二次根式的除法法则.
初中数学 如何对两个二次根式进行除法运算
初中数学如何对两个二次根式进行除法运算对于两个二次根式进行除法运算，我们可以按照以下步骤和规则来进行计算。
理解并掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决二次根式的除法问题。
步骤一：将两个二次根式写成标准形式首先，我们需要将两个二次根式写成标准形式，即确保根号下的数是最简形式且系数为整数。
如果有必要，我们可以进行化简或合并同类项。
步骤二：有理化分母在进行二次根式的除法运算时，如果分母是一个二次根式，我们需要有理化分母，即将分母中的二次根式去掉。
具体来说，如果分母是一个二次根式√(c)，其中c是一个非负实数，我们可以将分子和分母同时乘以√(c)来有理化分母。
步骤三：使用除法法则计算根号下的数根据除法法则，我们将两个二次根式进行除法运算时，可以将它们的根号下的数相除。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的除法为：√(a) / √(b) = √(a/b)。
步骤四：计算系数在进行根号下的数的除法计算后，我们需要计算系数的除法。
如果两个二次根式的系数都是整数，那么我们可以直接将它们的系数相除。
如果其中一个或两个二次根式的系数不是整数，我们需要将它们进行化简或分解，然后再进行系数的除法运算。
步骤五：合并结果在计算了根号下的数和系数后，我们将它们合并到一起，得到最终的结果。
如果根号下的数是一个完全平方数，我们可以将其提取出来，得到一个整数。
如果根号下的数不能被整除，我们将其保留在根号下，确保结果是最简形式。
让我们通过一些实际的例子来说明如何对两个二次根式进行除法运算：例子1：计算√(12) / √(3)。
首先，我们将根号下的数进行除法运算：√(12) / √(3) = √(12/3) = √(4) = 2。
因此，√(12) / √(3)等于2。
例子2：计算(3√(5)) / (√(15))。
首先，我们有理化分母，将分子和分母同时乘以√(15)：(3√(5)) / (√(15)) = (3√(5) * √(15)) / (√(15) * √(15)) = 3√(5*15) / 15 = 3√(75) / 15。
二次根式除法法则公式
二次根式除法法则公式
二次根式除法法则是指将两个二次根式相除的规则，其公式如下:
(a+√b)/(c+√d) = (a+√b)(c-√d) / (c+√d)(c-√d)
在这个公式中，a, b, c, d都是常数。
通过这个公式，我们可以将两个二次根式相除，得到一个常数除以一个二次根式的形式。
这个公式的正确性可以通过拆分根式来证明。
首先，将分子和分母分别拆开，然后通过乘法原理将它们约分，最后得到上述公式。
二次根式除法法则可以用来简化一些复杂的运算，在代数学、数论等领域中有着重要的应用。
二次根式除法法则在计算中可以使用这样一个策略: 先将分子和分母同时乘上(c-√d)，再用分子除以分母。
这样做可以将原式简化为常数除以一个二次根式的形式，这样更好处理。
这个公式的正确性可以通过拆分根式来证明。
首先，将分子和分母分别拆开，然后通过乘法原理将它们约分，最后得到上述公式。
这样做可以将原式简化为常数除以一个二次根式的形式，这样更好处理。
在实际应用中，二次根式除法法则可以用来解决一些
复杂的方程，在数学建模、统计学、物理学等领域中有着广泛的应用。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算二次根式是指具有形式$\sqrt{a} $的数。
其中，$a$为一个非负实数。
二次根式的乘除运算可以通过简化根式的形式来实现。
在本文中，我们将重点讨论二次根式的乘法和除法运算。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律来进行简化。
具体而言，当我们要计算两个二次根式相乘时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将两个二次根式的根号内的数相乘；Step 2：将两个二次根式的根号外的系数相乘；Step 3：将上述两个结果合并在一起，得到最终的乘积。
举个例子，让我们计算$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$。
Step 1：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$；Step 2：根号外的系数为1，可以省略；Step 3：最终结果为$\sqrt{6}$。
由此可见，$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$。
在进行乘法运算时，我们通过简化根号内的数来得到结果。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算通常需要利用有理化的方法，即通过乘以适当的有理化因子，将除数的分母中的根号消去，从而将除法转化为乘法。
具体而言，在计算两个二次根式相除时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将除数的分母有理化；Step 2：将除法转化为乘法，即将除号改为乘号；Step 3：按照乘法运算的方法进行简化。
让我们通过一个例子来说明如何计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
Step 1：有理化除数的分母。
我们将分母$\sqrt{2}$有理化为$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，即$2$。
Step 2：将除号改为乘号，得到$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$。
Step 3：进行乘法运算并简化。
二次根式和立方根式
二次根式和立方根式二次根式和立方根式是数学中常见的一类特殊运算符号，用于表示对一个数进行平方根和立方根运算。
在数学中，它们有着重要的应用和意义。
本文将详细介绍二次根式和立方根式的定义、性质和运算规则。
一、二次根式二次根式是对一个数进行平方根运算的表示形式。
对于一个非负实数a，它的平方根被记为√a，读作"根号a"。
根号a是一个非负实数b，满足b的平方等于a。
即b^2 = a。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
