程序30多元逐步回归02
多元逐步回归模型
多元逐步回归模型（multiple regression stepwise model）是一种有效地建立多元线性回归模型的方法，它采用逐步搜索的方法来选择有效的解释变量，以构建最优的多元线性回归模型。
它可以消除由于多重共线性而导致的解释变量选择问题，使得模型更加简洁，更具有解释性。
多元逐步回归模型的步骤：
（1）将所有可能的解释变量放入模型中，进行回归分析，以确定模型的总体拟合效果。
（2）在给定的解释变量中，选择与因变量最具有解释性的一个变量，以及它的各个水平下的因变量的平均值，并放入模型中。
（3）逐步添加其他解释变量，比较每一步模型的解释力，只有当添加该解释变量后，模型的解释力显著提高时，才选择将该解释变量加入模型中。
（4）重复以上步骤，按照解释力添加解释变量，直至模型的解释力不能显著提高，则终止搜索。
多元逐步回归模型是指在估计回归模型时，将多个解释变量一步一步加入，以最小化残差平方和的过程。
这种类型的回归模型被称为多元逐步回归，是建立关于多个变量之间因果关系的有效方法。
多元逐步回归模型确定变量之间的关系，以及变量与响应变量之间的关系，这样可以更好地控制和预测变量的影响。
这种模型的优势在于，它能够更准确地衡量变量之间的关系，并有助于更好地控制变量的影响。
多元逐步线性回归法的原理
多元逐步线性回归法的原理多元逐步线性回归是一种常用的回归分析方法，用于建立多个自变量与一个因变量之间的关系模型。
其主要目标是从所有可能的自变量中选择出对因变量具有显著影响的变量，并建立一个解释性最好的线性回归模型。
下面将详细介绍多元逐步线性回归的原理和步骤。
多元逐步线性回归的原理基于以下假设：在给定的自变量集合中，存在一些变量对因变量具有显著影响，而其他的变量则对因变量影响不大或可以忽略。
因此，我们希望能够通过逐步选择变量的方法，找到那些与因变量相关性最高的自变量，以建立一个较好的回归模型。
多元逐步线性回归的步骤如下：1. 设定显著性水平：首先，需要设定一个显著性水平，用于判断自变量的显著性。
通常情况下，显著性水平选择为0.05。
2. 构建起始模型：将所有自变量都纳入模型中构建起始模型。
这意味着初始模型中的所有自变量都被视为对因变量的预测有一定影响。
通过这一步骤可以看到各个自变量的初步影响以及它们的统计显著性。
3. 逐步选择变量：逐步选择变量是多元逐步线性回归的核心步骤。
在这一步骤中，根据显著性水平，选择具有最显著影响的自变量，并将其添加到模型中。
然后，再次检验模型中变量的显著性，如果有自变量的显著性低于设定的水平，则将其删除。
4. 回归系数的检验：在每一步骤中添加或删除自变量后，需要对模型中的回归系数进行检验。
通常，使用t检验或F检验来检验回归系数是否显著不等于0。
如果一个回归系数的p值小于设定的显著性水平，则说明对应的自变量在模型中具有显著影响。
5. 模型的评价：在逐步选择变量的过程中，需要对每一步所建立的模型进行评价。
常见的评价指标包括调整决定系数和残差分析。
调整决定系数表示自变量解释因变量的比例，而残差分析可以用来检验模型中的误差是否满足正态分布和同方差性等假设。
6. 终止条件：逐步选择变量的过程中，需要设定终止条件。
通常情况下，可以选择两种终止条件：一种是自变量的显著性均大于设定的显著性水平，此时不再继续添加新的自变量；另一种是当所有自变量都已纳入模型中，并且再添加新的自变量不能显著提高模型的解释能力时，终止逐步选择的过程。
多元回归分析的步骤.doc
三、研究方法本文采取多元线性回归的方法来设定并建立模型，再利用逐步回归来对变量予以确认和剔除。
逐步回归是通过筛选，挑选偏回归平方和贡献最大的因子建立回归方程，在决定是否引入一个新的因素时，回归方程要用方差比进行显著性检验。
如果判别该影响因子通过显著性检验，那么可选入方程中，否则就不应该进入到回归方程，回归方程中剔除一个变量的标准也是用方差比进行显著性检验剔除偏回归平方和贡献最小的变量，无论是入选回归方程还是从回归方程中剔除符合条件的选入项和剔除项为止，逐步回归的方法剔除了对因变量影响小的因素减小了分析问题的难度，提高了计算效率和回归方程的稳定性有较好的预测精度。
运用多元线性回归预测的基本思路是在确定因变量和多个自变量以及它们之间的关系后，通过设定自变量参数的回归方程对因变量进行预测。
具体如下:式中: Y 表示为粮食总产量，C和a为回归系数，C、a 是待定参数，X为所选取的影响因素.多元线性回归方法可分为强行进入法、消去法、向前选择法、向后剔除法和逐步进入法等，本文运用SPSS22.0 软件，对选择的自变量全部进入回归模型，即强行进入法进行预测。
该模型的优点是方法简单、预测速度快、外推性好等。
四、分析与结果本文选取6个解释变量，研究河南省粮食产量y，解释变量为:X1粮食播种面积，X2农业从业人，X3农用机械总动力，X4农田有效灌溉面积，X5化肥施用折纯量，X6农村用电量。
以河南省粮食产量为因变量，以如上6个解释变量为自变量做多元线性回归（数据选取2014年《河南统计年鉴》，见附录一）。
用SPSS做变量的相关分析，从相关矩阵（表4-1）中可以看出y与自变量的相关系数大多都在0.9以上，说明所选择变量与y高度线性相关，用y与自变量做多元线性回归是合适的。
用SPSS 做变量系数分析（表4-2）表4-2 系数B标准错误BetaT 显著性 （常数） -6733.268 3146.969 -2.140.041 X1 8.315 2.765 .262 3.007 .006 X2 .155 .296 .121 .524 .604 X3 -.199 .105 -.607 -1.901 .068 X4 2.619 2.687 .169 .974.338 X5 5.770 2.492 1.047 2.315 .028 X61.0865.174.089.210.835从（表4-2）中可以得到解释变量与因变量之间的方程为：从（表4-3）中发现F=165.292，说明6个自变量整体对因变量y 产生显著线性影响。
