四川省成都树德怀远中学2019-2020学年高一5月月考(期中)数学试题
2019-2020学年高一5月月考数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：高一阶段检测数学试卷一、选择题.(每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1．设集合{}1,2,3A =,{}220Bx x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人,则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1250C ．200，50D ．200，12503.已知θ是第四象限角,且sin （θ+π4)=35，则tan （θ–π4）= ( ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-4.设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =,若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ )A ．56-B ．16-C ．16D ．566．设a ,b ，c 均为正数，且11232112log ,()log ,()log 22ab c b c a ===，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>7．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点,线段AB 的中点为M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．如图，已知A(4,0)、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( ）A ．25B ．33C ．6D ．2109．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．105C ．155D ．3310.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是( ） A 。
四川省树德中学2019~2020学年高一下5月半期数学试题及参考答案
成都市树德中学2019~2020学年高一下5月半期考试数 学本试卷分为选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分) (2020 树德高一下半期 1)已知1sin cos 5αα-=-，则sin2α=( ) A. 1225-B. 1225C. 2425D. 2425- 【答案】C(2020 树德高一下半期 2)下列结论不正确的是( )A. 若,0a b c >>，则ac bc >B. 若a b >，则a c b c ->-C. 若22ac bc >，则a b >D. 若,0a b c ><，则c ca b< 【答案】D(2020 树德高一下半期 3)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且34712,49a a S +==，则6a =( )A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】C(2020 树德高一下半期 4)已知,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=( )A. 2B. 12C. 3D. 43【答案】A(2020 树德高一下半期 5)已知实数,x y 满足22020420x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，4z x y =-的最小值是( )A. 2-B. 8C. 1-D. 2 【答案】A(2020 树德高一下半期 6)在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，那么ABC ∆是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】C(2020 树德高一下半期 7)已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，若满足关系式2224a b c S +-=，则角C =( ) A.4π B. 6π C. 3πD. 34π【答案】A(2020 树德高一下半期 8)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231132a a a =，且82416S S mS +=，则m =( )A. 4-B. 4C. 83-D. 83【答案】D(2020 树德高一下半期 9)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”其意思为“今有水池一丈见方(即10CD =尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺. 将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)，试问水深，芦苇的长度各是多少？”假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④ 【答案】B(2020 树德高一下半期 10)已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=( )A. 150B. 162C. 180D. 210 【答案】B(2020 树德高一下半期 2cos4823sin36cos36-=( )A. B. 1 C. 1- D. 【答案】D(2020 树德高一下半期 12)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈总有22n n S a n =+，且1n n a a +<. 若对于任意*x N ∈，Rθ∈，不等式()22n λ≤+恒成立，求实数λ的最小值为( )A. 1B. 2C. 1D. 32【答案】B第II 卷(非选择题，共90分)二.填空题(每小题5分，共20分)(2020 树德高一下半期 13)()sin 22f x x x =+的对称轴为________. 【答案】,122k x k Z ππ=+∈ (2020 树德高一下半期 14)若不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则a 的范围是________. 【答案】(]1,0-(2020 树德高一下半期 15)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 3n n a π=，则2020S 的值为________.(2020 树德高一下半期 16)如图，平面四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点P ，若3BP BD =，AB AD ==，56CAD ACB π∠+∠=，则CDAB=________.【答案】3三.解答题(写出必要的证明、解答过程，共70分)(2020 树德高一下半期 17)已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2630,21S S S =-=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)；(2) 【解析】(2020 树德高一下半期 18)已知()()26911x x f x x x ++=>-+(1)解不等()9f x ≥； (2)求()f x 的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】(2020 树德高一下半期 19)已知函数()22sin cos 23sin cos f x x x x x =-- (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2) 【解析】(2020 树德高一下半期 20)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足()234cos cos222A B C -+= (1)求角A ；(2)若ABC ∆8，求a . 【答案】(1)；(2) 【解析】(2020 树德高一下半期 21)在数列{}n a 中，()*111,334,2n n n a a a n N n -==++∈≥(1)证明：数列23n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)；(2) 【解析】(2020 树德高一下半期 22)已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S ++⋅⋅⋅+=，*n N ∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列.(1)若数列{}{},n n a c 的通项公式分别为1,21n n a c n ==-，求数列{}n b 的通项公式； (2)若n a n λ=(λ是不为零的常数)，求证数列{}n b 是等差数列；(3)若11a c d k ===(k 为常数，*k N ∈)，()*2,n n k b c n n N +=≥∈，对于任意*2,n n N ≥∈，求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项(用含k 的式子表达)【答案】(1)；(2) 【解析】。
四川省成都树德怀远中学2019-2020学年高一5月月考(期中)数学试题
四川省成都树德怀远中学2019-2020学年高一5月月考（期中)数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．22cos 22.51︒-=（ ）A ．-1B ．1C ．D 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝105°，b ＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．C ．D ．3．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣64．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A B C ．2 D ．35．已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A ．79- B ．29- C ．29 D ．796．函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ） A ．2和π B ．4和π C ． 2和2π D ． 4和2π 7．sin75cos30sin15sin150︒︒-︒︒的值等于（ ）A ．1B ．12C ．2D 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩C ．21n a n =+D ．3n a n = 9．若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ）A ．725B ．15C ．−15D ．−725 10．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且3b c ==，则a =（ ）A ．1BC ．D ．411．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为（ ）A ．12小时B ．1小时C ．32小时D ．2小时12．已知ABC ∆中，120,A a ∠==o ，三角形ABC b c <，则c b -=（ ）A B ．3 C ．3- D ．13．在ABC V 中，a =60A =︒，则ABC V 的外接圆的半径为______． 14．已知()11n a n n =+，则数列{}n a 的前n 项和为n S =______． 15．已知tan α，tan β是方程22370x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=______．16．单调递增的等差数列{}n a 的前三项之和为21,前三项之积为231,则n a =______．17．已知αβ，为锐角，4sin ,cos()55ααβ=+=-. （1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知77a =，1013a =．（1）求{}n a 的通项公式．（2）求n S ，并求n S 的最小值．19．在ABC V 中，3a =，c =30A =o ，求角C 及b ．20．已知函数2()sin cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. 21．已知数列{}n a 满足()111,21n n a na n a +==+.（1）若n n a b n=，证明：数列{}n b 是等比数列，求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n T ．22．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-， （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a ＝c ＝2，求△ABC 的面积；（Ⅲ）求sinA ＋sinC 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据二倍角余弦公式求解【详解】22cos 22.51cos 45-==o o ， 故选:D【点睛】 本题考查二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.2．B【解析】【分析】由题意首先求得∠B 的值，然后利用正弦定理解三角形即可.【详解】因为=180A B C ++︒，所以=18045B A C ︒--=︒，由正弦定理得14bsinA a sinB ⨯===本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形的方法，属于基础题.3．D【解析】【分析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a 4•a 7的值．【详解】∵等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，∴a 2•a 9＝﹣6，则a 4•a 7＝a 2•a 9＝﹣6，【点睛】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！5．A【解析】【分析】将已知式平方后，再结合sin 22sin cos ααα=即可解决.【详解】 由已知，22(sin +cos )9αα=，即21+2sin cos 9αα=，解得7sin 29α=-. 故选：A.【点睛】本题考查已知三角函数式求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到已知式与待求式之间的联系与差异，本题是一道基础题.6．A∵函数()4sin cos 2sin 2f x x x x ==∴函数的最大值为2，最小正周期为22ππ= 故选A7．C【解析】【分析】由诱导公式和两角和与差的三角形函数化简可得．【详解】解：由三角函数公式化简可得sin75cos30sin15sin150︒︒-︒︒sin(9015)cos30sin15sin(18030)=︒-︒︒-︒︒-︒cos15cos30sin15sin30=︒︒-︒︒cos(1530)cos 45=︒+︒=︒=， 故选：C ．【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及诱导公式的应用，属于基础题．8．B【解析】【分析】根据11,1,2n nS n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得； 【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a = 当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.9．D【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．10．D【解析】 2cos 2,b C c a +=Q 由正弦定理可得()2sin cos sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin ,B C C A B C B C B C +==+=+sin 2cos sin ,sin 0,0,.3C B C C B B ππ∴=≠<<∴=Q由余弦定理可得2222cos ,3b a c ac B b c =+-==Q ，解得 4.a =故选B.11．B【解析】【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出BC 的值，再计算甲船到达B 处需要的时间．【详解】解：如图所示，OBC ∆中，3090120BOC ∠=︒+︒=︒，15OC =，25OB =；所以222152521525cos1201225BC =+-⨯⨯⨯︒=，35BC =，又甲船的速度为35/nmile h ，所以甲船到达B 处需要的时间为35351()h ÷=．故选：B ．【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．12．B【解析】【分析】由三角形面积公式可得bc ＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解c b -的值即可.【详解】依题意可得：1sin1202S bc =︒=，所以bc ＝4， 由余弦定理，得：2222cos a b c bc A =+-，即：221()22cos120c b bc bc =-+-︒，据此可得：()29c b -=.结合b c <可得c b -=3.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．1【解析】【分析】直接利用正弦定理计算可得；【详解】 解：由正弦定理可知2sin a R A=，其中R 为ABC V 的外接圆的半径，所以22sin 60R ==︒，即1R = 故答案为：1【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.14．