√16 = 4，因为4的平方等于16。
根号0 = 0，因为0的平方等于0。
根号2是一个无理数，因为不存在有理数的平方等于2。
二次根式具有以下性质和运算规则：1. 二次根式与指数运算的关系：√a = a^（1/2）。
例如，√4 = 4^(1/2) = 2。
2. 二次根式的运算法则：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
c) 二次根式的化简：对于任意非负实数a和b，若a > b，则√(a +b) ≠ √a + √b。
二、立方根式立方根式是对一个数进行立方根运算的表示形式。
对于一个实数a，它的立方根被记为³√a，读作"立方根a"。
³√a是一个实数b，满足b的立方等于a。
即b^3 = a。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
³√27 = 3，因为3的立方等于27。
³√(-1) = -1，因为-1的立方等于-1。
立方根式具有以下性质和运算规则：1. 立方根式与指数运算的关系：³√a = a^（1/3）。
例如，³√8 =8^(1/3) = 2。
2. 立方根式的运算法则：a) 立方根式的乘法：³√a * ³√b = ³√(a * b)。
二次根式的化简与运算规律归纳
二次根式的化简与运算规律归纳二次根式是指具有平方根符号的数学表达式，常见形式为√a。
在数学中，化简和运算是我们经常需要进行的操作，对于二次根式也不例外。
本文将就二次根式的化简和运算规律进行归纳，并给出相应的例子加以说明。
一、二次根式的化简规律1. 同底数的二次根式可以进行简化。
当两个二次根式的底数相同时，可将它们合并为一个二次根式，并将系数相加。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的乘积与商可以进行简化。
当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘。
例如：√3 × √5 = √15当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √33. 二次根式的分子和分母可以进行有理化。
对于分子或分母含有二次根式的分式，可以通过乘以一个适当的二次根式，使分子或分母的二次根式被消去。
例如：(4√2)/(√3) = (4√2) × (√3)/(√3) = 4√6/3二、二次根式的运算规律1. 二次根式的加减法规律当两个二次根式的底数和指数都相同时，可直接对其系数进行加减运算。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2当两个二次根式的底数相同但指数不同时，不能直接进行运算，需要将它们化为相同指数的形式后再进行计算。
例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√22. 二次根式的乘法规律当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘，指数保持不变。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法规律当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除，指数保持不变。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的实际应用二次根式在实际生活和学习中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，二次根式被用于计算圆的周长和面积，以及三角形的斜边长度等。
此外，在物理学和工程学中，二次根式也常用于计算物体的速度、加速度、电流等。
二次根式的化简和运算
二次根式的化简和运算二次根式是数学中的一种特殊表示形式，可以表示一个数的平方根。
在代数运算中，我们常常需要对二次根式进行化简和运算，以便更方便地进行数学推导和计算。
本文将介绍二次根式的化简和运算方法，并提供相关的例题解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次根式的化简方法当我们遇到具有平方根的表达式时，有时候我们会希望将其化简为更简洁的形式。
下面介绍几种常见的二次根式化简方法。
1. 因式分解法当二次根式中的被开方数可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解法来化简。
例如，对于√12，我们可以将其写成√(4×3)，再利用平方根的乘法法则和化简原则，化简为2√3。
2. 合并同类项法当二次根式中含有相同的根号内部表达式时，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，对于√(11+4√7+7)，我们可以发现根号内部表达式11和7都是平方数，而4√7是平方根的形式。
根据合并同类项法则，我们可以将其化简为(√7+1)²，即7+2√7+1，结果为8+2√7。
3. 有理化的方法当二次根式中含有分母时，我们可以使用有理化方法进行化简。
有理化的基本思想是利用分子有理数与分母实数的乘法，将分母中的根号消去。
例如，对于1/√3，我们可以用√3/√3的形式乘以1，得到√3/3，即为化简的结果。
二、二次根式的运算法则除了化简，我们还需要学习二次根式的运算法则，以便进行数学计算和推导。
下面是几个常见的二次根式运算法则。
1. 加减法法则当二次根式满足相同根号内部表达式时，可以采用加减法法则进行运算。
例如，√2 + √2 = 2√2，√7 - √7 = 0。
2. 乘法法则二次根式的乘法法则为：√a × √b = √(a × b)。
例如，√3 × √5 = √15。
3. 除法法则二次根式的除法法则为：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
二次根式乘除知识点总结
16.2二次根式乘除知识点总
结(总1页)
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二次根式的乘除知识点总结及练习
知识清单
知识点一：二次根式的乘法法则
1、二次根式的乘法法则：即
两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
.