多元回归及逐步回归分析
程。设引入变量为x1。 此时，由于引入新变量，方程中原有变量xj的p值发生改变
2、衡量回归方程的标准
1、剩余标准差
建立多元回归方程，其精确性由剩余标准 差来表达。
S = Y.1,2…,L Q /(N − L −1)
2、决定系数
3、校正复相关系数：与用剩余标准差筛选
Ra2d出j =的1方−程n常−n是−p1一−1致(1的−。R2
)
=
1
−
MSr MST
4、AIC--反应了回归方程的拟和精度，其 值越小越好
参数检验βi=0均无统计意义。
/ 回归系数估计值与专业背景不符 / 由专业知识可知某因素与因变量有明显的相
关关系，但作回归时的回归系数检验结果 P>α。
/在模型中增加一个变量或减少一个变量，引
起回归系数估计值有较大的变化。
应检查数据是否正确 样本的代表性 检查变量定义等问题 强影响点 要考虑自变量之间是否高度的线性相 关性或某个自变量可用其他自变量线 性表示。即：多重共线性问题
义。
H0：βj=0, H1：βj≠0,
x
的偏回归平方和
j
:
SSR(x j | x1, x j−1, x j+1 xp )
= SSR(x1, , xp ) − SSR(x1, x j−1, x j+1 xp )
Fj
=
SSR(x j | x1, SSE ( x1 ,
回归分析多元逐步回归
多元回归模型首先将实际问题所提取的全部变量引 入方程，然后再根据变量的显著性检验把方程中不重 要的变量逐一剔除，建立新方程。
缺点：（1）首先在实际问题中，要提取合 适的变量来建立回归方程本身不是一件很容易 的事情，变量间可能存在高度的相互依赖性会 给回归系数的估计带来不合理的解释；
有更大的回归平方和。
§2.5.1 逐步回归算法的形成思路
如此继续下去，假设已经进行到 l 1 步，那第 l 步
是在未选的变量中选出这样一个变量，它与已选入回 归方程的变量组成 元回归方程，比其他余下的任何
一个变量组成的l 元回归方程，有更大的回归平方和。
逐步回归不仅考虑到按贡献大小逐一挑选重要变量， 而且还考虑到较早选入回归方程的某些变量，有可能 随着其后一些变量的选入而失去原有的重要性，这样 的变量也应当及时从回归方程中剔除，使回归方程中 始终只保留重要的变量。
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
（2）其次变量的一次性引入方程，易导致计 算量增大，运算效率降低，精度不够等问题。
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
为了得到一个稳健的、可靠的回归模 型，这就需要给出一种方法，使得能从 影响 y 的因素中自动根据某种准则将y 对
逐步多元回归分析步骤
逐步多元回归分析步骤逐步多元回归分析是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与因变量之间的关系。
它通过逐步引入自变量，以逐步提高回归模型的准确性和预测能力。
本文将介绍逐步多元回归分析的步骤，包括问题定义、变量选择、模型拟合和模型评估等。
步骤一：问题定义在进行逐步多元回归分析之前，首先需要明确研究的目的和问题。
这包括确定因变量和自变量，并明确要解决的研究问题。
例如，我们可以研究一些产品的销量与价格、广告投入和市场规模之间的关系，以确定哪些因素对销量影响最大。
步骤二：变量选择变量选择是逐步多元回归分析中最关键的一步。
在这一步中，我们需要选择适当的自变量，并逐步引入到回归模型中。
通常，可以使用相关系数矩阵和散点图等方法来评估自变量与因变量之间的关系。
选择自变量时，应尽量选择与因变量显著相关的变量，并避免选择高度相关的自变量（即多重共线性）。
步骤三：模型拟合在确定自变量后，我们需要建立逐步多元回归模型。
一种常用的方法是逐步回归法，它分为前向选择和后向剔除两种方法。
前向选择从空模型开始，依次引入自变量，每次只引入一个自变量，并根据F检验或t检验判断是否显著，直到所有自变量都引入到模型中。
反之，后向剔除从包含所有自变量的模型开始，逐步剔除不显著的自变量，直到所有的自变量都被剔除。
步骤四：模型评估在模型拟合之后，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测能力。
通常，可以使用拟合优度指标（如R方和调整的R方）来评估模型的拟合程度。
此外，还可以使用共线性统计量来检测模型中是否存在多重共线性问题。
如果模型存在多重共线性，应采取相应的措施，如去除高度相关的自变量或使用主成分分析等。
步骤五：模型解释和应用最后，在模型评估之后，我们可以对模型进行解释，并根据模型的结果进行相应的应用。
在解释模型时，应关注各个自变量的回归系数和显著性水平，以确定自变量对因变量的影响。
在应用模型时，可以使用模型进行预测、推断和决策等。
多元线性回归的计算方法
多元线性回归的计算方法 摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。
例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。
这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。
前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。
这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下：Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。