1n n + 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为()11n a n n =+ 所以()11111223341n n S n =++++⨯⨯⨯⨯+L 11111111223341n n =-+-+-++-+L 111n =-+ 1n n =+ 故答案为：1n n + 【点睛】本题考查裂项相消法求和，属于基础题.15．13-【解析】【分析】根据根与系数之间的关系得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可．【详解】解：tan αQ ，tan β是方程22370x x +-=的两个实数根，3tan tan 2αβ∴+=-， 7tan tan 2αβ=-， 3tan tan 3312tan()71tan tan 279312αβαβαβ-+-+====-=--++Q g ， 故答案为：13-．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，利用根与系数之间的关系求出tan tan αβ+，tan tan αβ的值是解决本题的关键．16．41n -【解析】【分析】设前三项为,,a d a a d -+,利用题设条件得到a,d 的方程组,解这个方程组后可得通项公式.【详解】由于数列{}n a 为等差数列,因此可设前三项分别为,,a d a a d -+,可得()()()()21231a d a a d a d a a d ⎧-+++=⎪⎨-+=⎪⎩,0d >.即 ()22321231a a a d =⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得74a d =⎧⎨=⎩或74a d =⎧⎨=-⎩. 因为数列{}n a 为单调递增数列0d >,所以74a d =⎧⎨=⎩,从而()74141n a n n =+-=-.故答案为：41n -【点睛】本题主要考查了利用基本量法求解等差数列通项公式的方法,需要题意设中间项为a 简化计算,属于中档题.17．（1）725-；（2. 【解析】【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出3cos 5α==，sin()αβ+==， 根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为4sin 5α=，所以2327cos 212sin 12525αα=-=-=-； （2）因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02πα<<，又4sin ,cos()55ααβ=+=-，所以3cos 5α==，sin()αβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455555=+⨯=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.18．（1）27n a n =-；（2）26n S n n =-，n S 最小值为9-.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d ，解方程组1167913a d a d +=⎧⎨+=⎩得1,a d ，即得{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，再利用二次函数的图象求出n S 的最小值．【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由题得11167,5, 2.913a d a d a d +=⎧∴=-=⎨+=⎩ 所以5(1)227n a n n =-+-⨯=-.所以等差数列的通项为27n a n =-.（2）由题得2(527)(212)622n n n S n n n n =-+-=-=-. 所以当3n =时，n S 取最小值9-.【点睛】本题主要考查等差数列通项的基本量的计算，考查等差数列求和，考查等差数列和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．606C b ⎧=⎨=⎩o 或1203C b ⎧=⎨=⎩o【解析】【分析】利用正弦定理结合大角对大边定理可求得角C 的值，然后对角C 的大小进行分类讨论，求出角B 的值，进而可求得b 的值.【详解】 由正弦定理可得sin sin a c A C =，1sin 2sin 32c A C a ∴===， c a >Q ，则C A >，60C ∴=o 或120o .当60C =o 时，则90B =o，此时，6b ==；当120C =o 时，则30B =o ，此时，3b a ==.综上所述，当60C =o 时，6b =；当120C =o 时，3b =.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.20．（1）3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）化函数()f x 为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调增区间； （2）求出0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时24x π-的取值范围，从而得出sin(2)4x π-的取值范围，进而可得()f x 的值域．【详解】解：（1）函数21111()sin cos cos sin 2cos 2)222242f x x x x x x x π=-=--=--， 令222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z ， 解得：3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin(2),142x π⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，11)422x π⎡⎤--∈--⎢⎥⎣⎦，()f x ∴的值域为12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．21．（1）证明见解析，12n n a n -=⋅；（2）()112nn T n =+-⋅. 【解析】【分析】（1）由条件可得121n n a a n n+=+，即12n n b b +=，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。
【20套试卷合集】成都市树德实验中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟 分值：120分）一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．集合{}|19,*M x x x N =<<∈，{}9,8,7,5,3,1=N ，则M N ⋂=( ) A ．{}9,8,7,5,3 B ．{}1,3,5 C ．{}8,7,5,3 D ．{}1,3,5,7 2．下列函数在R 上单调递增的是( )A.||y x =B.lg y x =C.21x y = D.2xy =3．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A ∩BB ．A ∪BC ．B ∩∁U AD ．A ∩∁U B4．下列各组中的函数)(x f 与)(x g 相等的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f D. xxx g x x f ==)(,)(0 5．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，则当0<x 时，()f x 等于( ) A ．)1(x x -- B ．)1(x x - C ．)1(x x +- D ．)1(x x +6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,log )(21x x x x f x，则))2((f f 的值是( ) A ．2B．D．2-7. 已知函数62)(2+-=kx x x f 在（5，10）上有单调性，则实数k 的取值范围是（ ）A.（∞-，20]B.（),40[]20,+∞⋃∞-C.[20,40]D.),40[+∞ 8．三个数26.0=a ，6.0log 2=b ，6.02=c 之间的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <c <a9．函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞内是减函数，又(3)0f -=，则0)(>x xf 的解集是( )A ．{}|303x x x -<<>或 B. {}|33x x x <->或 C. {}|3003x x x -<<<<或 D. {}|303x x x <-<<或 二、填空题（每小题5分，满分20分）11. 已知)(x f y =在定义域R 上为减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .12. 已知集合A={1,log 2>=x xy y }, B={1,)21(>=x y y x}, 则=⋂B A _______.13. 已知函数62)(35-++=bx ax x x f ,且,10)2(=-f 则=)2(f _______.14．用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小值．设1()min{21,}(0)f x x x x=->，则()f x 的最大值为__________.三.解答题(本大题6小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)15. （本题满分10分）计算下列各题(1) 已知51=+-xx ，求22-+x x 的值.(2) 已知632==ba，求ba 11+的值.16.（本题满分10分）314)(++-=x x x f 的定义域为A ,}11{a x a x B +<<-=（1）求集合A.（2）若全集}5{≤=x x U ，2=a ，求)(B C A U ⋂. （3）若A B ⊆,求a 的取值范围.17．（本小题满分10分） 已知函数122)(+-=xm x f 是R 上的奇函数， （1）求m 的值； （2）先判断()f x 的单调性，再利用定义证明.18. （本小题满分10分）已知函数)21(log )(x x f a -= )1,0(≠>a a 在区间[]1,4[--上的最大值比最小值大21，求a 的值.19. (本小题满分10分)已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，且满足1)31(=f ，)()()(y f x f y x f +=⋅ （1）求)1(f 的值；（2）若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．20. (本小题满分10分)已知函数)12(log )(+=x x f a ，)21(log )(x x g a -=（a>0且a ≠1） （1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域;（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由;（3）确定x 为何值时，有0)()(>-x g x f .一、选择题：二、填空题： 11．32<a 12. )21,0( 13.22- 14. 1 三、解答题： 15.(1)23 (2)1 16.(1)]4,3(-（2）}43{≤≤=⋂x x B C A U (3)①0,11,≤∴+>-=a a a B φ②30430314111,≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+->+≠a a a a a a a a B φ 综上：3≤a17.（1） ∴=0)0(f 1=m ，代入)(x f 检验)()(x f x f -=-成立.（或直接利用定义） （2）单调递增，利用定义证。
2020年四川省成都市怀远镇中学高一数学文月考试题含解析
2020年四川省成都市怀远镇中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则（）A. B. C. D.参考答案：D2. 如图，已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．非上述三种图形参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据题意，画出图形，利用线面平行的判定定理和性质定理，可知AC⊥BD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形．即可得出结论．【解答】解：根据题意，画出图形如图，∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA?平面ABCD，PC?平面ABCD，PA∩PC=P．∴BD⊥平面PAC，又∵AC?平面PAC，∴AC⊥BD，又ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD一定是菱形．故选：B．【点评】此题考查学生的空间想象能力及线面垂直的判定与性质．由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出答案．3. 已知，，则与的夹角为( )A．B．C．D．参考答案：C4. 若，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：，5. 下列说法中正确的是（）A．第一象限角一定不是负角B．﹣831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等参考答案：C【考点】G3：象限角、轴线角；2K：命题的真假判断与应用．【分析】通过特例判断A的正误，角所在象限判断B的正误；钝角的范围判断C的正误；角的终边判断D的正误；【解答】解：例如﹣390°是第一象限的角，它是负角，所以A不正确；﹣831°=﹣3×360°+249°所以﹣831°是第三象限角，所以B不正确；钝角一定是第二象限角，正确；终边与始边均相同的角一定相等，不正确，因为终边相同，角的差值是360°的整数倍．故选：C．6. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.参考答案：D略7. 倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（）A．B．C．D．参考答案：A8. 函数=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是（）.A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]参考答案：D9. 设函数，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A10. 下列说法中正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：∵A中众数有两个4和5，∴A是错误的，B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，正确，D频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则= .参考答案：－112. 若集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则由实数m的值组成的集合为．参考答案：{﹣1，0，1}【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，解方程x2=1可得结合A，分析A∪B=A，可得B?A，进而对B分3种情况讨论：：①、B=?，②、B={1}，③、B={﹣1}，分别求出m的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x2=1}={﹣1，1}，若A∪B=A，则有B?A，对B分3种情况讨论：①、B=?，即方程mx=1无解，分析可得m=0，②、B={1}，即方程mx=1的解为x=1，即m×1=1，解可得m=1，③、B={﹣1}，即方程mx=1的解为x=﹣1，即m×（﹣1）=1，解可得m=﹣1，综合可得：实数m的值组成的集合为{﹣1，0，1}；故答案为：{﹣1，0，1}．13. 不等式的解集是参考答案：略14.若为等比数列的前项的和，，则=．参考答案：略15. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．参考答案：(－1,0)∪(0,1)16. （5分）阅读以下程序：若输入x=5，求输出的y= ．参考答案：16考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：该程序的功能为求分段函数y=的值，代入x=5，即可求值．解答：运行程序，有x=5满足条件x＞0，y=16输出y的值为16故答案为：16．点评：本题主要考查了程序和算法，属于基本知识的考查．17. 已知对数函数过点，则参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省树德中学2020-2021学年高一5月月考数学试题 答案和解析
【解析】
由题意可得当ksin60∘=12或12⩾k时，满足三角形恰有一个，
解得k= =8 ，0<k⩽12，
故选：C.
7．A
【解析】
分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N∗)与两坐标轴的交点：
( ,0),(0, )，
则Sn= ⋅ ⋅ = = −
然后分别代入1，2，…，2017，
A．若 B．若 ，则有
C．若 D．若
4．两条平行直线 和 之间的距离为
A． B． C． D．4
5．在平面直角坐标系中，直线 被圆 所截得的弦长为
A． B． C． D．
6．如果满足条件 的 有且只有一个，则 的范围是
A． B．
C． 或 D．
7．设直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则
A． B． C． D．
若ac>bc，c<0，则a<b，故C错误；
若 >0> ，则a>0>b，故D错误；
故选：B
4．A
【解析】
∵ 和 互相平行，∴ ，即m=-2或1，经检验：m=-2两直线重合，故m=1；两条平行直线 和 之间的距离d=
5．D
【解析】
圆 的圆心（3，1），半径r= ，故圆心到直线的距离d= ，故所求的弦长为 .
故直线l1的方程为y−b=− (x−a),即ax+by−(a2+b2)=0.
又直线l2的方程为bx−ay=r2,k= ,,故l1⊥l2，
圆心到直线l2的距离为 >r,故圆和直线l2相离．
故选B.
