,AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN,又点M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5.5.已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG是________四边形.答案平行1.在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.一、选择题1.如果a,b是两条异面直线,且a∥α,那么b与α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.不确定答案 D2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析由AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,得CD∥α,所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.3.已知a,b表示直线,α表示平面,给出下列说法:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α,其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A4.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线()A.有无数条,不一定在平面α内B.只有一条,不在平面α内C.有无数条,一定在平面α内D.只有一条,且在平面α内答案 D5.对于直线m,n和平面α,下列命题中正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行的性质定理知C正确.6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由长方体性质知:EF∥平面ABCD,∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH.又∵EF ∥AB ,∴GH ∥AB .7.如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,AC 交BD 于点O ,E 为AD 中点,F 在P A 上,AP =λAF ,PC ∥平面BEF ,则λ的值为( )A.1B.32C.2D.3答案 D解析 设AO 交BE 于点G ,连接FG . ∵O ,E 分别是BD ,AD 的中点, ∴AG AO =23,AG AC =13. ∵PC ∥平面BEF ,平面BEF ∩平面P AC =GF , ∴GF ∥PC ,∴AF AP =AG AC =13,∴λ=3.8.在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 上的点,当BD ∥平面EFGH 时,下面结论正确的是( ) A.E ,F ,G ,H 一定是各边的中点 B.G ,H 一定是CD ,DA 的中点C.BE ∶EA =BF ∶FC ,且DH ∶HA =DG ∶GCD.AE ∶EB =AH ∶HD ,且BF ∶FC =DG ∶GC 考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 D解析 由于BD ∥平面EFGH ,所以有BD ∥EH ,BD ∥FG ,则AE ∶EB =AH ∶HD ,且BF ∶FC =DG ∶GC .二、填空题9.直线a ∥平面α,α内有n 条直线交于一点,则这n 条直线中与直线a 平行的直线有____条. 考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 0或1解析 过直线a 与交点作平面β,设平面β与α交于直线b ,则a ∥b ,若所给n 条直线中有1条是与b 重合的,则此直线与直线a 平行,若没有与b 重合的,则与直线a 平行的直线有0条.10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若过A ,C ,B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ,则l 与A 1C 1的位置关系是________. 答案 A 1C 1∥l解析 因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1,AC ⊂平面ABCD , 所以AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l , 所以AC ∥l .又因为A 1C 1∥AC ,所以A 1C 1∥l .11.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =a3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =________.考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ,平面PMNQ ∩平面AC =PQ , ∴MN ∥PQ ,易知DP =DQ =2a3,故PQ =PD 2+DQ 2=2DP =22a3.三、解答题12.如图,四边形ABCD 是矩形,P ∉平面ABCD ,过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ,交DP 于点F ,求证:四边形BCFE 是梯形.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质证明平行问题证明 ∵四边形ABCD 为矩形,∴BC ∥AD . ∵AD ⊂平面P AD ,BC ⊄平面P AD , ∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD =EF , ∴BC ∥EF .∵AD =BC ,AD ≠EF ,∴BC ≠EF , ∴四边形BCFE 是梯形.13.已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 的中点,过E ,F 作平面α∥AB .求证:CD ∥α.证明 如图,连接AD 交平面α于点H ,连接EH ,FH ,因为AB ∥α,AB ⊂平面ABD ,且平面ABD ∩α=FH , 所以AB ∥HF .又因为F 为BD 中点, 所以H 为AD 中点,又E 为AC 中点,所以EH ∥CD ,又因为EH ⊂α,CD ⊄α,故CD ∥α.14.如图,在四面体ABCD 中,截面PQMN 是正方形,则下列命题中错误的是( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,则AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,故D 正确;C是错误的,故选C.15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC 上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题解若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于点N,连接MN,NF.因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN.又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,所以BFNM是平行四边形,所以MN∥BF,MN=BF=1.而EC ∥FB ,EC =2FB =2,所以MN ∥EC ,MN =12EC =1, 故MN 是△ACE 的中位线. 所以当M 是AC 的中点时, MB ∥平面AEF .。
高中数学必修二知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料):13【基础】直线、平面平行的判定
直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理;2.掌握两平面平行的判定定理;3.能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题. 【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言:直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简记为:线线平行,则线面平行.图形语言:符号语言:a α⊄、b α⊂,//a b //a α⇒. 要点诠释:(1)用该定理判断直线a 与平面α平行时,必须具备三个条件: ①直线a 在平面α外,即a α⊄; ②直线b 在平面α内,即b α⊂; ③直线a ,b 平行,即a ∥b .这三个条件缺一不可,缺少其中任何一个,结论就不一定成立. (2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可.要点二、两平面平行的判定文字语言:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 图形语言:符号语言:若a α⊂、b α⊂,ab A =,且//a β、//b β,则//αβ.要点诠释:(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想,即把面面平行转化为线面平行,可概述为:线面平行⇒面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1.利用定义:证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法.2.利用判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行.3.平面平行的传递性:即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.C1【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB ,BC ,CD 是不在同一平面内的三条线段,E ,F ,G 分别是AB ,BC ,CD 的中点,求证:AC//平面EFG , BD//平面EFG .【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ,根据直线和平面平行的判定定理,只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线,如右图可知,只需证明AC ∥EF .证明:如右图,连接AC ,BD ,EF ,GF ,EG .在△ABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,∴AC ∥EF , 又AC ⊄平面EFG ,EF ⊂平面EFG , 于是AC ∥平面EFG . 同理可证BD ∥平面EFG .【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是:(1)在平面内寻找直线的平行线;(2)证明这两条直线平行;(3)由判定定理得出结论.例2.已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内,P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点,且AP=DQ ,如右图.求证:PQ ∥平面CBE .证明:作PM ∥AB 交BE 于点M ,QN ∥AB 交BC 于点N ,则PM ∥QN .