多元线性回归模型的建立多元线性回归模型的一般形式为Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数（regression coefficient)。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXkiβj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
回归分析(4)多元逐步回归程序
4 6 10 18 13 10 15 16 27 36 46 47 48 60 96 191 186 195
309 400 454 520 516 459 531 558 607 541 597 558 619 618 742 805 859 855
打开数据文件dd2data.mat，将因变量数据录入一 解 打开数据文件 ， 维数据矩阵Y1× 中 将自变量数据录入m× 维数据 维数据矩阵 ×n中，将自变量数据录入 ×n维数据 矩阵Xm×n中。执行程序如下： 矩阵 × 中 执行程序如下： >>load dd2data >> stepwise（X,Y） 计算机运行结果如下（见图2.1至图 至图2.3）： 计算机运行结果如下（见图 至图 ）：
图 2.1
图 2.2
图 2.3
说明： ． 说明：1．图2.1中包含各变量的回归系数 中包含各变量的回归系数 置信区间（ （Parameter）及其 ）及其95%置信区间（[lower， 置信区间 upper]），另外还有均方差（REMS），回归 ），另外还有均方差 ），回归 ），另外还有均方差（ ）， 系数平方（ ），F值 系数平方（R–square）， 值（F）和显著性概 ）， ） 率值（ ）。 率值（p）。 2．图2.2中为回归模型的均方差示意图，用黄 中为回归模型的均方差示意图， ． 中为回归模型的均方差示意图 色填充的小圆圈表示对应模型的均方差。 色填充的小圆圈表示对应模型的均方差。
3．图2.3 中用误差条图表示各变量的系数值。 ． 中用误差条图表示各变量的系数值。 图中的填充圆圈表示对应变量的系数值， 图中的填充圆圈表示对应变量的系数值，用两 侧延伸的点虚线表示对应系数值的置信区间。 侧延伸的点虚线表示对应系数值的置信区间。 通过单击图中的圆圈或点线， 通过单击图中的圆圈或点线，可以转换对应变 量的引入或剔除状态。利用“ 量的引入或剔除状态。利用“Export”下拉式 下拉式 列表框，可以确定有关信息的输出， 列表框，可以确定有关信息的输出，包括回归 系数（这时用beta表示）、回归系数的置信区 表示）、 系数（这时用 表示）、回归系数的置信区 ），引入变量 ）、剔除变量 间（betaci），引入变量（in）、剔除变量 ），引入变量（ ）、 （out）。 ）。
多元回归逐步回归
1.进行多元回归的原因2.多元线性回归的基本内容3.多元回归对数据的要求4.数据符合线性回归模型的4个基本假定5.多元回归方程的形式6.多元回归的原理7.几个系数的概念8.多元回归模型的检验9.最优回归方程的选择10.为什么要进行逐步回归11.逐步回归的最佳预测模型12.逐步回归的要求13.逐步筛选变量的方法14.逐步回归的主要用途15. 多元线性回归的应用注意事项及应用条件1.进行多元回归的原因:应用多元线性或者逐步回归可以去除多种干扰因素2.多元线性回归的基本内容:A. 研究的是多因素对事物的影响B. 研究的是线性关系3.多元回归对数据的要求:A. 样本例数为研究因素个数的5-10倍5B. 不能有缺顶C. 半定量, 定性的指标应该赋值量化4.数据符合线性回归模型的4个基本假定:A. 线性关系: X与Y呈线性关系B. 独立性: n个样本之间相互独立C. 正态: X取不同的值时, Y的残差服从正态分布D. 方差齐如果满足假定, 那么就可以用最小二乘法做线性回归5.多元回归方程的形式:Y= b0+b1X1+b2X2+…+bkXkb 0为常数项, b1…bk为偏回归系数, 即在其他变量固定的条件下, Xi改变一个单位时应变量Y的改变量, 即回归系数6.多元回归的原理:用最小二乘法求出能使各个估计值y^与实测值y的误差平方和Q=∑(y-y^)^2 为最小的一套回归系数( b1到bk)7.几个系数的概念:A. 决定系数R^2=1-(SS残差/SS总) R^2越接近1, 模型越好B. 复相关系数R: 它的意义在于表示多个X间的总相关程度.8.多元回归模型的检验:A. 检验Xi到Xk是否与y有关系F检验B. 检验单个偏回归系数, 可以分别看每个X对y的影响是否显著C. 标准化偏回归系数Beta的大小来说明个各个变量的重要性. 当偏回归系数统计学有意义时, 标准偏回归系数的绝对值越大, 其x对y的作用越大9.最优回归方程的选择:A. 残差标准差最小B. 校正系数Radj2最大的方程10.为什么要进行逐步回归?多重线性回归建立的回归方程包含了所有的自变量;但在实际问题中，参加回归方程的P个自变量中，有些自变量单独看对应变量Y有作用, 但P个自变量又可能是相互影响的;在作回归时，它们对应变量所起的作用有可能被其他自变量代替，而使得这些自变量在回归方程中变得无足轻重;这时把它们留在回归方程中，不但增加计算上的麻烦，而且不能保证有好的回归效果;为了克服这些缺点，提出了多元逐步回归。
回归分析(3)多元逐步回归
此时该方程的总离差平方和可表示为
S总 S回 S剩 U ( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl ) （2.16）
现在已有的 l 个自变量中剔除一个自变量，不妨 剔除xi , i 1,2,, l ，于是可得剔除自变量 xi 后的 回归方程，记为
yˆ b0 b1 x1 bi1 xi1 bi1 xi1 blxl （2.17）
（2.14）
§2.5.2 引入自变量的依据
现在在已有的 l个自变量所组成的回归方程中再 引入一个自变量，不妨记为 xi (i l 1, l 2,, m)，于 是引入了一个自变量 xi 的回归方程可表示为