10．D
【解析】
依题意得，AC= ，sinA=sin( +α)=cosα= ．
四川省成都树德怀远中学2019-2020高一5月月考(期中)数学试题(wd无答案)
四川省成都树德怀远中学2019-2020高一5月月考（期中）数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. （）A．-1B．1C．D．(★★) 2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝105°，b＝4，则a ＝（）A．2B．C．D．(★★) 3. 在等比数列{ a n}中，若 a 2， a 9是方程 x 2﹣2 x﹣6＝0的两根，则 a 4• a 7的值为（）A．6B．1C．﹣1D．﹣6(★★★) 4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A．B．C．2D．3(★★) 5. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 函数，则的最大值和最小正周期分别为（）A．2和B．4和C．2和D．4和(★★) 7. 的值等于（）A．1B．C．D．(★★) 8. 已知数列的前项和为，且，则的通项公式是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 若，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 在中，内角的对边分别为，若，且，则（）A．1B．C．D．4(★★) 11. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（）A．小时B．1小时C．小时D．2小时(★★★) 12. 已知中，，三角形的面积为，且，则（）A．B．3C．D．-二、填空题(★★) 13. 在中，，，则的外接圆的半径为______．(★★) 14. 已知，则数列的前项和为______．(★★) 15. 已知，是方程的两个实数根，则______．(★★★) 16. 单调递增的等差数列的前三项之和为21,前三项之积为231,则______．三、解答题(★) 17. 已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．(★★★) 18. 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式．（2）求，并求的最小值．(★★) 19. 在中，，，，求角及．(★★) 20. 已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，求的值域.(★★) 21. 已知数列满足 .（1）若，证明：数列是等比数列，求的通项公式；（2）求的前项和．(★★) 22. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.。
怀远中学高一年级第一学月数学试题
成都市树德怀远中学高一年级第一学月数学试题命题人：杨洪 审题人：王勇一、 选择题（5ⅹ12＝60分）1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则u C A =( )A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,72、方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A . {}51， B. {}15， C. (){}51， D. (){}15， 3、下列各组函数中，表示同一函数的是A.f (x )＝1，g (x )＝x 0B.f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2C.f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎨⎧x x ≥0－x x ＜0D.f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 4、满足{x |x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0<x <6}的集合M 的个数为A.2B.4C.6D.8 5、已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于A.－26B.－18C.－10D.10 6、设，，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ,则))2(1(f f 的值是A 1627-B 1615C 98 D 18 8、已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为A.x ＝4，y ＝－1B.(4，－1)C.{4，－1}D.{(4，－1)}9、若M(3,-1),N(0,1)是一次函数()x f 图象上的两点，那么()11<+x f 的解集是A (-1,2)B (1,4)C (,1)(4,)-∞-⋃+∞D (,1)(2,)-∞-⋃+∞10、已知函数)4,2[,2)(2-∈-=x x x x f 其中，则)(x f 的单调区间是（ ）A ]1,1[-B ]2,21[ C ]4,2[ D ]4,2[11、已知()x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，则它在)0,(-∞上是A 先减后增 Ｂ 先增后减 Ｃ 减函数 Ｄ增函数12、设函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间（－∞，]4上是减函数，则实数a 的范围是A.a ≥－3B.a ≤－3C.a ≥3D.a ≤5二、填空题：（4ⅹ4＝16）13、高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.14、函数1()f x x =的定义域为 . 15、若函数x x y 22-=的定义域为[]m ，1-,值域为[]31，-，则实数m 的取值范围是 .16、函数||1-=x y 的单调递增区间是三、解答题：（共计74分）17、设全集U ＝{不超过5的正整数}，A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，(C U A )∪B ＝{1，3，4，5}，求p 、q 和集合A 、B .（12分）18、（12分）已知函数：]4,1[,76)(2∈+-=x x x x f ，（1）在给定直角坐标系中画出函数的大致图象；（每个小正方形边长为一个单位长度）（2）由图象指出函数)(x f 的单调递增区间（不要求证明）；（3）由图象指出函数)(x f 的值域（不要求证明）。
四川省成都市树德中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知sinα﹣cosα=−15，则sin2α的值为（）A．1225B．−2425C．2425D．−12252．下列结论不正确的是（）A．若a＞b，c＞0，则ac＞bc B．若a＞b，则a﹣c＞b﹣cC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜0，则ca ＜cb3．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且a3+a4＝12，S7＝49，则a1＝（）A．9B．10C．1D．124．已知θ∈(π4，π2)，且sin(θ+π4)=3√1010，则tanθ＝（）A．2B．43C．3D．1255．已知实数x，y满足{x−2y−2≤0x+y−2≤04x−y+2≥0，z＝4x﹣y的最小值的是（）A．﹣2B．8C．﹣1D．26．在△ABC中，若tan A tan B＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝（）A．π4B．π6C．π3D．3π48．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a11＝2a32，且S8+S24＝mS16，则m＝（）A ．﹣4B ．4C ．−83D ．839．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD ＝10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC ，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan θ2=23；④tan(θ+π4)=−177．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①④D ．②③④10．已知数列{a n }的通项公式a n =n +100n，则|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+…+|a 99﹣a 100|＝（ ） A ．150 B ．162C ．180D ．21011．2cos48°−2√3sin36°cos36°cos27°−sin27°=（ ）A ．√22B ．1C ．﹣1D ．−√2212．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N*总有2S n ＝a n 2+n ，且a n ＜a n +1．若对任意n ∈N*，θ∈R ，不等式(√a n ⋅sin 2θ+1+√a n ⋅cos 2θ+1)2≤λ（n +2）恒成立，求实数λ的最小值（ ）A ．1+√2B ．2C ．1D ．32二、填空题（本大建共4个小题，每小题5分，共20分，）13．f （x ）＝sin2x −√3cos2x 对称轴为 ．14．若不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R ，则a 的范围是 ． 15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ═sin （nπ3），则S 2020的值为 ．16．如图，平面四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点P ，若3BP ＝BD ，AB ＝AD =√3BC ，∠CAD +∠ACB =56π，则CD AB= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知数列{a n }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．已知f （x ）=x 2+6x+9x+1（x ＞﹣1）．（1）解不等式f （x ）≥9； （2）求f （x ）的最小值．19．已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足4cos 2A2−cos2（B +C ）=32．（1）求角A ；（2）若△ABC 的面积为√3，周长为8，求a ．21．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝3a n ﹣1+3n +4（n ∈N*，n ≥2）． （1）证明：数列{a n +23}为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．22．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝c n S n ，n ∈N*，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d （d ≠0）的等差数列．（1）若数列{a n }，{c n }的通项公式分别为a n ＝1，c n ＝2n ﹣1，求数列{b n }的通项公式； （2）若a n ＝λn （λ是不为零的常数），求证：数列{b n }是等差数列；（3）若a 1＝c 1＝d ＝k （k 为常数，k ∈N*），b n ＝c n +k （n ≥2，n ∈N*）．对任意n ≥2，n ∈N*，求出数列{b n a n}的最大项（用含k 式子表达）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sinα﹣cosα=−15，则sin2α的值为（）A．1225B．−2425C．2425D．−1225【分析】把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．解：∵sinα﹣cosα=−15，∴平方可得1+2sinαcosα＝1+sin2α=125，则sin2α=24 25，故选：C．2．下列结论不正确的是（）A．若a＞b，c＞0，则ac＞bc B．若a＞b，则a﹣c＞b﹣cC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜0，则ca ＜cb【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．解：对于选项A：由于a＞b，c＞0，则ac＞bc，故正确．对于选项B：由于a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故正确．对于选项C：由于ac2＞bc2，则a＞b，故正确．对于选项D：当a＝0，b＝﹣1时，ca没有意义，故错误．故选：D．3．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且a3+a4＝12，S7＝49，则a1＝（）A ．9B ．10C ．1D ．12【分析】利用通项公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3+a 4＝12，S 7＝49， ∴2a 1+5d ＝12，7a 1+21d ＝49， 解得：a 1＝1． 故选：C ．4．已知θ∈(π4，π2)，且sin(θ+π4)=3√1010，则tan θ＝（ ）A ．2B ．43C ．3D ．125【分析】由已知可求范围θ+π4∈（π2，3π4），利用同角三角函数基本关系式可求cos （θ+π4），tan （θ+π4）的值，进而根据两角差的正切函数公式即可求解． 解：因为θ∈(π4，π2)， 所以θ+π4∈（π2，3π4），又sin(θ+π4)=3√1010，所以cos （θ+π4）=−√1010，则tan （θ+π4）＝﹣3，所以tan θ＝tan （θ+π4−π4）=−3−11−3=2． 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足{x −2y −2≤0x +y −2≤04x −y +2≥0，z ＝4x ﹣y 的最小值的是（ ）A ．﹣2B ．8C ．﹣1D ．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 解：作出实数x ，y 满足{x −2y −2≤0x +y −2≤04x −y +2≥0对应的平面区域如图：由z ＝4x ﹣y 得y ＝4x ﹣z ， 平移直线y ＝4x ﹣z ，由图象可知当直线y ＝4x ﹣z 经过点C 时，纵截距最大，此时z 最小， 由{x −2y −2=04x −y +2=0，解得A （−67，−107），此时z ＝4×（−67）+（−107） ＝﹣2， 故选：A ．6．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【分析】利用两角和的正切函数公式表示出tan （A +B ），根据A 与B 的范围以及tan A tan B ＞1，得到tan A 和tan B 都大于0，即可得到A 与B 都为锐角，然后判断出tan （A +B ）小于0，得到A +B 为钝角即C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形． 解：因为A 和B 都为三角形中的内角， 由tan A tan B ＞1，得到1﹣tan A tan B ＜0，且得到tan A ＞0，tan B ＞0，即A ，B 为锐角，所以tan （A +B ）=tanA+tanB1−tanAtanB＜0，则A +B ∈（ π2，π），即C 都为锐角，所以△ABC 是锐角三角形． 故选：A ．7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，若满足关系式a 2+b 2﹣c 2＝4S ，则角C ＝（ ） A ．π4B ．π6C ．π3D ．3π4【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可直接求解． 解：因为a 2+b 2﹣c 2＝4S ， 所以2ab cos C ＝2ab sin C ， 故sin C ＝cos C 即tan C ＝1，因为C 为三角形的内角，所以C =π4． 故选：A ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 32，且S 8+S 24＝mS 16，则m ＝（ ） A ．﹣4B ．4C ．−83D ．83【分析】利用等比数列{a n }的前n 项和和通项公式，列出方程组，由此能求出结果． 解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3a 11＝2a 32，且S 8+S 24＝mS 16，公比q ≠1． ∴{ a 1q 2×a 1q 10=2(a 1q 2)2a 1(1−q 8)1−q+a 1(1−q 24)1−q =m ×a 1(1−q 16)1−q q ≠1，解得q8＝2，m=8 3．故选：D．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD＝10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tanθ2=23；④tan(θ+π4)=−177．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．①④D．②③④【分析】如图，设BC＝x，则AC＝x+1，解三角形ABC，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式，得出结论．解：设BC＝x，则AC＝x+1，∵AB＝5，∴52+x2＝（x+1）2，∴x＝12，即水深为12尺，故芦苇长为13尺．∴tanθ=125，由tanθ=2tanθ21−tan2θ2，解得tanθ2=23（负根舍去）．∵tanθ=125，∴tan(θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=−177，故正确结论的偏号为①③④，故选：B ．10．已知数列{a n }的通项公式a n =n +100n，则|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+…+|a 99﹣a 100|＝（ ） A ．150B ．162C ．180D ．210【分析】判断当1≤n ≤10时，数列{a n }递减，n ≥11时，数列{a n }递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和． 解：a n =n +100n ≥2√n ⋅100n=20， 可得当1≤n ≤10时，数列{a n }递减，n ≥11时，数列{a n }递增，可得|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+…+|a 99﹣a 100|＝a 1﹣a 2+a 2﹣a 3+…+a 9﹣a 10+a 11﹣a 10+a 12﹣a 11+…+a 100﹣a 99＝a 1﹣a 10+a 100﹣a 10＝1+100+100+1﹣2（10+10）＝162． 故选：B ．11．2cos48°−2√3sin36°cos36°cos27°−sin27°=（ ）A ．√22B ．1C ．﹣1D ．−√22【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．解：2cos48°−2√3sin36°cos36°cos27°−sin27°=2cos(90°−42°)−√3sin72°√2(√22cos27°−√22sin27°)=2sin42°−√3sin72°2cos(27°+45°)=2sin(72°−30°)−√3sin72°√2cos72°=2(√32sin72°−12cos72°)−√3sin72°√2cos72°=2cos72°=−√22．故选：D ．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N*总有2S n ＝a n 2+n ，且a n ＜a n +1．若对任意n ∈N*，θ∈R ，不等式(√a n ⋅sin 2θ+1+√a n ⋅cos 2θ+1)2≤λ（n +2）恒成立，求实数λ的最小值（ ）A ．1+√2B ．2C ．1D ．32【分析】先求出a n 的通项公式，再依题意知∀n ∈N*，λ≥(√nsin 2θ+1+√ncos 2θ+1)2n+2都成立，然后通过基本不等式化简求解即可． 