∴PM EP AB EA =,QN BQDC BD=. ∵AP=DQ ,∴EP=BQ . 又∵AB=CD ,EA=BD , ∴PM //QN .∴四边形PMNQ 是平行四边形. ∴PQ ∥MN .综上,PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE , 又∵PQ ∥MN ,∴PQ ∥平面CBE .【总结升华】证线面平行,需证线线平行,寻找平行线是解决此类问题的关键. 举一反三:【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中,1O 是正方形1111A B C D 的中心,求证:1//AO 面1BC D . 证明:如图,取面ABCD 的中心O ,连1OC .11//O C OC ,且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴,又11OC BDC ⊂平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是棱BC 、11C D 的中点. 求证:EF ∥平面11BDD B .【答案】详见证明【证明】取11D B 的中点O ,连接OF ,OB . ∵OF =1112B C ,BE =1112B C , ∴OF=BE .∴四边形OFEB 是平行四边形, ∴EF ∥BO .∵EF ⊆平面11BDD B , BO 包含于平面11BDD B , ∴EF ∥平面11BDD B .【总结升华】要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.【变式3】 如右图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,AP=AB ,BP=BC=2,E ,F 分别是PB ,PC 的中点.(1)证明:EF ∥平面PAD ;(2)求三棱锥E —ABC 的体积V . 【解析】(1)在△PBC 中,E ,F 分别是PB ,PC 的中点,∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD .又∵AD ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ,AC ,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,如下图,则EG ⊥平面ABCD ,且12EG PA =.在△PAB 中,AP=AB ,∠PAB=90°,BP=2,∴AP AB ==EG =.∴11222ABC S AB BC ∆=⋅==∴111333E ABC ABC V S EG -∆=⋅==. 类型二、平面与平面平行的判定例3.(2017 山东潍坊模拟)如图所示,ABFC —1111A B F C 为正四棱柱,D 为B 上一点,且1A B ∥平面1AC D ,1D 是11B C 的中点,1BC ⊥1AB ,1BC ⊥1A C .求证:平面11A BD ∥平面1AC D .【思路点拨】根据面面平行的判定定理进行证明平面11A BD ∥1AC D 【答案】详见证明【证明】∵1A B ∥平面1AC D , ∴设1A C 的中点为E ,则平面1A BC ∩平面1AC D =ED , ∴1A B ∥ED ; ∵E 是1AC 的中点, ∴D 是BC 的中点, 即11BDC D 为平行四边形, ∴1BD ∥1DC ,11A D ∥AD ,∵1BD ,11A D ⊂平面11A BD ,AD ⊂平面1AC D , ∴平面11A BD ∥平面1AC D【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是:(1)在第一个平面内找出(或作出)两条平行于第二个平面的直线;(2)说明这两条直线是相交直线;(3)由判定定理得出结论.例4.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,S 是11B D 的中点,E 、F 、G 分别是BC 、DC 和SC 的中点.求证:平面EFG ∥平面11BDD B .【答案】详见证明【证明】如图所示,连接SB ,SD , ∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点,∴FG ∥SD .又∵SD 包含于平面11BDD B , FG ⊆平面11BDD B , ∴直线FG ∥平面11BDD B . 同理可证EG ∥平面11BDD B , 又∵EG 包含于平面EFG , FG 包含于平面EFG , EG ∩FG =G ,∴平面EFG ∥平面11BDD B .【总结升华】应用判定定理时,一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件,问题最终转化为证明直线和直线的平行.举一反三: 【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点,123,,G G G 分别是△PBC ,△APC ,△ABP 的重心,求证:面123//G G G 面ABC .证明:连32,PG PG ,并延长分别交AB ,AC 于M ,Q ,连MQ .因为32,G G 为重心,所以M ,Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ,所以直线PM ,PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中,因为32,G G 为重心,所以323221PG PG G M G Q==,所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ,MQ ⊂面ABC ,23//G G MQ ,所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ,因为13G G ⊂面123G G G ,23G G ⊂面123G G G ,13233G G G G G =,23//G G 面ABC ,13//G G 面ABC ,所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,点D ,E 分别是BC 与B 1C 1的中点.求证:平面A 1EB ∥平面ADC 1.证明:由棱柱的性质知,B 1C 1//BC ,又D ,E 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以C 1E //DB ,则四边形C 1DBE 为平行四边形,因此EB ∥C 1D ,又C 1D ⊂平面ADC 1,EB ⊄平面ADC 1,所以EB ∥平面ADC 1.连接DE ,同理,EB 1//BD ,所以四边形EDBB 1为平行四边形,则ED //B 1B .因为B 1B //A 1A (棱柱的性质),所以ED //A 1A ,则四边形EDAA 1为平行四边形,所以A 1E ∥AD , 又A 1E ⊄平面ADC 1,AD ⊂平面ADC 1,所以A 1E ∥平面ADC 1.由A 1E ∥平面ADC 1,EB ∥平面ADC 1,A 1E ⊂平面A 1EB ,EB ⊂平面A 1EB ,且A 1E ∩EB=E ,所以平面A 1EB ∥平面ADC 1.【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ,M ,N 分别是''A D ,''A B 的中点,在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面,并证明你的结论.【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况:下面以上图(1)为例进行证明:证明:∵四边形ABEM 是平行四边形,∴BE ∥AM ,又BE ⊂平面BDE ,AM ⊄平面BDE ,∴AM ∥平面BDE . ∵MN 是'''A B D ∆的中位线,∴//''MN B D ,∵四边形''BDD B 是平行四边形,∴//''BD B D ,∴MN ∥BD , 又BD ⊂平面BDE ,MN ⊄平面BDE ,∴MN ∥平面BDE . 又AM 、MN ⊂平面AMN ,且MN ∩AM=M ,由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN ∥平面BDE .【巩固练习】1.下列说法中正确的是( )A .如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B .如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C .如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行D .如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中,a α⊂,,b c α⊂,则平面α、β的位置关系是( ) A .平行 B .相交 C .平行或相交 D .重合3.已知m ,n 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,给出下列三个命题:①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩;②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交;③//////m nm n αα⎧⇒⎨⎩。
【精品】高中数学 必修2_直线、平面平行的判定 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)_基础
直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理;2.掌握两平面平行的判定定理;3.能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题. 【要点梳理】【高清课堂:线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】 要点一、直线和平面平行的判定文字语言:直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简记为:线线平行,则线面平行.图形语言:符号语言:a α⊄、b α⊂,//a b //a α⇒. 要点诠释:(1)用该定理判断直线a 与平面α平行时,必须具备三个条件: ①直线a 在平面α外,即a α⊄; ②直线b 在平面α内,即b α⊂; ③直线a ,b 平行,即a ∥b .这三个条件缺一不可,缺少其中任何一个,结论就不一定成立. (2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可.要点二、两平面平行的判定文字语言:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 图形语言:符号语言:若a α⊂、b α⊂,a b A =I ,且//a β、//b β,则//αβ. 要点诠释:(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想,即把面面平行转化为线面平行,可概述为:线面平行⇒面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1.利用定义:证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法. 2.利用判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行.3.