S总 U ( x1, x2 ,, xl , xi ) Q( x1, x2 ,, xl xi ) （2.15） 现在用式（2.15）减去式（2.14），并注意到 式（2.14）与式（2.15）总离差平方和不变， 可得
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
U( x1, x2 ,, xl , xi ) U( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl ) Q( x1, x2 ,, xl , xi )
令
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) U ( x1 , x2 ,, xl , xi ) U ( x1 , x2 ,, xl )
多元线性回归与逐步回归的比较与选择
多元线性回归与逐步回归的比较与选择多元线性回归（Multiple Linear Regression）和逐步回归（Stepwise Regression）是统计学中常用的预测模型选择方法。
本文将比较这两种方法的优缺点，以及在不同场景中的选择建议。
一、多元线性回归介绍多元线性回归是一种基于多个自变量和一个因变量之间线性关系的预测模型。
它通过拟合一个线性方程来建立自变量与因变量的关系，其中自变量可能是连续的或者是分类的。
多元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示随机误差项。
多元线性回归通过最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合直线。
二、逐步回归介绍逐步回归是一种逐渐加入和剔除自变量的方法，用于选择最佳的自变量组合。
逐步回归的基本思想是从空模型开始，逐个加入自变量，并根据一定的准则判断是否保留该变量。
逐步回归可以分为前向逐步回归（Forward Stepwise Regression）和后向逐步回归（Backward Stepwise Regression）两种。
前向逐步回归是从空模型开始，逐个加入对因变量贡献最大的自变量，直到不能继续加入为止。
而后向逐步回归则是从包含所有自变量的模型开始，逐个剔除对因变量贡献最小的自变量，直到不能继续剔除为止。
逐步回归的优点在于可以避免多重共线性和过度拟合的问题，仅选择与因变量相关性较强的自变量，提高模型的预测准确性。
三、多元线性回归与逐步回归的比较在实际应用中，多元线性回归和逐步回归各有优缺点，下面将从几个方面进行比较。
1. 模型解释性多元线性回归能够给出所有自变量的系数估计值，从而提供对因变量的解释。
而逐步回归仅提供了部分自变量的系数估计值，可能导致模型的解释性不足。
2. 处理变量的方法多元线性回归通常要求自变量具有线性关系，并且需要对自变量进行一定的前处理，如标准化、变量变换等。
多元逐步回归结果解读
多元逐步回归结果解读
多元逐步回归分析是一种有效预测变量与非变量之间关系的统计方法，它能够把多个变量汇集起来，并产生可靠的结果。
这种方法被用来分析不同解释变量如何影响被解释变量的变化情况，从而找出各变量之间的联系和影响，以及它们如何影响因变量的变化。
多元逐步回归的结果，主要告诉我们的是，不同的解释变量之间的关系对因变量的变化有
多大的影响，以及每个解释变量背后的因果机制。
例如，假设通过多元逐步回归分析，一组解释变量（例如汽车实际油耗、车速、刹车踏板等）对被解释变量（汽车油耗）的影响，结果显示：汽车实际油耗和车速对油耗有负相关影响，刹车踏板则与油耗无明显相关。
这告诉我们汽车实际油耗和车速可能是影响汽车油耗的重要因素，而刹车踏板可能不是，这
就有助于改善我们的油耗相关计划。
多元逐步回归的结果也可以用来设计新的改善策略、预测未来的变化情况等，因为它可以
解释底层机制，了解变化趋势，并确定关键影响因素。
总而言之，多元逐步回归分析有助于我们更深入地分析不同解释变量之间的关系，从而找出其后果机制，以及它们如何影响因变量的变化，进而有效地制定可靠的改善策略和预测
未来变化趋势。
高考数学知识点精讲多元线性回归与逐步回归
高考数学知识点精讲多元线性回归与逐步回归高考数学知识点精讲：多元线性回归与逐步回归在高考数学中，统计学的知识占有重要的一席之地，其中多元线性回归与逐步回归更是常常出现在考题中。
对于这两个概念，理解它们的原理、应用以及相关的计算方法是十分关键的。
首先，我们来聊聊什么是多元线性回归。
简单来说，多元线性回归就是研究一个因变量与多个自变量之间线性关系的一种统计方法。
比如说，我们想要研究一个学生的高考成绩（因变量）与他平时的作业完成情况、课堂参与度、课后复习时间等多个因素（自变量）之间的关系，这时候就可以用到多元线性回归。
多元线性回归的数学模型可以表示为：Y ＝β₀＋β₁X₁＋β₂X₂＋… ＋βₚXₚ ＋ε 。
其中，Y 是因变量，X₁，X₂，…，Xₚ 是自变量，β₀是截距，β₁，β₂，…，βₚ 是回归系数，ε 是随机误差。
那怎么来确定这些回归系数呢？这就需要用到最小二乘法。
最小二乘法的基本思想就是要使得观测值与预测值之间的误差平方和达到最小。
通过一系列复杂的数学计算，我们可以得到回归系数的估计值。
接下来，我们再看看逐步回归。
逐步回归是一种在多元线性回归基础上发展起来的方法。
在实际问题中，并不是所有的自变量都对因变量有显著的影响。
逐步回归的目的就是从众多的自变量中筛选出对因变量有显著影响的自变量，建立一个“最优”的回归方程。
逐步回归的过程大致可以分为三步。
第一步是前进法，就是先将对因变量影响最大的自变量选入回归方程；第二步是后退法，就是将已经选入方程的自变量中，对因变量影响不显著的自变量剔除出去；第三步是双向筛选法，就是结合前进法和后退法，不断地选入和剔除自变量，直到得到最优的回归方程。
在实际应用中，多元线性回归和逐步回归都有广泛的用途。
