解三角形中的取值范围问题.docx

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解三角形中的最值、范围问题

Җ㊀山东㊀冯海侠

㊀㊀在新高考形势下, 解三角形应该会出现在第１７

题或第１８题的位置,一般都属于中等或中等偏下难度的题目,是学生必拿分的题．高考对正弦

定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变㊁综合性强,有利于培养学生的创新意识．这类问题简单,但部分学生却拿不到满分,尤其是求最值或范围的问题．下面笔者以两道高考题为例来归纳这类问题的解答方法及技巧,希望能帮助读者突破瓶颈,提高学习效率．例１㊀(２０１９年全国卷Ⅲ理１

８)әA B C 的内角

A ,

B ,

C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a s i n

A ＋C

２

＝b s i n A ．

(１

)求B ;(２)若әA B C 为锐角三角形,且c ＝１,求әA B C 面积的取值范围．

(１)由a s i n A ＋C

２

＝b s i n A ,

可得s i n A s i n π－B ２

＝s i n B s i n A ,

即s i n A c o s B

２

＝s i n B s i n A ,因为s i n A ʂ０,

所以c o s B ２＝s i n B ＝２s i n B ２c o s B

２

．

又因为B ɪ(０,π),所以B ２ɪ(０,π２),则c o s B ２

０,所以s i n B ２＝１２,

则B ２＝π６,即B ＝π

３

．(２)由c ＝１,a s i n A ＝

c s i n C

,可得a ＝c s i n A s i n C ＝s i n A s i n C

．

所以

S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１２ˑ３２a ＝３

４

a ＝

３４s i n A s i n C ＝３４s i n (B ＋C )

解三角形——求取值范围问题

，AB=3，则△ABC 的周长为（ B． C．
D．）
，则△ABC 的周长为（ B． D．
4．在 ABC 中， a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边，若 a （ A．4 ） B． 3 3 C. 2 3 D．2
3， A
，则 b c 的最大值为 3
5．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 a 3 ，1 的最大值为___6____． 6．在锐角△ABC 中， a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 (1)确定角 C 的大小；(2)若 c＝ 3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知 a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，由 3a＝2csin A，得
所以 a+b= 因为锐角△ABC，C=60°，则 30°＜A＜90°，所以 a+b∈（2 ∴a+b 的取值范围为（2 ，4]．
=4sin（A+30°），4]
8.已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若 a2＝b2＋c2+bc，且 a＝2 3．（Ⅰ）若△ABC 的面积 S＝ 3，求 b＋c 的值；（Ⅱ）求 b＋c 的取值范围．【解析】（1）∵a2＝b2＋c2+bc，∴ cos A
解三角形求取值范围问题
类型 1：正弦定理+外接圆半径+三角函数 1.在 ABC 中，若 sin B A. (

解三角形中取值范围的求解策略例谈

技法点拨

摘

要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高

考真题来看题型难度中等。有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。

关键词：解三角形；取值范围；高考

解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。

解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。

一、运用函数思想方法求解取值范围

函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。

例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.

（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.

解：（1）B =π

（过程略）.

（2）由A +B +C =π得C =2π

-A ，由△ABC 是锐角三角

形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ì

íî

ïïïï0<A <π2

0<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.

由cos C =cos(

2π3-A )=-12cos A

+A ，得cos A +cos B +cos C

=A +12cos A +12

解三角形的范围与最值问题

三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。本文将从范围和最值两个方面进行探讨。

一、解三角形的范围问题

解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。

1. 正弦函数

正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

2. 余弦函数

余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

3. 正切函数

正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

4. 余切函数

余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。

二、解三角形的最值问题

解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值

和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。

1. 正弦函数和余弦函数的最值

正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。

三角函数解三角形中范围问题含答案

1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a

取值范围

2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C=

，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.

（1）确定角C 的大小；

（2）若c =

ABC ∆面积的最大值.

4.已知△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，且2(a 2+b 2－c 2

)=3ab ． (1)求cos C ；

(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值．

ABC A B C a b c ab b a c -+=2

（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -=

+⋅，求角B ；（Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos2)n A =，试求⋅的最大值.

6．ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（1）若C A B sin sin sin 2

=，试判断ABC ∆的形状；

（2）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式2

12222

C A A sin cos -的取值范围．

7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=∙，BAC θ∠=，

（2）求函数2

2()(

)2cos 4

f π

θθθ=++.