解：由2S n ＝a n 2+n ，①可知，当n ≥2时，2S n ﹣1＝a n ﹣12+（n ﹣1），② ①﹣②，得2a n ＝a n 2﹣a n ﹣12+1， 故（a n ﹣1）2＝a n ﹣12，于是a n ﹣1＝a n ﹣1或a n ﹣1＝﹣a n ﹣1，若a n ﹣1＝﹣a n ﹣1，则a n +a n ﹣1＝1，不合题意； 于是a n ﹣1＝a n ﹣1，即a n ﹣a n ﹣1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又a 1＝1， ∴a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ． 故a n ＝n ．依题意知∀n ∈N*，λ≥(√nsin 2θ+1+√ncos 2θ+1)2n+2都成立，然后通过基本不等式得，(√nsin 2θ+1+√ncos 2θ+1)2n+2=nsin 2θ+1+2√nsin 2θ+1⋅√ncos 2θ+1+ncos 2θ+1n+2=n+2+2√nsin 2θ+1⋅√ncos 2θ+1n+2≤n+2+(nsin 2θ+1)+(ncos 2θ+1)n+2=2(n+2)n+2=2， 当且仅当|tan θ|＝1时，取“＝”，所以(√nsin 2θ+1+√ncos 2θ+1)2n+2的最大值为2，所以λ≥2，所以λ的最小值为2， 故选：B ．二、填空题（本大建共4个小题，每小题5分，共20分，）13．f （x ）＝sin2x −√3cos2x 对称轴为 x =kπ2+12，k ∈Z ． 【分析】由两角差的正弦公式化简解析式可得f （x ）＝2sin （2x −π3），令2x −π3=k π+π2，k ∈Z ，可解得对称轴．解：∵f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）∴令2x −π3=k π+π2，k ∈Z ，可解得x =kπ2+5π12，k ∈Z∴f （x ）＝sin2x −√3cos2x 对称轴为x =kπ2+5π12，k ∈Z故答案为：x =kπ2+5π12，k ∈Z 14．若不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R ，则a 的范围是 ﹣1＜a ≤0 ．【分析】讨论a ＝0和a ≠0时，求出不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R 时a 的取值范围． 解：a ＝0时，不等式ax 2+2ax ﹣1＜0化为﹣1＜0，解集为R ； a ≠0时，不等式ax 2+2ax ﹣1＜0解集为R 时，应满足{a ＜0△=4a 2−4a ×(−1)＜0，解得﹣1＜a ＜0；所以实数a 的取值范围是﹣1＜a ≤0． 故答案为：﹣1＜a ≤0．15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ═sin （nπ3），则S 2020的值为√32． 【分析】先求出数列{a n }的前几项，确定数列的周期，再求其前2020项的和．解：由题意得：a 1=√32，a 2=√32，a 3＝0，a 4=−√32，a 5=−√32，a 6＝0，a 7=√32，…，所以数列{a n }的周期为6，又a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6＝0，∴S 2020＝336×0+a 2017+a 2018+a 2019+a 2020＝a 1+a 2+a 3+a 4=√32．故答案为：√32． 16．如图，平面四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点P ，若3BP ＝BD ，AB ＝AD =√3BC ，∠CAD +∠ACB =56π，则CD AB=√213．【分析】延长BC 到E ，使得BE ＝3BC ，连结DE ，则DE →=3AP →，根据三角形相似得出P 为AC 的中点，BD 的三等分点，设AB ＝1，利用余弦定理求出CD ，从而得出结论． 解：延长BC 到E ，使得BE ＝3BC ，连结DE ， 则BD →+DE →=3BC →，又3BP →+BD →=3BC →，∴DE →=3AP →，∴DE ∥AC ，DE ＝3AP ．∴BP BD=PC DE=BC BE=13，∴P 是BD 的三等分点，且AP ＝PC ． 分别过A ，C 作BD 的垂线，垂足为M ，N ， 则PM ＝PN ＝BM ， ∴BC ＝PC ，过C 作CF ∥AD 交DE 于F ，则四边形ACFD 是平行四边形，设BC ＝1，则AB ＝AD =√3，CE ＝2BC ＝2，CF ＝AD =√3，DE ＝3PC ＝3， ∴EF =13DE ＝1，∴CE 2＝CF 2+EF 2，∴CF ⊥DE ， ∴四边形ACFD 是矩形，∴∠CAD =π2， ∴CD =√AC 2+AD 2=√7， ∴CD AB=√7√3=√213． 故答案为：√213．一、选择题17．已知数列{a n }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用列想想效法求出数列的和． 解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21． 设数列的首项为a 1，公差为d ， 则：{2a 1+d =0a 1+4d =7，解得：a 1＝﹣1，d ＝2， 故：a n ＝2n ﹣3， （Ⅱ）由于：a n ＝2n ﹣3，所以：b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n−3)=12[12n−3−12n−1]， 所以：T n =12（−1−1+1−13+⋯+12n−3−12n−1），=12(−1−12n−1)， =−n2n−1．18．已知f （x ）=x 2+6x+9x+1（x ＞﹣1）．（1）解不等式f （x ）≥9； （2）求f （x ）的最小值．【分析】（1）由已知把分式不等式可转化为二次不等式，即可进行求解；（2）由f （x ）=x 2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x +1+4x+1+4然后结合基本不等式即可求解．解：（1）由x ＞﹣1可得x +1＞0，故x 2+6x+9x+1≥9可得，x 2+6x +9≥9x +9，解可得，﹣1＜x ≤0或x ≥3，故原不等式的解集（﹣1，0]∪[3，+∞）， （2）由x ＞﹣1可得x +1＞0，由基本不等式可得，f （x ）=x 2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x +1+4x+1+4， ≥2√(x +1)⋅4x+1+4=8， 当且仅当x +1=4x+1集集x ＝1时取等号， 因此函数f （x ）取得最小值8．19．已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间．（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步确定最大和最小值．解：（1）函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x ＝﹣cos2x −√3sin2x ＝﹣2sin （2x +π6）． 令π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+3π2（k ∈Z ），解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为：[π6+kπ，kπ+2π3]（k ∈Z ），（2）由于−π6≤x ≤π3， 所以−π6≤2x +π6≤5π6， 所以当x =−π6时，函数的最大值为1， 当x =π6时，函数的最小值为﹣2．20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足4cos 2A2−cos2（B +C ）=32．（1）求角A ；（2）若△ABC 的面积为√3，周长为8，求a ．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos 2A ﹣2cos A −32=0，解得cos A 的值，结合范围0＜A ＜π，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝（b +c ）2﹣4，结合a +b +c ＝8，即可解得a 的值．解：（1）∵A +B +C ＝π，∴4cos 2A2−cos2（B +C ）＝2（1+cos A ）﹣cos2A ＝﹣2cos 2A +2cos A +3=32，∴2cos 2A ﹣2cos A −32=0，∴解得cos A =−12，或32（舍去）， ∵0＜A ＜π，∴A =2π3． （2）∵由题意可得：12bc sin A =√3， ∴可得bc ＝4，∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴可得a 2＝（b +c ）2﹣4， 又∵a +b +c ＝8，∴a 2＝（8﹣a ）2﹣4，解得a =154． 21．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＝3a n ﹣1+3n +4（n ∈N*，n ≥2）． （1）证明：数列{a n +23}为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【分析】（1）由已知a n ＝3a n ﹣1+3n +4可得a n +2＝3（a n ﹣1+2）+3n ，进而可得a n +23=a n−1+23+1，故数列{a n +23}为等差数列，进而可得数列{a n }的通项公式；（2）令T n ＝1×31+2×32+3×33+…+n ×3n ，利用错位相减法，T n =2n−14×3n+1+34，进而根据S n ＝T n ﹣2n 可得数列{a n }的前n 项和S n ．【解答】证明：（1）因为a n ＝3a n ﹣1+3n +4（n ∈N*，n ≥2）． ∴a n +2＝3（a n ﹣1+2）+3n （n ∈N*，n ≥2）． ∴a n +23n=a n−1+23n−1+1…………所以数列{a n +23n}是公差为1，首项为a 1+23=1的等差数列，所以a n +23n=n ．…………所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n •3n ﹣2………… 解：（2）令T n ＝1×31+2×32+3×33+…+n ×3n ①则3T n ＝1×32+2×33+…+（n ﹣1）×3n +n ×3n +1②…………②﹣①得2T n ＝n ×3n +1﹣3﹣（32+33+…+3n ）=(n −12)×3n+1+32⋯⋯⋯⋯所以T n =2n−14×3n+1+34⋯⋯⋯⋯ 所以S n ＝T n ﹣2n =2n−14×3n+1+34−2n ………… 22．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝c n S n ，n ∈N*，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d （d ≠0）的等差数列．（1）若数列{a n }，{c n }的通项公式分别为a n ＝1，c n ＝2n ﹣1，求数列{b n }的通项公式； （2）若a n ＝λn （λ是不为零的常数），求证：数列{b n }是等差数列；（3）若a 1＝c 1＝d ＝k （k 为常数，k ∈N*），b n ＝c n +k （n ≥2，n ∈N*）．对任意n ≥2，n ∈N*，求出数列{b n a n}的最大项（用含k 式子表达）．【分析】（1）根据题意得S n ＝n ，所以n （2n ﹣1）＝b 1+b 2+…+b n ，当n ≥2时，（n ﹣1）（2n ﹣3）＝b 1+b 2+…+b n ﹣1，两式做差，可得b n ＝4n ﹣3；当n ＝1时，b 1＝1满足上式，则b n ＝4n ﹣3．（2）因为a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1＝c n ﹣1S n ﹣1，两式相减得：S n c n ﹣S n ﹣1c n ﹣1＝a n b n ，即S n ﹣1（c n ﹣c n ﹣1）+a n c n ＝a n b n ，即S n ﹣1d +λn c n ＝λnb n ，又S n ﹣1=λn(n−1)2，代入得λn(n−1)d2+λnc n =λnb n ，又n−12d +c n =b n ，当n ≥3时，n−22d +c n−1=b n−1，两式相减得：b n ﹣b n ﹣1=32d （n ≥3），得数列{b n }是从第二项起公差为32d 得等差数列．当n ＝1时，得c 1＝b 1，当n ＝2时，由b 2＝b 1+32d ，得b 2﹣b 1=32d ，故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．（3）由（2），当n ≥2时，得S n ﹣1d ＝a n （b n ﹣c ），因为b n ＝c n +k ，所以b n ﹣c n ＝kd ，进而得S n ﹣1d ＝a n •kd ，即S n ﹣1＝ka n ，即a n =k+1ka n−1，故从第二项起数列{a n }是等比数列，得当n ≥2时，a n ＝a 2（k+1k）n ﹣2，b n ＝c n +k ＝k （n +k ），由已知条件可得（a 1+a 2）c 2＝a 1b 1+a 2b 2，又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k （2+k ），所以a 2＝1，因而a n ＝（k+1k）n ﹣2，令d n =bn a n，则d n+1d n−1=−n(n+k)(k+1)＜0，得对任意的n ≥2时，n ∈N*，b na n＞b n+1a n+1恒成立，得n ≥2时，n ∈N*，{b n a n}单调递减，进而得{b na n}中最大项．解：（1）因为a n ＝1，c n ＝2n ﹣1， 所以S n ＝n ，由c n S n ＝a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ， 得n （2n ﹣1）＝b 1+b 2+…+b n ，当n ≥2时，（n ﹣1）（2n ﹣3）＝b 1+b 2+…+b n ﹣1， 两式做差，可得 b n ＝4n ﹣3，当n ＝1时，b 1＝1满足上式，则b n ＝4n ﹣3． （2）证明：因为a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝c n S n ， 当n ≥2时，a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1＝c n ﹣1S n ﹣1， 两式相减得：S n c n ﹣S n ﹣1c n ﹣1＝a n b n ，即（S n ﹣1+a n ）c n ﹣S n ﹣1c n ﹣1＝a n b n ，S n ﹣1（c n ﹣c n ﹣1）+a n c n ＝a n b n ，即S n ﹣1d +λn c n ＝λnb n ，又S n ﹣1=λn(n−1)2， 所以λn(n−1)d 2+λnc n =λnb n ，又n−12d +c n =b n ，所以当n ≥3时，n−22d +c n−1=b n−1，两式相减得：b n ﹣b n ﹣1=32d （n ≥3），所以数列{b n }是从第二项起公差为32d 得等差数列．又当n ＝1时，由S 1c 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1 当n ＝2时，由b 2=2−12d +c 2=12d +c 1+d =b 1+32d ，得b 2﹣b 1=32d ， 故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．（3）解：由（2），当n ≥2时，S n ﹣1（c n ﹣c n ﹣1）+a n c n ＝a n b n ，即S n ﹣1d ＝a n （b n ﹣c ）， 因为b n ＝c n +k ，所以b n ＝c n +kd ，即b n ﹣c n ＝kd ，所以S n ﹣1d ＝a n •kd ，即S n ﹣1＝ka n ，即a n =k+1ka n−1， 故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2（k+1k ）n ﹣2， b n ＝c n +k ＝c n +kd ＝c 1+（n ﹣1）k +k 2＝k +（n ﹣1）k +k 2＝k （n +k ）， 另外，由已知条件可得（a 1+a 2）c 2＝a 1b 1+a 2b 2， 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k （2+k ）， 所以a 2＝1，因而a n ＝（k+1k ）n ﹣2，令d n =b n a n， 则d n+1d n −1=b n+1a n a n+1b n −1=(n+k+1)k (n+1)(k+1)−1=−n (n+k)(k+1)＜0， 故对任意的n ≥2时，n ∈N*，b n a n ＞b n+1a n+1恒成立， 所以n ≥2时，n ∈N*，{b n a n }单调递减，{b n a n }中最大项为b 2a 2=k(2+k)1=k （2+k ）．。
2019-2020学年四川省成都市高一上学期期中数学试题
2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．函数121()log 1f x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数定义域,可排除AB 选项,由复合函数单调性可排除C 选项,即可确定正确选项. 【详解】 函数121()log 1f x x =+ 则定义域为101x >+,解得1x >-,所以排除A 、B 选项 因为12()log f x x =为单调递减函数, 1()1f x x =+在1x >-时为单调递减函数由复合函数单调性可知121()log 1f x x =+为单调递增函数,所以排除C 选项 综上可知,D 为正确选项 故选:D本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.3．函数1()ln23f x x x=+-的零点所在区间为（）A.(2,)eB.(3,4)C.(,3)e D.(1,2)【答案】C【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.【详解】函数1 ()ln23f x x x=+-则11()ln21033f e e e e=+-=-<1(3)ln332ln3103f=+⨯-=->根据零点存在定理可知,在(,3)e内必有零点.而函数1()ln23f x x x=+-单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在(,3)e内.故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答． 【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确． 【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口． 5．已知123515,12,3x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）A.x y z >>B.y x z >>C.z y x >>D.x z y >>【答案】D【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小. 【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:331513x og og =>,所以1x >50121y og og <=<所以102y << 11221131233z -⎛⎫<===< ⎪⎝⎭所以x z y >> 故选:D 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题. 6．函数23()()2xf x x =-的零点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数. 【详解】函数23()()2xf x x =-的零点即为23()()02x f x x =-=,所以232xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数23()()2xf x x =-有3个零点 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.7．方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，则m 的取值范围是（ ） A.5,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B.7,53⎛⎫-⎪⎝⎭C.()5,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()()2f 425x x m x m =+-+-，又方程()24250x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()0,2内，∴()()()100020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩即()()425050162250m m m m m ⎧--+->⎪-<⎨⎪+-+->⎩解得：7m 53-<<故选：B8．