第三章 答案

习题 3.11. 设（X ,Y ）的分布函数为F (x ,y )，试用F (x ,y )表示：（1）P {a ≤X ≤b,Y<c }； (2)P {0<Y<b }； (3)P {X ≥a ，Y>b }. 解：(1)(,)(,);F b c F a c - (2)(,)(,0);F b F +∞-+∞(3)1(,)(,)(,).F a b F b F a +-+∞-+∞2.试求(1) 13,04;22P X Y ⎧⎫<<<<⎨⎬⎩⎭ （2）{}12,34.P X Y ≤≤≤≤解：（1）13,04;22P X Y ⎧⎫<<<<⎨⎬⎩⎭（2）{}12,34.P X Y ≤≤≤≤16/116/10}3,2{}3,1{=+===+===Y X P Y X P3. 设X 、Y 为随机变量，且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=求{max{,}0}.P X Y ≥解：{max{,}0}.P X Y ≥75737474}0,0{}0{}0{}0,0{=-+=≥≥-≥+≥=≥≥=Y X P Y P X P Y X P 或 4. 设（X ,Y ）只取下列数值中的值：（0，0），（—1，1），（—1，1/3），（2，0）且相应概率依次为1115,,,.631212请列出（X,Y ）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布. 解：由题意知5. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为(6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它， （1）确定常数k ； （2）求{1,3}P X Y << （3）求{ 1.5);P X < （4）求{4}.P X Y +≤解：（1）81824)10()2212(02]21)6[()6(1242422422=∴=-=--===--=--=⎰⎰⎰⎰k ky y k dy y k dy x x x x y k dydx y x k（2）求{1,3}P X Y <<83)211(8101]21)6[(81)6(81323223210=-===--=--=⎰⎰⎰⎰dy y dyx x x x y dy dx y x1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f（3）{ 1.5);P X <3227)23863(8105.1]21)6[(81)6(8142422425.10=-===--=--=⎰⎰⎰⎰dy y dyx x x x y dy dx y x（4）{4}.P X Y +≤3224])4(61)4([81])4(21)4(2[8104]21)6[(81)6(81),(324224224240=----=-+-==-=--=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰-y y dy y y dyx y x x x y dy dx y x dxdyy x f yG6. 已知X 和Y 得联合密度为,01,01(,).0,cxy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它试求：（1）常数c ；（2）X 和Y 的联合分布函数F （x ,y ）.解（1）41))((11=∴=⎰⎰c ydy xdx c（2）{}(,),(,)yx F x y P X x Y y f u v dudv -∞-∞=≤≤=⎰⎰1）0},{),(00=≤≤=<<y Y x X P y x F y x 时，或当 2）⎰⎰==≤≤≤≤x oyy x uvdudv y x F y x 2204),(1010时，且当3）⎰⎰==≤≤=>≤≤x o x uvdudv Y x X P y x F y x 2104}1,{),(110时，且当4）⎰⎰==≤≤=≤≤>1204},1{),(101o yy uvdudv y Y X P y x F y x 时，且当5）1),(11=>>y x F y x 时，且当所以22220,0,01,1(1)4;(2)(,),01,0 1.,1,011,1,1x x x y c F x y x y x y y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤>⎪⎪==≤≤≤≤⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩或y 07. 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为4.8(2),01,1(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它 求边缘概率密度().Y f y解：1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f即22.4(34),01().0,Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其它8. 设二维随机变量（X ,Y ）有密度函数22220(,),(16)(25)f x y x y π=++求（X ,Y ）的联合分布函数及关于X 和Y 的边缘分布函数.解⎰⎰∞-∞-=y xdudv v u f y x F ),(),()161)(251(20222⎰⎰∞-∞-++=yx du u dv v π )4141)(5151(1222⎰⎰∞-∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=yx u d u v d v π所以 21(,)(arctan )(arctan ),,,4252x y F x y x y πππ=++-∞<<+∞ )25(54arctan)25(5)16)(25(20),()(222222+=∞-∞++=++==⎰⎰∞+∞-+∞∞-x y x dyy x dyy x f x f X πππ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰⎰+∞∞-其它,010,)2(8.4),()(1y Y y dx x y dxy x f y f)16(45arctan)16(4)16)(25(20),()(222222+=∞-∞++=++==⎰⎰∞+∞-+∞∞-y x y dxy x dxy x f y f Y πππ习题 3.21. 