知识点二：积的算术平方根的性质
2、积的算术平方根的性质：
即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.。
知识点三：二次根式的除法法则
3、二次根式的除法法则：即两个
二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
知识点四：商的算术平方根的性质
4、商的算术平方根的性质：即商
的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.。
知识点五：最简二次根式
5、最简二次根式定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含（）；
(2)被开方数中不含能开得尽方的（）或（）。
.。
二次根式的乘法与除法法则
探究发 现
那么，两个二次根式相除又如何 计算呢？
a？ b
讨论发 现
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 4) 16 4
25 5
பைடு நூலகம்
25 5
4 4 99
16 16 25 25
归纳新 知
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
次根式一般要写成最简二次根式的形式。
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
把下列二次根式化成最简二次根式．
（1） 32 ；（2） 40 ；（3） 1.5 ；（4）
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
武威三中 严兴菊
知识回 顾
1.二次根式的定义 ：
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
式。
2.二次根式的性质：
（1）
2
a a (a 0)
（2） a2 a(a 0).
知识回 顾
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0) ab a b (a≥0,b≥0)
拓展提升
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2）＝ 4
（2）2 5 （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 （ a－1 ）＝ a－1
（4）3
2
3
＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
二次根式的除法
二次根式的除法
二次根式是数学中一个很重要的概念，其概念提出并用于解决一些复杂的数学问题。
在计算机和数学中，二次根式用于求解两个变量的关系，这在解决大型复杂系统中有着重要的应用。
二次根式的除法是一种在数学上将一个复杂的二次表达式拆分
成多个单独的部分的运算方法。
它是通过将二次根式中的各个变量加以分解，将它们化简成多个单独的因子，从而得到根式的运算结果的方法。
二次根式的除法的运算步骤如下：
1.将根式中的各个变量加以分解，化简成多个单独的因子；
2.将每个因子对应的常数除以另一个因子对应的常数；
3.计算出每个因子所对应的积，然后将它们相加获得运算结果；
4.将结果放入根式中，得到最终结果。
二次根式的除法是一种非常有用的数学运算方法，它可以帮助人们快速有效地求解二次表达式中各个变量的关系，对于解决一些大型复杂系统中的问题也有着良好的应用。
另外，它不仅可以用于求解二次根式，还可以用于求解一般的多项式表达式，具有非常广泛的应用。
综上所述，二次根式的除法是一种有效的数学运算方法，可以用于求解二次根式以及一般的多项式表达式，具有广泛的应用价值。
- 1 -。
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
二次根式除法。-概念解析以及定义
二次根式除法。
-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述二次根式是代数中的一个重要概念，它是指具有形如√a的形式的根式，其中a是一个实数且a≥0。
在数学中，二次根式广泛应用于各个领域，例如代数、几何和物理等。
二次根式除法是指对两个二次根式进行除法运算，其中被除数和除数都可以表示为√a的形式。
本篇文章将对二次根式除法进行详细介绍。
首先，我们将从二次根式的定义开始，了解二次根式的基本概念和性质。
然后，我们将探讨如何化简二次根式，以便更好地利用二次根式进行计算和推导。
最后，我们将重点讲解二次根式的除法运算，包括除法原则、运算规则和常见的除法技巧。
通过学习本文，读者将能够全面理解二次根式除法的基本概念和操作方法。
这将为读者在解决数学问题和应用问题时提供有力的工具和方法。
此外，掌握二次根式除法还可以帮助读者更好地理解和应用更高级的数学知识，例如复数和高级代数等。
在本篇文章的结论部分，我们将对所学内容进行总结，并探讨二次根式除法在实际问题中的应用。
同时，我们还将展望二次根式除法在未来的发展前景，以及可能的研究方向和拓展应用领域。
通过深入学习和理解二次根式除法，我们相信读者将能够更加灵活和熟练地运用这一知识，从而在数学领域取得更好的成绩并应用于实际问题的解决中。
让我们开始探索二次根式除法的奇妙世界吧！文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容安排进行介绍。