若数()2)3f x x =+，且(log 2019)5a f =，则1(log )2019a f =（ ）A.5-B.4C.3D.1【答案】D【解析】将函数变形为())3ln 2f x x -=,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得1(log )2019a f 的值. 【详解】将函数变形为())3ln2f x x -=令())ln 2g x x = 则())ln 2g x x -=所以()()))ln 2ln 2g x g x x x +-=+()22ln 144ln10x x =+-==即()()g x g x -=- 所以())ln2g x x =为奇函数因为()log 20195a f =,()1log log 20192019a a f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以由())3ln2f x x -=代入可得()()log 20193log 2019a a f g -= ()()log 20193log 2019a a f g --=-两式相加可得()()()()log 20193log 20193log 2019log 20190a a a a f f g g -+--=-+=所以()()log 20196log 2019651a a f f -=-=-= 即()1log log 201912019aa f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题. 9．已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（ ） A.5(1,]2B.5(2,]2C.(2,)+∞D.[1,2]【答案】B【解析】画出函数的图像,根据图像分析出a b 、的取值范围,即可求得+a b 的范围. 【详解】因为函数()()2log ,2f x x x =≤ 画出函数图像如下图所示:因为()()f a f b =且a b ,不妨设a b <当()2log 1f x x ==时,2x =或12x = 所以1122a b ≤<<≤ 因为()()f a f b =即22log log a b =,去绝对值可得22log log a b -= 所以22log log 0a b +=,根据对数运算得2log 0ab = 即1ab = 所以1a b a a+=+因为1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,由对勾函数的图像与性质可知则52,2a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.10．已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若|||2|()max{,}x x f x e e +=，则()f x 的最小值为（ ） A.e B.1C.2eD.2【答案】A【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可. 【详解】根据函数|||2|()max{,}x x f x e e+=,画出2(),()x x f x e f x e +==图像如下图所示:取最大值后函数图像为:由图像可知,当1x =-时取得最小值,即112()f x e e e --+===故选:A 【点睛】本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数()122log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；②将2x y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12x y -=的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断; 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R 时,判别式满足的条件,即可求得a 的取值范围; 对于④根据关于y x =对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断. 【详解】对于①函数()()112222log 23log 12y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在1x <时单调递增,在1x >时单调递减.即在1x =处取得最大值. 所以1max 2log 21y ==-,所以函数图像恒在x 轴的下方,所以①正确;对于②2x y =的图像经过先关于y 轴对称,可得2xy -=;再向右平移1个单位可得()111222x x x y ---+-===,所以②正确;对于③函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ,则满足()221g x x ax =-+能取到所有的正数.即满足()2240a ∆=--≥,解不等式可得1a ≥或1a ≤-,所以③错误.对于④函数()xf x e =的图像关于y x =对称的函数为()xf x e =的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为()ln f x x =,所以④正确.综上可知,正确的有①②④ 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.12．若函数9()log (91)2xxf x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ）A.0B.3log 2-C.3log 2D.3log 【答案】D【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数m 的最小值. 【详解】函数()()9log 912xx f x =+-由对数运算化简可得()()299log 91log 9xxf x =+-()99log 91log 3x x =+-99911log log 333x x x x+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由对勾函数的图像与性质可知9931log 3log 2log 3x x⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭因为不等式()0f x m -≤有解 所以()min f x m ≤即3log m ≤所以实数m 的最小值为3log 故选:D 【点睛】本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.二、填空题13．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________. 【答案】()3,1-【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标. 【详解】函数log (25)1a y x =--当3x =时, log (235)11a y =⨯--=- 所以定点坐标为()3,1- 故答案为: ()3,1- 【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题. 14．若5(21)2x f x x -=+，则(3)f -=________. 【答案】12-【解析】根据函数解析式求法,先求得()f x 的解析式,再代入求值即可. 【详解】因为函数()5212xf x x -=+令21x t -= 则12t x +=所以()512122t t f t ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 即()512122x x f x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()53123111321222f -+-+⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭故答案为:12- 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.15．若函数12()2xx m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______. 【答案】3±【解析】根据奇函数()()f x f x -=-,即可求得mn 、的值,进而得m n +的值. 【详解】函数()122xx m f x n +-=+是奇函数 所以满足()()f x f x -=-,即112222x xx x m m n n --++--=-++ 化简后可得()()()22222220xx n m mn n m -+-⋅+-=因为对于任意x 上式恒成立,所以满足2020n m mn -=⎧⎨-=⎩解方程可得12m n =⎧⎨=⎩或12m n =-⎧⎨=-⎩ 所以3m n +=± 故答案为: 3± 【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.16．已知函数3,()8log ,a x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩若存在实数12,,x x 且12x x ≠使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【解析】讨论对数函数的底数a 的两种情况:01,1a a <<>.画出图像即可研究存在不相等实数12,,x x 使函数12()()f x f x =成立的情况. 【详解】当01a <<时,函数3,()8log ,a x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩的图像如下图所示:所以此时存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 当1a >时,函数图像如下图所示:若存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 则38log a a a >,解不等式可得2a >综上可知, 实数a 的取值范围为01a <<或2a > 故答案为: ()()0,12,⋃+∞ 【点睛】本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{|20}A x x a =+>，集合B 是()log ()f x x 12=2+1义域.（1）当2a =时，求集合A B ；（2）若()U BC A B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,02⎛⎤-⎥⎝⎦（2）(],0-∞ 【解析】（1）代入a 的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合A B .（2）根据集合关系可知U B C A ⊆,即B 为U C A 的子集,根据包含关系即可求得实数a 的取值范围. 【详解】 （1）因为2a = 则{|1}A x x =>-根据对数图像与性质可知()f x =1{|0}2B x x =-<≤所以{}1|1|01,022x A B x x x ⎧⎫>--<≤=⎨⎛⎤=- ⎥⎝⎩⎭⎦⎬（2）解不等式可得|2a A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭所以|2U a C A x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,1{|0}2B x x =-<≤ 因为()U BC A B =所以U B C A ⊆ 所以02a-≥,即0a≤ 实数a 的取值范围为(],0-∞【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题. 18．求下列各式的值（1）2311log 222)22(21(2)3[(1]log 4-+-++；（2）已知11223a a-+=，求332222a a a a --++值.【答案】（1）53 （2）1847【解析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解. （2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值. 【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得(()231122log 22221231log 4-+⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭)()233112229log 2222331log 2-⨯+⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦)(()31log 92222312log 33⨯=-+2323=--+ 53= （2）因为11223a a -+=两边同时平方可得129a a -++= 所以17a a -+=由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++ ()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+- ()()2371184772⨯-==- 【点睛】本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.19．设函数()3,()9x x g x h x ==（1）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=；（2）令()F x =求1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++的值. 【答案】（1）2x =或3log 2x =（2）20192【解析】（1）根据题意,将()()3,9xxg x h x ==代入原方程化简可得关于x 的方程,利用换元法令3x t =,转化为关于t 的一元二次方程,解方程即可求得x 的值. （2）根据解析式,分析并计算可知()()1F x F x +-为定值,即可求值. 【详解】（1）因为函数()()3,9xxg x h x ==代入()()()11210h x g x h -+=可得9113290x x -⨯+⨯= 令3x t =则211180t t -+= 解得2t =或9t = 即32x =或39x = 解得2x =或3log 2x =（2）根据题意()xg xF x ==则()11x F x --==所以()()11x F x F x +-== 且1212131223F ⎛⎫==⎪⎝⎭+ 所以1220182019()()()()2020202020202020F F F F ++++ 12019220181009101110102020202020202020202020202020F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112=+++++20192=【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.20．已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.【答案】（1）2m =或0m =,()2f x x =（2）存在;()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据函数()f x 为偶函数,且(3)(2)f f >可知2220m m -++>且222m m -++为偶数,即可求得m 的值,进而确定()f x 的解析式.（2）将（1）所得函数()f x 的解析式代入即可得()g x 的解析式.根据复合函数单调性对底数a 分类讨论,即可求得()g x 在区间[1,2]上为减函数时实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为(3)(2)f f >则2220m m -++>,解不等式可得11m <<+ 因为m Z ∈则0m =或1m =或2m = 又因为函数()f x 为偶函数 所以222m m -++为偶数当0m =时, 2222m m -++=,符合题意 当1m =时, 2223m m -++=,不符合题意,舍去 当2m =时, 2222m m -++=,符合题意 综上可知, 0m =或2m = 此时()2f x x =（2）存在.理由如下:由（1）可得()2f x x =则()()2log 5a g x x ax =-+(0,a >且1)a ≠当01a <<时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为增函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()01121150a a h a <<⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得01a << 当1a <时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为减函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立即()12224250a ah a <⎧⎪-⎪-≥⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得942a ≤<综上可知,当01a <<或942a ≤<时, ()g x 在[]1,2上为减函数 所以存在实数()90,14,2a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭,满足()g x 在[]1,2上为减函数 【点睛】本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.21．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有()()0f a f b a b+>+恒成立.（1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数()[24]1xxF x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围.【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）(],2-∞- 【解析】（1）在定义域内任取12,x x ,代入()f x 作差,结合()()0f a f b a b+>+即可证明单调性.（2）根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于x 的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明:因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数 则()()f x f x -=-任取[]12,1,1x x ∈-,且21x x > 则()()()()()21212121=f x f x f x f x x x x x ----()()()()212121+=+f x f x x x x x ---因为0a b +≠时有()()0f a f b a b+>+恒成立.210x x ->所以()()210f x f x ->,即()()21f x f x > 所以()f x 在[]1,1-上单调递增（2）因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f = 所以()11f -=-若函数()()241xxF x f a =⋅++有零点即()241x xf a ⋅+=-有解所以241x x a ⋅+=-有解即可.则411222x x xx a +⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 因为1222xx所以2a ≤- 即(],2a ∈-∞- 【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.22．已知函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠是奇函数． （1）求实数t 的值；（2）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 取值范围；（3）设22()log [()],(0,1)xx m g x aa mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1t =- （2）3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）不存在,理由见解析. 【解析】（1）根据定义域为R 且为奇函数可知, (0)0f =代入即可求得实数t 的值. （2）由（1）可得函数()f x 的解析式,并判断出单调性.根据1(1)f a a-=-将不等式转化为关于x 的不等式,结合[0,1]x ∈时不等式恒成立,即可求得实数k 取值范围； （3）先用()f x 表示函数()g x .