将某一医药公司9月份和8月份的青霉素针剂的订货单数分别记为X 与Y .据以往积累的资料知道，X 和Y 的联合分布率为(1) 求边缘分布律；（2）求8月份的订单为51时，9月份的订单数的条件分布律.解：.(1)(2)}51{}51,{}51{======Y P Y k X P Y k X P 故2.(1) 在Y =1的条件下，X 的条件分布律； (2) 在解：（1）}1{}1,{}1{======Y P Y k X P Y k X P 于是（2）}2{},2{}2{======X P k Y X P X k Y P 于是3. 已知（X,Y ）的概率密度函数为：3,01,0(,)0,x x yxf x y <<<<⎧=⎨⎩，其它 求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数.解：因为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰+∞∞-=dx yx f y f Y ),()(于是.223(1),013,01(1)()();20,0,X Y y y x x f x f y ⎧⎧-<<<<⎪==⎨⎨⎩⎪⎩，其它其它因为)(),()(y f y x f y x f Y Y X =，)(),()(x f y x f x y f X X Y =故 2||21,0,01(2)(|)(|).0,0,X Y Y X x y x y x y f x y f y x x ⎧⎧<<<<⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪⎩⎩，其它其它习题3.31. 设X 与Y 相互独立，其概率分布如表（a ）及表（b ）所示，求（X,Y ）的概率分布，P {X+Y =1}，P {X+Y ≠0}.表（a ） 表（b ）解:因为X 与Y 相互独立，j i ij P P p ∙∙⋅=∴12/116/148/1}3,2{}1,0{}1{=+==-=+====+Y X P Y X P Y X P4/36/112/11}2/1,2/1{}1,1{1}0{1}0{=--=-==-=-=-==+-=≠+Y X P Y X P Y X P Y X P 2.某旅客到达火车站的时间X 均匀分布在早上7：55—8：00，二火车这段时间开出的时间Y 的密度函数为：2(5),05();250,Y y y f y -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩求此人能及时上火车的概率.解：由题意X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,050,51)(x x f X因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-==其他,050,50,125)5(2)()(),(y x y y f x f y x f Y X故，此人能及时上火车的概率为：⎰⎰=-=>50531125)5(2}{x dydx y X Y P3设随机变量X 的概率密度为：||1()();2x f x e x -=-∞<<+∞问：X 与|X|是否相互独立？解：若X 与|X|相互独立，则0>∀a ，有}{}{},{a X P a X P a X a X P ≤≤=≤≤ 而事件}{}{a X a X ≤⊂≤从而有}{}{}{},{a X P a X P a X P a X a X P ≤≤=≤=≤≤)0(1}{0}{0}){1}({>∀=≤=≤⇒=≤-≤a a X P a X P a X P a X P 或但是，当0>a 时，两者均不成立，出现矛盾，故X 与|X|不独立 习题3.41． 设随机变量（X,Y ）的概率密度为：()1(),0,0(,)20,x y x y ex y f x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩，其它(1) 问X 和Y 是否相互独立？（2）求Z=X+Y 的概率密度.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>+==⎰⎰∞++-+∞∞-其他,00,)(21),()(0)(x dy e y x dyy x f x f y x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=-其他（,00,)121x e x x 由对称性可知=)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧>+-其他（,00,)121y e y y因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不独立（2）用卷积公式⎰+∞∞--=dyy y z f z f Z ),()(当⎩⎨⎧>->00x z x 即⎩⎨⎧<>z x x 0时，0),(≠-x z x f所以，当0≤z 时0)(=z f Z当0>z 时z zz Z e z dy ze z f --==⎰202121)( 于是，Z=X+Y 的概率密度为21,0().20,0zZ z e z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 2.设随机变量X 、Y 相互独立，若X 服从（0，1）上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度. 解：据题意，X,Y 的概率密度分别为⎩⎨⎧<<=其他）,010,1(x x f X ，⎩⎨⎧≥=-其他）,00,(y e y f y Y 由卷积公式⎰+∞∞--=dyy f y z fz f Y XZ )()()(⎰+∞--=0)(dy e y z f y X由z y z y z <<-<-<1,10得，可见 当0≤z 时，有0)(,0)(==-z f y x f Z Z 故 当0>z 时，有z z zz y y X Z e e dy e dy e y z f z f -----+∞--==-=⎰⎰)1,0max()1,0max(0)()(即10,0()1,0 1.,1z Z z z z f z e z e e z ---<⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩3.