平面平行的传递性:即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行. 【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB ,BC ,CD 是不在同一平面内的三条线段,E ,F ,G 分别是AB ,BC ,CD 的中点,求证:AC//平面EFG , BD//平面EFG .【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ,根据直线和平面平行的判定定理,只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线,如右图可知,只需证明AC ∥EF .证明:如右图,连接AC ,BD ,EF ,GF ,EG . 在△ABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,∴AC ∥EF , 又AC ⊄平面EFG ,EF ⊂平面EFG , 于是AC ∥平面EFG . 同理可证BD ∥平面EFG .【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是:(1)在平面内寻找直线的平行线;(2)证明这两条直线平行;(3)由判定定理得出结论.OO 1CDC 11A 1B 1例2.已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内,P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点,且AP=DQ ,如右图.求证:PQ ∥平面CBE .证明:作PM ∥AB 交BE 于点M ,QN ∥AB 交BC 于点N ,则PM ∥QN . ∴PM EP AB EA =,QN BQDC BD=. ∵AP=DQ ,∴EP=BQ . 又∵AB=CD ,EA=BD , ∴PM //QN .∴四边形PMNQ 是平行四边形. ∴PQ ∥MN .综上,PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE , 又∵PQ ∥MN ,∴PQ ∥平面CBE .【总结升华】证线面平行,需证线线平行,寻找平行线是解决此类问题的关键. 举一反三:【高清课堂:线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中,1O 是正方形1111A B C D 的中心,求证:1//AO 面1BC D .证明:如图,取面ABCD 的中心O ,连1OC .11//O C OC Q ,且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴,又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别为AB 、PD 的中点,求证:AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行,根据判定定理,作出平行四边形,利用平行四边形的性质,证明平面外直线与平面上的直线平行.证明:设PC 的中点为G ,连接EG 、FG .∵F 为PD 中点,∴GF ∥CD 且GF=12CD .∵AB ∥CD ,AB=CD ,E 为AB 中点,∴GF ∥AE ,GF=AE ,四边形AEGF 为平行四边形. ∴EG ∥AF ,又∵AF ⊄平面PEC ,EG ⊂平面PEC ,∴AF ∥平面PEC .【总结升华】要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.【变式3】 如右图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,AP=AB ,BP=BC=2,E ,F 分别是PB ,PC 的中点.(1)证明:EF ∥平面PAD ; (2)求三棱锥E —ABC 的体积V .【解析】(1)在△PBC 中,E ,F 分别是PB ,PC 的中点,∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD .又∵AD ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ,AC ,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,如下图, 则EG ⊥平面ABCD ,且12EG PA =. 在△PAB 中,AP=AB ,∠PAB=90°,BP=2, ∴2AP AB ==,22EG =. ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=, ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=. 类型二、平面与平面平行的判定例3.如右图,已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1,求证:平面AB 1D 1∥平面BDC 1.【解析】要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知:须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线.证明:∵AB //A 1B 1,C 1D 1//A 1B 1,∴AB //C 1D 1, ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形,∴AD 1∥BC 1. 又AD 1⊂平面AB 1D 1,BC 1⊄平面AB 1D 1, ∴BC 1∥平面AB 1D 1. 同理,BD ∥平面AB 1D 1,又BD ∩BC 1=B ,∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1.【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是:(1)在第一个平面内找出(或作出)两条平行于第二个平面的直线;(2)说明这两条直线是相交直线;(3)由判定定理得出结论.例4.如右图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.求证:平面AMN ∥平面EFDB . 证明:连接MF ,∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点,且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形,∴MF //A 1D 1.又A 1D 1//AD ,∴MF //AD ,∴四边形AMFD 是平行四边形,∴AM ∥DF .∵DF ⊂平面EFDB ,AM ⊄平面EFDB , ∴AM ∥平面EFDB . 同理,AN ∥平面EFDB .又AM 、AN ⊂平面AMN ,且AM ∩AN=A , ∴平面AMN ∥平面EFDB .【总结升华】应用判定定理时,一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件,问题最终转化为证明直线和直线的平行.举一反三:【高清课堂:空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点,123,,G G G 分别是△PBC ,△APC ,△ABP 的重心,求证:面123//G G G 面ABC .证明:连32,PG PG ,并延长分别交AB ,AC 于M ,Q ,连MQ .因为32,G G 为重心,所以M ,Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ,所以直线PM ,PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中,因为32,G G 为重心,所以323221PG PG G M G Q==,所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ,MQ ⊂面ABC ,23//G G MQ ,所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ,因为13G G ⊂面123G G G ,23G G ⊂面123G G G ,13233G G G G G =I ,23//G G 面ABC ,13//G G 面ABC ,所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,点D ,E 分别是BC 与B 1C 1的中点.求证:平面A 1EB ∥平面ADC 1.证明:由棱柱的性质知,B 1C 1//BC ,又D ,E 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以C 1E //DB ,则四边形C 1DBE 为平行四边形,因此EB ∥C 1D ,又C 1D ⊂平面ADC 1,EB ⊄平面ADC 1,所以EB ∥平面ADC 1.连接DE ,同理,EB 1//BD ,所以四边形EDBB 1为平行四边形,则ED //B 1B . 因为B 1B //A 1A (棱柱的性质),所以ED //A 1A ,则四边形EDAA 1为平行四边形,所以A 1E ∥AD ,又A 1E ⊄平面ADC 1,AD ⊂平面ADC 1,所以A 1E ∥平面ADC 1.由A 1E ∥平面ADC 1,EB ∥平面ADC 1,A 1E ⊂平面A 1EB ,EB ⊂平面A 1EB ,且A 1E ∩EB=E ,所以平面A 1EB ∥平面ADC 1.【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ,M ,N 分别是''A D ,''A B 的中点,在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面,并证明你的结论.【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况:下面以上图(1)为例进行证明:证明:∵四边形ABEM是平行四边形,∴BE∥AM,又BE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.∵MN是'''MN B D,∆的中位线,∴//''A B D∵四边形''BD B D,∴MN∥BD,BDD B是平行四边形,∴//''又BD⊂平面BDE,MN⊄平面BDE,∴MN∥平面BDE.又AM、MN⊂平面AMN,且MN∩AM=M,由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.【巩固练习】1.下列说法中正确的是( )A .如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B .如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C .如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行D .如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中,a α⊂,,b c α⊂,则平面α、β的位置关系是( ) A .平行 B .相交 C .平行或相交 D .重合3.已知m ,n 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,给出下列三个命题:①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩;②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交;③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。