以下是对“文章结构”部分的内容进行编写的一种方式：【1.2 文章结构】本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将对二次根式的概念进行概述，介绍文章的结构和目的。
通过本部分的内容，读者将对文章的主题有一个初步的了解。
引言的目的是为了引起读者兴趣，使其对文章感到重要性和必要性。
正文部分是文章的主体，包含三个小节。
首先，我们将给出二次根式的定义，讲解二次根式是如何表示的以及其特点和性质。
其次，我们将介绍如何化简二次根式，包括提取公因式、合并同类项等方法。
二次根式的乘除混合运算
(4)观察下列各式： 1 1 2 1，2 1 3 1，3 1 4 1，
3
3
4
4
5
5
........请你将发现的规律用含 自然数n（n 1)的等式表示出来 __________
反思： 通过这节练习课的练习，学生能够很好的掌握二次根式 的乘除混合运算，并且能够对分母是多项式的进行分母 有理化.
复习：整式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的？ 整式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
例如：计算- 2a3b2 2 ab2Байду номын сангаас 4ab 5
问题：你知道二次根式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的吗？ 知识点1：二次根式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有 括号的先算括号里面的.
计算
n n 1
(2)利用上面提供的解法化 简：
1 1 1 .......... 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
选择题：精心选一选，你会很开心！
（1）设 2 a, 3 b,用含a,b的式子表示 0.54，下列表示正确的是（
）
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
(1) 45 3 1 3 5 52
(2) 4 18 2 8 1 54
3
3
(3) 2 b
ab5
6a b2
b ( 3 a2
a3b )
(4)2 ab ( 3 a2b 3 a ) 2
计算：
(1)3 3 1 3
(2) 3 6 2
(5)3 2 2 ( 1 15） 1 2
38
25
分母有理化的重要应用
二次根式的乘除
二次根式的乘除二次根式是数学中重要的概念之一，它是数学中的一类代数式子。
简单来说，二次根式就是一个数学式子，它在根号内含有一个二次式，即一个含有二次幂的多项式。
在计算二次根式的乘除时，需要使用一些基本的数学运算规则和方法，本文将对这些知识进行详细介绍。
首先，我们来了解一些基本概念。
在代数式中，如果一个式子中含有根号，则这个式子被称为根式。
而如果在根式中，根号下面的表达式是一个二次式，即一个多项式中含有二次幂，则这种类型的根式就被称为二次根式。
例如，$\sqrt{2x^2+5x-1}$就是一个二次根式。
接下来，我们来看二次根式的乘法规则。
假设有两个二次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，则它们的乘积可以表示为$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
例如，$\sqrt{2x^2+5x-1}\times\sqrt{3x^2-7x+2}=\sqrt{(2x^2+5x-1)\times(3x^2-7x+2)}$。
在进行二次根式的乘法时，需要注意以下两点：1. 如果两个二次根式的根号下面的表达式相同，则可以将它们合并为一个二次根式。
例如，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=\sqrt{a^2}=a$。
2. 如果两个二次根式的根号下面的表达式不同，则需要化简后再进行计算。
化简的方法如下：先将两个二次根式中的根号下面的式子相乘，然后再将根号下面的式子分解成两个因数的积，如$ab=(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2$，最后将这两个二次根式合并。
例如，计算$\sqrt{3x^2-7}\times\sqrt{2x^2+5x-1}$。
首先将两个根式中的根号下面的式子相乘，得到$(3x^2-7)\times(2x^2+5x-1)$。
再将这个式子拆分成两个因数的积，即$(3x^2-7)\times(2x^2+5x-1)=(3x^2)\times(2x^2)+(3x^2)\times(5x)-7\times(2x^2)-7\times(5x)+7=6x^4+8x^3-29x^2+7$。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
专题16 二次根式的乘除（含答案）
专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
二次根式的乘除公式
二次根式的乘除公式
二次根式是指其中包含有根号的代数式，如√2、√3、√5等。
在数
学中，二次根式乘除公式是指用于简化二次根式计算的公式，包括二次根