设随机变量（X,Y ）的概率密度为：(),01,0(,).0,x y be x y f x y -+⎧<<<<∞=⎨⎩其它（1） 试确定常数b ；（2） 求边缘概率密度(),();X Y f x f y （3） 求函数U=max{X,Y }的分布函数.解：（1）1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f1110111)1(--+∞---=∴=-=⎰⎰e b e b dy e be dx y x从而⎪⎩⎪⎨⎧><<-=+--其他,00,10,11),()(1y x e e y x f y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=+--∞+⎰其他,010,11)()(10x dy e e x f y x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他,010,11x e e x ⎪⎩⎪⎨⎧>-=+--⎰其他,00,11)()(110y dx e e y f y x Y ⎩⎨⎧>=-其他,00,y e y（3）因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 、Y 相互独立由于max(,)M X Y z =≤等价于X z ≤且Y z ≤，因此, 对于任意的实数z ，max (){}{,}{}{}F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤⋅≤()()X Y F z F z =⋅即 m a x ()F z = ()()X Y F z F z ⋅其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=--1,110,110,0)(1x x eex x F x X ，⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)y y e y F y Y （ 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=--1,110,1)1(0,0)(12u u ee u u F u U 4.设随机变量X 、Y 相互独立，且服从同一分布，试证明：22{min{,}}[{}][{}].P a X Y b P X a p X b <≤=>->证明：由min(,)N X Y =＞z 等价于X z > 且Y z > 可得min (){}1{}1{,}1{}{}1[1{}][1{}]F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z P X z P Y z =≤=->=->>=->⋅>=--≤⋅-≤即 m i n ()F z 1[1()][1(X Y F z F z =--- =2}]{[1z X P >- 代入得{}2222}]{[}]{[}]{[1}]{[1}},min{{b X P a X P a X P b X P b Y X a P >->=>-->-=≤< 复习题三（A ）1． 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量X,Y 如下：0,;X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品 0,.1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律.解：（1）有放回抽样，X 和Y 的联合分布律为362512121010}0,0{=⋅⋅===Y X P3651212102}0,1{=⋅⋅===Y X P3651212210}1,0{=⋅⋅===Y X P122}1,1{=⋅===Y X P66451112910}0,0{=⋅⋅===Y X P66101112102}0,1{=⋅⋅===Y X P66101112210}1,0{=⋅⋅===Y X P112}1,1{=⋅===Y X P2．假设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，随机变量：0,(1,2),1,k Y k X k Y k≤⎧==⎨>⎩求（X 1，X 2）的联合分布律与边缘分布律. 解：因为)1(~E Y⎩⎨⎧>≤=1,11,01Y Y X 若若 所以有111}1{}1{-+∞-==>==⎰e dy e Y P X P y1111}1{}0{---==≤==⎰e dy e Y P X P y同理222}2{}1{-+∞-==>==⎰e dy e Y P X P y221}2{}0{--=≤==e Y P X P 所以221}2{}1,1{-=>===e Y P X X P2121121}1,1{}1{}0,1{---===-====e e X X P X P X X P 1211}1{}0,0{--=≤===e Y P X X P0}0,0{}0{}1,0{21121===-====X X P X P X X P 故（X 1，X 2）的联合分布律与边缘分布律3.元旦茶会上，每人发给一袋水果，内装3只句子，2只苹果，3只香蕉.今从袋中随机抽出四只，以X 记桔子数，Y 记苹果数，求（X,Y ）的分布律 解：X 可取的值为0，1，2，3.Y 可取的值为0，1，20}{}0,0{====φP Y X P70/2/}1,0{48331203====C C C C Y X P 70/3/}2,0{48232203====C C C C Y X P 70/3/}0,1{48330213====C C C C Y X P 70/18/}1,1{48231213====C C C C Y X P 70/9/}2,1{48132213====C C C C Y X P 70/9/}0,2{48230223====C C C C Y X P 70/18/}1,2{48131223====C C C C Y X P 70/3/}2,2{48032223====C C C C Y X P 70/3/}0,3{48130233====C C C C Y X P 70/2/}1,3{48031233====C C C C Y X P0}{}2,3{====φP Y X P所以，（X,Y ）的分布律为4.