8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5

B =. （1）求角

C 的大小；

（2）若ABC △

9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足27

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题

命题预测

三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法

(1)ω取值与范围问题

(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题

ω取值与范围问题

1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T

k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π

⇒

b -a ≤T

a ≥k π-ϕω

b ≤

π+k π-ϕω

同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点

⇒b -a ≤T

k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T

2a >k π-ϕ

ωb <

π+k π-ϕω

2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点

⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π

⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω

(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω

同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点

⇒T

≤b -a <3T

k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T

高中数学专题-三角形取值范围问题-题型总结(解析版)2

三角形取值范围问题--归纳总结

关于解三角形问题和取值范围有很多题型，总结起来大致可以分为两类。第一种处理方法使用基本不等式求最值(往往结合余弦定理)，第二种处理方法转化为三角函数求值域(题目强调锐角三角形时用此法)。需要注意的是基本不等式注意取等条件，三角函数法需要注意角的精确范围(尤其是锐角三角形时角的范围)。

题型1.三角函数和差类型

方法：转换成三角函数求值域问题，注意角的范围。

【例1-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

知

cos A

1+sin A=

sin2B

1+cos2B.

（1）若C=2π

3，求B；

（2）求a2+b2

c2的最小值.

【解析】(1)由cosA

1+sinA=

sin2B

1+cos2B,得

cosA

1+sinA=

2sinBcosB

2cos2B

=sinB

cosB，

即cosAcosB=sinB+sinBsinA,即cos(A+B)=-cosC=sinB,∵C=2π3,所以sinB=12得，B=A=π6.

（2）由cos(A+B)=-cosC=sinB,得C=π2+B,A+2B=π2,由正弦定理得

a2+b2 c2=sin2A+sin2B

sin2C

=(2cos2B-1)2+1-cos2B

cos2B

=4cos4B-5cos2B+2

cos2B

4cos2B+2

cos2B

-5≥42-5,

当且仅当cosB=(12)14时的符号成立，故最小值为42-5.

【例1-2】(2022·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

c=3，且满足ab sin C

解三角形中的范围问题

解答
利用余弦定理，计算边 a的长度为$sqrt{26}$，然后利用正弦定理，求出高BC为$sqrt{10}$。
实例二：给定边长求角度和高
01
题目
分析
02
03
解答
在三角形ABC中，已知a=5， b=4，高BC=3，求角A的大小。
已知两边长度和高，可以通过余弦定理求出角度A。
利用余弦定理，计算出角A的大小为$60°$。
解决三角形范围问题在几何学中具有重要的意义，它不仅有助于理解三角形的属性和定理，还可以在实际生活中解决很多问题，如航海、航空、工程设计等领域都需要用到三角形范围问题的知识。
02
三角形中的角度范围
三角形内角和的性质
三角形内角和定理
任何三角形的三个内角之和等于180 度。
证明方法
通过作高线或平行线，将三角形分解为更小的三角形，然后利用已知的角的关系进行证明。
实例三：给定高求角度和边长
题目
在三角形ABC中，已知高BC=4，角 A=45°，a=6，求边b的长度。
分析
已知高、角度和一边长度，可以通过正弦定理求出另一边b的长度。
解答
利用正弦定理，计算出边b的长度为 $sqrt{10}$。
07
总结与展望
解三角形中的范围问题的关键点总结
三角形边长和角度的取值范围
高与边长的关系

专题24解三角形中的最值、范围问题[解析版]

专题24 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2

,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+网例如：（1）2

sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）

22sin sin sin bc B C

a A

2、余弦定理：2

2cos a b c bc A =+-

变式：()()2

21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的

解三角形求面积,周长最值.docx

《解三角形》求面积，周长取值范围题目

求面积取值范围：

模型①：知道一个角，和此角对边( 如知道角A和a，三角形无限制，用“均值不等式)

例 1：ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c，A， a 2 .则 ABC 面积最大值为 2 1

变式 1：已知a, b, c分别为ABC三个内角A, B, C的对边，A， a2,

且 (2 b)(sin A sin B) (c b) sin C ，则 ABC 面积最大值为3

变式2：已知a, b, c分别为ABC 三个内角A, B, C的对边， a2, 且(2b)(sin A sin B)( c b) sin C，则ABC面积最大值为3