2020年高三理科数学一轮复习讲义8.4【直线、平面平行的判定及其性质】
年高三理科数学一轮复习讲义【直线、平面平行的判定及其性质】最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线 l 与平面α没有公共点,则称直线l 与平面α平行 .(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示平面外一条直线与此平面内的判定定理一条直线平行,则该直线平行于此平面一条直线和一个平面平行,则性质定理过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示一个平面内的两条相交直线判定定理与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号表示a? α,b? α,a∥ b?a∥ αa∥ α, a? β,α ∩β=b? a∥ b符号表示a? α, b? α, a∩ b=P,a∥ β,b∥ β? α∥β1两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行[ 微点提醒 ]平行关系中的三个重要结论(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥ α, a⊥ β,则α∥ β.(2) 平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥ β,β∥ γ,则α∥γ.(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥ α, b⊥ α,则a∥ b.基础自测α∥β, a? α? a∥ βα∥ β,α∩ γ= a,β∩γ=b? a∥ b1.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×” )(1) 若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )(2) 若直线 a∥平面α,P∈ α,则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 .( )(3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )(4) 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1) 错误 .(2)若 a∥α, P∈ α,则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条,故 (2)错误 .(3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误 .答案(1)×(2) ×(3)×(4) √2.(必修 2P61A1(2) 改编 )下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是 ()A. 直线 a 上有无数个点不在平面α内B.直线 a 与平面α内的所有直线平行C.直线 a 与平面α内无数条直线不相交D.直线 a 与平面α内的任意一条直线都不相交解析因为 a∥平面α,所以直线 a 与平面α无交点,因此 a 和平面α内的任意一条直线都不相交,故选 D.答案D3.(必修 2P61A1(1) 改编 )下列命题中正确的是()2A. 若 a ,b 是两条直线,且 a ∥ b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面B.若直线 a 和平面α满足 a ∥ α,那么 a 与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线 a , b 和平面α满足 a ∥ b , a ∥α,b? α,则 b ∥ α 解析根据线面平行的判定与性质定理知,选D. 答案D4.(2018 长·沙模拟 )已知 m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是 ()A. m ∥ α, n ∥ α,则 m ∥ nB.m ∥n , m ∥ α,则 n ∥ αC.m ⊥ α, m ⊥β,则 α∥ βD.α⊥ γ, β⊥ γ,则 α∥β解析 A 中, m 与 n 平行、相交或异面, A 不正确; B 中, n ∥ α或 n? α,B 不正确;根据线面垂直的性质, C 正确; D 中, α∥ β或 α与 β相交, D 错 .答案 C5.(2019 成·都月考 )若平面 α∥平面 β,直线 a ∥平面 α,点 B ∈ β,则在平面 β内且过 B 点的所有直线中 ()A. 不一定存在与 a 平行的直线B.只有两条与 a 平行的直线C.存在无数条与 a 平行的直线D.存在唯一与 a 平行的直线解析 当直线 a 在平面 β内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A.答案 A6.(2019 衡·水开学考试 )如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形EFGH 的形状为 ________.解析∵平面 ABFE ∥平面 DCGH , 又平面 EFGH ∩平面 ABFE = EF , 平面 EFGH ∩平面 DCGH = HG , ∴ E F ∥HG .同理 EH ∥ FG , ∴四边形 EFGH 是平行四边形 . 答案 平行四边形3考点一与线、面平行相关命题的判定【例 1】 (1)(2019 ·开封模拟 )在空间中, a, b,c 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是 ()A. 若 a⊥c, b⊥ c,则 a∥ bB.若 a? α, b? β,α ⊥ β,则 a⊥bC.若 a∥ α,b∥ β,α∥ β,则 a∥ bD.若α∥ β, a? α,则 a∥ β(2)(2018 聊·城模拟 )下列四个正方体中, A,B,C 为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面 DEF 的是 ()解析(1)对于 A ,若 a⊥ c, b⊥ c,则 a 与 b 可能平行、异面、相交,故A 是假命题;对于 B ,设α∩ β= m,若 a, b 均与 m 平行,则a∥b,故 B 是假命题;对于 C,a, b 可能平行、异面、相交,故C 是假命题;对于 D ,若α∥ β,a? α,则 a 与β没有公共点,则a∥ β,故 D 是真命题 .(2) 在 B 中,如图,连接MN , PN,∵A, B, C 为正方体所在棱的中点,∴AB ∥MN , AC∥ PN,∵MN ∥ DE , PN∥EF,∴AB ∥DE , AC∥ EF,∵AB ∩AC= A,DE ∩EF =E,AB, AC? 平面 ABC,DE , EF? 平面 DEF ,4∴平面 ABC∥平面 DEF .答案(1)D(2)B规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.2.(1) 结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 .【训练 1】 (1) 下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行(2)(2018 安·庆模拟 )在正方体 ABCD - A1B1C1D1中, M, N,Q 分别是棱 D1C1, A1D1,BC 的中点,点P 在BD 1 2上且 BP= BD 1,则下面说法正确的是 ________(填序号 ).3①MN ∥平面 APC;② C1Q∥平面 APC;③ A,P, M 三点共线;④平面 MNQ ∥平面 APC.解析(1)A 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交;对于B 选项,如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D 1中,平面 ABB1 1 和平面BCC1 1 与B1 1 所成的角相等,但这两个平面垂直; D 选项中两平面也可能相交.CA B D正确 .(2)如图,对于①,连接 MN , AC,则 MN ∥ AC,连接 AM , CN,易得 AM , CN 交于点 P,即 MN? 平面 APC,所以 MN∥平面 APC 是错误的 .对于②,由①知 M, N 在平面 APC 内,由题易知AN ∥C1Q,且 AN? 平面 APC, C1 Q?平面 APC.所以 C1Q∥平面 APC 是正确的 .对于③,由①知, A, P,M 三点共线是正确的.5对于④,由①知 MN? 平面 APC,又 MN? 平面 MNQ ,所以平面 MNQ ∥平面 APC 是错误的 . 答案(1)C (2)②③考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度 1直线与平面平行的判定【例 2- 1】 (2019 ·东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形, PA⊥平面 ABCD ,E, F 分别是线段AD , PB 的中点, PA= AB=1.(1)证明: EF ∥平面 PDC ;(2)求点 F 到平面 PDC 的距离 .(1)证明取PC的中点M,连接DM,MF,1∵M ,F 分别是 PC, PB 的中点,∴ MF ∥CB, MF =2CB ,∵E 为 DA 的中点,四边形ABCD 为正方形,1∴DE ∥ CB, DE=2CB,∴MF ∥ DE , MF = DE,∴四边形DEFM 为平行四边形,∴E F ∥DM ,∵ EF ?平面 PDC, DM ? 平面 PDC ,∴E F ∥平面 PDC.(2) 解∵EF∥平面PDC,∴点F到平面PDC的距离等于点E 到平面 PDC 的距离 .∵PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥DA ,在 Rt△PAD 中, PA= AD=1,∴ DP = 2.∵P A⊥平面 ABCD,∴ PA⊥CB ,∵ CB⊥ AB, PA∩ AB= A,∴ CB⊥平面 PAB,∴CB ⊥PB,则 PC= 3,∴ PD 2+DC 2= PC2,∴△ PDC 为直角三角形,∴S△PDC=1×1×2=2 .2 2连接 EP, EC,易知 V E-PDC=V C-PDE,设 E 到平面 PDC 的距离为 h,∵CD ⊥ AD , CD ⊥PA,AD ∩ PA= A,∴ CD ⊥平面 PAD ,则1× h×2=1×1×1×1× 1,∴ h=2,3 2 3 2 2 4∴点 F 到平面 PDC 的距离为24.角度 2 直线与平面平行性质定理的应用【例 2- 2】(2018 ·上饶模拟 )如图所示,在正方体ABCD - A1B1C1D 1中,棱长为2,E, F 分别是棱 DD 1,6C1D 1的中点 .(1)求三棱锥 B1- A1BE 的体积;(2) 试判断直线 B1F 与平面 A1BE 是否平行,如果平行,请在平面A1BE 上作出与 B1F 平行的直线,并说明理由.解(1)如图所示, V B-A BE= V E-A B 1 1 1 4B=S△A B B·DA=××2× 2×2= .1 1 1 1 3 1 1 32 3(2) B1F ∥平面 A1BE.延长 A1E 交 AD 延长线于点 H,连 BH 交 CD 因为 BA1∥平面 CDD 1C1,平面 A1BH ∩平面 CDD 1C1= GE,所以又 A1B∥CD 1,所以 GE∥CD 1.又 E 为 DD1的中点,则 G 为 CD 的中点 .故 BG∥ B1F,BG 就是所求直线. 于点 G,则 BG 就是所求直线.