根据3(1)2f =求得()f x 的解析式,根据单调性利用换元法求得()f x 的值域.结合对数的定义域,即可求得m 的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在m 的取值范围内能否取到最大值0. 【详解】（1）函数2()(0,1)x xa tf x a a a+=>≠的定义域为R,且为奇函数 所以(0)0f =,即10t += 解得1t =-（2）由（1）可知当1t =-时, 21()x x xxa f x a a a--==- 因为(1)0f <,即10a a-<(0)a > 解不等式可得01a << 所以()xxf x a a-=-在R 上单调递减,且1(1)f a a-=-所以不等式21(2)f x kx k a a-->-可转化为()2(2)1f x kx k f -->- 根据函数()xxf x a a -=-在R 上单调递减所不等式可化为221x kx k --<-即不等式221x kx k --<-在[0,1]x ∈恒成立所以2211x k x +<+[0,1]x ∈恒成立化简可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+⎪⎝⎭由打勾函数的图像可知,当1x =时,()max33221212x x ⎛⎫⎪++-= ⎪+⎪⎝⎭ 所以32k >（3）不存在实数m .理由如下:22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦ 2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦因为3(1)2f =(0)a > 代入可得132a a -=,解得2a =或12a =-(舍) 则()22xxf x -=-,令()22xxt f x -==-,易知()f x 在R 上为单调递增函数所以当[]21,log 3x ∈时, ()131222f -=-=,()22log 3log 328log 3223f -=-= 则38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦根据对数定义域的要求,所以()2()log 2m g t t mt =-+满足220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立即2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 令()2h t t t =+,38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,即176m < 又因为0,1m m >≠所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭对于二次函数()22d t t mt =-+,开口向上,对称轴为2m t =因为()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭所以11170,,22212m ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧,即二次函数()22d t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭假设存在满足条件的实数m ,则:当()0,1m ∈时, 由复合函数单调性的判断方法，可知()2()log 2m g t t mt =-+为减函数,所以根据max ()0g x =可知()()2min min 21d t t mt =-+=,即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得()130,16m =∉,所以舍去 当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 复合函数单调性的判断方法可知()2()log 2m g t t mt =-+为增函数,所以根据max ()0g x =可知()()2max max 21d t t mt =-+=,即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,所以舍去综上所述,不存在实数m满足条件成立.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.。
2019-2020学年度第二学期高一数学5月月考卷1
2019-2020学年度一中学校5月月考卷一、单选题1．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =（ ） A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 2．已知向量(1,2),(3,1),(4,3)AB CB CD ===--，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD BC = B ．2AD BC = C ．AD BC =- D ．2AD BC =- 3．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、双空题4．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.三、填空题5．已知(2,1),(1,4)A B --，直线AB 上一点P 满足||2||PA PB =，则点P 的坐标为______.6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=_____．7．若曲线22ln y x x =-的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________． 8．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．四、解答题9．设函数2()(1)x f x x e =-.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围.10．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a R ∈，记()()()F x f x g x =-.（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.11．已知函数()2ln 1f x x a x =--，（a R ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设()()21x g x e x ex f x =+---，若()0g x ≥，若函数对[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）12．已知函数()2ln 1a x bx x f x =+++(a R ∈，b R ∈). （1）当0a =时，若函数()f x 在()0,∞+上有两个零点，求b 的取值范围；（2）当0b =时，是否存在a R ∈，使得不等式()()12a f x x ≤+恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.13．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围． 14．设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)x g x x e ax =-+.（1）若0a ≥，讨论()g x 的零点个数；（2）证明：()()f x g x ≤.15．已知函数()()11ln 1.f x a x x a a x⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭ （1）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性；（2）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =总存在相异两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在,P Q 处的切线互相平行，求证1265x x +>. 16．已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性；（2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值；（3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 17．已知函数()()21f x a x b =-+.(1)讨论函数()()xg x e f x =-在区间[]0,1上的单调性； (2)已知函数()12x x h x e xf ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.18．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD ，BC 的中点，2CA CB CD BD ====，AB AD ==（1）求证：BD AC ⊥；（2）求锐二面角E AC D --的余弦值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1C F 和平面11ACC A 所成角的正弦值等于10，求二面角A BE C --的平面角的正弦值.20．如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当AB =,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值.21．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，2AC AB SA ===，AC AB ⊥，,D E 分别是,AC BC 的中点，F 在SE 上，且2SF FE =.（1）求证：AF ⊥平面SBC ；（2）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥C ﹣ABNM 中，四边形ABNM 的边长均为2，△ABC 为正三角形，MB =MB ⊥NC ，E ，F 分别为MN ，AC 中点．（Ⅰ）证明：MB ⊥AC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值．23．如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把△折起，使点A到达点P的位置，且PC BCABD⊥.（1）证明：PD⊥平面BCD；--等于60°，求直线PC与平面MCD所成（2）若M为PB的中点，二面角P BC D角的正弦值.24．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.参考答案1．C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】111111313()222222424FE EC AE BC AB BC BC AB B F C AB AD C =+=+=++=+=+故选：C【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据选项分别计算,AD BC 再判断即可.【详解】由题，()()()()1,23,14,36,2AD AB CB CD =-+=-+--=--，()3,1BC CB =-=--，故2AD BC =.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.3．D【解析】【分析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.4．12 16- 【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.5．70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9)【解析】【分析】根据条件得2PA PB =或2PA PB =-，再根据向量相等求结果.【详解】因为直线AB 上一点P 满足||2||PA PB =，所以2PA PB =或2PA PB =-，设(,)P x y ，则由2PA PB =得，(2,1)2(1,4)x y x y ----=-- 22241829x x x y y y --=-=⎧⎧∴∴⎨⎨--=-=⎩⎩由2PA PB =-得，(2,1)2(1,4)x y x y ----=---022271823x x x y y y =⎧--=-+⎧⎪∴∴⎨⎨--=-+=⎩⎪⎩因此点P 的坐标为70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9) 故答案为：70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,9) 【点睛】本题考查向量相等、向量共线，考查基本分析求解能力，属基础题.6．23【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出CD CA AD =+①，CD CB BD =+②； 由①、②得出1233CD CA CB =+，从而求出λ的值． 【详解】 ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，如图所示， ∴2CD CA AD CA DB =+=+①，CD CB BD =+，22222CD CB BD CB DB ∴=+=-②；①+②得，32CD CA CB =+， ∴1233CD CA CB =+；23λ∴=． 故答案为：23．【点睛】本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用． 7．2【解析】【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数223y x x '=-=，解得x 的值，结合函数定义域即可得解．【详解】解：22ln y x x =-，223y x x '∴=-=，2002320x x --=，解得012x =-（舍去）或02x =，所以02x =，故答案为：2.【点睛】本题考查导数的几何意义，曲线上某点处的切线斜率的意义以及函数的定义域，属于基础题. 8．1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．9．（I ）函数()f x 在(,1)-∞和1,+)∞上单调递减，在(1)上单调递增.（II ）[1,)+∞.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()()()11e 11x f x x x x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取()()()2000001111x f x x x ax =>-+=>+，当0＜a＜1时，取012x =，()()()20000111f x x x ax >-+>+. 试题解析： 解（1）f ’(x )=(1-2x -x 2)e x令f’(x )=0得x ，x当x ∈（-∞，）时，f’(x )<0；当x ∈（）时，f’(x )>0；当x ∈（，+∞）时，f’(x )<0所以f (x )在（-∞，），（，+∞）单调递减，在（）单调递增(2) f (x )=(1+x )（1-x ）e x当a ≥1时，设函数h (x )=（1-x ）e x ，h ’(x )= -xe x ＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1， 故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x -x -1，g ’（x ）=e x -1＞0（x ＞0），所以g （x ）在在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x ≥x +1当0＜x ＜1，()()()211f x x x =-+，()()()221111x x ax x a x x-+--=---，取012x =则()()()()20000000,1,110,1x x x ax f x ax ∈-+-=〉+故当 ()()0000010,112112a x f x x x ax ≤=〉-+=〉+时，取（） 综上，a 的取值范围[1，+∞）点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.10．（1）曲线()y f x =在x e =处的切线方程1y x e=；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e+∞. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在x e =处的切线的斜率为1k e=，又()1f e =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,∞+，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x-=-='，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围． 试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在x e =处的切线的斜率为1k e=.又()1f e =， 所以函数()f x 在x e =处的切线方程为11()y x e e-=-,即1y x e =（2）()ln 1F x x ax =--，11()axF x a x x-=-='，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞； 当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞. （3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a+∞上为减函数， 由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2a e ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点． 11．（Ⅰ）(]{},02-∞（Ⅱ）[)0,+∞【解析】 【分析】（Ⅰ）首先确定函数定义域为()0,∞+，求出导数；当0a ≤时，可知函数单调递增，根据()10f =可知满足题意；当0a >时，可求得导函数的零点；1=可知满足题意；1<1>结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当0a ≤时，可知()0g x '≥，得到()()10g x g ≥=，满足题意；当0a >时，根据()g x ''符号可知()g x '单调递增，由零点存在性定理可验证出()()01,ln x e a ∃∈-，使得()00g x '=，从而得到()g x 在()01,x 上单调递减，则()()010g x g <=，不满足题意，从而得到结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，则()()2220a x a f x x x x x-'=-=>①当0a ≤时，()0f x '>恒成立 ()f x ∴在()0,∞+上单调递增又()10f = ()f x ∴有唯一零点，即0a ≤满足题意 ②当0a >时当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>即()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增()min ln 12a f x f a ∴==-1=，即2a =时，()()min 10f x f ==，()f x 有唯一零点，满足题意1<，即02a <<时，()10f f <= 又122110a a af e e e ---⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且11a e -<11ax e -⎛∴∃∈ ⎝，使得()()110f x f ==，不符合题意1>，即2a >时，()10f f <= ()()()()()211ln 112ln 1f a a a a a a a -=----=---设11a t -=>，()1ln h t t t =--，则()1110t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()1,+∞上单调递增 ()()10h t h ∴>=，即()10f a ->又1a ->21x a ⎫∴∃∈-⎪⎪⎭，使得()()210f x f ==，不符合题意 综上所述：a 的取值范围为：(]{},02-∞（Ⅱ）由题意得：()ln xg x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，()2x ag x e x''=- ①当0a ≥时，由[)1,x ∈+∞得：()0g x '≥恒成立()g x ∴在[)1,+∞上单调递增 ()()10g x g ∴≥=即0a ≥满足题意②当0a <时，()0g x ''>恒成立 ()g x '∴在[)1,+∞上单调递增又()10g a '=<，()()()()()()1ln ln 0ln ln a e a ag e a a e a e a --'-=-=>-- ()()01,ln x e a ∴∃∈-，使得()00g x '=当()01,x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()01,x 上单调递减()()010g x g ∴<=，则0a <不符合题意综上所述：a 的取值范围为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决. 12．