模型②：知道一个角，和此角对边( 如知道角A和a，三角形为锐角三角形)

若 ABC 为锐角三角形，

A ，

，

求ABC 面积的取值范围

3，

．．．．．382变式：知道一个角，和此角对边( 如知道角A和a，三角形为锐角三角形)

若 ABC 为钝角三角形，

A ，

，

求 ABC 面积的取值范围

．．．．．3

模型③求周长：知道一个角，和此角对边 ( 如知道角 A 和 a )在锐角三角形中，C, c 2 3 ，求ABC 周长得取值范围

解三角形中的取值范围问题

题型1:求三角函数范围问题

例题1：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝

acosC ，则sinA ＋sinB 的最大值是

巩固练习1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA bsinA a =，且πB 2

>，则sinA+sinC 的最大值是 ______ ．

2．在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且444

2222a b c c a b

++=+,若C 为锐角,则

sin B A 的最大值为

题型2:求边长和差的范围问题

例题1：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.

巩固练习1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+.

(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.

2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C A C B +=.

（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.

3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足

cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. （1）求A ；（2

解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b

的取值范围是

例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是

例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。（2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。

例4：在ABC 中，2222

a b c ab +=+，若ABC 的外接圆半径为

，则ABC 的面积的最大值为

例5：（2008，江苏）满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值是

例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量

(1cos(),cos )2A B m A B -=-+，5(,cos )82A B n -=，且9

m n ⋅= （1）求tan tan A B ⋅的值。（2）求

222

sin ab C

a b c +-的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习

1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为

2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是

解三角形中的取值范围问题

1、已知a,b,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。（1）求角B 的大小；

（2）若ABC ∆b 的长度的取值范围。

解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。

又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2

B =，而0B π<<，所以3B π

（2）因为1

sin 2

ABC S ac B ∆=

= 所以4ac = 由余弦定理得2

2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2

4b ≥，所以2b ≥

2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +-=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围

【

答

案

】

解

:(1)

由

已

知

得

cos()cos cos cos 0

A B A B A B -++= 即有

sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B -=,又cos 0B ≠,所以tan B =, 又0B π<<,所以3

B π

(2)由余弦定理,有2

2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）

22sin sin sin bc B C

a A

= 2、余弦定理：2

2cos a b c bc A =+-

变式：()()2

21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的

解三角形取值范围常见题型

引言

解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的

边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。本文将介绍解三角形取值

范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围

的解题方法和技巧。

一、已知两边求角度

1.已知两边求角度范围

当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出

角度的范围。

例题1

已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？

解题思路：

根据余弦定理，我们有

$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$

代入已知数值，得到

$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$

化简后可得

$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$

观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$

解以上不等式，可得

$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$

由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有

$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$

因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-

74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-

1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。

突破解三角形中的取值范围问题

要破解变局，先需做好知识准备，在吟A BC中，设角
18 bc，即 18 bc= （b +c）2-4，由基本不等式 b+c 叟2
5
5
2
姨bc ，有［b+c ］叟bc，则（b+c）2-4= 18 bc燮 18 ［b+c ］2，
2
5
52
A ，B，C所对的边分别是a，b，c
1. 正弦定理： a = b = c =2R（R为吟A BC
它注重与平面几何、函数的值域以及基本不等式等相
3
关知识的交汇融合，重点考查了学生的综合应用能力. lmax=2+2姨10 ，当tanB=3时取到。
这类问题几何要素众多、代数关系多变，往往使学生在
方法二：由余弦定理得，4=b2+c2-2bccosA =（b +c）2-
几何与代数的互相转换过程中目标不明，常走弯路。我们该如何找准目标，破解变局呢？
450）燮1 ，故吟A BC面积的最大值姨 2 +1。
.com.cn. Al方l 法Ri二g：ht由s余R弦es定er理v得ed：.4=a2+c2- 姨 2 ac 叟（2-
.com.cn. All Rights siRneAsersivnBed.sinC
外接圆的半径）
解得b+c燮2 姨10 ，当且仅当b=c=姨10 时取到等号，所以吟A BC周长的最大值为 2+2姨10 。