式的乘法公式和除法公式。
对于任意的非负实数a和b，有以下公式：
√(a) 某√(b) = √(ab)
例如，计算√2某√3，使用乘法公式可以得到：
√2某√3=√(2某3)=√6
在实际应用中，通常需要对二次根式进行简化，因此我们需要化简一
些形如√(2某2)的乘积。
化简乘积的方法是将其中的相同因子提取出来，例如：
√(2某2)=√2某√2=2
因此，我们可以使用乘法公式简化二次根式的乘积，也可以使用化简
乘积的方法将其化简。
对于任意的非零实数a和b，有以下公式：
√(a)÷√(b)=√(a÷b)
例如，计算√6÷√2，使用除法公式可以得到：
√6÷√2=√(6÷2)=√3
在实际应用中，我们也需要对二次根式进行简化。
因此，除了使用除
法公式外，我们还可以使用约分的方法将二次根式化简，例如：
√(6÷2)=√3
因此，二次根式的除法公式可以帮助我们简化二次根式的除法计算。
总结：
二次根式的乘法公式和除法公式，是数学中常用的公式之一、通过使用这些公式，我们可以简化二次根式的计算，使得计算过程更加简洁、高效。
在实际应用中，我们应当熟练掌握这些公式，并且能够根据实际情况进行转化和化简。
二次根式的除法
二次根式性质3：
如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有 ab a· b
化简：
1 4 16
练习
7 18
2 36 256
8 5 2 3 18
3 30000
9 45 48
4 132 122
10 ab 1 1
5 a2 (b c)2 (5 5 5 5
24
24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母 时应充分注意式子中所含字母的取值范围 （2）进行二次根式的乘除运算或化简， 最终结果定要尽可能化简
课堂练习
• 练习：P9第1、2、3、 4
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 24 8 22 2 2 2 33
2 20
4
活运用我们 学过的性质 和法则，简
3
a2
(a 2)
a
1
化、优化解 答过程。
2 a 1
2a 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
2 5 5 5 3 15
e总结总结二次根式化简的规律和注意事项
e总结总结二次根式化简的规律和注意事项二次根式是指含有平方根的代数表达式，它的化简是数学中常见的操作。
通过运用特定的规律和注意事项，我们可以简化二次根式的形式，使其更易于计算和理解。
本文将总结二次根式化简的规律和注意事项，并提供一些例子来说明。
1. 二次根式化简的规律1.1 同底下的加减法则：当二次根式的底数相同时，可以将系数相加或相减，然后保留相同的底数。
例如：√a + √b = √(a + b)√a - √b = √(a - b)1.2 同底下的乘法法则：当二次根式的底数相同时，可以将系数相乘，然后保留相同的底数。
例如：√a * √b = √(a * b)1.3 同底下的除法法则：当二次根式的底数相同时，可以将系数相除，然后保留相同的底数。
例如：√a / √b = √(a / b)1.4 去括号法则：当二次根式的内部含有括号时，可以按照分配律进行展开。
例如：√(a + b) = √a + √b√(a - b) = √a - √b2. 二次根式化简的注意事项2.1 最简形式：化简后的二次根式应尽可能简化为最简形式，即底数不含平方因子，且系数为整数。
例如：√4 = 2√9 = 32.2 有理化的方法：二次根式在分母中会影响计算和理解，因此我们常常使用有理化的方法。
有理化的方法包括有理数乘以有理数、有理数乘以无理数、有理数乘以根式的共轭和有理数乘以根式的倒数等。
例如：将分母为二次根式的分式有理化。
3. 例子3.1 例子1：化简√12 + √27首先根据同底下的加减法则，我们有：√12 + √27 = √(4 * 3) + √(9 * 3)然后，根据同底下的乘法法则，我们有：= 2√3 + 3√3最后，将系数相加得到最简形式：= 5√33.2 例子2：化简√18 - √8首先根据同底下的加减法则，我们有：√18 - √8 = √(9 * 2) - √(4 * 2)然后，根据同底下的乘法法则，我们有：= 3√2 - 2√2最后，将系数相减得到最简形式：= √2总结：通过运用二次根式化简的规律和注意事项，我们可以将复杂的二次根式化简为简单的形式，提高计算和理解的效率。
二次根式的运算与简化规则
二次根式的运算与简化规则二次根式是高中数学中的重要内容之一，它与代数、几何等学科密切相关。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握其运算与简化规则，以便更好地应用于解题和实际问题中。
首先，我们来了解一下二次根式的定义。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数称为被开方数。
我们常见的二次根式有平方根、立方根等。
在进行二次根式的运算时，我们需要掌握以下几个基本规则：1. 同底数的二次根式相加减：当两个二次根式的底数相同时，我们可以直接对它们的系数进行加减运算，而保持底数不变。
例如，√2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，我们可以将它们的底数相乘，并将系数相乘。