证明如下:A1B∥ GE.规律方法1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“ 低维” 到“ 高维” 的转化,即从“线线平行” 到“ 线面平行” ,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.【训练 2】 (2017 ·江苏卷 )如图,在三棱锥 A- BCD 中, AB⊥ AD, BC⊥ BD ,平面 ABD ⊥平面 BCD ,点 E,F(E 与 A, D 不重合 )分别在棱 AD, BD 上,且 EF⊥ AD .求证: (1)EF ∥平面 ABC;(2)AD⊥ AC.证明(1)在平面 ABD 内, AB⊥ AD ,EF⊥AD ,则 AB∥EF .∵AB ? 平面 ABC, EF?平面 ABC,∴EF ∥平面 ABC.7(2)∵ BC⊥ BD ,平面 ABD∩平面 BCD= BD ,平面 ABD ⊥平面 BCD , BC? 平面 BCD ,∴BC ⊥平面 ABD.∵AD ? 平面 ABD,∴ BC⊥ AD.又 AB⊥AD , BC, AB? 平面 ABC , BC∩ AB= B,∴AD ⊥平面 ABC,又因为 AC? 平面 ABC,∴ AD ⊥ AC.考点三面面平行的判定与性质典例迁移【例 3】 (经典母题 )如图所示,在三棱柱 ABC- A1B1C1中, E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B, C, H, G 四点共面;(2)平面 EFA1∥平面 BCHG .证明(1)∵ G, H 分别是 A1B1, A1C1的中点,∴GH 是△ A1B1C1的中位线,则GH ∥ B1C1.又∵ B1C1∥BC ,∴GH ∥ BC,∴ B, C, H, G 四点共面 .(2)∵ E, F 分别为 AB, AC 的中点,∴ EF∥ BC,∵EF ?平面 BCHG , BC? 平面 BCHG ,∴EF ∥平面 BCHG .又 G,E 分别为 A1B1, AB 的中点, A1B1綉 AB,∴A1G 綉 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面 BCHG , GB? 平面 BCHG ,∴A1E∥平面 BCHG .又∵ A1E∩ EF= E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG .【迁移探究 1】在本例中,若将条件“E, F,G,H 分别是 AB ,AC, A1B1, A1C1的中点”变为“ D1, D 分别为 B1C1, BC 的中点”,求证:平面A1BD 1∥平面 AC1D.8证明如图所示,连接A 1C 交 AC 1于点 M , ∵四边形 A 1ACC 1是平行四边形, ∴M 是 A 1C 的中点,连接MD , ∵D 为 BC 的中点, ∴A 1B ∥ DM .∵A 1B? 平面 A 1BD 1, DM ? 平面 A 1BD 1, ∴DM ∥平面 A 1BD 1,又由三棱柱的性质知,D 1C 1綉 BD , ∴四边形 BDC 1D 1为平行四边形, ∴DC 1∥BD 1.又 DC 1? 平面 A 1BD 1, BD 1? 平面 A 1BD 1, ∴DC 1∥平面 A 1BD 1,又 DC 1∩DM =D ,DC 1,DM ? 平面 AC 1D , 因此平面 A 1BD 1∥平面 AC 1D . 【迁移探究 2】 在本例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是 AB , AC ,A 1B 1, A 1C 1 的中点”变为“点 D ,D 1 分别是 AC , A 1C 1 上的点,且平面 BC 1D ∥平面 AB 1D 1”,试求AD的值 .DC解 连接 A 1B 交 AB 1 于 O ,连接 OD 1.由平面 BC 1D ∥平面 AB 1D 1,且平面 A 1BC 1∩平面 BC 1D =BC 1,平面 A 1 BC 1∩平面 AB 1D 1= D 1O ,所以 BC 1∥ D 1O , 则 A 1 D 1=A 1O =1. D 1C 1 OB A 1D 1DC又由题设=, ∴DC= 1,即AD= 1. ADDC规律方法1.判定面面平行的主要方法 (1) 利用面面平行的判定定理 .(2) 线面垂直的性质 (垂直于同一直线的两平面平行 ). 2.面面平行条件的应用(1) 两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.(2) 两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.9提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练 3】 (2019 ·南昌二模 )如图,四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形, AB∥CD , AB⊥ AD,AB =2CD = 2AD = 4,侧面 PAB 是等腰直角三角形, PA= PB,平面 PAB ⊥平面 ABCD ,点 E,F 分别是棱 AB, PB 上的点,平面 CEF ∥平面 PAD.(1)确定点 E, F 的位置,并说明理由;(2)求三棱锥 F-DCE 的体积 .解 (1) 因为平面 CEF ∥平面 PAD ,平面 CEF ∩平面 ABCD = CE,平面 PAD∩平面 ABCD = AD,所以 CE∥ AD,又 AB∥DC ,所以四边形 AECD 是平行四边形,1所以 DC = AE=2AB,即点 E是AB的中点.因为平面 CEF ∥平面 PAD,平面 CEF ∩平面 PAB= EF,平面 PAD∩平面 PAB= PA,所以 EF∥ PA,又点 E 是 AB 的中点,所以点 F是 PB的中点 .综上, E, F 分别是 AB, PB 的中点 .(2) 连接 PE ,由题意及 (1) 知 PA= PB,AE =EB,所以 PE⊥ AB,又平面 PAB⊥平面 ABCD ,平面 PAB∩平面 ABCD =AB,所以 PE⊥平面 ABCD .又 AB∥CD , AB⊥ AD,1 1 1 1 2所以 V F-DEC=2V P-DEC=6S△DEC× PE=6×2× 2× 2× 2=3.[ 思维升华 ]1.转化思想:三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.102.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法; (2) 判定定理; (3) 面面平行的性质 .3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法; (2) 判定定理; (3) 推论; (4)a⊥ α, a⊥β? α∥β. [ 易错防范 ]1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件 .3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.4.运用性质定理,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.基础巩固题组(建议用时: 40 分钟 )一、选择题1.若直线 l 不平行于平面α,且 l?α,则 ( )A. α内的所有直线与l 异面B.α内不存在与 l 平行的直线C.α与直线 l 至少有两个公共点D.α内的直线与 l 都相交解析因为 l ?α,直线 l 不平行于平面α,所以直线 l 只能与平面α相交,于是直线l 与平面α只有一个公共点,所以平面α内不存在与 l 平行的直线 .答案 B2.(2019 大·连双基测试 )已知直线 l ,m,平面α,β,γ,则下列条件能推出 l∥ m 的是 ( )A. l? α, m? β,α∥ βB. α∥ β,α∩γ= l,β∩γ= mC.l ∥ α,m? αD.l? α,α∩β=m解析选项 A 中,直线 l, m 也可能异面;选项 B 中,根据面面平行的性质定理,可推出l ∥m,B 正确;选项 C 中,直线 l, m 也可能异面;选项 D 中,直线 l, m 也可能相交 .故选 B.答案 B3.(2018 长·郡中学质检 )如图所示的三棱柱ABC- A1B1C1中,过 A1B1的平面与平面ABC 交于 DE ,则 DE 与AB 的位置关系是 ( )11A. 异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱 ABC-A1 1 1中, AB∥ A1 1,B C B∵AB ? 平面 ABC, A1B1? 平面 ABC,∴A1B1∥平面 ABC ,∵过 A1B1的平面与平面ABC 交于 DE.∴ DE∥ A1 B1,∴ DE∥ AB.答案 B4.(2018 重·庆六校联考 )设 a,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥ β的一个充分条件是( )A. 存在一条直线a, a∥ α, a∥ βB.存在一条直线a, a? α, a∥ βC.存在两条平行直线a, b, a? α, b? β, a∥ β, b∥ αD.存在两条异面直线a, b, a? α, b? β, a∥ β, b∥ α解析对于选项 A,若存在一条直线a,a∥ α,a∥ β,则α∥ β或α与β相交,若α∥ β,则存在一条直线a,使得 a∥ α, a∥β,所以选项 A 的内容是α∥ β的一个必要条件;同理,选项B、C 的内容也是α∥ β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项 D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥ β,所以选项 D 的内容是α∥ β的一个充分条件 .故选 D.答案 D5.(2019 合·肥模拟 )若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有 ( )A.0 条B.1 条C.2 条D.1条或 2条解析如图所示,四边形 EFGH 为平行四边形,则 EF∥ GH.∵E F ? 平面 BCD ,GH? 平面 BCD ,∴EF ∥平面 BCD.又∵ EF? 平面 ACD,平面 BCD ∩平面 ACD =CD ,∴ EF∥ CD .又 EF? 平面 EFGH , CD? 平面 EFGH .12∴CD ∥平面 EFGH ,同理, AB ∥平面 EFGH , 所以与平面α(面 EFGH )平行的棱有2 条 . 答案 C 二、填空题6.(2018 杭·州模拟 )如图,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB = 2,E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF ∥ 平面 AB 1C ,则 EF = ________.解析 根据题意,因为 EF ∥平面 AB 1C ,所以 EF ∥AC .又 E 是 AD 的中点,所以 F 是 CD 的中点 .因为在 Rt △ DEF 中, DE = DF = 1,故 EF = 2. 答案27.如图,平面α∥平面 β,△ ABC ,△ A ′B ′C ′分别在 α,β内,线段 AA ′,BB ′,CC ′共点于 O ,O 在 α,β之间,若 AB =2, AC = 1,∠ BAC = 60°, OA ∶OA ′= 3∶ 2,则△ A ′B ′C ′的面积为 ________.解析 相交直线 AA ′,BB ′所在平面和两平行平面 α,β相交于 AB ,A ′B ′,所以 AB ∥ A ′B ′同.理 BC ∥B ′C ′,CA ∥ C ′A ′.