数字信号处理第六章6 双线性变换法
06 IIR(3) _ 双线性变换法(New)
(a)
Amplitude
Time
Frequency
回顾
2/68
脉冲响应不变法 优点： 时域逼近。使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤 波器的单位冲激响应，即时域逼近良好。 线性频率关系： 模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。 缺点： 混叠失真效应。 因此，只适用于限带的模拟滤波器（例如衰减特性很好的 低通或带通滤波器），而且高频衰减越快，混叠效应越小； 而对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减， 因此会产生混叠现象。
21/68
具体实现的二种方法：
① 先将Ha(s)分解成并联或级联形式，再分别采用双线性变换。
H a ( s ) H a1 ( s ) H a2 ( s ) H am ( s )
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H m ( z )
3 数字化方法
双 线 性 变 换 法
H ( z ) H a ( s) |
ak z k bk z k
k 0 k 0 N N
2 1 z 1 s T 1 z 1
a0 a1 z 1 a2 z 2 a N z N 1 b1 z 1 b2 z 2 bN z N
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即某一频率段的幅频响应近似于某一常数。
A. 分段常数型AF经变换后，仍为分段常数型DF。 B. 分段边缘的临界频率点从AF转换到DF时，对应关系产 生畸变。—— 预畸变。
2 存在的问题
双 线 性 变 换 法
预畸变
18/68
将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性
变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：
[B,A]=butter(N, Wc, 's');
数字信号处理第三版 教材第六章习题解答
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解：（1）求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
双线性变换法
双线性变换法双线性变换法(bilinear transofrmation method)是一种通过变换以分析和解决非线性系统的复杂方法。
它最初由Collins，Mitroff和Zinnes提出，其主要特点是将非线性系统转化为线性系统来进行分析。
它把一个非线性系统映射到一个线性系统可以使一些复杂的非线性图像变成简单的线性图像，从而形成简单的表达式来解决复杂的问题。
一、双线性变换法定义双线性变换法是指通过线性常数和相关系数，将一维和多维数据变换为更简单的线性形式，以模拟复杂的非线性系统的运算的一种变换方法。
二、双线性变换法的应用（1）控制论领域。
双线性变换可以将复杂的非线性系统转变为简单的线性系统，使得这些复杂的系统容易控制。
（2）视觉领域。
双线性变换可以解决计算机视觉中的误差传播问题，将非线性的图像识别问题转变为简单的线性问题来处理；另外，在图像处理领域用双线性变换可以实现图像的变换，从而实现复杂的图像变换；（3）机器学习领域。
双线性变换可以将非线性的机器学习问题变换为线性的问题，让算法可以更加简单有效地解决复杂的机器学习问题。
三、双线性变换法的局限性（1）双线性变换法还有一些困难。
例如，当非线性系统出现很多两个变量或多个变量间有联系时，双线性变换也会受到很大影响。
（2）双线性变换法也会遇到数值不稳定的问题，在遇到非线性系统的情况下，很多变量的变化对结果的影响会变得很大，因此会产生数值不稳定的现象。
（3）双线性变换只是一种模拟，它并不能完全模拟出非线性系统的真实行为，因此很多时候双线性变换的结果可能不太准确。
双线性变换法是一种实用性很强的方法，它可以帮助我们更准确地分析和解决非线性系统问题，它也应用于控制论、视觉和机器学习等领域，但由于它有一些限制，如数值不稳定性和无法完全模拟非线性系统，因此我们需要更加谨慎地运用双线性变换法来真正发挥它的优势。
双线性变换法公式
双线性变换法公式
B(u,v) = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to m) a(i,j)u(i)v(j)
其中B(u,v)是变换的结果，u和v分别是V和W中的向量，n和m分别是V和W的维数，a(i,j)是双线性变换的系数。
下面以一个具体的例子来说明双线性变换法的应用。
假设我们有两个向量空间V和W，分别由基向量{e1,e2}和{f1,f2}生成。
双线性变换B：VxW---->U定义如下：
B(e1,f1)=a11,B(e1,f2)=a12
B(e2,f1)=a21,B(e2,f2)=a22
我们希望计算B(u,v)的值，其中u=δ1e1+δ2e2，v=ε1f1+ε2f2
根据双线性变换的公式，我们有：
B(u,v)=B(δ1e1+δ2e2,ε1f1+ε2f2)
=δ1ε1B(e1,f1)+δ1ε2B(e1,f2)+δ2ε1B(e2,f1)+δ2ε2B(e2,f2) =δ1ε1a11+δ1ε2a12+δ2ε1a21+δ2ε2a22
通过这个公式，我们可以计算出B(u,v)的值，其中a11，a12，a21，a22是双线性变换的系数。
这就是双线性变换法的基本思想。
总之，双线性变换法是代数数学中一种重要的解题方法，通过使用双线性变换的公式和性质，可以把复杂的问题转化为简单的计算过程，从而求解出问题的答案。
在实际应用中，双线性变换法具有广泛的应用领域，并且被广泛地运用到各种数学问题的求解中。
数字信号处理-双线性变换法
(2)2 cosh1(s/c) 5.5338 0.50885
1
1 =
cosh1
1 101.51
cosh1(tan0.15 /tan.2)
=
3.016 = cosh1(1.0196/0.65) 1.0207
cosh1
3.0783
取 N=4，与脉冲不变法相同。
= 1 + 1+ 2 =1.9652+2.205=4.1702
这样模拟滤波器的设计指标为
通带截止频率p =0.65，通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =1.019，阻带最小衰减பைடு நூலகம்s ≥15dB； 1 ）求 N 、 c 10lg|H (jp)|2 ≥ 1 ， lg|H (jp)|2 ≥ 0.1，
|H (j 2 tan(0.1))|2 ≥ 10-0.1 ； 10lg|H (js)|2 ≥ 15 ， |H (j 2 tan(0.15))|2 ≥10-1.5。 lg|H (js)| 2 ≥ 1.5，
j j/2 j/2) (e e 2 2 j2 = 1 =j tan 2 T T j /2 j /2 +e ) 2 (e
2 + j = j tan 2 T
比较(6.4-8)等式两边，得到
(6.4-8)
=0
2 = tan 2 T
(6.4-9)
由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴 映射为z平面的单位圆。 而(6.4-9)式频率正切变换关系 实现了频率压缩，使模拟域从~的变化，压缩为 数字域频率 从 ~ 变化。
函数H(z)。
与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临 界频率{k}时，要用到取样间隔T或取样频率 fs 以外， 最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为