比如说，在经济领域，可以用来预测股票价格、分析市场需求等；在医学领域，可以用来研究疾病的危险因素、评估治疗效果等；在工程领域，可以用来优化生产过程、提高产品质量等。
为了更好地理解和应用多元线性回归与逐步回归，我们来通过一个具体的例子看看。
多元逐步回归算法
逐步回归分析的基本思想在实际问题中, 人们总是希望从对因变量y有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量y进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量y影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对y的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行F检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对y 影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。
在供选择的m个自变量中，依各自变量对因变量作用的大小，即偏回归平方和（partial regression sum of squares）的大小，由大到小把自变量依次逐个引入。
程序二：多元线性回归及逐步回归
############################################################# 数据建模：多元线性回归分析建模##############################################################rm(list=ls(all=TRUE)) #删除R软件运行时保存在内存中的所有对象setwd('d:/qsardata') #设置当前工作目录，程序运行所有文件都将在D盘qsardata文件中，初始数据文件也需要放置在该文件夹中。
getwd() #查看当前工作目录##########################################################train.data<-read.csv(file=file.choose(),header=T) #读取训练集数据test.data<-read.csv(file=file.choose(),header=T) #读取测试集数据##########################################################traindata<-train.data[,-1] #将训练集数据的自变量与因变量提取到文件traindata中dim(traindata);colnames(traindata)trainactivity<-traindata$activitytestdata<-test.data[,-1] #将测试数据的自变量与因变量提取到文件testdata中testactivity<-testdata$activitydim(testdata);colnames(testdata)##########################################################mlr.lm<-lm(activity~.,data=traindata) #构建多元线性回归模型summary(mlr.lm) #查看模型结果anova(mlr.lm) #模型的方差分析结果jpeg(filename="多元线性回归诊断图.jpeg",units = "px", width=800, height=600,restoreConsole = TRUE,quality = 75) #输出图形命令opar<-par(mfrow = c(2, 2))plot(mlr.lm) #为图形设置参数，多元线性回归模型图形化诊断opar<-par()dev.off() #关闭图形输出###########################################################回归诊断方法#给定回归模型后，计算回归模型的普通残差、标准化残差、外学生化残差、帽子矩陈对角线上的元素，DFFITS统计量、Cook距离和COVRA TIO统计量，并根据各种指标的特征，对可能是强影响的样本给予标记，便于对这些点进行分析研究Reg_Diag<-function(fm){n<-nrow(fm$model); df<-fm$df.residualp<-n-df-1; s<-rep(" ", n);res<-residuals(fm); s1<-s; s1[abs(res)==max(abs(res))]<-"*"sta<-rstandard(fm); s2<-s; s2[abs(sta)>2]<-"*"stu<-rstudent(fm); s3<-s; s3[abs(sta)>2]<-"*"h<-hatvalues(fm); s4<-s; s4[h>2*(p+1)/n]<-"*"d<-dffits(fm); s5<-s; s5[abs(d)>2*sqrt((p+1)/n)]<-"*"c<-cooks.distance(fm); s6<-s; s6[c==max(c)]<-"*"co<-covratio(fm); abs_co<-abs(co-1)s7<-s; s7[abs_co==max(abs_co)]<-"*"data.frame(residual=res, s1, standard=sta, s2,student=stu, s3, hat_matrix=h, s4,DFFITS=d, s5,cooks_distance=c, s6,COVRATIO=co, s7)}Reg_Diag(mlr.lm) #调用上面回归诊断程序，进行回归诊断##########################################################mlr.lm.update=lm(activity~.,data=traindata, subset=c(-11,-7))Reg_Diag(mlr.lm.update)opar<-par(mfrow = c(2, 2))plot(mlr.lm.update) #为图形设置参数，多元线性回归模型图形化诊断opar<-par()summary(mlr.lm.update)activity.fit=predict(mlr.lm, data=traindata) #计算训练集预测值activity.res=resid(mlr.lm,data=traindata) #计算训练集预测残差plot(activity.res~activity.fit) #95%的样本点应该在[-2,2]区间之内，且不应该有任何趋势，说明回归模型较为可靠，否则可判断回归模型出现问题jpeg(filename="多元线性回归模型训练集预测值与实验值.jpeg",units = "px", width=800,height=600,restoreConsole = TRUE,quality = 75) #输出图形命令plot(trainactivity~activity.fit,maid='多元线性回归模型训练集预测值',maid = "训练集预测值",ylab='实验值',col="red",type = "p")abline(lm(trainactivity~activity.fit),col="blue")dev.off() #关闭图形输出traindata.r<-cor(trainactivity,activity.fit);traindata.r;traindata.r^2 #训练集预测值与实验值的相关系数testResid<-resid(mlr.lm,data=traindata) #计算预测残差traindata.result<-cbind(trainactivity, activity.fit,testResid)dim(traindata.result)write.table(traindata.result, file='多元线性回归分析模型训练集预测结果.csv', sep=',', s = TRUE, s =FALSE)#多元线性回归分析模型训练集预测结果test.Predict<-predict(mlr.lm, testdata) #计算测试集预测值testResid<-testactivity-test.Predict #计算测试集预测残差testdata.result<-cbind(testactivity, test.Predict,testResid)dim(testdata.result)write.table(testdata.result, file='1-多元线性回归分析模型测试集预测结果.csv', sep=',', s = TRUE, s =FALSE)#多元线性回归分析模型测试集预测结果jpeg(filename="多元线性回归模型测试集预测值与实验值.jpeg",units = "px", width=800,height=600,restoreConsole = TRUE,quality = 75) #输出图形命令plot(testactivity~test.Predict,col = "red", type = "p", main = "多元线性回归模型测试集预测值", xlab = "测试集预测值", ylab = "实验值")abline(lm(testactivity~test.Predict),col="blue")dev.off() #关闭图形输出#############################################################逐步回归分析##########################################################step.lm<-step(lm(activity~.,data=traindata)) #构建逐步回归模型summary(step.lm) #逐步回归分析，根据信息统计量AIC大小决定最终回归模型，以AIC越小越好opar<-par(mfrow = c(2, 2))plot(step.lm) #逐步回归模型图形化诊断opar<-par()train.step.predict<-predict(step.lm, traindata,interval="predict",level=0.95) #计算逐步回归分析模型对activity的预则值及其95%的可信区间trainactivity.step.predict<-cbind(trainactivity, train.step.predict);trainactivity.step.predict #将activity 和预测值及预测值95%置信区间合并到一个数据集中train.step.predict.fit<-predict(step.lm, traindata)jpeg(filename="逐步回归模型训练集预测值与实验值.jpeg",units = "px", width=800,height=600,restoreConsole = TRUE, quality = 75) #输出图形命令plot(trainactivity~train.step.predict.fit,col = "blue", type = "p", main = "逐步回归模型测试集预测值", xlab = "训练集预测值", ylab = "实验值")abline(lm(trainactivity~train.step.predict.fit),col="green")dev.off() #关闭图形输出test.step.predict<-predict(step.lm, testdata,interval="predict",level=0.95)test.step.predict.fit<-predict(step.lm, testdata)step.predict.resd<-testactivity-test.step.predict.fit;step.predict.resdtestactivity.step.predict<-cbind(testactivity, test.step.predict,step.predict.resd);testactivity.step.predict #将activity和预测值合并到一个数据集中write.table(testactivity.step.predict, file='逐步回归分析模型测试集预测结果.csv', sep=',',s = TRUE, s =FALSE) #逐步回归分析模型测试集预测结果。
多元逐步回归
多元回归分析逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y与自变量x之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls ），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y：历年病情指数x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株) x2：前年冬季极端气温x3：5月份最高气温x4：5月份最低气温x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x11：5月份均温x12：5月份降水量x13：6月份均温x14：6月份降水量x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
多元线性回归与多元逐步回归
第二十三页，共36页。
2.多元逐步回归的基本原理
每一步只引入或剔除一个自变量。自变量是否被引入或剔除则取决于其偏回归平方 和的F检验或校正决定系数。
如方程中已引入了(m-1)个自变量，在此基础上考虑再引入变量Xj 。记
引入Xj 后方程（即含m个自变量）的回归平方和为SS回归，残差为SS残差；之前 含(m-1)个自变量（不包含Xj ）方程的回归平方和为SS回归(-j) ，则Xj 的偏回
R | r |
R SS回归 1SS残差
SS总
SS总
第二十页，共36页。
2．决定系数(coefficient of determination）
复相关系数的平方又称决定系数，记为 R，2 用以反映线 性回归方程能在多大程度上解释应变量Y的变异性。
RR2 2 SS回归1SS残差
SS总
SS总
回归方程的拟合程度越好，残差平方和就越小，决定系数R 2越接近1 ，
（multiple linear regression ）
第四页，共36页。
多元线性回归的数据格式
表 11-1 多元线性回归原始观察数据
例号 i
X1
X2
……
Xk
Y
1
X11
X21
……
Xk1
Y1
2
X12
X22
……
Xk2
Y2
3
X13
逐步多元回归分析步骤
逐步多元回归分析步骤(总6页)
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第一步：导入数据
文件——打开——数据——选择自己村子的数据——打开——确定
第二步：多元逐步回归分析
1分析——回归——线性
2将研究的的变量转到右边：因变量只能有一个，自变量可以有多个
3选择逐步进入（特别重要）
点击“进入”右侧的三角，选择“逐步”
4设置参数(参数的设置原因可以上网查找)
A统计量：勾选共线性诊断、Durbin-Watson(U)等
B绘制（根据需要）
ZPRED代表“标准化预测值” ZPRSID代表“标准化残差值”勾选直方图和正态概率图
C其他参数一般不用更改，默认就可以5点击确定，就会输出结果
第三步：输出结果分析
输入结果如下（只是一部分）
若出现下图，则代表自变量和因变量不相关
相反就是有相关性。
例如下图，说明自变量2（问卷中的是否愿意搬迁）和家庭组成、生活时间显著相关。
备注：我只是会个皮毛，如果大家有疑问的话可以百度或者观看一些相关视频。
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多元线性回归题解：10样本容量n=32X10X9X8X7X6X5X4X3回归系数:0.0271-0.0027-0.020600.0516-0.0370.46450.0104 S i0.01780.00180.027400.02940.02810.02880.0093 R2S E0.99530.4455#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A F值f521.0422#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A U Q L930.9 4.3672#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A α0.010.050.1回归方程检验临界值 1.13570.97230.89253t 检验临界值 2.8188 2.0739 1.71714变量的t 统计量绝对值1.5233 1.51480.75252######1.7523 1.327116.127 1.1208变量的t 检验结论不显著不显著不显著######不显著不显著回归方程检验结论显著R0.9977D17:Z17最小│t│######建议剔除的变量#############DIV/0!