随机变量（X ，Y ）的分布律如右表，求： （1） a 值；（2） （X,Y ）的分布函数F （x ，y ）； （3） （X,Y ）关于X,Y 的边缘分布函数 F X （x ）与F Y （y ）.解：（1）由分布律的性质311,==∑a p ji ij 得 （2）因},{),(y Y x X P y x F ≤≤=①0),(,11=-<-<y x F y x 时或②41}1,1{),(01,21=-===<≤-<≤Y X P y x F y x 时， ③125}1,2{}1,1{),(01,2=-==+-===<≤-≥Y X P Y X P y x F y x 时， ④21}0,1{}1,1{),(0,21===+-===≥<≤Y X P Y X P y x F y x 时， ⑤}1,2{}1,1{),(0,2-==+-===≥≥Y X P Y X P y x F y x 时，1}0,2{}0,1{===+==+Y X P Y X P综上所述，（X,Y ）的分布函数F （x ，y ）为0,111/4,12,101(1)(2)(,);5/12,2,1031/2,12,01,2,0x y x y a F x y x y x y x y <<-⎧⎪≤<-≤<⎪⎪==≥-≤<⎨⎪≤<≥⎪≥≥⎪⎩或（X,Y ）关于故（X,Y X F Y （y ）为0,10,1(3)()1/2,12,()5/12,10.1,21,0X Y x y F x x F y y x y <<-⎧⎧⎪⎪=≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩5.设：1,02,max(0,1)min(1,)(,)0,x x y x f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩，其它 求F X （x ）与F Y （y ）.解;,1,11,0)1,0max(⎩⎨⎧≥-<=-x x x x ,1,11,),1min(⎩⎨⎧≥<=x x x x所以，),(y x f 有意义的区域可分为}0,10{x y x ≤≤≤≤，}11,21{≤≤-≤≤y x x⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤≤≤=其他,011,21,10,10,1),(y x x x y x y x f所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=⎰⎰-其他,021,10,)(11x dy x dy x f x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其他,021,210,x x x x⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+其他,010,)(1y dx y f y y Y ⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1y6.若（X,Y ）的分布律如右表所示，则α，β应满足的条件是_____,若X 与Y 独立，则α=_____,β=_____.解：由分布律的性质1,=∑ji ij p 故1311819161=+++++βα即31=+βα，又因为X 与Y 独立，}{}{},{j Y P i X P j Y i X P ===== 从而923131913191}2{}2{}2,2{=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=======αβαααY P X P Y X P 9191313118131181}2{}3{}2,3{=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=======βββαββY P X P Y X P 7.设二维随机变量（X,Y ）的概率密度函数为：(2),0,0(,)0,x y cex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩，其它（1）确定常数c ： （2）求X,Y 的边缘概率密度函数； （3）求联合分布函数F （x ，y ）； （4）求P {Y ≤X }； （5）求条件概率密度函数f X|Y (x|y )； （6）求P {X <2|Y <1}. 解：（1）()21200212002=∴==∞+-∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞+-∞+-⎰⎰c c e e c dy e dx e c y x y x （2）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞--0,00,202x x dy e e y x ⎩⎨⎧≤>=-0,00,22x x e x1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞--0,00,202y y dx e e y x ⎩⎨⎧≤>=-0,00,y y e y （3）⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎰⎰--其他,000,2020y x dvdu e e x v u y⎩⎨⎧>>--=--其他（,00,0),1)(12y x e e y x （4）31)1(22}{02020=-==≤⎰⎰⎰+∞----+∞dx e e dy e e dx X Y P x x x y x（5）当0>y 时，)(),()(y f y x f y x f Y Y X =⎪⎩⎪⎨⎧≤>=---0,00,22x x e e e y yx ⎩⎨⎧≤>=-0,00,22x x e x（6）⎰-=<<<=<≤10)1,2(}1{}1,2{}12{dye F Y P Y X P Y X P y414111)1)(1(-----=---=e ee e 8． 