所以 △ ABC 与△ A ′B ′C ′的三内角相等,所以 △ ABC ∽△ A ′B ′C ′, A ′B ′ OA ′2 1 ×2× 1×3 = 3 AB = = .S △ABC = 2 ,OA 3 223× 22所以 △′3×42 3SA ′B ′C= 2 3 = 29= 9.答案 2 398.(2019 郑·州调研 )设 m , n 是两条不同的直线, α, β, γ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m? α , n ∥α ,则 m ∥ n ;②若 α∥ β, β∥γ, m ⊥α,则 m ⊥γ;③若 α∩ β= n ,m ∥n , m ∥ α,则 m ∥ β; ④若 m ∥α, n ∥ β,m ∥ n ,则 α∥ β.其中是真命题的是 ________(填上正确命题的序号 ).解析 ① m ∥ n 或 m ,n 异面,故 ①错误; 易知 ② 正确; ③ m ∥ β或 m? β,故 ③错误; ④ α∥ β或 α与 β相交, 故④错误. 答案 ②13三、解答题9.(2019 武·汉模拟 )已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,侧面 PAB ⊥平面 ABCD , E 是棱 PA 的中点 .(1)求证: PC∥平面 BDE ;(2) 平面 BDE 分此棱锥为两部分,求这两部分的体积比.(1) 证明在平行四边形ABCD 中,连接 AC,设 AC, BD 的交点为 O,则 O 是 AC 的中点 .又 E 是 PA 的中点,连接EO,则 EO 是△ PAC 的中位线,所以PC∥ EO,又 EO? 平面 EBD, PC?平面 EBD ,所以 PC∥平面 EBD.(2) 解设三棱锥E-ABD的体积为V1,高为 h,四棱锥P- ABCD 的体积为 V,1则三棱锥 E- ABD 的体积 V1=3× S△ABD× h,因为 E 是 PA 的中点,所以四棱锥P- ABCD 的高为 2h,11所以四棱锥 P- ABCD 的体积 V=3× S 四边形ABCD× 2h= 4×3S△ABD× h= 4V1,所以 (V- V1)∶ V1=3∶ 1,所以平面 BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶ 1 或 1∶ 3.10.如图, ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N, G 分别是 AB, AD, EF 的中点 .求证:(1)BE∥平面 DMF ;(2)平面 BDE ∥平面 MNG .证明(1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,连接 MO ,则 MO 为△ ABE 的中位线,所以BE∥ MO .又 BE?平面 DMF , MO? 平面 DMF ,所以 BE∥平面 DMF .(2) 因为 N, G 分别为平行四边形ADEF 的边 AD ,EF 的中点,所以DE ∥ GN,14又 DE?平面 MNG ,GN? 平面 MNG ,所以 DE∥平面 MNG .又M为AB的中点,所以 MN 为△ ABD 的中位线,所以BD ∥ MN,又 MN ? 平面 MNG , BD?平面 MNG ,所以 BD∥平面 MNG ,又 DE,BD? 平面 BDE ,DE∩BD=D,所以平面 BDE ∥平面 MNG .能力提升题组(建议用时: 20 分钟 )11.(2019 石·家庄模拟 )过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 ( )A.4 条B.6 条C.8 条D.12 条解析如图, H ,G,F , I 是相应线段的中点,故符合条件的直线只能出现在平面HGFI 中,有 FI,FG,GH,HI ,HF, GI 共 6条直线 .答案B12.已知 m, n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是()A. 若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若 m, n 平行于同一平面,则m 与 n 平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若 m, n 不平行,则m 与 n 不可能垂直于同一平面解析A 项,α,β可能相交,故错误; B 项,直线 m,n 的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误; C 项,若 m? α,α∩β= n,m∥ n,则 m∥β,故错误; D 项,假设m, n 垂直于同一平面,则必有m∥ n 与已知 m, n 不平行矛盾,所以原命题正确,故D 项正确 .答案D13.在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D 1中, O 为底面 ABCD 的中心, P 是 DD 1的中点,设 Q 是 CC1上的点,则点 Q 满足条件 ________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO.15解析如图所示,设 Q 为 CC 1 的中点,因为 P 为 DD 1 的中点,所以 QB ∥ PA.连接 DB ,因为 P , O 分别是DD 1, DB 的中点,所以D 1 1B ∥ PO ,又 D B?平面 PAO ,QB ?平面 PAO , PO? 平面 PAO ,PA? 平面 PAO ,所 以 D 1B ∥平面 PAO , QB ∥平面 PAO ,又 D 1B ∩QB = B ,所以平面 D 1BQ ∥平面 PAO.故 Q 为 CC 1的中点时,有平面D 1BQ ∥平面 PAO.答案Q 为 CC 1的中点14.(2018 河·南六市三模 )已知空间几何体 ABCDE 中,△ BCD 与△ CDE 均是边长为 2 的等边三角形,△ ABC 是腰长为 3 的等腰三角形,平面 CDE ⊥平面 BCD ,平面 ABC ⊥平面 BCD .(1) 试在平面 BCD 内作一条直线, 使得直线上任意一点 F 与 E 的连线 EF 均与平面ABC 平行,并给出证明; (2) 求三棱锥 E -ABC 的体积 .解(1) 如图所示,取 DC 的中点 N ,取 BD 的中点 M ,连接 MN ,则 MN 即为所求 . 证明:连接EM , EN ,取 BC 的中点 H ,连接 AH , ∵△ ABC 是腰长为 3 的等腰三角形,H 为 BC 的中点,∴AH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥平面 BCD ,平面 ABC ∩平面 BCD = BC , AH ? 平面 ABC , ∴AH ⊥平面 BCD ,同理可证EN ⊥平面 BCD , ∴EN ∥AH ,∵EN ? 平面 ABC , AH? 平面 ABC , ∴EN ∥平面 ABC.又 M , N 分别为 BD , DC 的中点,∴MN ∥ BC ,∵MN ? 平面 ABC , BC? 平面 ABC ,16∴MN ∥平面 ABC.又 MN ∩EN =N ,MN? 平面 EMN ,EN? 平面 EMN , ∴平面 EMN ∥平面 ABC , 又 EF? 平面 EMN , ∴EF ∥平面 ABC ,即直线 MN 上任意一点 F 与 E 的连线 EF 均与平面 ABC 平行 . (2) 连接 DH ,取 CH 的中点 G ,连接 NG ,则 NG ∥ DH , 由(1) 可知 EN ∥平面 ABC ,∴点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等, 又△ BCD 是边长为2 的等边三角形, ∴DH ⊥ BC ,又平面 ABC ⊥平面 BCD ,平面 ABC ∩平面 BCD = BC , DH ? 平面 BCD , ∴DH ⊥平面 ABC ,∴ NG ⊥平面 ABC , 易知 DH =3,∴ NG = 3,2又 S △ ABC = 1·BC ·AH =1× 2× 32- 12=2 2,2 2 1 6 .∴V E -ABC = ·S △ABC ·NG = 3317。
【精品】高中数学 必修2_直线、平面平行的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线、平面平行的性质【学习目标】1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用;2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用;3.能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题.【要点梳理】【高清课堂:线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】要点一、直线和平面平行的性质文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为:线面平行则线线平行.符号语言:若//a α,a β⊂,b αβ=I ,则//a b .图形语言:要点诠释:直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.可以用符号表示:若a ∥α,αβ⊂,b αβ=I ,则a ∥b .这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理,用该定理判断直线a 与b 平行时,必须具备三个条件:(1)直线a 和平面α平行,即a ∥α;(2)平面α和β相交,即b αβ=I ;(3)直线a 在平面β内,即a β⊂.三个条件缺一不可,在应用这个定理时,要防止出现“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内一切直线”的错误.【高清课堂:空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】要点二、平面和平面平行的性质文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言:若//αβ,a αγ=I ,b βγ=I ,则//a b .图形语言:要点诠释:(1)面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理.(2)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线(否则将导致这两个平面有公共点).要点三、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行.这三种关系不是孤立的,而是互相联系的.它们之间的转化关系如下:证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理.有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记忆:空间之中两直线,平行相交和异面.线线平行同方向,等角定理进空间.判断线和面平行,面中找条平行线;已知线和面平行,过线作面找交线.要证面和面平行,面中找出两交线.线面平行若成立,面面平行不用看.已知面与面平行,线面平行是必然.若与三面都相交,则得两条平行线.【经典例题】类型一:直线与平面平行的性质例1.四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.【解析】如图,连接AC交BD于O,连接MO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理,则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BDM=GH,根据直线和平面平行的性质定理,∴PA∥GH.【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论.