##############################序号估计误差Y估计Y X1X2X3X4X5X610.6010.9003911.5137261914720.1419.66274719.81511403424153-0.5914.29327713.721829171814 4-0.0321.62508521.619121533202050.0022.29526422.327111327232260.6318.46899119.132102115211570.0111.68854311.7178181613108-0.3919.79315619.4261035232218 9-0.2810.87945810.6146141885 10-0.2225.72456225.52813213425 5.5 11-0.0418.73650918.7199132986 12-0.2719.56903819.3121019388.4 6.5 130.4915.10543915.623825178.87 14-0.2724.9651224.7281133329.27.5 150.1715.13003315.321918199.68 160.0129.79196129.835142434108.5 170.0510.15378910.2166191410.49 18-0.3320.12970719.82410322610.89.5 190.2425.0608125.32211393811.210 20-0.089.78422019.7107172011.610.5 21-0.3215.11617214.818834221211 220.4320.26740720.72911282112.411.5 23-0.4920.09408419.61811163212.812 240.5219.78153820.31610153413.212.5 25-0.1311.23346311.1187231413.613 26-0.5721.26967120.7231129291413.5 270.8528.05305128.92513414014.414 280.0718.22775518.3329121514.814.5 29-0.4321.93210221.53611371815.215 300.2217.47725817.7319251415.615.5 31-0.3628.65585428.3291314381616 320.3721.23354721.61810113516.416.5#N/A#N/A#N/A#N/A自变量个数m=#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A#N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/AX2X1b0-0.3430.5951-4.1406#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A 0.3850.0837 1.6757#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A0.89097.1069 2.47096不显著#############DIV/0!X7X8X9X1025169492.3 5.42251212.6 5.8441642.9 6.23611443.2 6.67291213.5710241003.87.4289644.17.86761004.48.2196364.78.678416959361815.39.41441005.69.8529645.910.27841216.210.6441816.51112251966.811.4256367.111.85761007.412.24841217.712.610049813324648.313.48411218.613.83241218.914.22561009.214.6324499.5155291219.815.462516910.115.810248110.416.2129612110.716.696181111784116911.317.4324100#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/A #N/A#N/A#N/A#N/A#N/A#N/AE2：=COUNTA(INDIRECT(H14))-1G2：=COUNT(A18:A288)C3：=IF(COLUMN()>m+2,"",INDEX(OFFSET($E$17,0,0,1,m),1,m+3-COLUM C4：=LINEST(Y,X,1,1)C10：=SQRT(FINV(C9,m,f)*m/(f+FINV(C9,m,f)))C11：=IF(ISBLANK(C9),"",TINV(C9,f))C12：= IF(LEN(C3)>0,ABS(C4/C5),"")C13：=IF(LEN(C3)>0,(IF(C12<$E$11,"不显著","")),"")C14：=IF(F14>C10,"高度显著",IF(F14>D10,"显著",IF(F14>E10,"尚可" F14：=SQRT(C6)C18：=TREND(Y,X)B18：=IF(ISBLANK(D18),"",D18-C18)A18：=IF(ISBLANK(D18),"",ROW()-ROW($A$17))C15：=MIN(OFFSET(C12,0,0,1,m))E16：=IF(LEN(E3)>0,IF(AND(E12=$C$15,E13="不显著"),E3,""),"")f=Sheet1!$D$7m=Sheet1!$E$2,0,1,m),1,m+3-COLUMN()))n=Sheet1!$G$2X=OFFSET(Sheet1!$D$18,0,1,n,m)Y=OFFSET(Sheet1!$D$18,0,0,n,1) ",IF(F14>E10,"尚可","不显著")))显著"),E3,""),"")。