设随机变量X 以概率1取值为0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立.证明：因为X 的分布函数⎩⎨⎧≥<=时，当时当010,0)(x x x F X设Y 的分布函数),(),(Y X y F Y 的分布函数为),(y x F 则当0<x 时，对于任意的y 有)()(0}{)}({)}(){(},{),(y F x F P y Y P y Y x X P y Y x X P y x F Y X ===≤=≤≤=≤≤=φφ当0≥x 时，对于任意的y 有)()()(}{)}({)}(){(},{),(y F x F y F y Y P y Y P y Y x X P y Y x X P y x F Y X Y ==≤=≤Ω=≤≤=≤≤=依定义，由)()(),(y F x F y x F Y X =知，X 与Y 相互独立. 9若X 与Y 相互独立，求参数a ，b ，c 的值.Y由于X 与Y 相互独立，则有2222∙∙=p p p 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=9491b b b ①2112∙∙=p p p 得⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=949191b a ② 由式①得92=b 代入式②得181=a 由分布律的性质有1319191=+++++c b a 得61=c所求的c b a ,,的值对于任意的j i ,均满足j i ij p p p ∙∙=因此，所求的c b a ,,的值为181=a ，92=b ，61=c . :12(1)求X 1和X 2的联合分布率； （2）问X 1和X 2是否独立？ 解：（1）P { X 1 X 2=0}=1等价于0}0{21=≠X X P 可知0}1,1{21===X X P ，0}1,1{21==-=X X P 再由011111p p p p ++=∙-∙得2101=p 4111110=-=-∙--p p p ，4111110=-=∙p p p 从而000=p ，所以X 1和X 2的联合分布率（2）由于812141410110=⋅=≠=∙∙--p p p 所以X 1和X 2不独立 11．设（X,Y ）的密度函数为：22221,(,),0,x y Rf x y R π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）X 与Y 的边缘分布密度；（2）求条件分布密度，并问X 与Y 是否独立？解：⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰---其它,0,122222x R x R Rx R dy R π以及对称性得.2(1)(),()0,.0,X Y R x RR y Rf x f y R π⎧⎪-≤≤-≤≤==⎨⎪⎪⎩⎩；其它其它又因为)(),()(y f y x f y x f Y Y X =，)(),()(x f y x f x y f X X Y =故|||(2)(|)0,X Y x f x y ≤=⎩其它|||(|).0,Y X y f y x X Y ≤=⎩且于不相互独立其它（因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠）12． 设（X ，Y ）的密度函数为：211,1,2(,)0,x x yx yx f x y ⎧≤<+∞≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 问X 与Y 是否独立？ 解：⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎰1,01,2112x x dy y x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,1ln 212x x x x y yx ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,ln 2x x x x⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<≤<≤=⎰⎰∞+∞+y y y dx y x y dx y x y 1,2110,210,0212，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<≤=y y y y 1,2110,210,02 当1,1==y x 时，21)1(,0)1(==Y X f f )1()1(21)1,1(Y X f f f ≠=所以，X 与Y 不独立.13． 设（X,Y ）的概率密度为： 1,01,02(1)(,)0,x y x f x y <<<<-⎧=⎨⎩其它， 求Z =X+Y 的概率密度.解;先求Z 的分布函数)(z F Z ，再求概率密度dzz dF z f Z Z )()(=， （1）0}{)(0=≤+=<z Y X P z F z Z 时， （2）时，10<≤z⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdyy x f z Y X P z F ),(}{)(22200021021)(z z x z dxx z dy dx zzx z =-=-==⎰⎰⎰-（3）时，21<≤z⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdyy x f z Y X P z F ),(}{)(2212)1(2020)1()2(21)2(-+---=+=⎰⎰⎰⎰----z z z z dydx dy dx zx zxz（4）时，2≥z⎰⎰=≤+=DZ dxdy y x f z Y X P z F ),(}{)(110)1(20==⎰⎰-dy dx x综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+---<≤<=2,121,)1()2(21)2(210,210,0)(222z z z z z z z z z F Z故，⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(z z z z z f Z14． 