例如，√3 × √5 = √15。
3. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，我们可以将它们的底数相除，并将系数相除。
例如，√6 ÷ √2 = √3。
4. 二次根式的乘方：当一个二次根式进行乘方运算时，我们可以将其底数进行乘方，并将系数进行乘方。
例如，(2√2)² = 4 × (√2)² = 4 × 2 = 8。
了解了二次根式的运算规则后，我们还需要学会简化二次根式。
简化二次根式是指将一个二次根式化简成最简形式，即使被开方数不含有平方数因子。
简化二次根式有以下几个常用的规则：1. 提取公因数：当一个二次根式的被开方数可以分解为两个因子的乘积时，我们可以将其中一个因子提取出来，成为一个因子的二次根式。
例如，√12 = √(4 × 3) = 2√3。
2. 合并同类项：当一个二次根式中含有相同底数的项时，我们可以将它们合并为一个项，并将系数相加。
例如，3√2 + 2√2 = 5√2。
3. 化简平方数：当一个二次根式的被开方数是一个平方数时，我们可以直接将其化简为该平方数的值。
例如，√9 = 3。
通过掌握二次根式的运算与简化规则，我们可以更加灵活地应用于解题和实际问题中。
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例4： 计算1 24 ，2 3 1 32 1 1 5 1
3
2 18
26
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
a
a a 0,b 0
b
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 75 27
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
(7) 1 2 2 1 1 2 3 35
拓展思考
问题7 观察下列各式， 把 不是最简二次根式的化 成最简二次根式．
1 = 1 （ 2-1） =（ 2-1）= 2+1 （ 2+1）（ 2-1） 2-1
2-1 ；
1 3+
= 1 （ 3- 2） =（ 3- 2）= 2 （ 3+ 2）（ 3- 2） 3-2
把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）1 2
（2）
2
3 40
(3) 3b 2a
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要先对分母进行化简。
1.计算：
(1)
32 2
(2) 50 10
3 4 1 7
我们把被开方数不含分母且被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫 做最简二次根式.
（注：在二次根式的运算中，最后结果 中的二次根式一般要写成最简二次根式的形 式.）
例6：化简
1 3
5
2 3
2
3 8
27
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
3-
2；
同理可得
1 = 4- 3 ，… 4+ 3
拓展思考
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面 式子的值．
（1 + 1 + 1 + +
1
）（ 2002+1）
2+1 3+ 2 4+ 3
2002+ 2001
二次根式的除法
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
效果检测 2. 化简：
(1) 8 ____ 12 ____ 18 ____ 20 _____ 24 ____ 27 ____ 32 _____ 45 ____ 48 ____ 72 _____ 75 ____
5 10
（5）－34
2 7
(4 )2
11 5 1
2
6
____
(7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0, b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（5） 2a a＋b
（6） 2y2 4xy
1.归纳： 一般地，二次根式的除法法则是：
a a (a 0,b＞0). bb
（讨论：二次根式乘除法的类同点与不 同之处.）
1、等式
1、等式
m－3 ＝
mm－___
m－3成立的条件是 ____________。
。
二次根式的除法公式的应用：
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
应用概念
最简二次根式：
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
问题3 辨别下列二次根式是否是最简二次根式．
（1） 12
；（2）
1 3
； （3）
x2 y2
；（4）
x2+y2 .
(3) 0.3
(8) x3 6x2 9x
二、探究新知
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1）
４= ９
2 ____3___；
4= 2 9 ____3___；
（2）
16 = 4
16 = 4
25 ____5___； 25 ___5____；
（3）
36 = 6
36 = 6
49 ____7___； 49 ___7____．