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解三角形中的取值范围问题

1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边，且2b cosC 2a c 。（ 1）求角B的大小；

（ 2）若ABC的面积为 3 ，求b的长度的取值范围。

解析：（ 1）由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ，在ABC 中，

sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ，所以 sin C (2cos B1) 0 。

又因为 0 C, sin C0

1

，而 0B，所以B ，所以 cos B

123

（2）因为

S ABC3, 所以ac4

ac sin B

2

由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac，即 b2 4 ，所以 b 2

2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a,

b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 .

(1)求角 B的大小;（2）若 a+c=1,求 b 的取值范围

【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B.

1113

(2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2.

1,于是有1

1

224

又 0 a b21,即有b1.

42

3、已知，满足．

（I ）将表示为的函数，并求的最小正周期；

（II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．

4、已知向量ur

x

r

x 2 x

ur r ( 3 sin，，f (x)m n 44

4

(1)若 f ( x) 1 ，求 cos(x) 的值；

3

(2)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且满足 a cosC 1 c b ，求函数 f ( B) 的取值范围.

2

【解析】

解：（ 1） Q f x m n3sin x

cos

x

cos2

x

3sin

x

1cos

x

1sin x

6

1, 4442222222

而 f x

x

1

.

1, sin

6 2

2

cos x

cos2 x

6

1 2sin

2 x

6

1 .

3

2

2 2

（ 2）Q a cosC

1 c b, a

a 2

b 2

c 2

1

c 2

2

2

1

2 2ab

2b, 即 b c

a

bc, cos A.

2

又 Q A

0, ,

A 又 Q 0

B 2

,

B ,

f B

3

3 6 2

6

1, .

3

2

2

5、已知锐角中内角、 、的对边分别为、 、，，且 .

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围 .

解：（Ⅰ）因为 , 由余弦定理知所以 .

又因为 , 则由正弦定理得 :,

所以 , 所以 .

（Ⅱ）

由已知 , 则

因为 ,, 由于 ,

所以 , .

根据正弦函数图象 , 所以 .

6、在中，内角、 、的对边分别为、 、，

C , 且

b

sin 2C

。

b sin A sin 2C

3

2 a

uuur uuur uuur uuur

（ 1）判断的形状； （2）若 | BA BC | 2 ，求 BA BC 的取值范围。

答案：（ 1 ）

sin B

sin 2C

,

sin B sin 2C ,

B 2

C 或 B 2C ，若 B 2C ，因为

sin A sin B

sin A sin 2C

C , 2

B , B C

(舍) B 2C

,

A C ,

ABC 为等腰三角形。

3

3 2

uuur uuur a 2 2

4, 2 a

2

（ 2） | BA BC | 2,

c 2ac cosB cos B

2

，

a

而 cos B

cos 2C ,

1 cos B 1,

1 a 2

4 , uuur uuur 2

,1 ，

BA BC

2

3

3