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为：(2)2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，其它 求随机变量Z =X+2Y 的分布函数.证明：按定义，⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f z Y X P z F 2),(}2{)(时当0≤z ，⎰⎰≤+=zy x Z dxdy y x f z F 2),()(002==⎰⎰≤+z y x dxdy时当0>z ，⎰⎰≤+=zy x Z dxdy y x f z F 2),()(⎰⎰-+-=20)2(02x z y x zdy r dx⎰---=zz x x dx e e 0)1(z z zz x ze e dx e e ------=-=⎰1)0（故⎩⎨⎧>--≤=--0,10,0)(z ze e z z F zz Z15． 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别是1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩；其它 ,0().0,0y Y Ae y f y y -⎧>=⎨≤⎩求：（1）常数A ； （2）随机变量Z =2X+Y 的概率密度函数. 解：（1）A dy Ae dy y f y Y ===⎰⎰+∞-+∞∞-0)1（ （2）因为X 与Y 相互独立，故X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧>≤≤=-其他,00,10,),(y x e y x f y 于是0}2{)(0=≤+=<z Y X P z F z Z 时， 当时，20<≤z⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f z Y X P z F 2),(}2{)(⎰⎰⎰----==2022020)1(πdx e dy e dx z x xz yz当时，2≥z⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f z Y X P z F 2),(}2{)(⎰⎰⎰----==122010)1(dx e dy e dx z x xz y故利用分布函数法求得Y X Z +=2的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤-<=--2,2)1(20,210,0)(2z e e z e z z f z zZ16． 设随机变量X,Y 相互独立，若X 与Y 分别服从区间（0，1）与（1，2）上的均匀分布，求U =max{X,Y }与V =min{X,Y }得概率密度. 解：X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为 ⎩⎨⎧<<=其他）,010,1(x x f X ，⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他）,020,21(y y f Y 于是X 与Y 的分布函数分别为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0(x x x x x F X ），⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,20,0(y y y y y F Y ）从而U =max{X,Y }的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<==2,121,210,2,0)()((2u u u u u u u F u F u F Y X U ） U =max{X,Y }的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=其他）,031,2110,(u u u u f U同理V =min{X,Y }的分布函数为)()()()()(()()](1)][(1[1(v F v F v F v F v F v F v F v F v F v F U Y X Y X Y X Y X V -+=-+=---=））⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1,110,2)3(0,0(v v v v v v F V ）V =min{X,Y }的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他）,010,23(v v v f V复习题三（B ）1．已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为⎩⎨⎧=====其他,0;3,2,1;3,2,1,),(y x cxy y Y x X P求（1）常数c ；（2）)3,2(==Y X P ；（3）)2,21(≥≤≤Y X P ；（4）)2(≥X P ； （5）)2(<Y P解：（1）1,=∑ji ij p ，即1)3323133222122111(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯c所以361=c （2）)3,2(==Y X P 6132361=⨯⨯=（3）)2,21(≥≤≤Y X P }3,2{}3,1{==+===Y X P Y X P 41366363=+=（4）)2(≥X P 65)321(13611}1{1=++⨯⨯-==-=X P （5）)2(<Y P 611)321(361}1{=⨯++⨯===Y P 2．已知二元函数⎩⎨⎧<+≥+=12,012,1),(y x y x y x F 问：它能否作为二维随机向量的联合分布函数？ 解：在点()()()()1,1,1,0,0,1,0,0010111)0,0()1,0()0,1()1,1(<-=+--=+--F F F F不满足分布函数的性质，故它不能作为二维随机向量的联合分布函数。