双线性变换法
二、性能分析4
• 6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后， 仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段 边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变， 可通过频率预畸变加以校正。
例1
• 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后 得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原 有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通 过双线性变换成为数字微分器。
双线性变换法
• 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器 在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生 频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平 面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一 缺点，我们采用双线性变换法
2
一、变换原理 1、定义
• 双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响 应与AF的频率响应相似的一种变换法。
（3）变换常数C的选择1
• 调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关 系。 • （a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。
T 1T 1T 1T T tan( ) 2 2 2 2 1T 由 C tan( )C 2 2 2 C T
• 看出在低频处，AF的低频特性近似等于DF的低 频特性。
（3）变换常数C的选择2
（b)利用DF 的某一特定频率（例截止频率 c ) 与AF的某一特定频率 c 严格相对应。 cT 即： c C tan( ) 2 cT 2f c c c ctg ( ) c ctg 2 2 fs f c c cot( ) fs 看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF 处， 频率响应是严格相等的， 它可以较准确地控制截止频率的位置。
) |在低频处
ze
s1T
（1）频率压缩
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
《数字信号处理教程》(第三版)第六章
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
3、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
2
1 p 1 c
2N
p 20lg H a (e
j p
) p 10lg H a (e
2N
பைடு நூலகம்
j p
2
)
p 1 c
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
数字信号处理双线性变换法
取T=2，利用
= 2 tan( ) 得模拟带阻指标为
T2
p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=11rad,p1dB, s 10dB
第22页/共39页
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
1 sT 1
2 tan(p / 2)
第10页/共39页
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设
计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响
应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器
H (s) =
1 sT 1
2 tan(p / 2)
s
计一个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响
应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
(1) 将DF的频率指标转换为AF的频率指标
p
=
2 T
tan(p
2
)
(2) 设计3dB截频为p的一阶BW型模拟低通滤波器，即
N=1, c = p
故
H (s) = 1 = 1 = s / c 1 s / p 1
s 4 198s 2 9801
HBS(s) = Ha (s)
s=
s2
Bs 02
=
s4
4.899s3
210s 2
485s 9801
(5) 由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器
H (z) = H (s) s= 2 1z1 T 1 z1
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
数字信号处理课后答案+第6章(第三版)
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1 A 2 1 A1 s 2 A 2 s1 a
解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以
H a (s) 1/ 2 s ( a jb ) 1/ 2 s ( a jb )
套用教材（6.3.4）式， 得到
(2) H a ( s )
Ha(s)的极点为
b (s a) b
2 2
s1=－a+jb,
s2=－a－jb
将Ha(s)部分分式展开：
j H a (s) j
2 2 s ( a jb ) s ( a jb )
套用教材（6.3.4）式， 得到
j H (z) 2 1 e
H a (s) H a ( p) |
p s
c
c
5 4 2 3
5 3 2 4 5
s 3 .2 3 6 1 c s 5 .2 3 6 1 c s 5 .2 3 6 1 c s 3 .2 3 6 1 c s c
对分母因式形式， 则有
H a (s) H a ( p) |
式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)
H a (s) sa (s a) b
2 2
(2)
H a (s)
b (s a) b
2 2
式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。
H (z)
1 e
k 1
2
Ak
skT
z
1
06 IIR(3) _ 双线性变换法
s 2π 12 103 sp 2 3 p 2π 6 10
lg17.794 N 4.15 lg 2
取：N=5
23/58
（2）求归一化系统函数G(p)
由阶数N=5，直接查表6.2.1，得到5阶巴特沃斯归一化低通
滤波器系统函数G(p)为：
1 G ( p) 5 p 3.236 p 4 5.2361 p3 5.2361 p 2 3.2361 p 1
数字滤波器
B( z ) B(1) B(2) z 1 ... B( N ) z ( N 1) B( N 1) z N H ( z) A( z ) A(1) A(2) z 1 ... A( N ) z ( N 1) A( N 1) z N
