爱信誉图书馆__直线的斜率_教学实录及反思

编者按：本刊第３期刊载了编辑部第九次“走进课堂”郭老师的课例，本期刊发“同课异构”第二位教师的授课实录及反思．此课为借班上课，授课教师来自陆慕高级中学．

陆慕高级中学创办于１９５６年，１９９９年被确认为江苏省重点中学，２００４年３月被省教育厅确认为省三星级高中，２００６年被评为江苏省四星级高中，２０１２年顺利通过省四星级普通高中复审．从２０００年撤市建区以来，学校在各级政府及区教育局的领导下，在相城区“大改革、大开发、大建设、大发展”的热潮中，高标规划、高效创建、高位跨越，坚持走农村高中城市化办学之路，取得了突破性、领先性的办学成果，学校先后获得１０项省级荣誉．学校按照“成长规划启动，教育理论促动，骨干教师带动，全员培训推动，精神力量驱动，人文关怀感动”的思路，实施“分层并举、培育新秀、壮大骨干、推

出优秀”的策略，因材施“培”，“导”学相长，促进青年教师快速成长

．

“直线的斜率”教学实录及反思

袁卫刚　（江苏省苏州市相城区陆慕高级中学　２１５１３１）

作者简介：袁卫刚，中学一级教师，苏州市优秀教育工作者，相城区教学能手，相城区把握学科能力竞赛一等奖，市三等奖，全国中小学信息技术网络教研团队一等奖，多次面向市、区开设公开课，观摩课，课堂教学经验丰富，有多篇论文发表于各类省级专业刊物．

１　基本情况分析

学情分析　本节课授课班级为江苏省黄埭中学高二（７）班，该班学生选修物化，学习自觉性比较高，数学基础较好，具备一定的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力．

教学目标　（１）通过对所认识直线的直观感知，构建直线斜率的概念，并初步运用和加深理解直线的斜率公式；（２）以问题为背景，按照“背景—建立模型—解释、应用与拓展”的思考顺序，经历数学建模的过程；（３）理解并渗透数形结合的思想方法及数学文化，提升自主、合作、探究的学习能力．

教学重点　直线斜率概念的理解和直线斜率公式的初步运用．

教学难点　构建直线斜率的概念．

教材分析　本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生了解解析几何的本质．斜率和倾斜角是刻画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两种计算方法；要让学生体会斜率变化与直线倾斜程度的关系．

直线的斜率与倾斜角分别是刻画直线方向（倾斜程度）的代数表示与几何要素，两者各有其鲜明的特征，不可互相替代，它们都属于平面解析几何的基础概念．无论知识本身，还是其建构过程与方法，对于直线乃至解几后续内容的学习都十

分重要．

斜率是解析几何的核心概念，一是斜率本身就是刻画直线特征的重要的量，二是与直线其他内容联系密切，三是斜率体现了坐标法的本质———在坐标系中，用点的坐标刻画几何意义下的对象的一般方法，其建构过程是解几的基本套路（首次使用），意义重大．

２　教学过程

２．１　章引———解析几何

把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法．用坐标法研究几何的学科称为解析几何．解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质，解析几何充分体现了数形结合的数学思想．

设计意图　作为平面解析几何这一章的起始课，应该向学生交代解析几何的相关背景，树立解析几何的基本观点，了解解析几何的基本方法，使学生能逐步迈入这一新的章节．

２．２　创设情境，引入概念

飞逝的流星、激光光束形成一条美丽的直线，直线是最简单的几何图形．

问题１　过一点是否能确定一条直线？如何确定一条直线？

针对学生自身的探究倾向，在备课的时候考虑到学生可能的情况，做好三种回答预案．回答预案１：两点确定一条直线，可以再取

一点．

师：那么用什么来表示这两个点呢？生：坐标！

师：很好！两点确定一条直线，也就是说两点就可以确定直线的方向，这就意味着用两点的坐标就可以表述直线的方向．

回答预案２：可以再加一个条件：表示直线方向的量—

——角度．师：角度是一个几何量，用它可以来刻划直线的倾斜程度．仍是从“形”的角度来确定这条直线，需要用“数”进一步来刻画．

回答预案３：可以用斜率！

师：好，同学们的预习工作做得很好，大家可能在物理中接触过斜率的概念，那么从数学的角度看，斜率是怎样刻画直线的倾斜程度的呢？

设计意图　充分考虑学生，充分尊重学生的自主探究学习倾向，突出数学的本质，追求自然的数学学习．让学生探索确定直线位置的要素：直线过一点和确定的方向（向量）、两点确定一条直线．（注：本节课学生回答了预案１

）图１

师：我们不妨来回忆一下：在直角三角形中，我们可以发现，斜边所在的直线就是我们所说的斜线．假如这个直角三

角形的邻边不变的话，它的对边越长，给我们的感觉斜边越陡．也就是说，这条直线的倾斜程度与对边的长度成正比（图１（１））；假如这个直角三角形的对边不变的话，它的邻边越长，给我们的感觉斜边越平缓．也就是说，这条直线的倾斜程度与邻边的长度成反比（图１（２））．因此，我们可以用对边与邻边的比来表示斜边的倾斜程度．

设计意图　学生在初中已经学过直角三角形中用对边和邻边的长度之比表示台阶的倾斜程度，在学生的“最近发展区”开始新知的建构，有利于他们接受新的知识，更让学生知道高中数学实际上是初中数学的继承和发展．通过对熟悉的几何图形的进一步认识，体会其中真正的精髓．２．

３　抽象模型，建构概念师：在平面直角坐标系中，我们可以用上述方法来研究刻画直线的倾斜程度．

问题２　如图２，已知直线ｌ上两点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），如果ｘ１≠ｘ２，

那么如何刻画直线图２

ｌ的倾斜程度呢？

生：可以用Ｑ

ＭＰＭ来表示直线的倾斜程度．

师：很好，我们可以结合上面的认识，在直角三角

形ＰＭＱ中把对边与邻边的比

ＱＭＰＭ

叫做直线的斜率，用它来刻画直线的倾斜程度．

学生活动：同学们自己任取两点来求这两点连线的斜率．

师：同学们发现其中任意取两点有问题吗？生：有可能横坐标之差，或纵坐标之差会是负的，不能作为对边长或邻边长！

师：我们如何解决这个问题呢？图３

举例：如图３，直线ｌ１和直线ｌ２关于一条竖直直线对

称，直线ｌ１过点Ｐ（１，２），Ｑ１（２，０

）两点，这个比值Ｑ１ＭＰＭ

为２

，过两点Ｐ（１，２）

，Ｑ２（２，４）的直线ｌ２的比值Ｑ２ＭＰＭ

也为２，

两条直线的倾

斜程度实际上是相同的，但是它们的位置明显有区别：一个是从左往右下降，另一个是从左往右上升，也就是说两直线的方向不同．

设计意图　通过学生主动尝试，发现问题，将初中知识和认识进一步拓展，使概念逐步被完善，让学生在主动构建的过程中体会到问题的本质，学生自己的解决问题的手段是最自然，最符合自己的认知规律的．

师：我们如何作以区分？

生：我们可以在第一个值上加一个“－”号以作区别．

师：你有什么依据呢？这个“－”是哪来的呢？

生：利用两点的坐标之差，即ｋ＝ｙ２－ｙ１

ｘ２－ｘ１

（ｘ１

≠ｘ

２）．师：漂亮！这样我们用直线上两个不同点对应的坐标差的比来刻画直线的方向，这个比值既可以是正数，也可能是负数，当然也可以为零，解决了两条直线倾斜程度相同而方向不同的问题，是初中方法基础上的一个突破．