（1）10b e-<<.（2）存在，a 的取值集合为{}1. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入，求得函数的导数，当0b ≥时显然不成立，当0b <时，利用零点的存在定理，即可求解的结论； （2）当0b =时，设()()2ln 112a ax x x g x =+-++，由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，得到()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，当1a =时，利用导数得到不等式()()12af x x ≤+恒成立，即可求解. 【详解】（1）当0a =时，()ln b f x x x =+，()11bx b x xf x +=='+(0x >)， 当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，舍去； 当0b <时，()0f x '=，1x b=-， 进而()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，依题意有10f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1ln 10b ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，1e b ->，解得10b e -<<， 又()10f b =<，且11e b ->>，()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，进而由零点存在定理可知，函数()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点； 下面先证1ln x x e <(0x >)恒成立，令()1ln x x x e ϕ=-，则()11x e x e x exϕ-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，进而()()0x e ϕϕ≥=，∴1ln x x e ≥，∴1112222ln 2ln x x x x e=≤<，可得()12ln x bx f x x bx =+<+， 若120x bx +=，得21x b=， 因为1e b ->，则221e b >，即当1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，取021x b =，有12222110b f b b b⎛⎫⎛⎫<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即存在021x b =使得()00f x <，进而由零点存在定理可知()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点；（2）当0b =时，存在1a =，使得不等式()()12af x x ≤+恒成立. 证明如下：当0b =时，设()()2ln 112a a x x x g x =+-++，则()()21221a x x g a x =--+'， 依题意，函数()0g x ≤恒成立，又由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，所以()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，解得1a =.当1a =时，()()()()()23221222121x x x x xx x x x g x -++--==-+'+(0x >)， 令()0g x '>可得01x <<，令()0g x '<可得1x >. 故()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减. 因此()()10g x g ≤=，即不等式()()12af x x ≤+恒成立. 综上，存在且a 的取值集合为{}1. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 13．解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或 【解析】 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．14．（1）当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()2xg x x e a '=+，求得当0a =，函数()g x 有唯一的零点1x =； 当0a >，利用导数求得函数的单调性与最值，结合最值，即可求解.（2）令()()()(1)ln(1)1xH x g x f x x e x x =-=-----，求得导数()11xH x x e x ⎛⎫'=-⎪-⎝⎭，令1()1xt x e x =--，得到()t x 在(1,)+∞有唯一零点0(1,2)x ∈，结合导数求得函数()H x 的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数2()(1)x g x x e ax =-+，则()()22xxg x xe ax x e a '=+=+，①当0a =，则函数()(1)xg x x e =-，此时()g x 有唯一的零点1x =；②当0a >，令()0g x '=，可得0x =，所以min ()(0)1g x g ==-，()g x 最多两个零点，当0x <时，可得01x e e <=且10x -<，所以()11xx e x ->-，所以2()1g x ax x >+-，故x →-∞时，()0>g x ， 所以()g x 在(,0)-∞有一个零点； 当0x >时，(1)0g a ，所以()g x 在(0,)+∞有一个零点.综上可知，当0a =时，()g x 有唯一零点；当0a >时，()g x 有两个零点. （2）令()()()(1)ln(1)1,1xH x g x f x x e x x x =-=----->，则()111111x xx x H x xe xe x e x x x ⎛⎫'=--==- ---⎝-⎪⎭， 令1()1xt x e x =--，可得()t x 在(1,)+∞是增函数， 且（()2212210,(2)10e t eee t e --++=-<=->，所以()t x 在(1,)+∞有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈， 当()01,x x ∈时，()0H x '<，()H x 在()01,x 上为减函数， 当()0,x x ∈+∞时，()0H x '>，()H x 在()0,x +∞上为增函数，故()()()0min 0000()1ln 11xH x H x x e x x ==-----，且0011x e x =-， 所以()000110H x x x =+--=，∴()0()0H x H x =，所以()()f x g x ≤成立. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 15．（1）()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求导得()()21'?x a x a f x x ⎛⎫--⎪⎝⎭=-，讨论1a和a 的大小下结论即可； （2）由题意可得()()12''f x f x =，整理可得121212121114x x a a x x x x x x ++=+=>+，整理得1241x x a a+>+，求右边最值即可.试题解析：(1)由已知()()2222111110,'1x a x x a x a a a a x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>=--=-=-， 由()'0f x =，得121,x x a a ==， 11,01a a >∴<<,且1a a >，所以在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'0f x <；在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x >，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.(2) 由题意可得，当[)3,a ∈+∞时， ()()1212''(,0)f x f x x x =>且()12x x ≠，即221122111111a a a a x x x x ++--=--，所以[)121212111,3,x x a a a x x x x ++=+=∈+∞，因为12,0x x >，且12x x ≠，所以212122x x x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()2121214x x x x >++，又12121212140,x x x x a a x x x x ++>∴+=>+，整理得1241x x a a+>+.令()[)()4,3,,1g a a g a a a =∈+∞∴+在[)3,+∞单调递减，所以()41g a a a=+在[)3,+∞上的最大值为()12663,55g x x =∴+>.16．（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； （2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x=+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=， 两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-， （1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-； （2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值， 即()()min 1g x g e a e==-； 综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=. 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 17．（1）见解析（2）12e a -<< 【解析】试题分析：（1）先求导数：()()'21xg x e a =--，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当32a ≤时，()'0g x ≥，当12e a ≥+时，()'0g x ≤，当3122ea <<+时，在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增.（2）先求函数()h x 导数()() '?h x g x =，因为()()010h h ==，结合（1）结论得：3122e a <<+，因此()00g >，()10g >，()()ln 220g a -<,由于102g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()ln 220g a -<恒成立，解()00g >，()10g >得a 的取值范围.试题解析：解：(1)由题得()()21xg x e a x b =---，所以()()'21xg x e a =--.当32a ≤时，()'0g x ≥，所以()g x 在[]0,1上单调递增； 当12ea ≥+时，()'0g x ≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减；当3122ea <<+时，令()'0g x =，得()()ln 220,1x a =-∈， 所以函数()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增. 综上所述，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增； 当3122ea <<+时，函数()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增； 当12ea ≥+时，所以()g x 在[]0,1上单调递减. (2)()()21112xx x h x e xf e a x bx ⎛⎫=--=----⎪⎝⎭，()()()'21xh x e a x b g x =---=， 设0x 为()h x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000h h x ==，可知()h x 在区间()00,x 上不单调，则()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ，同理，()g x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点. 由(1)知，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意.当12ea ≥+时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意，所以3122ea <<+，此时()g x 在区间()0,ln 22a ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a ⎤-⎦上单调递增. 因此，()(10,ln 22x a ⎤∈-⎦，()(2ln 22,1x a ⎤∈-⎦，必有()010g b =->，()1220g e a b =-+->.由()10h =，得a b e +=，102g e ⎛⎫=<⎪⎝⎭. 又()010g a e =-+>，()120g a =->，解得12e a -<<.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题. 18．（1）证明见解析；（2）17【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出BD ⊥平面AOC ，最后由线面垂直的性质定理得出BD AC ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：连接OC∵在BDC 中，2BD BC CD ===且O 是BD 的中点∴OC =OC BD ⊥∵在ABD △中，AB AD ==2BD =∴ABD △为等腰直角三角形 又O 是BD 的中点，∴112AO BD ==且AO BD ⊥ 而OC OA O ⋂=，,OC OA ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC ∵AC ⊂平面AOC ，∴BD AC ⊥．（2）解：∵在AOC △中，OC =1AO =，2AC =∴222AO OC AC +=，即AO OC ⊥又由（1）知BD ⊥平面AOC ，,AO OC ⊂平面AOC ，则,BD AO BD OC ⊥⊥ 所以建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1A ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -∴()0,1AC =-，()1,0,1AD =--，()1,0,1AB =-设平面EAC 与平面ACD 的法向量分别为()111,,n x y z =，()222,,m x y y =，则00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩与00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即111100x z z -=⎧⎪-=与222200x z z --=⎧⎪-=∴(31,n =,，(3,1,m =-∴1cos ,7n m n m n m ⋅==- 所以锐二面角E AC D --的余弦值为17【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19．（1）见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，AB ⊥平面11BCC B ，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值．. 解析：（1）在直三棱柱中1CC AB ⊥ 又1C F AB ⊥ED ⊂平面EAB ，1C F ⊂平面EAB ，111CC C F C ⋂=∴AB ⊥平面11BCC B 又∵AB ⊂平面EBA ∴平面ABE ⊥平面11B BCC . （2）由（1）可知AB BC ⊥以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系.设1AA a =()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，，()11E a ，，，()100F ，，直线1FC 的方向向量()10a a =，，，平面1ACC A 的法向量()110m =，， 可知10m a m a ⋅=∴2a = ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，， 设平面ABE 的法向量()1n x y z =，，∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩∴()1201n =-，，设平面CBE 的法向量()2n x y z ，，= ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩∴()2021n =-，，记二面角A BE C --的平面角为θ1cos 5θ=∴26sin 5θ=二面角A BE C --. 20．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，则,SO AB AB AD ⊥⊥，AB ⊥平面SAD ，AB SD ⊥，结合勾股定理可得SA SD ⊥，则SD ⊥平面SAB ，平面SAB ⊥平面SCD .（Ⅱ）由几何关系，以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面SCD 的法向量()2,0,1m =-，平面SBC 的法向量()0,2,1n =.计算可得平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 试题解析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥利用勾股定理得SA ===SD =在SAD ∆中，2,AD SA SD SA SD ===∴⊥SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD（Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC =，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ，得OE ∥AB，连结,SE SE ∴= 其中1OE =，1OA OD ==，OS =由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1,OE OS =∴=，()()()0,1,0,1,1,2,2,0,0DC SC BC ∴==--=-，设()111,,m x y z =是平面SCD 的法向量，则有00m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111100y x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 令11z =得()2,0,1m =-设()222,,n x y z =是平面SBC 的法向量，则有00n BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222200x x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令11z =得()0,2,1n =. 则1,333m n cosm n m n⋅===⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 21．