采 样
N
11/58
N
极点传递
k 1
h(n) ha (nT ) Ak e sk nT u (n) Ak (e skT ) n u (n)
Z 变 换
k 1 k 1
N
H ( z)
n N
h(n) z
n 0
n
n0 sk T
A (e
k 1 k N
N
请同学们自行设计相关代码。
回顾 阅读P156-158： 频率归一化设计思想
20/58
【例6.2.1】
练习 2
21/58
P193
第1题
22/58
【解】
（1）求阶数N：
N
lg ksp lg sp 100.1as p 1
102.5 1 ksp 17.794 0.1ap 0.3 10 1 10 s 1
数字信号处理用双线性变换法
数字信号处理用双线性变换法双线性变换双线性变换法双线性变换公式matlab双线性变换线性变换线性变换的矩阵分段线性变换直接线性变换灰度线性变换
一、实验目的
二、实验原理
三、实验步骤
实实验体会
通过这次实验，进一步掌握了双线性变换法设计IIR滤波器的原理和方法，也更熟悉了数字滤波器仿真的方法，对数字滤波器的图形有了一些认识。
双线性变换法公式
双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。
公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。
双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。
它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。
另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。
它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。
双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。
其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。
双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。
它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。
双线性变换法公式
双线性变换法公式
z=x*B*y^T
其中，^T表示矩阵的转置运算符。
x和y是输入向量，z是输出向量。
*表示矩阵的乘法运算符。
1.将输入向量x和y表示为列矩阵形式：
x = [x1, x2, ..., xn]^T
y = [y1, y2, ..., ym]^T
2.将输出向量z表示为列矩阵形式：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
3. 对于输出向量z的每一个元素zi，都可以通过如下的内积运算来
进行计算：
zi = x^T * Bi * y
其中，Bi是B的第i行。
4. 将所有的zi组合起来形成输出向量z：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
双线性变换法的优点是可以灵活地定义不同的变换。
通过选择不同的
双线性变换矩阵B，可以实现各种不同的变换操作，如旋转、缩放、平移等。
这使得双线性变换法在图形学中被广泛应用，可以用来实现图像的几
何变换、纹理映射、颜色合成等功能。
然而，双线性变换法也存在一些限制。
由于双线性变换法只能处理线性变换，无法处理非线性变换。
此外，双线性变换矩阵B的大小会直接影响计算的复杂性，特别是在高维空间中，矩阵的大小可能会非常庞大，导致计算量很大。
因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的变换方法。
总之，双线性变换法是一种通过对输入空间和输出空间中的向量进行适当的线性变换来实现其中一种特定的变换的方法。
通过选择不同的双线性变换矩阵，可以实现各种不同的变换操作，具有广泛的应用前景。
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1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2
e e
2 s1T 2
e e
s1T 2
s1T 2
e
s1 T 2
e
1 e 1 e
s1T s1T
1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
2012-10-11
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
2012-10-11
数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
2012-10-11
数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T
2012-10-11
数字信号处理 tgFra bibliotek 1T 2
s in cos
1T 2 1T 2
j
1T 2
e
j
e 2j
j
1T 2
1T 2
e
e 2
j
1T 2
s j
s1 j 1
j
1T 2 1T 2
s j
e
j
e e
j
1T 2
七、双线性变换法
1、变换原理
使数字滤波器的频率响应
与模拟滤波器的频率响应相似。
冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近
缺点是产生频率响应的混叠失真
2012-10-11
数字信号处理
: [ , ]
1 : , T T
tg
1T 2
z e
左半平面
0 0 2012-10-11
右半平面
虚轴
数字信号处理
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg
2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
0
0
2012-10-11
数字信号处理
缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性
1
c
2 T
2）某一特定频率严格相对应： c
c c tg 1cT 2 c tg
c
c
2
c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
2012-10-11 数字信号处理
3、逼近情况
1）s
c 1 z 1 z
1 1
i
sc
1 z 1 z
1 1
i 1, 2 , ..., m
2012-10-11
数字信号处理
1
sc
1 z 1 z
1 1
2012-10-11
数字信号处理
可分解成级联的低阶子系统
H a ( s ) H a ( s ) H a ( s ) H a ( s )
1 2 m
H ( z ) H 1 ( z ) H 2 ( z ) H m ( z )
其 中 ： H i (z) H a (s)
i
sc
1 z 1 z
1 1
i 1, 2 , ..., m
可分解成并联的低阶子系统
H a (s) H a (s) H a (s) H a (s)
1 2 m
H (z) H 1(z) H 2 (z) H m (z)
其 中 ： H i (z) H a (s)
c
1 e 1 e
j j
jc tg
2
j
s平面虚轴
2） z
cs cs
z平面单位圆
z (c )
2 2
c j c j
(c )
2
2
s平面
0
z 1 z 1 z 1
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上