举一反三:【变式1】过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB 1∥EE1.【证明】如图.∵CC1∥BB1,∴CC1∥平面BEE1B1.又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1,∴CC1∥EE1.∵CC1∥BB1,∴BB1∥EE1.【总结升华】“欲证线线平行,需证线面平行”是证明线线平行的基本思想.例2.如图所示,已知异面直线AB、CD都平行于平面α,且AB、CD在α的两侧,若AC、BD与α分别交于M、N两点,求证:AM BN MC ND=.【解析】如图所示,连接AD交平面α于Q,连接MQ、NQ.MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与α的交线.∵CD∥α,AB∥α,∴CD∥MQ,AB∥NQ.于是AM AQMC DQ=,DQ DNAQ NB=,∴AM BNMC ND=.【总结升华】利用线面平行的性质定理,可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题,利用平行线截割定理,可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题.在应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面,本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD,得到交线MQ 和NQ.举一反三:【高清课堂:线面平行的判定与性质 399459例3】【变式1】已知直线a ∥平面α,直线a ∥平面β,平面αI 平面β=b ,求证//a b . 证明:经过a 作两个平面γ和δ,与平面α和β分别相交于直线c和d , ∵a ∥平面α,,a c γαγ⊂=I ,a ∥平面β,,a d δδβ⊂=I∴a ∥c ,a ∥d ,∴c ∥d ,又∵d ⊂平面β,c ⊄平面β,∴c ∥平面β,又c ⊂平面α,平面α∩平面β=b ,∴c ∥b ,又∵a ∥c ,∴a ∥b .【变式2】如图所示,在三棱锥P —ABC 中,PA=4,BC=6,与PA 、BC都平行的截面四边形EFGH 的周长为l ,试确定l 的取值范围.【解析】与PA 、BC 平行的截面四边形EFGH 应有二边平行于PA ,另二边平行于BC ,故它是一个平行四边形,EF AF BC AC =,BC AF EF AC =g ,同理,GF CF PA AC =,PA CF GF AC=g , 四边形EFGH 的周长=2(EF+FG )=BC AF AC g +PA CF AC g =128AF CF AC +=8+4AF AC因为0<PF/PB<1,截面四边形EFGH 的周长l 应大于小于12,8<l<12.类型二:平面与平面平行的性质例3.已知:平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l ,m 分别与平面α,β,γ相交于点A ,B ,C 和点D ,E ,F (如图). 求证:AB DE BC EF=. 【解析】连接DC ,设DC 与平面β相交于点G ,连接BG 、EG ,则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BD ,平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF .因为//αβ,//βγ,所以BG ∥AD ,GE ∥CF .d c b a δγβα于是,得AB DGBC GC=,DG DEGC EF=.所以AB DEBC EF=.【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是:(1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两线中的一条;(2)判定这两个平面平行;(3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面内;(4)由定理得出结论.举一反三:【变式1】已知面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面α,β之间,则SC=________;(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=________.【答案】(1)16 (2)272例4.如图所示,平面α∥平面β,A,C∈α,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE CFEB FD=.求证:EF∥β.【解析】(1)当AB,CD共面时,∵α∥β,且平面ABDC∩α=AC,平面ACDB∩β=BD,∴AC∥BD,∴四边形ABDC是梯形或平行四边形.由AE CFEB FD=,得EF∥BD,又∵BD⊂β,EF⊄β,∴EF∥β.(2)当AB,CD异面时,作AH∥CD交β于H,∵α∥β,且平面AHDC与平面α,β的交线分别为AC,HD,∴AC∥HD.∴四边形AHDC为平行四边形.作FG∥DH交AH于G,连接EG,于是CF AG FD GH=.∵AE CFEB FD=,∴AE AGEB GH=.从而EG∥BH,而BH⊂β,EG⊄β,∴EG∥β.又FG∥DH,DH⊂β,FG⊄β,∴FG∥β.∵EG∩FG=G,∴平面EFG∥β.又EF⊂平面EFG,∴EF∥β.【总结升华】(1)面面平行的性质定理的应用问题,往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用.解题时,要准确地找到解题的切入点,灵活地运用相关定理来解决问题.如在本例的第二种情况:面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行.(2)由面面平行的定义可知,一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点,因而有面面平行的一个重要性质:两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面,如本例(2)中由平面EFG∥β得出EF∥β,便是这一性质的灵活运用.举一反三:【变式1】四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,问在棱PC上能否找到一点F,使BF∥平面AEC?试说明你的看法.【解析】如图,当F是PC的中点时,BF∥平面AEC.理由:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.所以12EM PE ED==,所以E是MD的中点.连接BM、BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,所以BM∥OE.又BM∩FM=M,OE∩CE=E,BM⊂平面BFM,FM⊂平面BFM,OE⊂平面AEC,CE⊂平面AEC,所以平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM,所以BF∥平面AEC.类型三:线面平行的判定与性质的综合应用例5.如图所示,已知平面α∥平面β,AB与CD是两条异面直线,且AB⊂α,CD⊂β.如果E,F,G分别是AC,CB,BD的中点,求证:平面EFG∥α∥β.【解析】由已知条件可知EF∥AB,FG∥CD.∴EF∥α,FG与CD可确定一个平面,设BM=α∩平面CDGF,由于//αβ,故有CD ∥BM⇒FG∥BM⇒FG∥α.如果E,F,G三点共线,则有G∈平面ABC⇒BG⊂平面ABC⇒D∈平面ABC,即A,B,C,D共面,与AB,CD是异面直线矛盾.故E,F,G三点不共线,即EF与FG是平αβ,故平面EFG∥α∥β.面EFG内的两条相交直线.∴平面EFG∥α,而//【总结升华】(1)要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结,特别要注意相互转化,使之统一.(2)要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题,在作辅助线和辅助平面时,必须有理论依据,也就是要以某一定理为依据,切忌主观臆断,随意地作辅助线、辅助平面.举一反三:【变式1】如图所示,已知点P是Y ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点,平面PBC∩平面APD=l.(1)求证:l∥BC;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.【解析】方法一:(1)因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.(2)平行.如下图(1),取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.所以四边形AMNE是平行四边形.所以MN∥AE.所以MN∥平面PAD.方法二:(1)因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以l∥AD.因为AD∥BC,所以l∥BC.(2)平行.如下图(2),设Q是CD的中点,连接NQ,MQ,则MQ∥AD,NQ∥PD,而MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD.又因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD.巩固练习1.如果直线a ∥平面α,则( )A .平面α内有且只有一条直线与a 平行B .平面α内有无数条直线与a 平行C .平面α内不存在与a 平行的直线D .平面α内的任意直线与a 都平行2.由下列条件不一定得到平面α∥平面β的是( )A .α内有两条相交直线分别平行于βB .α内任何一条直线都平行于βC .α内有无数条直线平行于βD .α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线3.若AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段,则过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A .平行B .相交C .AC 在此平面内D .平行或相交4.以下命题(其中,a b 表示直线,α表示平面)①若//,a b b α⊂,则//a α;②若//,//a b αα,则//a b ;③若//a b ,//b α,则//a α;④若//a α,b α⊂,则//a b 。
2020高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定教案 新人教A版必修2
§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析本节课位于必修2第二章第二节,第一章的学习旨在学生对空间几何体的整体观察,整体认识.第二章让学生直观认识和描述空间中点线面的位置关系.本节课主要学习直线和平面平行的定义,判定定理以及初步应用。
线面平行的定义是线面平行最基本的判定方法和性质,它是探究线面平行判定定理的基础,线面平行的判定充分体现了线线平行和线面平行之间的转化,它既是后面学习面面平行的基础,又是连接线线平行和面面平行的纽带,也把平面几何与立体几何紧密相连.所以本节课起着承上启下的作用。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理其重要作用。