（1）见解析；（2）存在，12DG =【解析】 【分析】（1）由已知可得EFAEAS ∆∆，所以AF SE ⊥，又由已知可证BC ⊥底面SAE ，所以BC AF ⊥，问题得解；（2）以A 为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG 的法向量为(,1,1)m t t =--，平面AEF 的法向量为(1,1,0)n =-，所以有cos30︒=，求解即可.【详解】（1）由2,AC AB SA AC AB ===⊥E 是BC的中点，所以AE =因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AE ⊥ 在Rt SAE ∆，SE =1,33EF SE ==因此2,AEEF SE AEF AES =⋅∠=∠所以EFAEAS ∆∆则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥SA ⊥平面ABC ，SA BC ∴⊥又BC AE ⊥，BC ∴⊥底面SAE 则BC AF ⊥，又SE BC E =，所以AF ⊥平面SBC .（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系则：(0,0,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,,0)A S E G t ，2222,(,,)333SF FE F =∴则()()2221,1,0,,,,1,,0333AE AF AG t ⎛⎫===⎪⎝⎭设平面AFG 的法向量为111(,,)z m x y =111112220033300m AF x y z m AG x y t ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩ 取11y =，则1x t =-，11z t =-(,1,1)m t t ∴=--设平面AEF 的法向量为()222,,n x y z =，222222220033300n AF x y z n AE x y ⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩， 取2221,1,0y x z =∴=-=(1,1,0)n ∴=-cos30︒∴=化简得：22520t t -+=()10,1,2t t ∈∴=于是满足条件的点G 存在，且12DG =. 【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题. 22．（Ⅰ）详见解析；． 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接AN ，由题意可得MB AN ⊥，结合MB NC ⊥，利用线面垂直的判定可得MB ⊥平面NAC ，利用线面垂直的性质即可得证；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，证明MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．则直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF ，记F 到平面MBC 的距离为h ，利用等体积法求得h ，则sin h OF θ==，即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接AN ，∵四边形ABNM 的边长均为2，∴MB AN ⊥，∵MB NC ⊥，且AN NC N =，∴MB ⊥平面NAC ，∵AC ⊂平面NAC ，∴MB AC ⊥；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，显然//FG MN ，且12FG MN =，即//FG ME ，FG ME =， ∴MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．∴直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ,由（Ⅰ）知MB AC ⊥，又ABC 为正三角形，∴BF AC ⊥，且BF =∵MB BF B =，∴AC ⊥平面MBF ，而BF ⊂平面MBF ，则MF AC ⊥，得MF =2MC =，∵MB =BF =MF BF ⊥，AC BF F =，∴MF ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面ABC ，MF FG ⊥，∴MF ME ⊥，可得112OF EF ===．∴111113322M BCF BCF V S MF -=⋅=⋅⋅=， 记F 到平面MBC 的距离为h ，在MBC △中，∵2MC BC ==，MB =MBC S =△∴111332F MBC MBC V S h h -=⋅==△，得h =故sin 5h OF θ==.所以直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求解和空间思维能力，属于中档题.23．（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，求出向量n ，则向量,PC n 所成角的余弦值的绝对值即为所求.【详解】（1）证明：因为,,BC CD BC PC PC CD C ⊥⊥=∩，所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥.又因为,PD BD BD BC B ⊥=∩，所以PD ⊥平面BCD .（2）因为,PC BC CD BC ⊥⊥，所以PCD ∠是二面角P BC D --的平面角，即60PCD ∠=︒，在Rt PCD中，tan 60PD CD =︒=，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，因为,BC CD BC CD =⊥,所以OC BD ⊥,由（1）知，PD ⊥平面BCD ，OM 为PBD △的中位线，所以,OM BD OM OC ⊥⊥，即,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，则(1,0,0),(0,1,0),,(1,1,6),(1,1,0)P C DM CP CD ⎛=-=- ⎝⎭，CM ⎛=- ⎝⎭，设平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,n CD n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0,x y x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令z =，得(3,3,n =， 所以3cos ,||||CP n n CP CP n⋅〈〉==， 所以直线PC 与平面MCD 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.24．（1）见解析；（2）7. 【解析】 试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D –AE –C . 试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒.取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO .又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥.所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角.在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=.所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,10.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取(0,=-m .则cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C的余弦值为7. 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,m n m n m nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.。
四川省成都市崇州怀远中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析
四川省成都市崇州怀远中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设则的大小关系是( )A. B. C. D.参考答案：A略2. 已知S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R），则S的最小值为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得S的几何意义为两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值．【解答】解：S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R）的几何意义为：两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，由y=lnx的导数为y′=，点（a，a）在直线y=x上，令=1，可得x=1，即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为（1，0），由点到直线的距离可得d==，即有S的最小值为（）2=，故选：B．3. 以下四个函数图像错误的是()参考答案：C4. 已知全集，集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：B由得：B＝，故。
5. 已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．－i B．－1 C．i D．1参考答案：D由已知得，所以共轭复数，虚部为1，故选D.6. 已知函数f(x)的导函数为，且满足（其中e为自然对数的底数），则（）A．1 B．－1 C.－e D．－e－1参考答案：D7. 已知集合，且都是全集的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为A．B．C．D．参考答案：C略8. 已知点、、为椭圆上三点，其中，且的内切圆圆心在直线上，则三边斜率和为（）A、B、C、D、参考答案：B9. i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．参考答案：C【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数相等、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ===a+bi，∴，b=﹣．∴lg（a+b）=lg1=0．故选：C．10. 设全集，集合，，则为 ( )A． B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则.参考答案：略12. 如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为．参考答案：②考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．②y=3x﹣2sinx﹣2cosx，y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cox）=3﹣2sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③f（x）=y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．④y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故答案为：②点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．13. 已知数列的前项和为，，且点在直线上（1）求k的值；（2）求证是等比数列；（3）记为数列的前n项和，求的值.参考答案：（3），.14. 若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为 .参考答案：-2015. 已知函数的定义域为R，数列满足，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是_____．参考答案：【分析】根据已知得到关于a的不等式组，解之即得.【详解】由题得.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16. 已知数列的前n项和为，且，则=______________．参考答案：-128略17. 已知样本方差，则样本的方差为.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(II)卷
四川省成都市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·绵阳期末) 下列各组中的函数f（x），g（x）表示同一函数的是（）A . f（x）=x，g（x）=B . f（x）=x+1，g（x）=C . f（x）=|x|，g（x）=D . f（x）=log22x ， g（x）=2log2x3. （2分） (2016高二下·重庆期末) 设二次函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m﹣1）的值为（）A . 正数B . 负数C . 非负数D . 正数、负数和零都有可能4. （2分） (2016高三上·邯郸期中) 函数f（x）= 的定义域为（）A . （0，）B . （2，+∞）C . （0，）∪（2，+∞）D . （0，]∪[2，+∞）5. （2分）已知函数，则方程所有根的和为（）A .B .C .D .6. （2分）若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则（）A . f(－)<f(－1)<f(2)B . f(－1)<f(－)<f(2)C . f(2)<f(－1)<f(－)D . f(2)<f(－)<f(－1)7. （2分）已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为（）A .B .C .D .8. （2分）已知a=， b=， c=，那么a，b，c的大小关系是（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . a＜b＜cD . b＜a＜c9. （2分）设a=e0.3,b=0.92,c=，则a,b,c的大小关系是（）A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . b<c<a10. （2分）“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2016高三上·浦东期中) 我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y= ；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y= ；其中有渐近线的函数的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高二下·河北期末) 已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），若y=f （x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（402）=（）A . 2B . 3C . 4D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·河口期末) 已知幂函数的图像经过点，则的值为________．14. （1分）已知集合M={a，a2}，则实数a不能取到的值为________．15. （1分） (2018高三上·长春期中) ________.16. （1分） (2020高一上·林芝期末) 函数在上的最小值为________.三、计算题 (共6题；共62分)17. （10分） (2016高一上·沈阳期中) 已知函数f（x）=（ + ）x3（1）求f（x）的定义域．（2）讨论f（x）的奇偶性．18. （10分） (2019高一上·纳雍期中) 已知集合是函数的定义域.（1）求集合，并求出满足不等式的的取值范围；（2）若集合是函数的值域，求出集合，并求出 .19. （10分）如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中∠B= ，AB=a，BV= a）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN 和△A′MN），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′点落在边BC上，设∠AMN=θ．（1）若θ= ，绿地“最美”，求最美绿地的面积；（2）为方便小区居民行走，设计时要求AN，A′N最短，求此时公共绿地走道MN的长度．20. （15分） (2016高二下·长春期中) 定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f （m）f（n），且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1．（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．21. （15分） (2019高一上·珠海期中) 已知函数的解析式为 .（1）求（2）画出这个函数的图象,并写出函数的值域；（3）若函数有三个零点，求的取值范围.22. （2分）(2017·海淀模拟) 已知函数f（x）= 为奇函数．（1）则a=________;（2）函数g（x）=f（x）﹣的值域为________．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共62分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
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一、单选题
1.
（）
A．-1
B．1
C．
D．
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝105°，b＝4，则a＝（ ）
A．2
B．
C．
D．
3. 在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）
，则
的通项公式是（ ） C．
D． D．4和 D． D．
9. 若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
10. 在 A．1
中，内角
的对边分别为 B．
，若
，且 C．
，则
（） D．4
11. 如图，海平面上的甲船位于中心 的南偏西 ，与 相距15海里的 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线 方向25海里的 处的乙船，则甲船到达 处需要的时间为（ ）
三、解答题
17. 已知
为锐角，值．
18. 记 为等差数列 的前 项和，已知
，
．
（1）求 的通项公式．
（2）求 ，并求 的最小值．
19. 在
中，
，
，
，求角 及 ．
20. 已知函数 （1）求函数 （2）当
. 的单调增区间；
时，求
的值域.
21. 已知数列 满足
（1）若
，证明：数列
去营救位于中心 正东
B．1小时
D．2小时
A． 小时
C． 小时
12. 已知 A．
中，
，三角形 B．3
的面积为
，且 C．
，则
（）
D．-
二、填空题
13. 在
中，
，
，则
的外接圆的半径为______．
14. 已知
，则数列 的前 项和为 ______．
15. 已知
， 是方程
的两个实数根，则
______．
16. 单调递增的等差数列 的前三项之和为21,前三项之积为231,则 ______．
（2）求 的前 项和 ．
. 是等比数列，求
的通项公式；
22. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
A．6
B．1
C．﹣1
D．﹣6
4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
A．
B．
，
，
，则b=
C．2
D．3
5. 已知
，则
（）
A．
B．
C．
6. 函数 A．2和
7. A．1
，则
的最大值和最小正周期分别为（ ）
B．4和
C．2和
的值等于（ ）
B．
C．
8. 已知数列 A．
的前 项和为 ，且 B．