二、学情分析学生已经掌握了平面内证明线线平行的方法,前一节又刚刚学过在空间中直线与直线的位置关系,对空间概念的建立有一定基础,但是学生的抽象概括能力,空间想象力还有待提高,线面平行的定义比较抽象,要让学生体会“与平面无公共点”有一定困难,线面平行的判定的发现有一定隐蔽性。
学生对在图形的基础上用文字语言,特别是符号语言的表达需进一步巩固提高.三、教学目标1. 知识方面:通过直观感知,操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理,掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
2. 能力方面:培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习,在自主合作、交流中学习,体验学习的乐趣,增强自信心,树立积极的学习态度,提高学习的自我效能感。
3. 情感方面:让学生亲历数学研究的过程,体验探索的乐趣和成功的喜悦,培养学生思维的严密性,以及认真细致的学习态度。
四、教法学法及教学手段分析1. 教法:根据本节内容较抽象,学生不易理解的特点,本节教学采用启发式教学,辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。
采用这种方法的原因是高一学生的空间想象能力比较差,只能通过对实物的观察及一定的练习才能掌握本节知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【巩固练习及参考答案与解析】1.一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等,那么直线l 与平面α的位置关系是( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l 与α相交但不垂直D.l ∥α或l ⊂α2.如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G,已知△A′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是 ( )①动点A′在平面ABC 上的射影在线段AF 上;②BC ∥平面A′DE;③三棱锥A′FED 的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③ 3.(2015春 福州校级期末)如图,在正四棱锥S ﹣ABCD 中,E,M,N 分别是BC,CD,SC 的中点,动点P 在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP ∥BD ;②EP ⊥AC ;③EP ⊥面SAC ;④EP ∥面SBD 中恒成立的为( )A.②④B.③④C.①②D.①③4、设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是( )①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面(A) ①② (B) ①③ (C)②③ (D) ③④5、设c b a ,,是空间三条不同的直线,βα,是空间两个不重合的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( )A.当c b //时,若α⊥b ,则α⊥c .B.当α⊂b ,且α⊄c 时,若α//c ,则c b //.C.当α⊥c 时,若β⊥c ,则βα//.D.当α⊂b 时,若β⊥b ,则βα⊥.6.下列条件中,不能判断两个平面平行的是 (填序号).①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面7.对于平面α和共面的直线m 、n ,下列命题中假命题是 (填序号).①若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α②若m ∥α,n ∥α,则m ∥n③若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n8.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是 .9.下列命题,其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.10.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ;②存在平面γ,使得α,β都平行于γ;③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m;④存在异面直线l、m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中,可以判定α与β平行的条件有 (写出符合题意的序号).11.设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是 (填序号).①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β③若α⊥β,m⊂α,则m⊥β④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α12. (2014秋忠县校级期末)已知a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,在下列命题①;②;③;④中,正确的命题是(只填序号).13. (2014 济宁二模)已知在四棱锥S﹣ABCD中,△ABD为正三角形,CB=CD,∠DCB=120°,SD=SB,(1)求证:SC⊥BD;(2)M、N分别为线段SA、AB上一点,若平面DMN∥平面SBC,试确定M、N的位置,并证明.14.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.15.如图所示,正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13,M,N分别为PA,BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.(1)求证:直线MN∥平面PBC;(2)求线段MN的长.【参考答案与解析】1.【答案】D【试题解析】l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等,l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0,l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等,l与α斜交时,也只能有两点到α距离相等.2. 【答案】C【试题解析】①中由已知可得面A′FG⊥面ABC,∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上.②BC∥DE,∴BC∥平面A′DE.③当面A′DE⊥面ABC时,三棱锥A′FED的体积达到最大.3.【答案】A【试题解析】如图所示,连接AC、BD相交于点O,连接EM,EN.在①中:由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确;在②中:由正四棱锥S﹣ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=N,∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP.故正确.在③中:由①同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直.即不正确.在④中:由②可知平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此正确.故选A4、【答案】C5、【答案】D6.【答案】①②③7.【答案】①②④8.【答案】 09.【答案】 110.【答案】②④11.【答案】①②③12.【答案】②④【试题解析】①:与同一条直线平行的两个平面不一定平行,在本题的条件下,两平面可能相交,所以①是假命题;②:根据直线与平面的位置关系可得:由m ⊥α,m ⊥β可得出α∥β,所以②是真命题.③:根据直线与平面的位置关系可得:a 与b 可以是任意的位置关系,所以③是假命题;④:垂直于同一条直线的两条直线平行,所以④是真命题;故答案为②④.13.(1)证明:取BD 中点O,连CO,SO,因为CB=CD,SD=SB,∴OC ⊥BD,SO ⊥BD,∵OC ∩SO=O,OC ⊂平面SOC,SO ⊂SOC,∴BD ⊥平面SOC,又SC ⊂面SOC,∴SC ⊥BD.(2)如图,M,N 分别为线段SA,AB 的中点,在△SAB 中,因为M,N 分别为线段SA,AB 的中点,∴MN ∥SB,∵SB ⊂平面SBC,MN ⊄平面SBC,∴MN ∥平面SBC,在△BCD 中,因为∠DCB=120°,CD=CB,∴∠CBD=30°,又△ABD 为正三角形,∴∠DBA=60°,∴∠CBA=90°,即CB ⊥AB,∴DN ∥BC,∵BC ⊂平面SBC,DN ⊄平面SBC,∴DN ∥平面SBC∵MN ∩DN=N,MN ⊂平面MND,DN ⊂平面MND,∴平面NMD ∥平面SBC.14.【证明】方法一 如图所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,∴AE =BD .又∵AP =DQ ,∴PE =QB ,又∵PM ∥AB ∥QN , ∴AE PEAB PM=,BD BQDC QN=,DC QNAB PM=,∴PM QN ,∴四边形PMNQ 为平行四边形,∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE .方法二 如图所示,连接AQ ,并延长交BC 于K ,连接EK ,∵AE =BD ,AP =DQ ,∴PE =BQ , ∴PE AP =BQ DQ① 又∵AD ∥BK ,∴BQ DQ =QK AQ ② 由①②得PE AP =QKAQ ,∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ,EK ⊂平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE .方法三 如图所示,在平面ABEF 内,过点P 作PM ∥BE ,交AB 于点M , 连接QM .∵PM ∥BE ,PM ⊄平面BCE ,即PM ∥平面BCE , ∴PE AP =MB AM ①又∵AP =DQ ,∴PE =BQ , ∴PE AP =BQ DQ ② 由①②得MBAM =BQ DQ ,∴MQ ∥AD , ∴MQ ∥BC ,又∵MQ ⊄平面BCE ,∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ =M ,∴平面PMQ ∥平面BCE ,PQ ⊂平面PMQ ,∴PQ ∥平面BCE .15. 【证明】 连接AN 并延长交BC 于Q ,连接PQ ,如图所示.∵AD ∥BQ ,∴△AND ∽△QNB , ∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58, 又∵MA PM =ND BN =85, ∴MP AM =NQ AN =58,∴MN ∥PQ , 又∵PQ ⊂平面PBC ,MN ⊄平面PBC ,∴MN ∥平面PBC .(2)在等边△PBC 中,∠PBC =60°,在△PBQ 中由余弦定理知PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ=132+2865⎪⎭⎫ ⎝⎛-2×13×865×21=642818, ∴PQ =891, ∵MN ∥PQ ,MN ∶PQ =8∶13,∴MN =891×138=7.。